인류는 e를 어떻게 발견했을까?
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- čas přidán 25. 08. 2023
- 자연상수 e는 수학과 과학에서 중요한 역할을 합니다. 약 2.71828로 시작하는 이 무리수는 자연 로그의 밑이며, 지수 함수와 로그 함수의 기본이 되어 이자율, 인구 성장, 복리 계산 등 다양한 분야에서 활용됩니다.
• blog : rayc20.tistory.com/321
• 교육 목적으로 영상 및 블로그 자료를 자유롭게 사용하셔도 좋습니다.
• 외주 및 광고 관련 문의는 받지 않습니다.
#자연 #수학 #이과 #상수
0:17 이자 계산
2:59 이름의 유래
3:55 로그의 역함수
5:59 로그의 치명적 한계
9:20 미분 방정식 f'=f
10:00 테일러 전개식을 이용한 exp(x)의 정의
10:50 무리수 e
12:27 오일러 공식
17:02 초월수 e
18:31 에필로그
![[지식in] e란 무엇인가? / [Eng sub] What is constant e ?](http://i.ytimg.com/vi/ELArhsyt4MA/mqdefault.jpg)
![[지식in] e란 무엇인가? / [Eng sub] What is constant e ?](/img/tr.png)
12:48 오류 정정
f=f' => f'=f'' => f=f'' (O)
f=f'' => f=f' (X)
f=-f'을 만족하는 함수도 f=f''임을 만족하므로 둘을 나누어서 설명하는게 맞는데 제가 뒤에 내용(f=-f'')에 집중하느라 영상에 필요충분조건이라고 적었습니다. 주의를 기울이지 못해 죄송합니다.
f=f'에서 한 번 더 미분하면 f'=f''이니까 결과적으로 f=f''이다 정도로만 이해해주시면 감사드리겠습니다.
f=f''를 만족하는 함수는 0함수가 아니라면 second-order linear ordinary differential equation에 따라 c_1 exp(x) + c_2 exp(-x)가 됩니다. 예로 sinh(x)나 cosh(x)등 있습니다.
간략한 설명은 아래 사이트를 참조해주세요 :)
wolfreealpha.gitlab.io/input?i=f%3Df%27%27&lang=en
항상 존경합니다... 오일러 항등식이라는 것을 처음 접했을때 그 증명과정이 정말 궁금했었는데 드디어 제 궁금증을 시원하게 긁어주는 영상을 찾은것 같아요 e^ix를 테일러 급수로 전개하는 방법을 이용해서 증명하는게 인상깊었습니다 앞으로도 좋은 영상 기대할게요
와 영상 너무 좋아요...! 수학을 너무 싫어해서 참다참다 결국 대학 때 수포자가 되고 말았지만, 이 영상 보니 설명 너무 잘 해 주셔서 내용이 제게 조금 어려워도 다시 영상 복습하면서 공부하고 싶어졌어요ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
이 내용을 이렇게 이해하기 쉽게 설명하시는 것도 레전드고 ....
이 내용을 쉽게들 이해하시고 댓글다시는 분들도 레전드...
너무 대단들
와... 이 주제를... 다루어주셔서 감사합니다...!!
클릭한지 2분만에 나갑니다
미적분 공부하면서 항상 궁금했는데 감사합니다 :)
공대 2학년생이 보면 굉장히 도움 될 내용이네요. e에 대한 다양한 이야기들 너무 재밌게 잘 봤습니다. 테일러니 오일러니 공부할 때 재미가 그렇게 없었는데 이렇게 보니 다른 매력이 느껴지네요.
거의 책 한권의 분량을 20분만에 깔끔히 정리해 주셨네요. 감사합니다. 존경합니다.
자연상수 e 에 대한 자세한 내용은 모르고 있었는데, 이 영상을 보고 이해가 깊어졌습니다. 쉽게 설명해주셔서 정말감사드립니다. 오늘도 지식 하나 얻어서 기분 좋은 하루를 보내게 되었습니다. 감기 조심하세요!
