- 대상엽 선생님의 수학 강의 영상에 대한 긍정적인 반응이 대다수임. 쉬운 설명과 재미있는 내용으로 수학을 어렵게 느끼는 사람들도 흥미를 느끼게 함. - 복소수와 관련된 질문들이 많이 달림. 특히 허수의 크기 비교, 복소 해석학 등에 대한 질문이 많으며, 영상 내용에 대한 이해도가 높은 댓글들이 많음. - 추가적인 강의 영상에 대한 기대가 높음. 2, 3번 내용에 대한 질문 뿐 아니라 풀버전 강연 요청, 수업 자료 활용 등 적극적인 학습 의지를 보이는 댓글들이 많음. (By Joon's CZcams Comment Summarizer)
1은 원점에서 1만큼 떨어진 수이고, 2는 원점에서 2만큼 떨어진 수인 것처럼 i 또한 거리 크기를 논할 수 있다면 크기를 논할 수 있을 것 같은데 보여주신 증명을 보면 또 크기를 논할 수 없어 보여요. 그렇다면 거리 크기는 무슨 의미를 가질 수 있는 것인지가 궁금해요.
복소수체는 순서체가 아니라서. 1). 양수의 정의를 만족하는 복소수체의 부분집합이 존재할 수 없음. 2). A > B의 정의는 (A - B)가 양수에 속해있다는 것임. => 복소수체에는 양수가 존재하지 않기 때문에 그 어떤 허수도 다른 허수보다 크거나 작을 수 없음. => 복소수체는 순서체가 아니기 때문에 대소비교가 불가능함. *양수 P의 정의(F의 부분집합) a, b가 P에 속하면 a+b와 a*b도 P에 속함 전체집합 F = (P)U{0}U(-P), -P = {-a : a는 P에 속함} *영상과 같이 복소평면을 통해 벡터공간의 놈을 구해서 크기를 비교할 수는 있음. 놈의 레인지는 실수체에서 정의되기 때문. 하지만 이는 엄밀히 말하면 복소수 간의 크기를 비교하는 것이 아님. 하지만 준선형사상이라 일방향적으로는 연산이나 여러 성질들이 잘 유지되어 유리하게 활용 가능.
선생님 우선 질문드립니다. 0곱하기i는 왜 0이죠?? 사칙연산은 실수 외 에도 적용되나요? 복소평면엔 사칙연산으로 인한 모순이 생기는데, 왜 피타고라스정리는 우리가 아는 피타고라스 정리로 모순증명을 하는거죠..? 아니.. 저 제가 궁금한건 실수계 사칙연산으로 모순이 생긴다고 불가능하다고 정의할수 있는거에요??
실수가 아닌 복소수는 복소수 자체로 봐야 합니다. 물론 굳이 허수부가 같은 경우만 한정한다면 2+i가 더 크다할 수 있겠으나 이 경우는 지극히 작은 경우만 다루고 있으므로 수학의 생명인 확장성에 스스로 제약을 두는 관점이라 생각합니다. 당연한 얘기지만 두 복소수의 허수부가 같은 경우는 오로지 한 가지의 경우 뿐이고, 그 여집합은 무한하므로 의미가 없다할 수 있겠습니다.
@@Zeddy272 작은 조건이라 하더라도 참인 것이 맞다면, 의미 있게 쓰일 수도 있지 않을까요? 물론 복소수가 크기 비교가 안 된다고 알고는 있었습니다. 하지만 허수부가 같은 특수한 경우에 한하여 크기 비교가 가능하다면 어느 과정에서라도 증명에 사용할 수도 있겠다는 생각이 듭니다.
