'무한' 쉽게 이해하기(2) | 수학 역사상 가장 아름다운 이론 | 무한을 연구하다 정신병원에서 생을 마감한 비운의 수학자 '칸토어'
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- čas přidán 1. 10. 2022
- 독일의 수학자 칸토어는 신의 영역이었던 무한에 접근한다. 자연수로 이루어진 수는 시대가 흐르며 더 많은 개념의 수가 등장했고, 이 모든 수에 대해 무한을 비교하는 연구를 했다. 갈릴레이가 말했던 일대일 대응을 이용해 분수를 대입하고, 음수를 대입하며 끝없는 무한 집합을 비교한다. 집합론의 고찰이라는 논문을 통해 무한 집합의 크기가 같다는 것을 연구한다. 작은 잎사귀에 있는 무한개의 점은 우주가 가진 무한개의 점과 같다. 무한의 세계에서는 부분도 전체만큼 풍요롭다. 아직도 직관적으로 이해가 되지 않는 영역이다. 어떻게 작은 잎사귀에 들어있는 점이 지구 전체의 점과 같을 수 있다는 것일까? 당시 수학자들도 이해하지 못했고 칸토어는 위대한 이론을 만들었음에도 불행하게 생을 마쳤다.
수포자 #수능 #수학공부잘하는법 - Věda a technologie
![[SNU Catch] Mathematics and Life of Fields Medal Winner June Huh](http://i.ytimg.com/vi/ENNnFu-rS9U/mqdefault.jpg)
정신병원에서 생을 마감하지 않기위해 수학을 포기하겠습니다 ...
수학은 인간이 개발한 가장 아름다운 세상입니다.
칸토어가 정신병 처럼 힘들어 한 것은 수학 때문이 아니라, 그 아름다운 세상을 이해 못한 멍청한 수학자들 때문이였습니다.
수학은 벗어나는 순간, 당신은 정신병원 차원 보다 더 혼란스런 부조화의 세계를 만날 것입니다.
젖과 꿀이 흐르는 천상의 세계... 수학...
인생은 돈만세면 수학끝 잘생각하셨네요
누구는 신의목소리가 들리는 세계까지 들어갈정도로 머리가 좋은데
난 방구석에 누워 궁댕이나긁고있어
동감 합니다 .
저 정도 경이로운 진리에 가까이 다가갈 수 있다면 정신병쯤이야 아무래도 상관없을듯
7:27
슈베르트의 가곡 "마왕"이 배경으로 깔리면서, 곡중 마왕에게 쫓기며 말을타고 아들을 대려가는 장면이 교차되는데, 결국 아들이 마왕에게 죽는(칸토어가 무한에게 먹히는) 장면에서 끝이 나는 디테일(11:00)이 있네요
무한이라는 개념이 리미트를 만들어주었고 미분과 적분을 만들어 주었고 이게 현대 과학으로 발전 시켜줬죠.
우리는 이 대단한 위인들이 남긴 유산들을 쉽게 배워 당연하다고 생각하는 개념들인이지만.. 과거 시대에 어떻게 이런 생각을 할 수 있을까하며 정말... 이런 위인들 볼때마다 놀랍네요.
칸토르 이전에 미적분은 있었음 ㅋ
그 시대에 이미 무한을 알고 있었지만, 그다지 연구하는 건 없었죠. 칸토어가 대단한 점은 무한에 대한 탐구를 탐구하신 분이고, 무한에도 급이 있다는 것을 연구하신 분이죠.
유산이란 말이 왜이리 새롭게 와닿을까요. 좋은 표현인거같아요.
오늘날 시대는 아직 모릅니다.
다만 응용 분야가 너무 잘 발달한 탓에 너무 쉽게 너무 잘 속을 뿐이죠.
자기 속에서 볼 수 있는 것을 밖으로 내는 순간 볼 수 없는 것이 되죠.
무한은 수학이 시작되는 고대부터 시작되었죠
인간은 무한을 두려워하고 경외하고(고대수학ㆍ역설문제) 한때는 금기시되기도 했었습니다(중세수학ㆍ종교개입)
그러나 인간은 결국 무한의 필요성을 느끼며 막연하게 사용하기 시작합니다(근대수학ㆍ극한 미적분)
그러나 막연하게 사용하는 무한은 곳곳에서 삐걱거리기 시작했고
칸토어는 셀수있는 무한에 도전합니다
수학자들의 격렬한 비난에 휩싸였지만
그의 생각은 성공했고 그동안. 인간이 발전시켜온 수학은 그가정립한 집합론위에 재정립하게 됩니다(현대수학태동)
수능특강 독서보고 온사람
7:28 부터 배경음악으로 깔리는 슈베르트의 ‘마왕’은 아이를 안고 어둠을 헤치며 말을 달리는 아버지와 병환으로 홀로 마왕의 환상을 보며 공포에 떠는 아이의 대화를 가사로 합니다.