교수님의 이 영상을 보고 수학 교사로서 정말 많은 반성을 합니다. 학생들을 가르칠 때 저는 칠판판서만 생각했는데 이렇게 영상을 통해 직관적으로 보여주시니 학생들이 너무나도 이해를 잘 할 것 같습니다. 또한 수학에 대해 이렇게 깊게 이해하고 계시면서도 동영상 편집까지 하실 줄 아시니, 저는 지금까지 뭐했나 싶네요..... 또한 영상이 수학적 증명만 있는 것이 아닌 인문학적 스토리와 연계되는 것도 제가 전혀 생각하지 못한 부분이었습니다. 이렇게 좋고 재밌게 수학을 가르칠 수 있었군요. 저도 교수님처럼 영상을 이용해 학생들을 가르쳐 보고 싶다는 생각이 듭니다. 혹시실례가 안되신다면 4:36 에서 그래프와 x축 사이의 넓이가 채워지면서 그래프도 같이 그려지는 건 어떤 프로그램을 사용하신건지 알 수 있을까요? 또한 1:39 에서 정의역이 움직이면서 함숫값도 같이 변화하는 것은 어떤 프로그램을 사용하셨는지가 정말로 궁금합니다. 학교에서 수포자 학생들을 가르칠 때 정말 유용하게 이용할 수 있을 것 같은데, 이런 식으로 영상을 이용해 설명하시는 분은 교수님밖에 없으신 것 같아서 이렇게 질문드립니다.
다 geogebra 사용했습니다. 저도 수학교사입니다.^^
www.geogebra.org/u/raymath
제 지오지브라 저장소입니다. 자유롭게 사용하세요~
@@Ray수학 감사합니다!
멋져요
@@Ray수학역시 갓오가브라..
진정한 선생이 요즘 옶지.. 이런 열정으로 알려쥬는 쌤만 임용해야하는대
대학수학 처음 들었을때 생각나네요. 초반 부분은 쉬웠는데 극한의 엄밀한 정의부터 기하급수적으로 어려워지는....
자연상수 e 에 대한 자세한 내용은 모르고 있었는데, 이 영상을 보고 이해가 깊어졌습니다. 쉽게 설명해주셔서 정말감사드립니다. 오늘도 지식 하나 얻어서 기분 좋은 하루를 보내게 되었습니다. 좋은 영상을 통해 좋은 정보를 배워갑니다. 정말로 감사드립니다감기 조심하세요!
그동안 몰랐는데 이해하기쉽네요 감사합니다
유퀴즈에서 언급된 난제(?)
100^99과 99^100 크기비교는
레이수학님이 (1:58) 에서 언급하신 수열 a_n의 상계가 3임을 이용(2:18) 하면 쉽게 증명할 수 있지요😊
학교 다닐 적에는 e, log가 뭔지 5분만에 배우고, 바로 문제 풀이 들어갔던 거 같은데... 이렇게 영상으로 보니 재밌네요
중간에 놓쳤지만 스킵도 안 하고 봤습니다... 몰입력이 대단하신 것 같아요
2분까지만 이해했습니다 가던 길 가겠습니다 감사합니다
아니 이거 이해하면 진짜 개꿀 또로시인데 다시 재수강하세요
잠시만요! 인상이 선하신데 혹시 e를 아세요? 잠깐만 말씀좀 듣고 가세요ㅠㅠㅠㅠ
수학영상인데도 이해가 쉽게 깔끔한 영상 올려주셔서 매번 너무 잘 보고 있어요!! 혹시 영상편집할 때 쓰는 프로그램 뭔지 알 수 있을까요?? ㅎㅎ
fcpx 사용하고 있습니다^^
진짜 무릎을 탁 치게 하는 내용
2:44 a_n이 단조증가수열임을 보일때
앞서 2:09에서 언급하신 베르누이부등식
(1+x)^n >= 1+nx 는 x>-1에서도 성립하므로 x=-1/(n^2)을 대입(단 n은 1보다 큰 자연수)하면
a_n >= a_(n-1)인 단조증가수열이 됨을 쉽게 증명할 수 있을 것 같습니다❤
다루는 내용을 아는 사람이 보면 이분 영상 퀄리티가 얼마나 대단한지 알 수 있음
e 영상은 e과생e라면 한번쯤 봐야하는 영상e군요 잘 보겠습ㄴe다
좀 e인데
수학은 역시 문제풀이가 아니라 생각의 보고이다!!