@@RainbowParrot 님의 말씀도 맞습니다. 하지만 허수부만 같은 두 복소수의 크기 비교가 어떤 활용성을 가질까에 대한 의문이라는 얘기입니다. 허수부가 같다는 얘기는 결국 실수 x 축의 평행선 밖에 되지 않고, 이는 다시 얘기하면 수직선과 같은 형태니까요. 그래서 복소해석학에서는 두 자체 수의 크기가 아닌 modulus라 해서 거리 크기를 비교합니다. | -1 + i | = sqrt(2) < |2 + i | = sqrt(5) 이렇게 되고, 이는 복소수의 기하학적 성질을 이해할 수 있게 해주며 더 나아가 복소 함수의 극한과 연속, 코시 적분 등 아주 중요한 역할을 합니다. 😀
허수까지 언급하지 않더라도, 이미 음수 체계에서 크기 비교의 개념이 깨진다고 예시를 보여줄 수 있겠네요. 즉, 1*(-1) < 2*(-1)이 참이 아니듯이, 저 괄호에 들어가는 값이 양의 실수가 아니면 우리가 아는 단순 크기 비교는 정의될 수 없다는 것을 보여주는 조금 더 쉬운 예시이지 않을까 싶습니다. 따라서, < 비교는 양의 실수로 만들어 진 값(절대값, 크기값, 원점으로부터의 거리 등)에서만 사용 가능하다는 식으로 이야기를 이어가고요.
실수는 수직선 위의 모든 점과 일대일 대응이다. 따라서 수직선 위의 모든 점은 실수로 매길 수 있고, 수평의 수직선에서는 더 오른쪽 점에 대응되는 수가 왼쪽점에 대응되는 수보다 더 크다고 정의한다. 수직선의 모든 점은 실수와 일대일 대응이므로 허수는 더 이상 대응할 수 있는 점이 없다. 따라서 대소비교는 오로지 실수끼리만 정의되어 있고, 허수와 실수 간, 허수와 허수 간은 대소가 처음부터 정의되어 있지 않다. 그래서 대소비교가 불가능하다. 마찬가지로 수직선 상에서 원점으로부터 떨어져 있는 거리라고 정의하는 절댓값도 허수에 대해서는 의미없다. l i l 같은 것은 사용할 수 없고, 쓴다면 다른 의미로 새로 정의하고 사용하게 된다..... 저는 아이들에게 이렇게 가르칩니다.
실수축으로만 이루어진 좌표평면이었으면 방향크기로 피타고라스 정리를 써도 문제가 되지 않아요 ㅎㅎ (-2,0)과 (0,2)사이 길이는 √{(-2)²+2²}=2√2 죠 근데 강의에서처럼 허수축의 눈금을 실수처럼 오판해서 (0,i)와 (1,0)사이 길이를 구해버리면 √(i²+1²)=0 ㅎㅎㅎ
궁금한 게 생겼지만 집안 어르신도 모르는 것 같습니다 만약 조금 말이 안되지만 서울대학교에서 경희대학교 같이 명문대라고 말하는 대학의 수학과와 계명대학교, 공주대학교, 금오공과대학교 같이 지방에 있는 (응용)수학과를 비교했을 때 수시나 정시 커트라인이 낮은 대학(지방에 있는)을 진학한다면 수학자로서 살기 위한 길에 방해가 될까요? 저는 정말 수학자가 되고 싶습니다. 저는 비록 수능 수학을 잘하지 못하지만 제가 동경하는 천재들의 업적의 일부라도 이해하거나 그 난제에 도전해 창의적인 답을 내고 해결하고 싶습니다. 답변을 해주신다면 정말 좋은 답이 될 것 같습니다. 감사합니다 P.S. 미래의 프로 수학자
![[지식in] 왜 (-1)^2 2 = -1 일까?](http://i.ytimg.com/vi/2jjnebhxFN4/mqdefault.jpg)
![[지식in] 왜 (-1)^2 2 = -1 일까?](/img/tr.png)
![[강연] 직관과는 다른 무한의 세계 1](http://i.ytimg.com/vi/9JcEU9Q77E4/mqdefault.jpg)
![[깨봉라이브] 허수의 숨겨진 비밀 1편! 안보이는 것을 나타내는 특별한 수!](/img/n.gif)
대상엽
기습숭배 ㄷㄷ
오 땅우
아니 땅우가 여긴 웬일 ㅋㅋ 입시 컨텐츠 제외하고 처음 보네
????????형이 왜 여기에
ㅋㅋㅋ 지금 집 집들이 첫번째로 와준 현실지인임...
