Beschränktes Wachstum mit e-Funktion - Textaufgaben
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- čas přidán 29. 06. 2024
- Beschränktes Wachstum e Funktion
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man die Funktionsgleichung aufstellen kann beim begrenzten Wachstum mit einer e-Funktion. Wir bestimmen die Schranke und lösen die Exponentialgleichungen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Beschränktes Wachstum
0:31 Aufgabe a) Funktionsgleichung aufstellen
5:11 Wachstumsfaktor bestimmen
8:40 Aufgabe b) Zeit berechnen
11:48 Aufgabe c) Graph zeichnen
15:04 Bis zum nächsten Video :)
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Wie kann sich nur so eine kluge Frau den Klimaterroristen anschließen?
Klimaschutz geht anderst.
Mehr solche Aufgaben bitte und danke 👍
Einfach Super und realistisch.
Hallo Susanne, sobald Einheiten (Physik) in den Aufgabe eine Rolle spielen, geht ganz klar eine Empfehlung einher, die Einheiten mit in die Rechnung aufzunehmen. Einmal ist es eine gute Kontrolle darüber, ob das Endergebnis stimmig ist und zum anderen ist es eine gute Vorbereitung auf Physik, denn in Physik ist es ein Muss, Einheiten mit in die Rechnung einzubeziehen.
In deinem Beispiel ist es nicht so kritisch, weil hier reine Einheiten und keine zusammengesetzten Einheiten wie Geschwindigkeit oder Dichte vorkommen. Aber empfehlen würde ich es trotzdem.
Sehe ich auch so. Ist aber vom Schreiben immer so nervig.
Richtig wichtig wird es, wenn unterschiedliche Einheiten vertreten sind. Z.B. Geschwindigkeit in m/s aber Weg in km. Oder wenn man SI-Einheiten aufloesen muss.
@@kaltaron1284Mathematik ist ja in der Physik das wichtigste Handwerkszeug und es ist nicht nur meine Meinung, sondern auch Erfahrung, das man in der Mathematik schon damit beginnen sollte, Einheiten mitzunehmen.
Das Rechnen mit Zahlen und Buchstaben ist ja eigentlich schon eine Vorstufe dazu und sollte konsequent weitergeführt werden, damit sich die Schüler innerlich darauf vorbereiten können.
Spätestens bei der Integralrechnung geht es ja auch um Volumina und Flächen.
Susanne ist in ihren Videos großartig und geht wirklich alles in den kleinesten Schritten von der Aufgabenstellung bis zur Lösung durch, aber in letzter Konsequenz fehlt mir persönlich dann dieses Tüpfelchen auf dem "i", sobald Einheiten auftauchen.
@@ralfurban8165 Gehe ich voll mit. Wenn man so will, sind ja physikalische Einheiten auch nur Variablen, die als Multiplikator in der Formel drin sind.
Einheiten _immer_ mitnehmen. Auch im vorliegenden Beispiel ist das wichtig. Stell dir vor, du hast die Funktionsgleichung wie hier dimensionslos angegeben und misst die Auftauzeit in Sekunden oder Stunden. Da kommt doch beim Einsetzen nur Unsinn raus 🙃
Zumindest sollte beim Endergebnis für k stehen: k = 0,00661 min^1
sehr schön! Kulinarische Realität mathematisch erklärt.
Bis die Lasange auf 20° C aufgetaut ist bin ich längst verhungert.
Das Ding muss ich ja noch backen bevor ich es essen kann.
Gute Diätmethode 🙂
Der Asymptote muss ja tot sein, weil er nichts gegessen hat.
Cooles Video.
Erst einmal vielen Dank für deine tollen Videos. Du erklärst die Rechnungen immer fantastisch. Ich würde mich freuen, wenn du zukünftig bei der Vorstellung der Aufgabe einordnen würdest, was für ein Niveau das ist. ich möchte nächstes Jahr die Fachhochschulreife nachholen und weiß oft gar nicht, auf welchem Schulniveau die Aufgaben sind. Beste Grüße.
Das hat mir zur Schulzeit und Studium immer gefehlt. Aufgaben die ihre Anwendung in der Realität haben.
Ich habe nichts davon irgendwelche Matrizen bspw. zu rechnen wenn ich zu Beginn kein relalistisches Beispiel erhalte.
Das motiviert einen.
Herzlichen Dank für diese Aufgabe der Anwendung der e-Funktion 😃🙏
a) Wenn man die Werte einsetzt bekommt man die Gleichung: B(t)= 21-36*e⁻ᵏᵗ
B(15)= -11,6 C°, wenn man diesen Wert einsetzt, bekommen wir:
-11,6= 21-36*e⁻¹⁵ᵏ-32,6 = -36*e⁻¹⁵ᵏ
0,9055= e⁻¹⁵ᵏ
k= ln(0,9055)/(-15)
k= 6,62*10⁻⁰³ 1/min, oder auch:
k= 0,0062 min⁻¹
Grrr. Ich wollte das nachprüfen. Nach 4 Stunden hatte die Lasagne 37°C und befand sich Magen meiner Katze. 🙂 In Zukunft kommt das Ding in die Mikrowelle, 5000W dann ist sie nach 3 Minuten fertig. Nur selber essen macht fett 🙂
Sehr schön gelöst! Ich hätte jeden einzelnen Rechenschritt genauso gemacht (hatte erst kürzlich Exponentialfunktionen wieder im Unterricht dran. Sofern es da keine Grenztemperatur gibt, verwende ich meist den Ansatz y(t) = a * b^t mit a = Anfangswert und b = Basis).