유익한 영상 감사합니다 다음 영상 기대하고 있겠습니다 ㅎ
편수 준비중인데 맛있게 먹겠습니다~
가브리엘의 호른 다뤄주세요 ㅎㅎ
7:12 형 하고싶은 드립 말로는 다 참다가 조용히 배경에만 집어넣는거 너무웃겨 ㅋㅋㅋㅋ
1:17 2배의 이자를 연속적으로 준다는 게 무슨 의미인가요?
감사합니다.
한개의 강의에 해석학개론부터 복소해석학까지 다 들어있네요 ㅋㅋ
1:17에 식의 해석을 "두 배의 이자"를 연속적으로 주는 경우 라고 하셨는데 왜 두 배의 이자인건가요? 잘 이해가 안 됩니다.. 혹시 수학을 잘 아시는 분이 계시다면 설명해주실 수 있을까요?
복리로 받는 것이 아닐까요?
2:45
영상에서는 옳게 나왔지만 설명하는 말씀에서는 ‘a_n+1 이 0보다 크다’라고 실수 하셨네요. a_n보다 크다입니다.
늘 좋은 영상 감사드립니다!❤
e 너무 귀엽게 생겼어
ㄹㅇㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
...?
맞어
이과생들 정신차려
비슷한 단조로 사람의 수명도(*는 확대해석의 여지가 있을수도)
07:05 재밌네요
.
아, 어쩌다 이 영상에 도달했네요. 로그는 좀 기억나고 지수법칙은 기억나는데 미분, 적분, 극한 등은 기억이 ㅎㅎ.. 우함수, 기함수ㄷㄷ...
아는 사람이 보면 감탄할 만한 영상이네요
5:42 보니깐 이런저런 생각이 많이 듭니다.
가장 강렬하게 드는 생각은 2번째 조건이 많이 사기입니다. (지나치게 많은 정보를 담고 있고 나머지 조건이 보이지도 않을 정도로 강력합니다. )
사실, 2번째 조건을 제거하면 자연로그가 아닌 함수가 저 식을 만족할 수 있습니다. 그래서 영상에 포함한것 같습니다...
단, 연속성이 가정되면 (조건2 제외해도) 이걸 만족하는 함수는 자연로그가 유일합니다. 유도과정에서 미분을 하니깐, 이 영상에서는 이미 연속성보다 더 강한 조건을 가정한 셈입니다. (영상의) 유도과정에서도 조건2가 안쓰입니다. 즉, 자연로그를 얻는데 있어서 조건2.은 필요가 없습니다.
더 명확하게 관찰하기 위해서
g(x)=f(e^x) 라 정의하면
1.g(x+y)=x+y
2.g(ax)=ag(x)
3.g(0)=0
4. g가 0에서 미분가능 + g'(0)=1
으로 바뀝니다.
여기서 2번조건만 가지고도 g(0)=0을 얻고 (a,x에 0대입) 그리고 x에 1을 대입해서 g(a)=ag(1)을 얻습니다. 즉, 2번만으로 g는 0이거나 g(x)=g(1)x입니다.
즉 2번조건은 1번 3번조건을 포함합니다. 그리고 (f가 0이 아니라는 조건을 주면) 4번도 포함합니다.
즉 2번조건 + 0이 아니다를 만족하는 함수는 f(e^x)=g(1)x 만족, 곧 f가 자연로그 꼴일수밖에 없음을 의미합니다.
# **주의** 조건 1로 부터 조건 2가 얻어지 않습니다.
1번조건을
함수방정식(Cauchy's functional equation) 이라 부르는데 g(x)=ax가 아닌 해가 존재함이 알려져 있습니다.
# 조건 1,3만으로는 로그함수를 얻을 수 없습니다. (미분가능성 또는 연속성이 가정되어야 합니다.)
Cauchy 함수방정식의 특이한 해를 통해서 자연로그와 전혀 상관없는 함수 f(x)가 f(xy)=f(x)+f(y)를 만족할수 있다는 사실도 알게됩니다.
약간 오잉했던 부분을 확실히 긁어주시네 ㄷㄷ;;
g(x)=x인거에요?