“Siehst, Vater, du den Erlkönig nicht?"
"아버지, 저기에 마왕이 보이지 않으세요?"
"Den Erlenkönig mit Kron' und Schweif?"
"금관을 쓰고, 망토를 두른 마왕이?"
"Mein Sohn, es ist ein Nebelstreif."
"아들아, 저건 그냥 자욱한 안개일 뿐이란다."
아이는 계속 아버지에게 마왕에 대해 이야기하고, 아버지는 이를 부정합니다. 결국 아이는 아비의 품 속에서 죽고 말지요.
여기서는 홀로 무한을 마주하고 평생을 이해받지 못한 채 쓸쓸히 죽어간 칸토어와 기막힌 대응을 이루고 있습니다.
중1 음악에 나와여
👍
대학에 2지망으로 수학과에 들어가서 크게 흥미를 못 느끼다가 2학년 전공수업 집합론에서 칸토어 무한을 배웠는데. 수학의 아름다움을 느끼게 해준 기억이 납니다.
ㅅ8
구라 없이 넘버스, 문명과 수학, 빛의 물리학 이3개의 다큐는 근 6,7년간 10번 넘게 보지만 너무 신비롭고 경외롭다!!!
대단한 분이시네요.
불교에서도 무한을 얘기했는데
* 空(0) 사상: "모든 것에 실체가 없다"
* 無 = 有
* 화엄경: "전체와 하나는 그물 형상으로 연결되어 있다"
칸토어는 수학적 연구를 통해 '수 양 시간에 제한이나 한계가 없다, 부분과 전체는 같다'는 것을 증명해 냈네요. 절대진리를 발견했고, 설명해 주는데 사람들은 이해하지도 못하고 비웃으니.. 슬플 수 밖에..
모든것에
실체가없다가아니고
공을깨달으면
有를사용함에
공으로사용하니
집착에서벗어날수있게된다는것이지요
그러니
空을有같이사용하고
有를空같이사용할줄알아야
된다는것이네요~~~
수학적이론과 불교이론이 겹친다고하네요
@@user-kd7bp2fi5m
깨달음은
모든걸창조한
신의마음도
허상임을
알수있을만큼
깊은마음을
깨닫는것이겠죠~
네 뭐 수학도 그렇고 과학도 그렇고 깊게 들어가면 결국 철학에서 부터 시작하죠
불교도 철학에서 파생됐고
사상이라 함은 철학에서 다루니
진리라고는 말할 수 없을지 몰라도 모두 다 철학이라고는 할수 있지 않을까 라고 생각합니다
@@green_dollar_sign
우주의기본
에너지이며
진리는
중력입니다
자신이가지고있는
기본에너지인
중력을득도하는것이
마음을깨닫는
것이네요~~~
따라서 이를 작업하는 이는 자신이 갖고 있는 카드에 따라서 작업의 속도가 정해짐. 이러한 것이 의미하는 바는 사장과 ,상무,이사, 팀장 부장 과장이 서로 갖고 있는 직함이 다르다는 것과 그 직함이 카드라는 것 이라고 보면 됨.
경의를 표합니다
무한의 크기 비교는 참 애매한게 숫자의 일대일 대응개념으론 비교가 되지만 애초에 '무한'의 개념적 비교를 하면 결국 동어반복같은 느낌적인 느낌.
잘 보겠습니다!
잘 봤습니다! 역시 다큐는 ebs네요
크 처음 들었을때 진짜 재밌게 들었는데..
대각선 논법,,
가장 작은 단위가 존재하는 물질계는 유한하지만 그곳에 적용시킬 수 있는 법칙들은 무한할 수가 있네요. 사람의 뇌도 생각이 없으면 유한하지만 생각을 하게 됨으로 무한해지네요. 정신이란 무엇인지.. 생각하게 됨으로 유한과 무한이 조화를이루네요
언제 또 쿨타임이 차서 알고리즘이 날 여기로 불렀구나....칸토어 관련 쭉 봐야겠네.
