Wie groß ist das MAXIMALE Volumen? - Extremwertaufgaben Beispiele
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- čas přidán 2. 07. 2024
- Extremwertaufgaben Beispiele
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man bei der Optimierungsaufgabe das maximale Volumen einer Schachtel berechnen kann. Wir berechnen das Maximum mit der 1. Ableitung und bestimmen die Abmessungen des Quaders. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Extremwertaufgaben Beispiele
1:06 Aufgabe a) Maximales Volumen
4:05 Funktion Volumen berechnen
6:32 Maximum berechnen
10:14 2. Ableitung
11:54 Aufgabe b) Abmessungen
12:38 Aufgabe c) Maximales Volumen
14:06 Materialbedarf berechnen
15:37 Bis zum nächsten Video :)
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Super Rechnung, aber am Ende hätte es einen einfacheren Weg gegeben: 28 cm * 16 cm - 4* (3,28 cm)^2, was aufs gleiche Ergebnis rauskommt. Zu sehen war diese Lösungsmöglichkeit sehr einfach und direkt aus der ursprünglichen Zeichnung.
Ganz genau 👍 🥰
Genau das wäre auch mein Weg gewesen, statt überlegen zu müssen welche Flächen eine oben offene Schachtel hat. Und dann 3 unterschiedliche große Rechtecke zun haben mit 2 verschiedenen Anzahlen.
Meiner Meinung nach könnte man sogar darüber diskutieren, ob der Materialbedarf nicht auch inkl. der vier quadratischen Abfallstücke aufgefasst werden kann, wenn man den Materialbedarf als die Gesamtfläche des davor entstehenden Abfallprodukts auffasst, die erforderlich ist, um so ein Kisterl zu produzieren. Wird zwar nicht so gemeint sein, dennoch halte ich diese Auslegung auch nicht für gänzlich abstrus.
@@schnuffelchen1976 Stimmt. Man könnte locker aus je sechs dieser Quadrate Würfel zusammenlöten.
Yep, ist mir auch gleich ins Auge gestochen und hat nicht mal weh getan. 🤣
Die Abfallecken sehe ich nicht als verbrauchtes Material, denn die werden dem Recycling zugeführt und später gibt es daraus neue Kästchen.
Zumindest habe ich mir das so schön"geredet".
Diese Aufgabe war wieder ein wunderbares „Gehirnjogging“ für meinen 72 jährigen Kopf. Es ist herrlich mit solch tollen Beiträgen das mathematische Wissen aus der Gymnasial- und Unizeit aufzufrischen. Ganz herzlichen Dank und weiter so. Herzliche Grüsse aus der Schweiz.
Mit 84 Jahren gehöre wohl zu älteren Begleitern. Was mich fasziniert ist, wie ein Problem - Texteinaufgabe - in eine Gleichung gepresst wird. Mathematik ist wirklich spannend. War mir unbekannt. Respekt. 😮
Haben Sie die Mathematik erst kürzlich für sich entdeckt oder hat Sie dieses Thema schon immer interessiert?
Ich bin jetzt 50 Jahre alt und habe Mathematik eigentlich immer gern gemocht, obwohl meine Zensuren während der Schulzeit nicht immer gut waren.
Durch Susannes Videos habe ich Vieles im Nachhinein verstanden und eine Menge dazugelernt.
Auch mich fasziniert, wie man eine Textaufgabe bzw. eine reale Fragestellung in eine Gleichung "überführen" kann und sie dann mit mathematischen Regeln löst.
Hey, würde mir in Zukunft mehr Textaufgaben auch bei der Analysis wünschen, also dass man eine Aufgabe stellt mit Text und daraufhin dann Analysis Aufgaben berechnen muss.
Danke für deine Videos die sind echt super hilfreich !!
Cool! Den Materialbedarf hätte ich intuitiv als Fläche des Ausgangsblechs abzüglich der 4 Ecken berechnet. Also A = 16 * 28 - 4x^2.
@Heiko Jahn ohne abzug der ecken. materialbedarf pro schachtel - muss eingekauft werden.
@Heiko Jahn das habe ich überlesen. danke. 🙂
Hör bitte niemals auf mit deinen Videos 💕 Du erklärst alles so super toll 🫶🏽🍀
Praxiswissen:
Um das maximale Volumen des gebogenen Stanzteils überhaupt ermitteln zu können muss das Material (Baustahl, Messing, Aluminium) sowie die Blechstärke bekannt sein. Abhängig von Material und Blechstärke wird dann ein Mindestbiegeradius ermittelt da das Blech beim "Abkanten" nicht reißen soll. Hinzu kommt natürlich noch die Ausklinkung an der inneren Ecke aller Quadratausschnitte der eingebracht werden sollte um die Seitenflächen überhaupt Kante zu Kante ordentlich verlötet zu können.