숫자가 작을 때는 변동성이 크고 숫자가 커지면 변동성이 작아진다는 간단한 설명을 들어보니까
오일러와 양자역학의 관계를 추정할 수 있게 되는 듯 하군요
수학을 공부할 때 내가 천재가 아니라서 어떠한 노력이나 재능이 없어서 한계가 있다고 단정하고 포기하는 경우가 많은데
사실 우리일상도 로그함수처럼 막히는 지점에서 나의 관점과 생각을 지수함수로 완전히 바꿔야
어떤 벽이라고 생각했던 한계가 성장의 발판으로 삼을 수 있는 촉매로 작용한다고 생각합니다
성장을 지속하는 힘을 유지하는 것 그리고 성장의 한계를 느꼈을 때 지금까지의 관점을 완전히 바꾸어 새롭게 보는 것
이게 우리가 느끼는 천재성의 비결이라고 생각합니다
e는 실생활에서 정말 많이 쓰이죠
e렇게요!
0:20 e의 처음 발견은 베르누이보다 앞선 네이피어의 로그에서입니다. 네이피어의 로그는 자연로그함수의 함수값을 표로 정리했는데, 여기서 e의 근사값(자리값)이 처음 등장합니다. 물론 네이피어는 e를 특정하지 않고 단지 로그 변환표의 일부라고 생각했긴 합니다.
공식 처음 발견한 오일러는 얼마나 좋았을까
증명과정만 보고도 벌써 가버릴거같은데
ㄹㅇ 수학에 거의 문외한에 가까운 내가 봐도 대표적인 상수 다섯 개가 저렇게 이쁘게 모여서 관계 이루는 거 보면 왠지 모를 충족감이 느껴지는데 일반 사람들이랑 비교도 안 될 정도로 숫자를 사랑했을 오일러는 도대체 어떤 쾌감을 느꼈을까ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
뭐 들은 바가 있는 내용도 있고 아닌 것도 있는 거 같고.... 한번에 이해하기 정말 어렵다.... 과연 몇 번을 봐야 이해할 수 있을까? (근데 이해할 이유가 있을까 모르겠다....)
하수 : 어려운것을 어렵게 설명
중수 : 어려운것을 잘 설명
고수 : 어려운 것을 쉽게 설명
완벽하게 이해했어
우와 쌍따봉 wowee double thumbs up 😍😊
TMI) 특정 방언에서만 2와 E를 구분한다고 많이 알려져 있는데, 사실 표준어에서도 E는 장음인 성문 파열음(/ʔ/닫힌 성대가 열리는 발음)이 자음으로, 2는 단음인 모음만으로 소리가 남.
이는 기존 성문 파열음을 표기하던 여린히읗(ㆆ)이 현대 국어에서 사용되지 않기 때문
오
문과생 두두둥장
@@user-qf2eb5ob9e 아쉽게도 이과생입니다
첨언하자면 성문파열음의 존재로 인해 "일본 사람"(Japan)과 "일 본 사람"(Toilet)이 구분됩니다.
성문 파열음은 옛이응이 아니라 여린히읗으로 표기되지 않았나요
12:46 양변을 한 번 미분하면 f'=f⁽³⁾ 아닌가요?
우리가 구하고 싶은건 f=f''입니다.
그런데 우리가 아는건 f=f'이죠
f=f'을 미분하면 f'=f''이 되니까 f=f''은 지수함수인걸 알 수 잇는거죠. 약간 중간이 잘린 느낌이 잇네요
4:59 반복해서 더하는 과정이라고 해야 맞지 않나요?
진짜 대학가서 수학배우는데 배우면 배울수록 e가 말도안되게 신기함
동남 방언을 구사하는 문과생으로서 '2'과생을 'e'과생이라 하는 것을 용납할 수 없군요.
선생님 그래서 로그함수를 e로 어떻게 일차함수를 만들 수 있나요..?
원점에서 기울기가 1이 된다 까지 나오고 갑자기 다음으로 넘어가서 궁금증이 해결되지 않았습니다 ㅜㅜ
완벽하게 일차함수는 만드는 것이 아닌 (x와 y의 변화량이 같은) y=x를 만들기 위해 '밑이 어떤 수가 되어야할까?'가 자연로그 도입의 핵심입니다.
안타깝게도 곡선인 함수로 직선인 함수를 완벽하게 만들 수는 없습니다. (곡률이 서로 다른 곡선은 유일하게 정해지니까요.)