젠장...또 대상엽이야.... 내 알고리즘에 또 나왔어.... 이러면 난 볼 수 밖에 없어
늘 좋은 영상 감사합니다 ^^
DM으로 질문했던 선생님입니다.
바쁘신와중에도 답변해주셔서 너무 감사한데
이렇게 영상까지 올라오다니 너무 감사합니다!
그냥 좋은 내용이 아닌
수업시간에도 활용할수있는 개념
정말 감사합니다.
내가 다 뿌듯하네
들으면서 바로 수업교재 보완 들어갔습니다 히히
와아 상엽샘 간만에 영상 ㅜ
2, 3 번도 기대하겠습니다~
상엽샘 영상 자주 올려줘요.. 문과 출신에 서른 먹은 놈이지만 몰라도 수학을 가깝게 느끼게 해주셔서 챙겨봅니다.. 이해 못하는 경우가 대다수지만 ㅋㅋㅋ ㅜ
얼굴이 너무 좋아보인다. 목소리도 좋고 전달도 너무 잘하심.
선생님들의 선생님이라니.. ㄷㄷ 진짜 멋지시네요 ㅎㅎ
다음 영상 기대하겠습니다!!
형님, 이런 강의들 많이 올려주세요 ㅎㅎㅎ 고생이 많으십니다!
다음 이야기도 기대하겠습니다!
너무 재밌어요
강의 왤캐 잘해 진짜 천재다천재
내가 가장 아끼고 좋아하는 채널
2번 3번도 궁금해 죽겠네요....
상엽쌤 혹시 강연 풀버전으로 부탁드리는건 무리일까요????? 가끔 너무 좋은 내용인데 이걸 풀버전으로 듣고 계신 선생님들이나 학생들이 부러운순간이 있어서
못참지ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
이건못참지좌ㅋㅋㅋㅋㅋ
순서를 부여할 수 있지만 그 부등호가 실수에서 통하는 성질을 유지하지 않는다!
설명 너무 깔끔하다.
선생님.. 보고싶었어요 ㅋㅋ
수학을 잘 못하는데도 재미있게 보고있습니다
3:11 진짜 레전드
사랑해요
2,3번이 특히 궁금했던 거네요 ㅋㅋㅋ
2,3 궁금…
2번은 급수의 재배열과 관련이 있지 않을까 싶은데.. 정확한 답이 궁금하네요
- 대상엽 선생님의 수학 강의 영상에 대한 긍정적인 반응이 대다수임. 쉬운 설명과 재미있는 내용으로 수학을 어렵게 느끼는 사람들도 흥미를 느끼게 함.
- 복소수와 관련된 질문들이 많이 달림. 특히 허수의 크기 비교, 복소 해석학 등에 대한 질문이 많으며, 영상 내용에 대한 이해도가 높은 댓글들이 많음.
- 추가적인 강의 영상에 대한 기대가 높음. 2, 3번 내용에 대한 질문 뿐 아니라 풀버전 강연 요청, 수업 자료 활용 등 적극적인 학습 의지를 보이는 댓글들이 많음.
(By Joon's CZcams Comment Summarizer)
부등호는 실수에만 적용된다는거네요. i까지 포함하려면 성질이 다른 새로운 기호(정의)가 필요한거 같습니다
도움이 됐습니디
직강 너무 아름다운 시간이였습니다!!!! 감사합니다!!!
이'었'습니다
진짜 겁나재밌다
lim시그마 부분이랑 스칼라vs상수 이거도 궁금한데 언제나오나요
대학1학년 이후로느노수학이랑 관계없는 일하는 일반인인데 넘 재미있어요ㅎㅎ
선생님 혹시 죄송한데 러셀의 수학원리는 번역본이 없나요? 찾아봤는데 없어서요 ㅠㅠㅠ
2, 3번에 대한 것도 매우 궁금한데, 올려 주시나요?
TREE함수처럼 빨리 달려왔습니다
1+i 와 2+i는 대소 관계가 명확한 것 아닌가요? 이 두 식들의 크기는 비교 가능한 것인지 궁금합니다
허수 i에 루트를 씌울 수 있나요?