무한이 그를 삼킨 것이 아닌 세상이 그를 삼킨 것입니다.
칸토어는
숫자에서
佛심을깨달았네요~~~
혹시 영상에 수록된 음악들 정보를 알 수 있을까요…? 특히 가장 먼저 나온 거요!
처음 나온 노래는 Dies Irae입니다
제일 놀라운 사실은 칸토어 대역이 칸토어와 너무 닮었다. 대칭인가!
분수를 순서대로 줄지어놓는 부분이 이해가안가네요.. 1/1 -> 1/2 -> 2/1 -> 3/1? 무슨 기준으로 세운걸까요?
분수를 저렇게 나열했을때
오른쪽으로도 무한개, 아래로도 무한개이기때문에 오른쪽, 아래 어느 방향도 실수랑 1대1매칭시킬 수 없습니다.
그런데 대각선으로 세면 실수랑 1대1매칭시킬 수 있고, 실수랑 분수의 무한은 같다가 되는거 같네요..
저렇게 왼쪽 상단부터 대각선으로 1,2,3,4,... 이렇게 각점에 숫자를 순서대로 붙힌다면 N*N집합은 N집합과 일대일대응이 된다는 뜻이에요!
추가로 N집합과, 분수집합, N*N집합의 관계는 N⊆분수⊆N*N 이렇게 쓸 수 있는데, ||N||=||N*N||이기 때문에 조임정리에 의해서 분수집합은 자연수집합과 일대일대응이 되는겁니다
두 직선은 원으로 만들어버리면 각도에 따라서 1:1 대응하면되나?
두 직선의 길이를 a, b라 하면 각각 [0, a], [0, b] 개의 점이 있는데
f: [0, a]->[0, b] f(x)=b/a*x 에 의해 일대일 대응이 존재함을 알 수 있겠네요
혹시 나레이션 하신 분이 신구 선생님 이신가요? 많이 들어본 목소리 같은 ㅎㅎ
신구 어르신 맞습니다. 저도 처음에 낯설었는데, 들을수록 확신이 들더군요. 여전히 짱짱한 할배~~ㅎㅎㅎ
신구샘 참 좋네요
니들이 게맛을 아냐고 물으시던 신구 선생님 맞습니다.
@@wcwt 개맛이 아니고
게맛을알아? 입니다
롯데리아 게살로만든버거 였던걸로 기억해요
학생 여러분 수학공부 열심히 하고 4주 후에 뵙겠습니다.. 시험 봐아 하니까요 ?!!
칸토어가 무한을 연구하기위해 집합을 만들었죠
내가 요즘 정신병 걸릴거 같은 이유를 알겠군요.
어제는 무한을 본 남자라는 영화를 보고 오늘은 무한에 대한 유튜브 영상을 보고.
그 분이 길을 잃지 않도록 안내해 주시네요.
잘모르지만 칸토어를 보니 동질감에 힘이 나네요.
무한도전도 다시보세요
무한의정의는 만든자인 전능자의 질서라는펼치는 증거의 존재를만든그자신을증거하는 지혜이다
다만 양자역학의 세상에서는 각각의 숫자에 시간을 기반으로 감성의 프레임이 매칭 됨.
신의 대리자 맞지... 칸토어님만 생각하면 내가 너무 가슴이 아프다 ㅠㅠㅠㅠㅠ
깨봉 수학에서도 봤는데 많이 보네요
칸토어의 무한개념을 지금도 많은 수학자들이 거부함.
나도 칸토어 이론이 틀렸다고 봄. 부분과 전체가 같을 수 없다.
무한을 핑계로 억지를 사실로 받아드릴 수는 없지 않은가...
칸토어 주장: 짝수 무한= 전체무한, 홀수무한=전체무한.
수학자들: 전체무한 - 짝수무한=홀수무한 이어야 하지 않은가...칸토어는 개소리 말라...
@@qfwlctfjlyfhi집합론이 현대수학의 기초론인데그걸 어떻게 거부함
안녕하십니까 오늘도 좋은 하루 보내세요 내일도 좋은일만 있기를 바래요 감사합니다 사랑합니다 감사합니다
칸토어와 슈베르트
그게 생각난다 강철의 연금술사에서 하나는 전제, 전체는 하나인가
윌리엄 블레이크(1757~1827)
한알의 모래알 속에서 세계를 보고
한송이 들꽃 속에서 천국을 본다
그대 손바닥 안에 무한을 쥐고
순간 속에서 영원을 보라
일단 내가 공부할건 아니라는건 알겠습니다
영상 제목은 무한 쉽게 이해하기인데 내용은 이해 못한다는 거네.