Nur die Exponentialkurve ist noch etwas wackelig; die würde ich nochmal nachzeichnen, damit sie schön glatt wird :-)
Sehr interessant ln Funktion👍
Teil B ist unlösbar, wenn Garfield in der Nähe der Lasagne ist, denn dann ist sie schneller in der Mikrowelle als du "tiefgefroren" sagen kannst. ;)
😂
Wunderbar hast du das erklärt und vorgerechnet. Mit Lasangne kann meine Enkelin sehr gut ihr Abi schaffen, da schmeckt Mathe😂
Jetzt weiß ich wieder, warum ich in der Schule den Spaß an Mathematik verloren habe.
So viele komplizierte Zahlen - ohne Fehler "beisammen" zu halten.
Respekt für Deine Mühe und Mühelosigkeit.🏆🏆🌷🌷
Hab heute dank deinen Videos 10 Punkte im mündlichen Mathe-Abi erreicht 🙏🙏🙏
Wow, sehr gut gemacht!! 😍
Vorausgesetzt, die Temperaturverteilung innerhalb der Lasagne wäre homogen bzw. die Lasagne punktförmig. Nein aber im Ernst, schöne Aufgabe. Kulinarische Mathematik. 😎👌🏻
Hi Susanne, mathematisch korrekt, physikalisch falsch.
1.
Bekomme ich das gleiche Ergebnis, wenn ich in Kelvin (Skala nur verschoben) oder in Fahrenheit (Skala mit anderem Faktor) rechne und anschliessend wieder in ° Celsius umrechne? Rein logisch müsste das so sein.
2.
Es gibt eine (sehr geringe) Wahrscheinlichkeit, dass Wasser in einem Topf auf einer heissen Herdplatte einfriert, wenn alle Wassermoleküle ihre Bewegungsenergie nach aussen abgeben. Dann wirds in der Küche wärmer.
3.
de.wikipedia.org/wiki/Mpemba-Effekt
4.
9 Stunden Auftauzeit - da sagt die Hausmännerphysik etwas anderes, das geht schneller.
Ich liebe deine Videos, du hast ein wunderbares Talent, mathematische Probleme zu erklären. Ich bin 63 und Diplom-Informatiker. Von daher mein Wunsch: streu doch auch mal äusserst anspruchsvolle Aufgaben rein. Zum Beispiel den Beweis der Riemannschen Vermutung (duckundweg).
Zu deinem 1: In diesem Fall wäre die Verwendung der Kelvin Skala zum selben Ergebnis gekommen, aber das war nur "Glück". Grundsätzlich sollte man Grad Celsius immer in Kelvin umrechnen. Zum Beispiel bei der Frage "was ist halb so warm wie Null grad (Celsius) kaltes Eis?", kommt man mit der Celsius Skala nicht wirklich weiter.
Zu 2: 2. Hauptsatz der Thermodynamik verletzt. Klar, ist nur ein (Haupt)Satz und keine Gesetz, aber die Wahrscheinlichkeit ist doch eher infinitesimal gering ;)
zu 4: Ja, absolut, insbesondere bei hoher Wärmekapazität des umgebenden Mediums (z.B. Wasserbad anstatt Luft)
Herzlichen Dank für diese Frage aus der Anwendung der e-Funktion 😃🙏
a) Wenn man die Werte einsetzt bekommt man die Gleichung:
B(t)= 21-36*e⁻ᵏᵗ
B(15)= -11,6 C°, wenn man diesen Wert einsetzt, bekommen wir:
-11,6= 21-36*e⁻¹⁵ᵏ
-32,6 = -36*e⁻¹⁵ᵏ
0,9055= e⁻¹⁵ᵏ
k= ln(0,9055)/(-15)
k= 6,62*10⁻⁰³ 1/min, oder auch:
k= 0,0062 min⁻¹
b) Wie lange dauert es, bis die Lasagne auf die 20 C° erwärmt wird ?
B(t)= 20 C°, die anderen Werte, somit hat sich die Gleichung nicht verändert.
Wenn man versucht eine Gleichung für die Zeit-t zu definieren, bekommen wir:
B(t)= S-(S-B₀)*e⁻ᵏᵗ
B(t)-S= -(S-B₀)*e⁻ᵏᵗ
B(t)-S= (B₀-S)*e⁻ᵏᵗ
ln(B(t)-S)= ln (B₀-S) -kt
-kt= ln(B(t)-S) - ln (B₀-S)
kt= ln [(B₀-S)] - ln(B(t)-S)
kt= ln [(B₀-S)/(B(t)-S)]
t= ln [(B₀-S)/(B(t)-S)]/k, ist die Lösung für alle gesuchten t Werte !