궁금한게 있습니다
6:10초에 1-i < 1+i 라고 하셨는데
그럼 그 자체로 i가 양수라는게 맞다라고 가정한건가요? 아니면 i는 양수가 맞나요?
그립읍니다...
5:00 부등호 방향이 왜 바끠는 건가요??
2번 3번 제발
허수는 크기를 나타내는 실수가 아니기 때문에 대소구분을 못한다는 것이 자명하지요
1은 원점에서 1만큼 떨어진 수이고, 2는 원점에서 2만큼 떨어진 수인 것처럼 i 또한 거리 크기를 논할 수 있다면 크기를 논할 수 있을 것 같은데 보여주신 증명을 보면 또 크기를 논할 수 없어 보여요. 그렇다면 거리 크기는 무슨 의미를 가질 수 있는 것인지가 궁금해요.
2, 3번도 궁금하네여
피타고라스 정리는 "길이" 에 관한 정리인 걸로 알고 있는데 3:26를 보시면 길이가 아닌 그냥 수로 계산을 하셨네요
혹시 이에 관해서 설명해주실 수 있는 분 있나요?
7:22 에서 말씀하시는 수량크기, 방향크기, 거리크기 중에 방향크기를 이용하신 거 ㅎㅎㅎ
지난 학기 복소 해석학을 배웠는데 충격과 전율의 도가니였습니다.
쉬운 예로 복소수 f(z)=z가 미분 가능하더라도, 그 켤레 복소수 f(z)=bar{z}는 미분 불가능!!!😳
정말 신비한 분야이고, 코시와 리만의 위대함을 느낄 수 있었습니다.
수학을 좋아한다면 복소 해석학은 찍먹 해보기를 강추합니다!
심지어 i는 norm도 구할수가없네…
순허수는 비교가 불가하지민 복소수는 복소평면 덕분에 비교가 가능하다능…..
허수는 모든 책의 i를 -i로 대체해도 문제가 없음
실수처럼 절대적인 방향을 설정할 수 없다는 의미 같기도
저번에도 이주제로 영상 찍지않았나요 기억속에 뭔가 봤던거같아요
czcams.com/video/seYuDaowSQY/video.htmlsi=EqaLikrVoTn0DB2b
요거 말씀이신듯???? 주제는 다르지만 복소수와 복소평면에 대한 강의이긴 한ㅋㅋ
크기는 보통 공약을 곱해줘서 크기를 정하지 않나요 그렇게 생각하면 I
복소수체는 순서체가 아니라서.
1). 양수의 정의를 만족하는 복소수체의 부분집합이 존재할 수 없음.
2). A > B의 정의는 (A - B)가 양수에 속해있다는 것임.
=> 복소수체에는 양수가 존재하지 않기 때문에 그 어떤 허수도 다른 허수보다 크거나 작을 수 없음.
=> 복소수체는 순서체가 아니기 때문에 대소비교가 불가능함.
*양수 P의 정의(F의 부분집합)
a, b가 P에 속하면 a+b와 a*b도 P에 속함
전체집합 F = (P)U{0}U(-P), -P = {-a : a는 P에 속함}
*영상과 같이 복소평면을 통해 벡터공간의 놈을 구해서 크기를 비교할 수는 있음. 놈의 레인지는 실수체에서 정의되기 때문. 하지만 이는 엄밀히 말하면 복소수 간의 크기를 비교하는 것이 아님. 하지만 준선형사상이라 일방향적으로는 연산이나 여러 성질들이 잘 유지되어 유리하게 활용 가능.
크기에 대한 속성같은게 없어서 그런거라고 막연하게 생각했는데
대각선 길이 0 나올 때부터 읭? 함 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
결국 orthogonal 한 성질들 끼리는 크기 비교가 의미 없다로 이해되네요.
와
선생님 우선 질문드립니다. 0곱하기i는 왜 0이죠?? 사칙연산은 실수 외 에도 적용되나요? 복소평면엔 사칙연산으로 인한 모순이 생기는데, 왜 피타고라스정리는 우리가 아는 피타고라스 정리로 모순증명을 하는거죠..? 아니.. 저 제가 궁금한건 실수계 사칙연산으로 모순이 생긴다고 불가능하다고 정의할수 있는거에요??