무한집합론의 기하학적 버전이 망델브로 프랙탈이론이다
유리수 ? 유리창 처럼 맑게 보이는 수..
무리수 ? 무리하게 공부하다가 발견한 수..
칸토어의 묘비가 나타나니 엘론 머스크가 얼굴을 나타내내요.
결론은 무한을 봤다 가 아니라 무한은 볼 수 없다 아닌가..
선 안에 점은 무한하고 그 크기는 선으로 비교가 된다라고 접근을 해버리면 안될 듯..
왜냐면 하나의 점이라고 했을때 점은 한 개의 수 이고 하나의 선이라고 했을때 선은 한 개의 선이 됨 애초에 차원이 다름
선 안에 무한한 점의 수가 아니라 한 선으로 볼 수 밖에 없는 인지능력의 한계..무한을 본다는 말 자체도 어불성설!! 애초에 무한해서 볼 수가 없슴 ㅋ 무한하구나 느껴도 바로 인지 능력은 어딘가 끝을! 한계를 만들어버림ㅋ
공간은 끝이 있을수없다.
시간도
@@OMG-mv8cd 시간은 없어요.
수학적으로는 그렇겠지만 실제로는 물질을 구성하는 입자 숫자에 한계가 있어서 작은 물체를 구성하는 점과 큰 물체를 구성하는 점이 같을 수는 없을 거라 본다.
칸토어의 무한개념을 지금도 많은 수학자들이 거부함.
나도 칸토어 이론이 틀렸다고 봄. 부분과 전체가 같을 수 없다.
무한을 핑계로 억지를 사실로 받아드릴 수는 없지 않은가...
칸토어 주장: 짝수 무한= 전체무한, 홀수무한=전체무한.
수학자들: 전체무한 - 짝수무한=홀수무한 이어야 하지 않은가...칸토어는 개소리 말라...
@@qfwlctfjlyfhi칸토어 입장을 우리국민은 벌서 알고있었네요.
게나 고동이나, 유자나 탱자나 똑같다.
다만 실용적인 측면에서 분별이 필요할 뿐!!!
너가 있어 내가 있다.
@@qfwlctfjlyfhi 집합론 측면에서는 님이 말한 그 방식이 맞는데 그게 칸토어가 주장한 집합론이에요... 집합으로 설명을 하시는데 집합론을 왜 부정하세요?
수학👍
나는 신인데 ,내가 하고자 하는 것에 집착을 가지면 그 상황에 연동을 하기 시작 함.그러면 내가 사장인데 대리가 하고 있는 일에 연동하여 몰입하면 어떻게 하겠는가? 잠시 즐기고 빠지는 것 이라고 보면 됨.
무한은 무한 그 자체 무한을 풀려고해서 풀어지면 그건 무한이 아니다. 무한은 걍 무한. 나는 이걸 미리 깨달아서 일찍이 수학과 멀리했다.
양자역학적으로 무한은 크기가 있을 수도 있고 크기가 없을 수도 있습니다. 단정 짓는 순간 틀린 것이 됩니다.
과학은 수학이 아니고 수학은 과학이 아닙니다. 수학은 특정한 공리체계를 정해놓고 약속함으로써 정해지는 것이고 과학도 "여러번의 실험으로 공통된 결과가 나오면 참이라고 하자"라는 약속으로 정해진 거구요. 양자역학도 이러한 약속을 통하여 얻게 된 결과일 뿐 그것을 맹신할 수는 없습니다.
영원에서
영원까지는 누구말이니?
칸토어의 방식대로라면 무한과 유한의 경계가 가장 가까이 다다를 수는 있어도 그 경계에 닿지도 못하고 그 경계를 넘어 진정한 무한으로 갈 수도 없습니다.
명확한 결론과 공식들이 그렇듯 그 과정에는 오류가 없지만 늘 쉽게 전제에서 놓치기도 하고 때로는 스스로 전제한 그 의미를 진정 알지 못하는 경우도 있죠.
명확한 공식이 사람들을 열광시킬 수도 있고 극소의 오차로 현실에서 사용하기에도 부족함이 없을 수도 있지만 무신론적 상대주의에 지나지 않습니다.