B₀= -15 C°, B(t)= 20 C, S= 21 C°
t= ln [(-15-21)/(20-21)] / 0,0062 min⁻¹
t= 541,32 Minuten
t ≈ 9, 02 Stunden sind nötig, um die Temperatur von 20 C° zu erreichen.
c) Für die Grafik wenn man für diverse t Werte (0 ≤ t ≤ 660 Min) die B(t) Werte Berechnet:
B(t)= 21-36*e⁻ᵏᵗ
B(60)= 21-36*e⁻⁶,⁶²*¹⁰⁻⁰³ *⁶⁰ ⁽ᵐᶦⁿ⁻¹*ᵐᶦⁿ⁼ ¹⁾
B(60)= -3,20 C°
B(120)= 21-36*e⁻⁶,⁶²*¹⁰⁻⁰³ *¹²⁰
B(120)= 4,73 C°
B(240)= 21-36*e⁻⁶,⁶²*¹⁰⁻⁰³ *²⁴⁰
B(240)= 13,65 C°
B(360)= 21-36*e⁻⁶,⁶²*¹⁰⁻⁰³ *³⁶⁰
B(360)= 17,7 C°
B(480)= 21-36*e⁻⁶,⁶²*¹⁰⁻⁰³ *⁴⁸⁰
B(480)= 19,50 C°
B(540)= 21-36*e⁻⁶,⁶²*¹⁰⁻⁰³*⁵⁴⁰
B(540)= 19,99 C°
B(660)= 21-36*e⁻⁶,⁶²*¹⁰⁻⁰³*⁶⁶⁰
B(660)= 20,54 C°
Somit nähert sich die Temperatur der Lasagne zu der Zimmertemperatur (Asymptote) bei t= t∞
EHRENAMTLICH
Danke Susanne - für diese wahrlich realitätsnahe Aufgabe.
Habe ich die übrig gebliebene Lasagne in nicht zu dicken Stücken eingefroren, reichen bei Zimmertemperatur (18°C) zwei Stunden Auftauen auf > 3°C für die schnelle Mahlzeit aus der Mikrowelle mit Grillfunktion:
B(t) > 3°C => 3 < 18 - 33 e ^ (- 0,00661t) => 15/33 > e ^ (- 0,00661t) => ln(15/33) > - 0,00661t => t > 119 min .
Jetzt aber fluchs zur Gefriertruhe - dann gibt's heute Mittag Spinatlasagne... Guten Appetit
Schöne Aufgabe. So lange kann ich aber nicht auf die Lasagne warten 😆
Zumal sie beim Essen auch mehr als 21°C haben soll; gesegnet sei die Erfindung des Backofens! 😋
Danke, jetzt hab ich hunger :D
Haha, sorry! 😅
Erstmal von der Zeit die Konstante ausrechnen und dann umgekehrt, prima!
Mathematisch korrekt, physikalisch aber nicht - denn beim "Schmelzpunkt", also irgendwo bei 0°C, je nach Salzgehalt, geht die aus der Umgebungstemperatur gezogene Energie erstmal nicht mehr in die Erwärmung, sondern in den Schmelzvorgang. Die tatsächliche Zeit sollte also länger sein. (Der Fehler liegt aber in der Aufgabenstellung, nicht in der Lösung.)
das war auch mein erster gedanke,
mE müsste man auch den wärmefluss innerhalb der lasagne in betracht ziehen.
@@kunoSchlonz Stimmt, aber dann würde es sicher etwas komplexer als eine e-Funktion. Vielleicht bezieht sich die Aufgabe auf eine "punktförmige Lasagne" 😁
wärmeleitung, volumen, masse …
Viel zu oft werden physikalische Gleichungen in Situationen benutzt wo die Randbedingungen nicht erfüllt sind. Phasenübergang, schlechte Wärmeleitung innerhalb der Lasagne, schlechte Wärmeleitung der Raumluft, etc. Diese Gleichung vernachlässigt all das und gilt nicht universell.
@Politik und Wissen hihi, ja, das war auch eher eine Anspielung auf die Aufgaben im Physikunterricht, wo es zum Zweck der Vereinfachung immer hieß: ein punktförmiger Körper im Vakuum...
Mahlzeit 😋 jetzt habe ich Hunger bekommen 😊
Interessante Aufgabe 👍
Ändert sich nicht die Wärmekapazität bei der Änderung des Aggregatzustands 🤔
Ich kenne so etwas aus meinen Berufsleben wenn wir Kupferleiter bei bestimmten Lasten und Temperaturen berechnen müssen ,da ist ein Temperatur Unterschied nicht Linear.
Bleibt gesund und habt viel Spaß 🤘
Ich bin nicht sicher, was genau du meinst. Aber eine e-Funktion ist auch nicht linear? Anfangs gleicht sich die Temperatur noch schneller an, weil der Temperaturunterschied höher ist. Je geringer der Temperaturunterschied, desto langsamer schreitet die Temperaturangleichung voran. Natürlich ist das aber sehr vereinfacht in dieser Aufgabe und du hast z.B. keinen Einfluss von ggf. schwankendem (Luft-)Druck mit einberechnet.
@@Kirmeins Moin
Damit hast Du wohl recht ,Wahrscheinlich habe ich da etwas nicht richtig verstanden .
Aber mega ,das Du mir das so erklärt hast 👍
Susanne hat echt die Besten Zuschauer 👍
@@KirmeinsAus der Zunahme der Temperatur im gefrorenen Zustand zu extrapolieren wie die Zunahme aufgetaut verläuft ist sehr optimistisch, da am Schmelzpunkt um Null Grad herum die Energieaufnahme über die Zeit evening die Temperatur erhöht, sondern die Kristallstruktur z.B. des enthaltenen Wassers aufbricht. Das hat mit der Nichtlinearen e-Funktion nichts zu tun.