F(x)=log x
F'(x)=1
@@Ray수학음... 이해가안되는데요? (참고러 물리학과 출신임) ln(x+1) 미분하면 1/(x+1)이고 x=0일때 기울기가 1인건 당연한건데..
그건 그 x=0인 그.점에서만 기울기가 1인거고.. x가커질수럭 기을기는 줄어드는데, 어떻게 x와 y의 변화량이 같다는거임?
@@Ray수학어디에 근거가 있는 내용인가요?
대부분의 상황에서
입자가 움직이는 원리가 그녀석의 양 또는 농도에 비례하게 되는데
쉽게 말해, A가 많을수록 어떤 반응이나 현상이 일어날 확률이 높아지는건데요 (또는 반대로 소멸하게 될 확률도 높아집니다)
따라서 A의 변화율 A'은 A에 비례하게 됩니다(A'=kA or -kA) 이 방정식의 해가 y=ke^x 라서 자연에서 e가 왕왕 나오는 검니다 (사인 코사인의 복소표현에서 e가 나오는것과 상관없이 )
🐻❄️🐻❄️e과생은 아니고, 예체능 학과 출신이지만 초월함수에 대해 이렇게까지 깊게 알려주셔서 감사합니다.
로켓사이언스와 컴퓨터공학 초기 발달사를 공부하다보면 1960년대 아폴로 우주선에 항법용 컴퓨터(그 당시로는 최첨단이며, 폰노이만 구조이기도 하나 현대 ibm pc계열과 딱히 쉽게 호환 되진 않음, )에서 어떻게 수치적으로 삼각함수 값을 도출해 내는지 코딩된 내역(중요 국가 기록물이자 보물급)을 소개하는 웹페이지가 있었읍니다. 그 웹페이지에선 삼각함수라고 적혀있지않고 초월함수라고 적혀 있어서, '초월은 또 뭐야?! 수학 공부하기 힘드네' 싶었는데, 이번 기회에 더욱 자세히 배워가게 되네요..
사인 코사인 함수가 f=-f"을 만족하는 건 알겠지만 f=-f"인 함수가 사인 코사인 함수인 건가요? 그 부분도 증명해 주셨으면 좋겠습니다
f=f'에서 한 번 더 미분하면 f'=f''이니까 결과적으로 f=f''이겠죠.
f=-f''를 만족하는 함수는 0함수가 아니라면 second-order linear ordinary differential equation에 따라 c_2 cos x + c_1 sin x가 됩니다. 영상 말미에도 적었지만 증명 과정이 꽤 복잡합니다. (해석적 함수가 맞는지까지 확인하는 과정도 필요합니다) 그래서 전공 서적을 참고해주시기 바랍니다.
간략한 설명은 아래 사이트를 참조해주세요 :)
wolfreealpha.gitlab.io/input/?i=f%3D-f%27%27
선생님 궁금한게 있는데 초중고등수학은 지금 인류가 발견하고 다루는 전체 수학의 대략 몇퍼센트정도 될까요?
대학 수학이라 고등수학이랑 연관성 거의 없음 대학과정에서 합성함수미분 역함수 미분 이런거 해봤자 대학교에선 음함수만 봄
고등수학에서 가장 중요한거 뽑으라 하면.평균값 정리나 롤의 정리처럼 함수의 존재를 알 수 있게 해주는 정리나
역과 대우밖에 없음
@@user-lj8ev4it1f 제가 여쭤본거랑 전혀 다른 동문서답을... ㅠㅠ
5퍼센트도 안될것같네요
저도 5%도 안 될거라 생각합니다.
지금 대학교 1학년 학부생이라 대학수학 기초를 배우는데, 고등학교때 배웠던 미적 기하 확통 내용들이 다 섞여서 나오는 느낌을 받았습니다. "너네 이거 다 기본이니까 알지? 그걸로 이런것도 할 수 있다?" 라는 느낌이요.
그렇게 퍼져나가는 갈래들을 생각하면 초중고는 기초 of 기초들이라 5%도 많이 쳐준거라 생각해요. 괜히 중고등 교육을 묶어서 중등 교육 수준이라고 하는게 아니거든요.