그래서 당대에 수학자들은 칸토어의 논리가 수학계를 정신병원으로 몰고 가고 있다고 비난했고, 그런 전 수학계의 비난을 못이겨 정신병원에 간게 칸토어. 무한이라는게 그만큼 머리 아프다는 반증인 동시에, 그걸 진정 이해하면 정신병 옴. 따라서 칸토어가 틀렸다고 생각하는게 정상
@@paul09111 좋은 의견 감사합니다. '정신병' 정말 와 닿네요.
칸토르는 유한구간에서 무한대의 점이 포함되고, 이 무한대의 점을 모두 더해도 0 이 된다는 사실을 증명한 사람입니다.
바보들의 악플에 미쳐버린 정상인 같은?
난 유툽에 웃긴거 보러 왔는데 왜 여기 도착한거지
계정자임 : '임계상수개념의 확립이죠. 무한자에 의한 한계값이란 한계자논리로 개념화 불가합니다.'
4:30~5:20 설명좀,
정신병 걸리겟어여
무슨 뜻이죠??
무한을 셀수 있는 집합과 셀수없는 집합으로 나눈겁니다
우리가 셀수 있다는것은 일대일 대응을 할수 있다는거죠
예를 들어 사과를 셀때 사과하나당 손가락을 하나씩 접어 손가락을 더이상 접을수 없을수 없고 남은 사과가 없을때 그때까지 접은 손가락수가 사과의 갯수라 할수 있습니다
0부터 1까지의 모든 유리수 (유리수는 분수꼴로 나타낼수 있는ㅇ수)를 분수형태로 바꾼뒤 적절히 순서를 매겨 나열하면 하나도 남김 없이 자연수와 정확히 1대1일 대응을 시킬수 있습니다(남은 유리수도 없고 남은 자연수도 없는상태)
즉 0서부터1까지의 모든 사과(유리수)를 손가락(자연수)으로 센거죠ᆢ 완벽하게요
@@shilla-dc3wo전 이건 이해해도 마왕은 못 쳐요 손에 쥐날 것 같던데 대단하시네요
개념으로 연산으로 수학으로 풀어내면 무한이 아니지
인간이 무엇을 상상하든 그이상이 무한이고
무한은 무한의 먼지일뿐이다
5:08 분수가 어떻게 자연수랑 1:1 대응 되나요? 1/2은 0.5인데 왜 2에 매치시키는지.. 어떤 원칙인지 이해가 안되네요
넘버스? 글씨좀 정자로 쓰면 어디 덧나세요?
무섭다😢💋💋💋💋👄🫦💄💄👣👣
뭐지....아우 난 안되..수학포기.
칸토어가 유대계인데 루터교도였구나
철학이 무엇을 분석, 해석하려했는지,,,
철학이 무엇을 지향하고, 추구하려했는지 ,,,
칸토어는 이 모든 "무엇을"을 한방에 아닥시켜버린 최고의 철학자라 주장하는 바이올시다 ~ ㅎㅎㅎ ~
칸토어의 무한개념을 지금도 많은 수학자들이 거부함.
나도 칸토어 이론이 틀렸다고 봄. 부분과 전체가 같을 수 없다.
무한을 핑계로 억지를 사실로 받아드릴 수는 없지 않은가...
칸토어 주장: 짝수 무한= 전체무한, 홀수무한=전체무한.
수학자들: 전체무한 - 짝수무한=홀수무한 이어야 하지 않은가...칸토어는 개소리 말라...
고려거란전쟁 화이팅 수학은 더하기 빼기만 알면됨 그 이상은 사치
1:23 뭔소린가요 자연수와 짝수의 개수가 어떻게 같나요? 자연수에 홀수와 짝수가 포함된거 아닌가요?
둘 다 무한으로 같다는 거에요 1은 2에 대응 2는 4에 대응 몇억이오든 몇 조가 오든 그거의 두배가 올테니까 집합내의 원소의 수는 같다
100을 만들려면 10뒤에 0을 붙이면 됩니다.
그러면 1000을 만들려면 00 두개를... 이렇게 우리는 0을 평생 죽을때까지 계속 붙일 수 있습니다.
인간의 개념으로 만들어낸 숫자.. 절대 그 끝은 없습니다. 계속 0만 붙이면 숫자는 계속 늘어나지요.
그렇기에 10의 배수나 3의 배수나 홀수든 짝수든 어떤 집합이든 숫자 뒤에 0을 계속 붙이면 계속 그 집합의 원소들이 나오죠.