Die Gleichung gilt nicht wenn es unterwegs einen Phasenübergang gibt. Für einen Eisenklotz wäre die Rechnung richtig, für eine Lasagne die hauptsächlich aus Wasser besteht eher nicht.
Ich hätte eine Bitte. Könntest du einmal die Kelly-Formel zur Berechnung von Börsenschwankungen erklären und wie man sie bei der Berechnung im Kryptohandel anwenden kann. Vielen Dank im Voraus.
Da hat sich Susanne wieder richtig ins Zeug gelegt. Ach, unsere Lieblingsmathematikerin...
Ich löse immer so auf: die Lasange in die Mikro, ERHITZEN einstellen. Wenn man t lang genug gewähren lässt,
sind die Schlachtabfälle ausreichend heiß. Ansonsten etwas abkühlen lassen.
Nur so als Tipp. ;)
Guten Morgen Susanne. Welcher Schulklasse in welcher Schule würdest Du diese Aufbabe zuordnen? Ganz lieben Dank für Deine Arbeit. 🤩🤩
Guten Morgen Ben, das wird meines Wissens normalerweise erst in der Oberstufe durchgenommen. 😊
@@MathemaTrick 🤩
Geholfen hat es mir nicht mehr, aber sehr interessant diese Aufgabe.
Hallo Susanne,
Ich finde deine Videos Mega und sehr informativ und lobenswert! Ich habe eine Frage und zwar verstehe ich nicht ganz warum man die -36 geteilt rechnet um auf die andere zu bringen, da ja das Mal Zeichen vor den e steht und nicht vor der -36 ??? Müsste man nicht dann +36 rechnen ?
Lg
Can
Bei solchen aufgaben fragte ich mich immer ob ich jetzt Textverständnis oder Mathematik lerne lol
Anstatt mit k rechnet man in der Technik gerne mit dem Kehrwert von k und bezeichnet ihn mit dem griechischenTau. Hier wäre Tau = 151,2 Minuten. Man weiß dann, dass nach ca. 5 Tau der Vorgang abgeschlossen ist, und die Aymptote praktisch erreicht wurde.
Jetzt hab ich Hunger auf Lasagne
Endlich mal wieder etwas einigermaßen anspruchsvolles und sogar nützlich im Alltag. 😉
Die Lasagne hätte ich nach zwei Stunden in den Backofen gestellt.
Bei wie viel Grad und wie lange?
@@ramkuse7810 S = 120°C müsste reichen, wenn eine obere Kruste bereits vorhanden ist. Leider habe ich kein k und muss nachsehen, wann es leicht blubbert. Dann reicht's mit Backen.
Nützlich im Alltag?Wenn die Lasagne nur bei minus 15 Grad eingefroren war sollte man sie lieber nicht mehr Essen.
@@maddin9703 Sehr ängstlich.
@@popogast na dann stell die Gefriertruhe auf minus 15 Grad.
Susanne ist cool asf !
Verläuft das Auftauen bei konstanter Temperatur nicht linear? Und dauert das Tauen bei 0° dann nicht länger, weil zum Aufbrechen der Gitterstruktur des Eises mehr Energie (Gitterenthalpie) benötigt wird als zum Tauvorgang davor...?
Den Aggregatzustandsuebergang mal ausser Acht gelassen, geschieht der Transfer bei deutlich unterschiedlichen Temperaturen doch schneller als wenn sie sich wenig unterscheiden.
Im Gegensatz zur Beispielformel stellt sich aber trotzdem ein thermisches Gleichgewicht ein, da ja auch die (unmittelbare) Umgebungstemperatur abgesenkt wird.
Kurz gesagt, das hier ist reine Mathe keine Physik.
Danke, sehr schöne Aufgabe, und wie ist das bei Steaks?
Das hängt davon ab, ob sie noch Bestandteil des Schweins sind, oder schon auf dem Grill liegen.
❤❤
Zum ersten Mal muss ich an der ausgewählten Aufgabe (nicht an Susanne) Kritik üben. Vom begrenzten exponentiellen Wachstum spricht man in der Praxis ja eher dann, wenn ein über lange Zeit (fast) exponentielles Wachstum mit positivem Exponenten schließlich (z.B. durch sich erschöpfende Ressourcen) in einen anderen (nicht mehr exponentiellen) Verlauf übergeht. So ist z.B. das zahlenmäßige Wachstum von Lebewesen (Bakterien, Menschen, Aliens) so lange exponentiell, wie der Kultur eine bestimmte Menge an Nahrung(Energie) und Lebensraum je Individuum zur Verfügung steht (k=const). Geht mindestens eines davon zur Neige, also verändert sich k allmählich, dann sieht die Kurve nicht mehr nach einer Exponentialfunktion aus. Bei einem Gegenstand der aus dem Kühlschrank genommen wird geht das exponentielle Wachstum der Temperatur aber nicht irgendwo bei 15, 20, 20,9 oder bei 20,995 Grad in einen anderen Verlauf über, auch nicht bei 21, die werden ja niemals erreicht (negativer Exponent). Ich habe bewusst nicht geschrieben, dass das Wachstum ewig andauert, da der sich immer mehr verringernde Temperaturanstieg irgendwann nicht mehr praktisch nachweisbar ist. Selbst bei sehr konstanter Raumtemperatur und utopisch exaktem Thermometer würde der exponentielle Temperaturanstieg der Lasagne nach irgendwann im Quantenrauschen untergehen (nach einem Jahr?). Diesem Vorgang möchte natürlich niemand beiwohnen. Für Mathematiker hingegen hat der Vorgang kein Ende nur eine Schranke. Meinen zweiten Kritikpunkt hat schon @RalfZwanziger abgehakt. Lebensmittel die Wasser, Salz und Fett enthalten, haben durch verschiedene Phasenübergänge (fest/flüssig) einen sehr "unordentlichen" Erwärmungsverlauf, der sich auch nicht annähernd durch einen Messpunkt (Temperatur nach 15 Min.) vorhersagen lässt.