Auch sollte beachtet werden, daß die zu biegenden Schenkel nicht zu kurz sind, sonst bleibt der Prozess instabil und die Kästchen haben eine hohe Ausschuß-Quote.
Durch die erwähnten Biegeradien und auch die Materialstärke wird das Volumen dann kleiner.
Und bezüglich des Materialbedarfes sollte beim Verlöten die Menge an Lot mit einbezogen werden.
Trotzdem eine sehr schöne Aufgabe.
Danke, dass Du so ausführlich geschrieben hast, was ich nicht schreiben wollte.
Ob der Aufwand gerechtfertigt ist, mit dem man aus Blechschrott "Kästchen" herstellt, ist vom Erfolg des Marketings abhängig. Ich jedenfalls hätte keinen Bedarf für so ein "Kästchen". Aber vielleicht ist es ja auf hoher See nützlich, wo gern Messing verwendet wird wegen der minimalen Korrosion.
Ich hatte zwar Ableitungen und Maximalwerte in der Schule dran gehabt, aber habe es heute zum ersten Mal verstanden 🙈😄
Danke dir dafür 🤗👍
Totaler Flashback zum Telekolleg II Mathe aus den 80ern!
Allerdings fehlt beim Aufstellen der Volumenfunktion meiner Meinung nach die Angabe des Definitionsbereichs, denn für x = 8 ergeben sich für das Sachproblem keine Lösungen. Damit wäre auch die Lösung x1 sofort (ohne einsetzen in V‘‘) „rausgefallen“.
Die Oberfläche ist mit O = (28 • 16) - 4x^2 kürzer darstellbar.
Vielen lieben Dank für das beste Mathe-ASMR auf CZcams! So relaxed und erholsam gibt es das nirgendwo sonst.
Wenn ich in der Schule Extremwertaufgaben behandle, ist genau das (mit anderen Maßen) meine Einstiegsaufgabe, die ich die Schüler in Gruppen bearbeiten lasse. Bemängeln würde ich allerdings das Fehlen einer Randwertuntersuchung oder einer Begründung dafür, dass eine solche nicht notwendig ist. Denn es muss ja sicher gestellt werden, dass der lokale Hochpunkt im entscheidenden Bereich auch ein globaler ist.
Stimmt, das habe ich auch vergessen.
Begründung:
Die Funktion ist differenzierbar und stetig, hat keine Sprünge und keinen Knick.
Definitionsbereich von x: 0≤x≤8
V(0) = 0 und V(8) = 0
Das Maximum ist ein absolutes Maximum.
@@gelbkehlchen Oder halt über die Monotonie: Aus einer Skizze des Graphen der 1. Ableitung sieht man sofort, dass V in [0; x_2] streng monoton zunehmend ist und in [x2; 8] streng monoton abnehmend. Damit hat man auch sofort, dass bei x_2 ein absolutes Maximum vorliegt, und spart sich das Ausrechnen der Randwerte.
@@bjornfeuerbacher5514 Jawoll, danke, ich habe was gelernt.
Herzlichen Dank für diese interessante Extremwertaufgabe.
Bei dem anfallenden Materialbedarf hätte man ebenfalls von der gesamten Fläche, also (28*16) cm², die 4 kleine Quadrate abziehen können:
= 448 - 4*3,278²
≅ 405 cm² pro Kästchen.
Also, von der gesamten Fläche wären: 100*(405/448)
= 90,40 % wieder verwendet, und der Rest von ungefähr 9,60 % des Metalls wäre dann recycled.
Danke! Liebe Susanne, Differential/Integralrechnung ist cool. Bei uns in der Schule wurden sie ausdrücklich Minimaxaufgaben genannt. Viele Grüße!!
Sehr schōnes Video, aber mir fehlt die Betrachtung der Randwerte. Eine Gleichung dritten Grades strebt gegen unendlich, man kann sich nicht ausschließlich auf die lokalen Maxima verlassen. Ist hier natürlich am Ende kein Problem; die Randwerte sind 0 für x=0 und x=8. Aber eben diese Betrachtung gehört hinzu.
Hallo Susanne,
erst mal Dir, Thomas und allen anderen hier einen super Start in die neue Woche.
Mal sehen, ob ich die Aufgabe noch hinbekomme.
Vorüberlegung:
x muss größer als 0 sein, weil es sonst nichts gibt was hochgeklappt werden könnte um die Seitenwände des Kästchens zu ergeben.
Weil jeweils links und rechts bzw oben und unten weggeschnitten wird muss x kleiner sein als die Hälfte der kürzeren Seite (kürzere Seite = 16 cm, x somit < 8cm). Ansonsten gibt es links und rechts nichts mehr zum Hochklappen.
Da nichts anderes angegeben ist unterstelle ich R als Grundmenge.