그렇기에 무한의 개념에선 어떤 집합이든 같은 개수를 가지고 있는겁니다.
님이 생각하고 계시는건 유한 개념입니다. 1부터 100까지 있다면 짝수 홀수 각각 50개.. 무한 개념이라면 짝수 500000000000000000000000개 자연수가 1000000000000000000000개 하지만 0을 계속 붙인다면? 어차피 셀 수 없기에 같은겁니다.
집합론과 실해석학을 공부해보시길 추천드립니다
모두 끝없이 셀 수 있다
개수는 모두 무한하다
이렇게 생각하시면 돼요
A={1,2,3,4,,,,,}무한한거 알겠고
A에 2곱한 B집합, B=(2,4,6,8,,}도 무한이고 n(A)=n(B)는 이해가 가는데
A의 짝수만 골라낸 C집합이 "무한집합"임은 이해되는데 "n(A)=n(C)"는이해가 안되네.
수학을 몰라서 영상 바로 본건지도 모르겠고❗
무한히 대응되기 때문에 서로 짝이 맞아서 같다고 하는 거에여. 숫자에 한계가 있다면 당연히 개소리져. 그래서 무한이란 개념을 가지고 이야기하는 거구요. 존나 태클 걸고 싶은 이론은 맞음.
무한론이 공학 등 실 계산에 많이 쓰이나요?
무한에 기반한 방법들이 자주 쓰이죠
@지구테스트서버관리 열역학 제 1 법칙에 따라 무한동력은 불가능하지 않나요?
@@parenthes 그래두 젤 비슷한게 신체 기관 아님?
ㅎ공학의 기초인 미적분이 무한에 기반한거죠
@ᄋᄋ 반도체 연산에서 쓰일수있지 않윽까요?
중천건 천택리 천화동인 천뢰무망 천풍구 천수송 천산돈 천지비
택천쾌 중택태 택화혁 택뢰수 택풍대과 택수곤 택산함 택지취
화천대유 화택규 중화리 화뢰서합 화풍정 화수미제 화산려 화지진
뢰천대장 뢰택귀매 뢰화풍 중뢰진 뢰풍항 뢰수해 뢰산소과 뢰지예
풍천소축 풍택중부 풍화가인 풍뢰익 중풍손 풍수환 풍산점 풍지관
수천수 수택절 수화기제
수뢰둔 수풍정 중수감 수산건 수지비
산천대축 산택손 산화비 산뢰이 산풍고 산수몽 중산간 산지박
지천태 지택림 지화명이 지뢰복 지풍승 지수사 지산겸 중지곤 이것의 나열입니다.
이것은 곱하기 더하기 빼기의 자연과의 나열입니다.
바람과 바람이 만나고 하늘과 바람이 만나고 하늘과 산과만나고 연못과 불이 만나는 이런식의 해석입니다.
제가 노자 도덕경 1장의 수학적 논리학적 구조를 완전히 해독해 유툽에 올려놓았는데 혹 논리학 수학 하시는분 있으시면 검증 부탁드립니다.
논리적으로는 맞는데... 부분집합이 전체집합과 갯수가 같다는게 아직도 이해가 안됨. 그 참... 짝수+홀수 가 자연수집합인데 개개가 자연수집합과 갯수가 같다니... 그참..
집합A{n|n은 모든 자연수} 집합B{k|k는2n} 이 두 집합으로 생각하면 편하지 않을까요 자연수 집합의 부분집합으로 생각 하면 힘들거 같습니다
비전공자라 잘 모르지만 수라는 것이 기수와 서수의 개념도 있고 정수라는 것도 극한의 개념으로 정확한 정수를 짚을 수 있는지 모르겠는데 영상에서처럼 그런식으로 비교해서 무한을 가두는 것이 맞는지 모르겠네요. 유한의 세계로 가둔 무한을 유한의 관점으로 크기를 논할 수 있는 것인지도 모르겠고요.
페아노 공리로 자연수를 정의하고, 자연수에서 합에 대한 역원을 이용하여 정수를 정의하고, 정수에서 곱에 대한 역원으로 유리수를 정의하고, 유리수에서 데데킨트 절단을 이용하여 실수를 정의합니다. 이러한 구성적 정의방법에서 실수 속에 정수 각각에 대응하는 실체가 유일하게 존재함은 순서구조와 대수구조를 보존하는 전단사사상이 유일하게 존재함으로 증명합니다.