Schöne Aufgabe, danke dafür!
Vorschlag: Die Aufgabe bietet sich an, auf "signifikante Stellen" einzugehen. Z.B. für den Wert k erscheint die Forderung nach "5 Nachkommastellen" ziemlich willkürlich, wenn führende Nullen enthalten sind. 3 "signifikante Stellen" erscheint mir eindeutiger und allgemeingültiger. Umgekehrt kann man den Sinn hinterfragen, wenn man aus einem Zwischenwert mit 3 signifikanten Stellen (k = -0,00661) ein Endergebnis mit 5 signifikanten Stellen (t = 542,14) berechnet. Mit k = -0,00662 ändert sich das Ergebnis t = 541,3 nämlich auch schon an der 3ten Stelle.
Hey wie soll den 0,00662 passieren?
Bei 7 Stellen hinter dem Komma ist die Zahl
0,0066137
@@patsauregurke4131 0.0066137 hat aber auch nur 5 signifikant Stellen. Die führenden Nullen zählen nämlich nicht mit.
Wenn man erst am Schluss die Zahlen einsetzt, so lautet das Ergebnis 30 * ln(6)/ln(180/163) = 541.8264202...
@@patsauregurke4131 k=-0,00662 soll nicht passieren, aber zeigen, dass eine Änderung an der (gerundeten) 3ten Stelle von k auch eine Änderung an der 3ten Stelle von t bewirkt (jedenfalls ungefähr).
Es ist nützt also nichts, t auf 5 Stellen genau anzugeben. Die letzten beiden Stellen sind so etwas wie der Sekundenzeiger bei einer billigen mechanischen Uhr: Sieht genau aus, ist es aber nicht.
Übrigens ist es genauso bei PolitikerInnen, die mit Zahlen wie 51, 73% um sich werfen: Die wollen nicht genau sein, sondern kompetent erscheinen...
@@patsauregurke4131 Ein besseres Gefuehl fuer das Thema bekommt man vielleicht, wenn man es sich mit physikalischen Einheiten vorstellt.
Ein Ergebnis mit einer bestimmten Genauigkeit an signifikanten Stellen behaelt diese, egal ob ich es in km oder mm angebe. Die Anzahl der "normalen" Stellen und Nachkommastellen untescheidet sich aber ein klein wenig.
Physikalisch gesehen enthält die Angabe genau zwei Stellen('zählende Ziffern'), daher kann das Ergebnis nicht genauer sein. Wobei k nur ein Zwischenschritt ist, den ich so genau wie möglich lassen würde. Das 'Einkürzen' auf die zwei Ziffern würde ich dann erst beim Ergebnis (d.h. der Zeit) machen.
Wann brauche ich die zweite Ableitung ? Also bei welcher Art Aufgabe weiß ich das ich die zweite Ableitung brauche ?
Kurvendiskusion, Extrempunkt und Wendepunkte. Gibt hier auf dem Kanal ein paar Beispiele.
Oder in der Physik um von einer Zeit/Weg-Funktion auf eine Beschleunigungs/Zeit-Funktion zu kommen.
Wird die Lasagne mit einem Rührstab zermatscht, oder woher weiß man die mittlere Temperatur der ganzen Lasagne?
Eine interessante Aufgabenstellung 😃 Wobei ich seitens des Aufgabenerstellers das Beispiel mit der Lasagne etwas unvorteilhaft finde weil der reale Auftauvorgang doch ganz anders aussieht, wenn die Auftautemperatur erreicht ist bleibt die Temperatur ja nahezu konstant bis die Soße geschmolzen ist. Sorry, mein innerer Monk kann sich nicht zurückhalten 🤣
Woah, wait! Woher weißt du das so genau? Wie hast du es geschafft, einer Lasagne 9 h lang beim Auftauen zu beobachten und dabei regelmäßig die Konsistenz zu überprüfen, ohne schwach zu werden und sie in den Ofen zu stecken? :O
@@Kirmeins Solange sie noch nicht gebacken ist kann ich mich bremsen.
Hmmm, meine unmathematische Lösung:
Aufgetaut 30 min bei 180° bei Umluft.
Gefrohren: 35 min bei 180°, ebenfalls bei Umluft.
Gerne vor dem Backen noch etwas frischen Oregano drauf.
Zum Essen ein dunkles Hefe.
Gruß aus Belgien
Eine sehr interessante und gut gelöste Aufgabe. Jedoch gibt es einen kleinen Fehler - die Asymptote : 21°C werden erreicht, eine Asymptote aber niemals geschnitten, sodass diese theoretisch bei >21°C liegen muss 😊
Ihren Einwand verstehe ich nicht. 22 Grad Celsius werden in der Tat nicht erreicht und 21 Grad Celsius ist die kleinste Temperatur, die nach dem Modell niemals erreicht wird. Zusammen mit der strengen Monotonie folgt daraus, dass die Gerade zu y = 21 tatsächlich eine Asymptote ist.