D: x€ ]0...8[
Ich lasse zunächst die Einheiten weg
für das Volumen V(x) des Kästchens gilt:
V(x) = (28-2x)(16-2x)x |
V(x) = (448 - 56x - 32x +4x^2)x |
V(x) = 448x-88x^2 + 4x^3 | umsortieren
V(x)= 4x^3 - 88x^2 + 448x
Dies ist die Zielfunktion.
1. Ableitung um Extrempunke zu finden.
V'(x)=12x^2 - 176x + 448
Punkte mit waagrechter Tangente
12x^2 - 176x + 448 = 0 |:4 (damit die Zahlen für die abc-Formel/Mitternachtsformel nicht zu groß werden
3x^2 - 44x + 112 = 0
Mitternachtsformel: (-b +/- Wurzel(b^2 - 4ac))/2a
a: 3
b: -44
c: 112
Prüfen, ob Gleichung überhaupt eine Lösung in R besitzt: (b^2 - 4ac > 0?)
44^2 - (4*3*112) =1936 - 1344 =592 --> > 0, also besitzt die Gleichung 2 Lösungen in R
Werte nach Auflösung der Wurzel gerundet.
x1= (44+Wurzel(592))/6 = (44+24,331)/6 =68,331/6 = 11,3885 ... dies ist jedoch keine Lösung im Sinne der Aufgabe, da x
Ich war dabei wo du noch ganz wenig Abonnenten hattest und jetzt hast du schon 420.000 , mach weiter so
Es war in diesem Fall nicht wirklich notwendig, die zweite Ableitung zu berechnen, denn wenn man x1=11,39 in die Gleichung für die Seitenlänge 16-2x einsetzt, sieht man, dass man eine negative Länge erhält
Stimmt. Praktisch bedeutet das, es würde kein Stück Blech mehr übrig bleiben, wenn man so schneidet. Es würden sich auf der 16 cm langen Seite sogar die Schnitte überschneiden, also quasi etwas doppelt ausgeschnitten.
@@Juarqua Da haben wir ja einen richtigen Klugscheisser
Alles schön und gut, aber dass 11,39 nicht die Lösung sein kann, ist noch kein Beweis dafür, dass 3,28 die Lösung ist.
Ich fand die Ableitungsfunktion von den Volumen, also die dV(x)/dx= 3x²-44x+112 schon okay, man bekommt 2 Lösungen x₁= 3,278 cm und x₂= 11,39 cm, und wenn man die 2. Ableitung untersucht, bekommt man ebenfalls eine V(x) Funktion, also d²V(x)/dx²= 6x-44, hier lässt sich dann gut erkennen, welcher x von den beiden das maximale Volumen ermöglicht (d²V(x)/dx²
@@Juarqua Doch, es bleiben noch ungefähr: 4*x²= 4*3,278²= 42,98 cm² Metall übrig, was eventuell recycled wird.......
Gestern Abend angeschaut, heute fast dieselbe Aufgabe in der Mathe Prüfung 🤝
Diese Aufgaben habe ich in der Schule geliebt. Das kommt wirklich aus der Praxis. Die normalen "großen" Konserverndosen haben genau dieses Länge zu Durchmesser Verhältnis, das am wenigsten Blech verbraucht.
Vielen lieben Dank
DANKESCHÖN ❤ WIRKLICH
Das Volumen kann man natürlich wie gezeigt mithilfe der kubischen Gleichung ermitteln, aber die einfachere Option wäre m.E. einfach eine stinknormale Multiplikation der drei Seitenlängen (Länge, Breite, Höhe), denn genau die wurden ja in der vorigen Teilaufgabe berechnet. 😉
Kann es sein dass der Materialbedarf falsch gedacht ist? Meiner Meinung is der Materialbedarf einfach 28x16. Die ecken werden rausgeschnitten, müssen aber trotzdem als materialaufwand gewertet werden. Das was bei C berechnet wurde ist die Oberfläche
Sehe ich auch so!
Kann man so sehen, so hatte ich auch erst gedacht. Vielleicht könnten die Ecken noch eingeschmolzen werden.
Stimmt. Die Aufgabe ist an dieser Stelle reichlich unklar formuliert.
Unter Materialbedarf hätte ich zwar etwas anderes verstanden (ich benötige pro Kästchen ja 28cm x 16cm, auch wenn etwas davon Verschnitt ist), aber ansonsten eine tolle Aufgabe!
Jup so ging’s mir auch
Das ist dann der Unterschied zwischen Theorie und Praxis. Denn bei der Produktion muss ja der Verschnitt mitgekauft werden, und man erhält führ ihn nur noch den Schrottpreis.