무한이라는 단어 자체에서 비롯한 경외에 매몰되지 마세요. 무한은 실체적으로 그다지 어려운 대상이 아닙니다.
정확함과 엄밀함이 가장 중요한 수학에서 무한은 상상 언어일뿐이지. 무한에 사칙연산을 하거나 비교하는게 말이 안되지..
"무한대 이론"
돈
근데요 진짜로 모르겠어요. 어떻게 이럴 수가 있지...ㅠㅠㅠ
나름 이해할 수 있다고 자부했는데, 이제 어떻게 살아가야 할쥐...ㅋㅋㅋ
선분길이가다른데
똑같다고하니
어려운거같은데
쉽게생각해보면
좋을거같은데요
이를테면
키가큰사람과
키가작은사람은
길이가다르니
다르다고
생각하는고정관념이
문제이겠지요
그냥보이는대로
지구는평평하다고
생각하는거같이
ㅎㅎ그냥
내생각을올려보네요~~~
@@user-oh5tq9yn5v 앞의 영상을 보면 왜 선의 길이가
같은지 설명이 되어있습니다.
@@azrimostlq9875 ㅎㅎ
그런나요~~~
궤변, 말장난, 코메디
현실에서는 서장훈이 이수근보다 크다고 하면 됩니다
(무한의 세계에서) 서장훈과 이수근의 키가 같다라고 주장하면
칸토어처럼 정신과에 가게 됩니다.
정신승리는 혼자 간직하라는 교훈 가득한 프로그램.
@@AaaA-km2yu
부처같이
초월하지못하면
미완성인게
정신적으로
힘든건있지요~~~
결론 : 일대일 대응이 가능하면 두 개의 집합은 수가 같다 -> 이걸 무한 집합에도 발전시켜서
자연수 - 짝수 의 경우, 어떤 자연수에 두배를 하면 짝수가 만들어지므로 모든 짝수에 대해서 자연수로 된 번호를 붙일 수 있음.
ex) (1,2) (2,4) ... (100,200) ... (a,2a) 이런식으로.
자연수 - 홀수 는 앞 짝수에서 1씩 빼기만 하면 되므로 해결됨.
그런데 실수의 경우, 모든 실수에 자연수로 번호를 붙였다고 가정했을 때, 번호가 붙어지지 않은 새로운 실수가 또 무한히 만들어질 수 있다는 것이 증명됨. 따라서 일대일 대응이 불가능함
사실 그러한 방법은 실수의 소수전개라는 개념에 많이 의지하는 논리이죠. 이런 논의에서 생략되는 부분이 많은데, 가령 어떠한 실수의 소수전개는 유일한가 등등.. 당장 1=0.999... 이기에 과연 새로운 소수전개를 발견하였다 하더라도 그 소수전개에 대응하는 실수가 목록에 없는 실수인가 확신하기 위해서는 또다른 논의가 필요합니다. 실수의 소수전개가 무엇인가를 엄밀하게 설명하자면, 어떤 실수가 length 가 1이고 endpoint 가 자연수인 closed interval 에 포함되면 그 interval 의 endpoint 중 작은것을 1의 자리로 두고, 그 다음 소수 첫번째 자리는 length 가 1/10 이고 endpoint 가 자연수/10 인 closed interval 에 포함되면 그 interval 의 endpoint 중 작은것을 취하고.. 를 반복하면 소수전개가 얻어집니다. 근데 문제는 특정 유리수(예를들어 분모가 10의 n제곱인 유리수)의 경우 반드시 소수전개가 두개가 존재하며, 특징적으로 그 두 소수전개 중 하나는 그 끝이 9999... 로 끝나게 됩니다. 다시 돌아와서 이러한 함정을 피하기 위해 소수전개를 이용한 실수집합의 uncountability 의 증명에서는 소수전개가 끝이 999... 로 끝나는 것은 제외하여 논의의 모호성을 지우기도 합니다.
근데 이렇게 하는거보다 그냥 멱집합은 원집합보다 반드시 크고, 자연수집합의 멱집합과 실수집합이 크기가 같음을 보여서 자연수집합보다 실수집합이 더 큼을 보이면 실수의 소수전개에 대한 고민도 필요없죠. 물론 칸토어의 놀랍고도 아름다운 (하지만 실수의 소수전개에 대한 논의는 은근슬쩍 생략하는) 증명을 이용하지 못하는게 아쉬울수는 있습니다 ㅋㅋ
물론 제가 제시한 방법에서 자연수집합의 멱집합과 실수집합의 크기가 같음에 대한 논의가 소수전개에 대한 논의보다 얼마나 쉬울지, 아니면 더 어려울지는 사람에 따라 조금 다를수도 있습니다..