Sie haben sehr Recht - ich habe mich vertippt und meinte selbstverständlich 21°C. Ich habe das oben korrigiert…
@@robert-peterwestphal1064 Ihr Einwand stimmt aber trotzdem nicht. Die Asymptote aus dem Video ist schon korrekt.
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim Physikalisch sollte eigentlich schon die Umgebungstemperatur erreicht werden. Thermodynamisches Gleichgewicht halt.
Nein, per Definition schmiegt sich eine Asymptote in der Unendlichkeit an, aber da die Pizza die Umgebungstemperatur von 21°C erreichen wird, schneidet die Asymptote die Kurve und schmiegt sich nicht an.
Deshalb muss
Die Asymptote bei >21°C gezeichnet werden.
Nach neun Stunden Zimmertemperatur möchte ich aber meine Lasagne nicht mehr essen. 😅
Erstaunlich, was man alles berechnen kann.
Ich habe bei der Konstante k zuerst an die Bolzmannkonstante aus der Thermodynamik gedacht mit
k = 1,380649 x 10^-23 J/K.
Top Video! (dass die Kurve an sich leicht verformt bei 0 wäre, egal)
In einer Woche eine Mathe GFS über beschränktes wachstum
Wieso wird hier mit Grad Celsius gerechnet und nicht mit Kelvin? Normalerweise gibt es immer Komplikationen wenn die Temperatur in den Minus-Celsiusbereich kommt
Hallo, warum darf man am Anfang nicht machen:
20 = 21-36*e^-0,00661*t | : e^-0,00661*t
und später nicht:
-1 = 36*e^-0,00661*t | : e^-0,00661*t
?
Beim oberen Vorgehen habe ich am Ende ln(-300) bekommen. Bei der unteren Variante kam ich auf die gleiche Temperatur, nur mit einem Minus davor.
Danke!
Also ich lege die morgends raus und um ca 17 Uhr esse ich.. 😂 😂 😂 Das ist Erfahrung da brauch ich nicht rechnen..
Jetzt müsste man nur noch den Temperaturkoeffizienten innerhalb der Lasagne in die Berechnung einbeziehen. Die ist in Inneren nämlich kälter als aussen.
Hallo Susanne, ich bitte dich um eine schnelle Antwort.
Ich wollte die Aufgabe nachrechnen und verstehe nicht wie genau man den ln vom bruch geteilt durch -15 berechnen kann, mein Taschenrechner zeigt nur Error. 🙃🙃
Wenn eine Heizlampe über der Arbeitsplatte hängt, dann kann die Lasagne auch wärmer werden... Es steht nicht in der Aufgabe, dass sie nur durch die Umgebungs-Wärme erhitzt wird :)
hab schon lang keine Limes funktion mehr berechnet ... heißt das noch so ?
😳🤯
Ich habe Hunger.
Nette Aufgabe, allerdings finde ich es schade, dass du bei diesem Typ Aufgabe die Einheiten weglässt - das ist ziemlich unsauber. (Hab ich bei dir leider schon öfter gesehen.)
Es ist nicht nur richtig, die Einheiten mit in die Rechnung zu nehmen, sondern sie dienen zusätzlich als "Fehlerfrühwarnsystem", was gerade für Leute, die in Mathe nicht so sicher sind, sehr hilfreich sein kann.
Außerdem würde ich auch nicht mit gerundeten Werten weiterrechnen, sondern erst zum Schluss runden, weil sich sonst, wie du ja zweifellos weißt, Rundungsfehler kumulieren können (insbesondere, wenn der gerundete Wert in einem Exponenten genutzt wird).
Hier ist es z.B. so, dass man, wenn man mit dem exakten Wert rechnet und diesen erst in der Endrechnung auf zwei Stellen rundet, einen Wert von 541,83 Minuten herausbekommt. Das ist natürlich keine katastrophale Abweichung, aber eben ungenauer als es hätte sein können.
Hey Jens, es ist in der Mathematik absolut üblich ohne Einheiten zu rechnen und sie am Schluss nochmal hinzupacken. 😊 Wir arbeiten hier ja nicht mit einer Formel wie in Physik, sondern mit Funktionen. Es würde hier gar keinen Sinn ergeben die „Minuten“ mit in die Funktion zu schreiben, da der Funktionswert ja „Grad Celsius“ ausgeben soll und sich da ja nichts wegkürzt.
@@MathemaTrick Ich kann dem meisten, was du hier sagst, leider nicht zustimmen.
Du sagst, dass es sich nicht um eine Formel wie in Physik handelt, aber genau das ist diese Funktion doch! Eine Formel, welche (abgesehen von dem Schwachpunkt, dass sie die Schmelzenergie unterschlägt, was andere schon bemängelt haben) die Temperaturentwicklung der Lasagne beschreibt.
Natürlich ergibt es Sinn die Minuten in die Funktion zu schreiben; sie kürzen sich heraus, weil die Wachstumskonstante die Dimension T⁻¹ hat.
Es wäre OK, wenn im Text angegeben wäre, dass t für die Zeit *in Minuten* stehen soll; dann könnte (z.B. müsste) man die Einheit weglassen.
Die Aufgabe selbst ist ähnlich schlampig formuliert, denn die Tatsache, dass t die Zeit in Minuten ausdrückt, ist eine notwendige (aber unterschlagene) Information für die Teilaufgabe c).