음 제 질문은 약간 그런거였습니다. 그 배우는 양이나 시간 혹은 난이도라기 보다는 자연수에서 정수를 발견하고 유리수를 발견하고 허수로 넘어가고. 처럼 새로운 지평이 얼마나 더 있는지? 뭐 그런게 궁금하긴 했습니다. 저도 10년전에 부전공으로 수학을 했어서(물론 다 까먹음) 대수학 해석학 등 콤팩트 어쩌구 하면서 했던 기억은 있긴합니다. 초중고등은 뭐 증명의 깊이는 깊지 않을지라도 문제를 푸는건 또 다른 어려움이라 생각해서(초등 경시대회 문제가, 고등 미적분 기초 문제보다 풀기 어렵듯이요) 뭐가 더 어렵냐 이런걸로 비교할 것은 아니라고 생각하긴합니다.
이자율 계산할때 (1+1/n)^n 에서 왜 n승으로 들어가나요? 분기별로 나눠 받으면 단순 곱셈으로 가야하는데 왜 제곱이죠? 헷갈리네요
복리 라서 그렇습니다.
이자 줄 때 이미 받은 이자에도 이율이 적용되면 복리
처음 기준 설정된 원금에 대해서만 이자를 주면 단리
12:45
f=f''을 만족하는 함수는
f(x)=Ae^x 만 있어서는 안됩니다.
필요충분조건 표시를 하셨길래 지나칠 수는 없었습니다...
2계도 미분 방정식이니 초기조건 혹은 경계조건이 2조건이 있어야 완전한 미분 방정식의 해가 뽑히는 형태가 되야지요.
f(x) = Ae^x + Be^(-x) 같이
e^(-x)까지 포함된 e^x와 선형독립인 두번째 해가 뽑혀야 합니다.
좋은 영상에 초를 치는 것 같아 죄송하지만,
틀린 부분인 것 같아 의견 드립니다.
영상처럼 두 선형조합 해를 짝함수와 홀함수 쌍으로 잡는다면 sinh cosh 조합으로 잡으면 되겠군요.
하지만 영상에서는 f=f'=f''이라서 f(x) = Ae^x + Be^(-x)이면 성립이 안되는 거 같네요
@@future0610영상에서는 이 식을 변형하여 라고 말씀하셔서, 댓글 쓴 분이 잘 짚은 것 같네요
9:40에서 인테그랄 f’/t dt가 어떻게 ln |f| 나오는지 모르겠어요 알려주세요 ㅠ
ln x를 미분 할 경우 1/x가 됩니다. 이 원리로 ln f(x) 를 미분 할 경우엔 f'(x)/f(x)가 됩니다. 따라서 f'(x)/f(x) 를 적분 할 경우엔 ln lf(x)l가 됩니다 절댓값을 씌우는 이유는 진수>0 조건을 만족하기 위해서입니다 예를 들어 2x+1/x²+x+5 라는 분수식을 적분 할 경우 ln lx²+x+5l + C가 됩니다 고3 미적분을 아직 안배우셨다면 고3 미적분에서 배우게 될 겁니다 인테그랄 안에있는 식의 분자가 분모의 미분값이라면 ln l분모l로 나오게됩니다
@@HaeChanPark 너무 감사합니다! 더욱 정진 하겠습니다
@@HaeChanPark ln x 를 미분하는 경우 1/x 인건 알았지만 그 원리가 ln x 를 미분하는것이 x’/x이어서 1/x 인지는 몰랐네요 도움 많이 됐습니다👍
@@user-zq8nv5jw9b겉미분 속미분 개념으로 생각 해주시면 좋을거 같습니다!
5:42 에서 함수가 유일하다는건 어떻게 알 수 있나요?
윗댓에 있음
이에 E승, E에 이승, 이에 이승, E에 E승
연속복리 배울때 e가 여기서도 나오는구나 했는데 여기서도 나오는게 아니라 이게 시초인거였군요
완전 e 종합체 영상이네 ㅋㅋㅋ
지식채널 e 인 줄 알고 눌렀는 데, 잘못 봤네요.... 뒤로 가보겠습니다 선생님....
e^x은 미분해도 그대로, 적분해도 +c만 붙을뿐.. 난 이런 어떠한 상황에서도 변치 않는 사람이 좋더라.
6:14 차이가 클수록X 높은수로 갈수록O 차이는 적게 나타난다
오일러 사랑합니다...?