@@user-zl4bi4gd2v 우와... 그렇군요. -짦은 지식으로 나댄것 같아서 죄송합니다만..- 저는 수학에 관심만 많은 일반인이라 다 완전히 이해하지는 못했지만 확실히 멱집합을 이용하는게 더 쉬울 것 같네요. 아무튼 지식을 나누어 주셔서 감사합니다!
@@youngjunelawrence 전 잘 모르지만, 실수 집합의 크기가 [0,1) 과 크기가 같다는 걸 먼저 증명하고, 자연수의 멱집합이 [0,1) 보다 크지 않고 또 작지도 않음을 증명하여서, 결과적으로 둘의 크기가 같다는 결론을 내리는 방법이 있더군요.
칸토어 이름 보자마자 욕나오네 ㅋㅋ
니들이 게맛을 알아?
칸토어 실수하셨네
수학은 인간이 개발한 가장 아름다운 세상입니다.
칸토어가 정신병 처럼 힘들어 한 것은 수학 때문이 아니라, 그 아름다운 세상을 이해 못한 멍청한 수학자들 때문이였습니다.
수학은 벗어나는 순간, 당신은 정신병원 차원 보다 더 혼란스런 부조화의 세계를 만날 것입니다.
젖과 꿀이 흐르는 천상의 세계... 수학...
내용이 수학적 오류들로 가득하네요. 대본 문과가 썼나?
천재들은 보통의 인간들의 눈에는 정신병자로 보인다.
그러니 진짜 천재이면 보통 사람들의 동감이나 존경을 기대하지 말아야 한다.
해설은 제발 전문 성우를 써라
신도 못푸는 문제를 인간이 풀려고하니 미치지.
니들이 개맞을 아냐고
칸토어는 인간이 왜이리 비비꼬였냐. 당연히 사람들이 받아들이는데 반론이 있어야
더 자기 이론이 명확해지는 거 아니야. 이게 정신나갈 일인가 ㅋㅋ
끝이 없는 걸 무한이라고 칭하는데 갯수가 같냐 다르냐를 논하는거 자체가 모순 아닌가? ㅋㅋㅋㅋ 헛똑똑이들
그게 어떻게 모순인거죠...?
영빈이 담당일찐 일 안하냐?
담당일찐도 그냥 계속 저렇게 살아가라고 포기했답니다...
문과빡통
@@fcte6464무한에는 갯수를 논할 수 없어니,
다만, 갯수를 논한게 아니라 일대일 대응한다라는 걸 착각한 것 같군요.
Cantor의 업적중 하나는 점들을 Counting의 개념으로 합하여 절대 길이를 만들 수 없다는 것 아닌가 생각 해 봅니다. (뭐 Counting Measure가 있긴 합니다만...)
모든 유리수들과 대수적 무리수들의 (이를테면 유리다항식들의 해들) 합집합은 길이가 0 입니다.
Counting하여 합 할 수 있는 것들 이외에 무언가가 가득 채우고 있어야 한다는 논리입니다.
비슷한 논리로 Counting의 방법으로 길이를 합하여서는 그 어떤 면적을 만들 수 없고, 면적 또한 부피를 만들 수 없습니다. 더 나아가 무한차원에 있는 집합의 측도는 (크기) 어떻게 해야 할까.... 엄연하게 존재하는 세상이지만, 우리의 5관을 100% 버리지 않으면 보이지 않는 세상이지요. 지금까지의 모든 헛된 종교적관념의 신들을 가차없이 내동댕이 쳐버린, 인류가 20세기를 추상의 세계로 입문하게 한 수학자가 Cantor라고 말하고 싶네요. (뭐 피카소도 대단한 위인이지만....)
칸토어의 무한개념을 지금도 많은 수학자들이 거부함.
나도 칸토어 이론이 틀렸다고 봄. 부분과 전체가 같을 수 없다.
무한을 핑계로 억지를 사실로 받아드릴 수는 없지 않은가...
칸토어 주장: 짝수 무한= 전체무한, 홀수무한=전체무한.
수학자들: 전체무한 - 짝수무한=홀수무한 이어야 하지 않은가...칸토어는 개소리 말라...