0은 공집합이라
복소평면에서 사칙연산에 모순이 생기는건 허수의 크기 비교를 할 수 없기 때문인데 조건부가 i
복소수를 사칙연산이 가능하고 결합법칙 분배법칙이 다 성립하는 수 체계로 정의해서 그렇습니다. 실수와 다른 점은, 대소비교가 불가능하고 제곱해서 음수가 되는 수의 존재 여부 차이이지 실수와 성질이 거의 같습니다.
허수부가 같은 두 복소수 끼리는 일반적인 대소비교가 가능하지 않나요? (예시의 -1+i과 2+i), 실수도 허수부가 0 인 복소수이지만 대소비교가 가능하구요.
영상 내용으로 제 나름 설명을 해보자면 대소비교 정의를 한다해도 연산 성질 보존이 안되는 게 문제ㅋㅋ 양변에 i를 곱해보아용
@@user-be7of1xf7p순허수들ㅍ말곤 i 곱하면 다 안되지 않나요
@@user-gi1mj5zo2d 그러니까 복소수에 대소비교 정의를 넣는다 해도 연산 성질이 보존 안되는 게 문제라고여 ㅋㅋ
@@user-be7of1xf7p 아 대소비교는 되더라도 쓸모가 없다는 말씀이시네요 감사합니다
@@user-gi1mj5zo2d 영상 내용을 그냥 다시 말씀드린거 뿐이라 ㅋㅋ 천만에용
2번째거 ㅈㄴ궁금하네
왜의 아름다움
-1+i < 2+i 는 참인가요? 같은 허수부니까 실수부만 비교하면 된다고 생각이 들어요
실수가 아닌 복소수는 복소수 자체로 봐야 합니다. 물론 굳이 허수부가 같은 경우만 한정한다면 2+i가 더 크다할 수 있겠으나 이 경우는 지극히 작은 경우만 다루고 있으므로 수학의 생명인 확장성에 스스로 제약을 두는 관점이라 생각합니다. 당연한 얘기지만 두 복소수의 허수부가 같은 경우는 오로지 한 가지의 경우 뿐이고, 그 여집합은 무한하므로 의미가 없다할 수 있겠습니다.
@@Zeddy272 작은 조건이라 하더라도 참인 것이 맞다면, 의미 있게 쓰일 수도 있지 않을까요? 물론 복소수가 크기 비교가 안 된다고 알고는 있었습니다. 하지만 허수부가 같은 특수한 경우에 한하여 크기 비교가 가능하다면 어느 과정에서라도 증명에 사용할 수도 있겠다는 생각이 듭니다.
@@RainbowParrot 님의 말씀도 맞습니다. 하지만 허수부만 같은 두 복소수의 크기 비교가 어떤 활용성을 가질까에 대한 의문이라는 얘기입니다. 허수부가 같다는 얘기는 결국 실수 x 축의 평행선 밖에 되지 않고, 이는 다시 얘기하면 수직선과 같은 형태니까요.
그래서 복소해석학에서는 두 자체 수의 크기가 아닌 modulus라 해서 거리 크기를 비교합니다.
| -1 + i | = sqrt(2) < |2 + i | = sqrt(5)
이렇게 되고, 이는 복소수의 기하학적 성질을 이해할 수 있게 해주며 더 나아가 복소 함수의 극한과 연속, 코시 적분 등 아주 중요한 역할을 합니다. 😀
허수까지 언급하지 않더라도, 이미 음수 체계에서 크기 비교의 개념이 깨진다고 예시를 보여줄 수 있겠네요. 즉, 1*(-1) < 2*(-1)이 참이 아니듯이, 저 괄호에 들어가는 값이 양의 실수가 아니면 우리가 아는 단순 크기 비교는 정의될 수 없다는 것을 보여주는 조금 더 쉬운 예시이지 않을까 싶습니다. 따라서, < 비교는 양의 실수로 만들어 진 값(절대값, 크기값, 원점으로부터의 거리 등)에서만 사용 가능하다는 식으로 이야기를 이어가고요.