미적분에서 최고의 상수.... 진짜 개쩌는거 같아
다음 영상으로 음수와 0이 왜 허수가 아닌지 설명해주세요😅
미적 처음할때 기억나네 2랑 e 계속 잘 못적었는데
y=ln x가 대체 어떤면에서 y=x랑 비슷한거죠?😅
대수적으로는 그렇다 쳐도
y=ln x는 여전히 곡선인데요😅
12:45교수님 이 부분이 왜 당연한 건가요? f=f''에서 양변을 미분하면 f'=f'''일 뿐인거 아닌가요?
대표적인 지수함수 e^x는 무한히 미분해도 자기자신이 나오므로 그 의미인듯 합니다.
당연한게 아니고 걍 내용 오류입니다. 수학 유튜브랍시고 정확한 내용 알려주는 채널 거의 없어요. 논법이 틀렸네요.
f=f' => f'=f'' => f=f'' (O)
f=f'' => f=f' (X)
반례로 sinh등이 있습니다.
다른 댓글에 추가 설명을 적긴했는데 제가 잘못 설명한 듯합니다. 내용 정리해서 고정댓글로 작성해두겠습니다. 지적해주셔서 감사합니다.
exp(x)가
f=f’ 이고
미분하면 f’=f” 이 성립하고
f=f’=f” 을 성립하므로
f=f”을 만족하는 함수가 exp(x) 라는걸 설명하시려다 순서가 꼬이신거 같네요.
윗 댓글님 말씀대로 sinh(x) 처럼 f=f”을 만족하는 함수는 exp(x) 뿐만은 아닌것 같습니다!
그런데 sinh 나 cosh도 결국엔 e^x와 e^-x의 선형합으로 이루어진 함수이니, f=f" 이라는 미분방정식의 해는 근본적으로(?) exp(x)라고 볼 수 있지 않을까요?
푸리에는 오일러의 제자인가요
형 그럼 다음 영상은 pi 인거야?
내용은 잘 모르겠지만 2와e의 발음을 똑같이 하신다는 것만 알아듣겠어요,...
열심히 설명해주셨는데 죄송합니다.
대수학 오랜만
EBS 지식채널 e에 나올만한 내용이군요
1분 38초까지만 이해감 ㅜㅜ
변화량의 변화량
나의 한계는 여기까지인가 보오... 1:59
익스포덴셜을 다루는 e과
기하를 하는 e과생은 어떡하죠?
새로운 자장가
수학은 너무 재미있지만 그만큼 또 너무 어려워~
e 랑 2 가 진짜 억양이 같나요??
이상하다, 분명 처음에는 친근한 알파벳이었는데...
12:45 이해가 안가는게
f=f''을 미분하면 f'=f"'이 되는거 아니에요? 수학고수분 해설좀 ㅜㅜ
f=f’
f’=f’’
f=f’’
아닐까요
고등학교 때 이런 유튜브가 있었으면, 나는 수학과를 갔을 듯... 😅
미국에서 만들었겠죠
안배우고 자연스럽게 깨닳았었던 기억이있음
부러운머리...
4:57 이부분이 와닿지가 않는데 추가설명 부탁드립니다
t+1=t(1+1/t) 요건 좌변을 t로 묶으면 나오는건데 다르게보면 t가 1만큼 증가했다=t에 (1+1/t)를 곱햇다라고도 볼 수 잇는거죠 t가 계속 증가하면 (1+1/t)를 계속 곱해야하는거고요.
0:28 원금의*
영어e 숫자e ebs e 자연상수 e
마스터 e
좋아요
안녕하세요
문과입니다.
죄송합니다
안녕히계세요.
40줄.. 고등학교내 누구도 안가르쳐줘소 항상 의문이얐는데.. 들어도 잘모르겔네요 ㅋㅋ
*_2의 2승 2의 e승 e의 2승 e의 e승_*
e렇게 발견했을겁니다!
복소평면에서 두 변의 길이기 각각 i와1이면 빗변은 0이되는 직각삼각형을 만들수 있을까요?
복소평면에서 허수 i를 허수축에 절댓값이 1인 백터의크기로 표시를 한다면 복소평면 위에 빗변의 값이 루트2인 삼각형을 그릴수 있습니다. 하지만 복소평면 외에서는 빗변이 0이 되는 삼각형이 되므로 삼각형이 존재하지 않아요