Es ist nämlich notwendig zu wissen, was genau mit 660 gemeint ist. Du interpretierst das als Minuten, aber es könnten auch Sekunden oder Stunden sein (oder eine beliebige andere Zeiteinheit).
Ich verstehe ja, dass es einfacher ist, die Einheiten wegzulassen, aber richtig wird es dadurch nicht (außer es finden sich im Text entspechende Hinweise, t für die Zeit in Minuten und S und B für die Temperatur in °C steht).
Schließlich wendest du die Mathematik auf ein physikalisches Problem an und dann ist es eben auch nötig, die Einheiten mitzunehmen.
Man könnte z.B. eine ähnliche Aufgabenstellung für radioaktiven Zerfall konstruieren, in dem der Parameter bestimmt werden muss. Dann würde es sich statt der Wachstumskonstante um die Zerfallskonstante handeln, und diese kommt ebenfalls mit einer Einheit der Dimension T⁻¹.
Ok, hier hätten sich die Einheiten vielleicht dann doch noch weggekürzt (dachte die Wachstumskonstante hat keine Einheit). Aber normalerweise, wenn man eine Funktion verwendet, um einen Vorgang zu beschreiben, dann macht das Einsetzen der Einheiten keinen Sinn. Beispielsweise wenn die Parabel f(x)=-x²+3x+2 die Wurfbahn eines Balls vom Startpunkt x=0 beschreibt. Dann ist x als Abstand vom Startpunkt in Metern beschrieben und f(x) wird als Höhe ebenfalls in Metern gemessen. Setze ich die Einheiten hier mit ein, kommt nichts Sinnvolles raus.
@@MathemaTrick "dachte die Wachstumskonstante hat keine Einheit" Hättest du mit Einheiten gerechnet, dann wäre dafür schon die richtige Einheit rausgekommen!
f(x)=-x²+3x+2 Auch hier gehören eigentlich bei den Konstanten die Einheiten dazu, sind halt dann m^-2, m^-1 usw, damit stimmt dann wieder die Gleichung auch einheitenmäßig!
@@walter_kunz Da scheidet sich dann eben die Mathematik und Physik. Einigen wir uns darauf. 😜
·
Ich dachte, dass Temperaturen in solchen Gleichungen in K angegeben werden müssen. Sodass Temperaturwerte immer als Betrag gerechnet werden.
Yes... da sollte dann aber im Endeffekt dieselbe Lösung rauskommen.
Schönes Video, aber ein paar Sachen sind mir doch aufgefallen. Ich finde es unglücklich, dass in der Aufgabenstellung zweimal eine 15 vorkommt. Außerdem finde ich Teil a) ungeschickt formuliert. Die Funktionsgleichung steht ja schon da. Man sollte eher die Parameter bzw. Konstanten bestimmen. Über meinen dritten Punkt kann man evtl. anderer Meinung sein, aber ich lasse ihn dennoch hier: Ich finde nicht wirklich klar, dass t in Minuten gezählt wird. Ich finde die Aufgabenstellung diesbezüglich gerade in Anbetracht des doch sehr mit Nachkommastellen belasteten Ergebnisses nicht gut. Schöner wären doch größere Zahlen. Vielleicht findet man ja nächstes Mal was mit größeren Zahlen, zum Beispiel astronomische Größen. So könnte man auch eine 11,6 vermeiden, denn auf einmal so eine 11,6 zu lesen, ist schon überraschend. Naja. Das Koordinatensystem in Teil c) finde ich auch nicht so schön. Auf der Zeitachse sind die Zahlen in Vielfachen von 60 noch so schön lesbar. Auf der Temperaturachse bleibt dann nicht mehr so viel Platz. Das ist auch ein Punkt, der aus den gewählten Zahlen folgt. Außerdem finde ich es noch schwierig, dass die Zeit in t angegeben wird und die Temperatur, die ja eigentlich auch ein T verdienen könnte, aber in B angegeben wird. Am Ende muss sich dann auch zeigen, es nützt, so eine Lasagne-Aufgabe zu stellen, denn es könnte ja auch eine sehr kleine Küche sein, die sich schneller abkühlt als sich die Lasagne erwärmt. Naja. Immerhin sollte man zuerst sagen, dass man ein solches Wachstum als Modell voraussetzt, bevor man dann eine Gleichung bestimmen kann. Und am besten wäre natürlich sowieso die Idee, warum sich die Temperaturveränderung ungefähr so verhält. Aber egal. Schönes Video.
Ist das Beispiel nicht ein wenig unpassend? Die Lasagne würde in der Realität doch die 21°C erreichen, in der Funktion nähert sie sich aber nur an.
Die Lösung zu b) ist definitiv falsch, da für den Übergang von Eis zu Flüssigkeit erheblich mehr Energie notwendig ist als für das blose Erwärmen. Für solche Art Aufgaben sollte man doch eher nur Festkörper oder nur Flüssigkeiten ohne Phasenübergänge nutzen. Die Kurve bei 15:04 kann so nämlich keinesfalls richtig sein. Die Physik hat da ein energetisches "Wörtchen" mitzureden. Mit etwas Nachdenken und einem guten Formelbuch könnte man das sicher auch rechenen, bzw. gut abschätzen. Das wära dann aber sicher schon Rechnerei auf viel höherem Niveau.