실수는 수직선 위의 모든 점과 일대일 대응이다. 따라서 수직선 위의 모든 점은 실수로 매길 수 있고, 수평의 수직선에서는 더 오른쪽 점에 대응되는 수가 왼쪽점에 대응되는 수보다 더 크다고 정의한다.
수직선의 모든 점은 실수와 일대일 대응이므로 허수는 더 이상 대응할 수 있는 점이 없다.
따라서 대소비교는 오로지 실수끼리만 정의되어 있고, 허수와 실수 간, 허수와 허수 간은 대소가 처음부터 정의되어 있지 않다. 그래서 대소비교가 불가능하다.
마찬가지로 수직선 상에서 원점으로부터 떨어져 있는 거리라고 정의하는 절댓값도 허수에 대해서는 의미없다.
l i l 같은 것은 사용할 수 없고, 쓴다면 다른 의미로 새로 정의하고 사용하게 된다.....
저는 아이들에게 이렇게 가르칩니다.
아쉽게도 허수와 실수는 일대일 대응이 된답니다^^
또한 허수의 절댓값 역시 복소평면 위에서 원점으로부터의 거리로 정의됩니다. 실수의 절댓값과 정확히 같은 정의죠
그러면 | 2i | >| i | 절대값 비교도 문제가 생기나요?
절대값이 뭔데요 ㅋㅋ
절댓값 비교가 영상에 나온 거리비교입니다.
걍 키와 몸무게 처럼 다른 카타고리로 보면 될 듯. 당연히 제곱은 무시하고
양변에 i를 곱하면, -1과 -2네요.....
라고 생각했는데 영상보니 크기 비교 자체가 불가하군요
허수는 가상의 수인데. 크기 비교가, 의미가 있나?!
실수면 몰라도 ...
아쉽게도 실수 역시 가상의 수랍니다. 실수를 실제로 존재하는 개념에 대응시킨다고 하더라도 허수도 대응시킬 수 있구요.
허수와 실수는 개념적으로 만들어졌을 때 실재와 허구를 가지고 정의한 것이지, 한쪽은 존재하고 한쪽은 존재하지 않는 개념이 아니랍니다.
3:25 ??? 세로 길이는 i가 아니라 1인데 왜 i로 계산하는지... 이게 설명에 맞는 예시인지도 모르겠고
7:22 에서 말씀해주신 세 크기중 '방향크기'를 이용한 넌센스인 거죠 ㅎㅎㅎ 수직선에서 -2보다 2가 크다고 하는 게 바로 방향크기의 예시인 건데 허수축이라고 해서 i나 2i같은 눈금을 수직선의 방향크기처럼 오판하면 안된다는 ㅎㅎㅎ
실수축으로만 이루어진 좌표평면이었으면 방향크기로 피타고라스 정리를 써도 문제가 되지 않아요 ㅎㅎ (-2,0)과 (0,2)사이 길이는 √{(-2)²+2²}=2√2 죠 근데 강의에서처럼 허수축의 눈금을 실수처럼 오판해서 (0,i)와 (1,0)사이 길이를 구해버리면 √(i²+1²)=0 ㅎㅎㅎ
그리고 님이 헷갈리신 게 바로 강의에서 여러가지 크기 중 일반적으로 복소수에 유의미하게 작용한다 설명해주신 '거리크기'인 거에요 ㅎ
궁금한 게 생겼지만 집안 어르신도 모르는 것 같습니다
만약 조금 말이 안되지만 서울대학교에서 경희대학교 같이 명문대라고 말하는 대학의 수학과와 계명대학교, 공주대학교, 금오공과대학교 같이 지방에 있는 (응용)수학과를 비교했을 때
수시나 정시 커트라인이 낮은 대학(지방에 있는)을 진학한다면 수학자로서 살기 위한 길에 방해가 될까요?
저는 정말 수학자가 되고 싶습니다.
저는 비록 수능 수학을 잘하지 못하지만 제가 동경하는 천재들의 업적의 일부라도 이해하거나 그 난제에 도전해 창의적인 답을 내고 해결하고 싶습니다.
답변을 해주신다면 정말 좋은 답이 될 것 같습니다. 감사합니다
P.S. 미래의 프로 수학자