Wo steht eigentlich, dass t nicht in Sekunden oder Stunden angegeben ist? Das ist ja für Teil c nicht uninteressant...
(im Diagramm wurde übrigens 22°C als 21°C-Asymptote bezeichnet - pro großem Intervall sind ja 5 Teilschritte, also 1 Teilschritt => 2°C)
warum ist es b(15) und nicht b (-11,6)?
Beschränktes Wachstum bei Lasagne - das macht mich traurig! 😢😅
Pferde freut's 😁
@@theofuhrmann1984 😂Guter Einwand. Wobei,wenn ich Pferd wär und die Wahl hätte, ob ich postmortem in der Lasagne lande oder im Hundefutter... ich glaub Lasagne wäre mir lieber. :D
Die wesentliche Frage ist: Was, zum Teufel, soll ich mit einer 20° warmen Lasagne anfangen? 🙄🙄
Der Logarithmus ist die Frage nach der Hochzahl..... naja.... alles schön und gut, aber mehr würde mich interessieren, wie man das Wirtschaftswachstum begrenzt, weil es die Lebensgrundlage von uns allen ruiniert.
Ich koche mir meine Lasagne lieber frisch
Die Mathematik stimmt, aber praktisch spielt die Physik nicht mit.
Das Mappf enthällt Wasser (bzw Eis).
Es ist keine reine E-Funktion, da beim Wechsel von Wasser zu Eis die Energie nicht zur Temperaturerhöhung sondern zum Agregatzustandswechsel verwendet wird.
Also e-Funktion bis 0°C dann konstant dann wieder e-Funktion.
Physik hat das Gebäude verlassen...
Eis erwärmt sich schneller als Wasser weil es eine niedrigere Wärmekapizität hat als Wasser und dann bleibt die Temperatur konstant bis alles Eis geschmolzen ist (Schmelzpunkt der Lasagne hängt vom Salzgehalt ab).
Besser wäre eine Aufgabe ohne Aggergatszustandsänderung gewesen z.B die Lasagne mit 3°C aus dem Kühlschrank holen.
🙂
Ein Einordnen der Funktionsgleichung zu Beginn der Aufgabe wäre hier noch sinnvoll. Wieso ist S die Sättigungsgrenze und Bo der Startwert. Man könnte also kurz schauen, was bei t=0 und bei grossen t-Werten mit den Funktionswerten passiert. So bleibts einfach beim Abspulen einer Aufgabe, ohne dass man eigentlich den Inhalt der Gleichung vertanden hat. Schade
Wieso rechnet man bei sowas nicht mit dem dezimal bruch, sondern mit einem gemeinen bruch obwohl man doch so schon mit dezimal zahlen rechnet? Das verstehe ich nicht ganz 😅🤷🏻♂️
Weil die Dezimalzahlen gerundet sind. Und je eher und umso kuerzer du rundest, desto ungenauer wird das Ergebnis. Da gibt es ein paar lustige Beispiele, wie dank der Ungenauigkeit von Floating Point Variables die kuriosesten Dinge mit einem Taschenrechner rauskommen koennen.
Rundungszeichen vergessen...
Dieses Beispiel eignet sich auch sehr gut, um Schüler*innen zu "erziehen", möglichst einmal die gesamte Angabe vollständig zu lesen, ehe sie zu rechnen beginnen. Ich hätte ansonsten t = 0,25 Stunden statt t = 15 Minuten angesetzt. Wäre zwar ebenfalls korrekt gewesen, aber dann hätte ich bei Aufgabe c) die Stunden in Minuten übersetzen müssen.
ich hasse Mathe
aber gut erklärt
Ich auch
Ist das noch Mathe oder schon Thermodynamik?
Bei Sättigung hätte ich 2 genommen...nach 2 Stck bin ich satt.🥴
Kannst dann ja meine Lasagne auch noch nehmen, ich mag die eh nicht so sehr...
Warum mathe ist fremd schprache ?
Wärmer als 21°C kann die Lasagne nicht werden? Hmm, wenn ich die lange genug liegen lasse (okay, okay, bei Lasagne ÄUßERST Unwahrscheinlich) dann müsste der Fäulnisprozess doch Wärme entwickeln, oder? 🤔🤪🤣
Bis dahin ist sie aber vertrocknet.
@@Neidhard-von-Blaufels Kommt stark auf die Luftfeuchtigkeit und Raumtemperatur an. Schimmel mag eher ~16°C Raumtemperatur, Bakterien eher wärmere Temperaturen, beide mögen hohe Luftfeuchte. Könnte also durchaus sein, dass der Fäulnisprozess schon vor Vertrocknung so stark ist, dass dadurch zusätzliche Wärme entsteht. Wenn es nicht ausgerechnet um Lasagne ginge, würde ich ja vorschlagen, dass mal experimentell auszutesten! :D
@@Kirmeins Na gut, dann muss das eben jemand mit Spinat testen. Ist ja im Prinzip das gleiche, auch tiefgefroren und kalt, nur grün.
Schöne Physikaufgabe. Aber ich finde es schade dass du jegliche Einheiten weglässt. Die sind für physikalischen Größen aber essentiell. Ob t in Minuten oder Stunden gerechnet wird ändert eben auch das k.
Och nö! Schon wieder was mit Essen...
bei meiner Matheschwäche ist die Lasagne aufgetaut, bis ich das berechnet habe🙂🙂🙂