Und ja, den Verschnitt als Kosten mitzuzählen finde ich hier sogar richtig, denn die Kästchen werden ja produziert, um aus Verschnitt etwas Verkaufbares herzustellen, statt ihn einfach in den Schrott zu tun.
dachte auch erst so aber ... am Anfang heißt es aber das diese Kästchen aus anfallenden Reststücken gefertigt werden. Die berechnete Fläche ist also das was dann letztendlich nicht in Müll kommt, sondern weiter verwurstet wurde um doch noch etwas daraus zu produzieren
Ich wiederum verstehe unter Materialbedarf keine Oberfläche. Eigentlich die Masse oder wenigstens das Volumen.
Ich bevorzuge weder die abc- noch die pq-Formel, sondern die quadratische Ergänzung, denn diese Vorgehensweise kann ich mir besser merken, als die Formeln und das hat außerdem den Vorteil, dass ich damit nachvollziehen kann, wie die pq-Formel zustande gekommen ist, was viele, die sie auswendig lernen und anwenden, gar nicht mehr wissen.
Hallo hochverehrte Toutorin: Zum Materialaufwand gehört natürlich auch das Material der abgeschittenen Ecken, also 4* (x*x) cm^2 , dazu.
mit vielen Grüßen AWi
Danke, Super Erklärt. Eine sehr ähnliche Aufgabe gab es schon einmal in der SWR Telekolleg Reihe Mathematik; und zwar im Trimester "Gleichungen und Funktionen" Folge 11 (Ausstrahlung, soweit ich mich erinnere, war 1993)
Das nenne ich ein Gedächtnis 👍
Die abc Formel lässt stets in der Rechnung Brüche vermeiden.Vorteilhaft auch wenn Parameter auftreten.Definitionsmenge gehört auch dazu .Schöne Aufgabe
Wäre es für die 3. Teilaufgabe, also die Materialfläche, die gebraucht wird, nicht einfacher zu berechnen, wenn ich die 28cm * 16cm - 4*x²? Anstatt die ganzen Flächen zu berechnen und diese zu addieren. So wäre ich jetzt vorgegangen...
Und was lässt sich die Betriebsingenieurin dann für die neu anfallenden kleinen Quadratischen Abfallstücke einfallen?
ich fass es nicht ...sooo ein cooles und schönes video wie immer 😄
Danke, super verständlich erklärt. Ich verstehe nur noch nicht so ganz inwiefern es relevant ist ob die Schachtel einen Deckel hat oder nicht? Hab das schon in mehreren Aufgaben gesehen aber macht für mich keinen Sinn was sich da ändert. Würde mich freuen wenn mir das jemand beantworten kann.
Mal ein kleiner Tipp, weil ich immer Schnappatmung bekomme, wenn es in der Schule heißt: „Nimm halt den Taschenrechner und hoffe, dass da irgendwie schon was gescheites heraus kommt.“ und die meisten ja eh schon Tablets o.ä. verwenden:
Wenn man aufgrund der Skizze erst mal auf die Grundidee gekommen ist, dann hackt man die Formel einfach in GeoGebra. Das zeichnet den Graphen dann automatisch. Und dann sollte man sehr schnell die Idee erkennen, dass wir einen Graphen dritter Ordnung haben, weil wir ja auch ein Volumen suchen und der Graph bereits zu jedem x das passende Volumen anzeigt.
Dann sollte auch klar sein, warum nach dem Satz vom Nullprodukt der Graph Nullstellen bei 0, 8, 14 hat. Bei x=0 haben wir noch keine Kanten gefaltet, bei x=14 wurde das Blech einfach in vier Teile zerschnitten. Bei 8
Tipp: Bei der zweiten Ableitung kann man auch einfach abschätzen: 24 * 3,28 < 24 * 4 = 96 < 176, also ist die zweite Ableitung an der Stelle negativ.
Da du schon alle seitenlängen berechnet hattest, wäre es evtl. schneller und weniger fehleranfällig, damit das Volumen zu errechnen anstatt die X in die Formel ein zu setzen.
Sehr unterhaltsam und auffrischend 👍😊
Die Rundungsfehler sind in den Seitenlängen aber genauso enthalten.
Moin
Danke für das Video. Zu deiner Frage, welche Formel? Ich habe nur die PQ Formel gelernt und erst jetzt erfahren, dass es noch weitere gibt. Aber ich bleibe dabei...
Zu C Materialbedarf. Dazu gehören auch die abgeklinkten Ecken. Denn nur aus dieser Blechtafel kannst du das Schächtele fertigen. Besser wäre dir Frage: Aus wie viel cm^2 Blech besteht das Fertigteil?
BTW, Minimax Aufgaben lernte ich 1980 / 81.
Gruß Manfred
Wenn Einheiten angegeben sind, müssen sie auch im Ergebnis verwendet werden.
Aufgabe c) kann man einfacher berechnen: Fläche des Ausgangsmaterial (= 28cm * 16 cm) minus der vierfachen Fläche des Abfalls (= x² = (3,28 cm)²). O = 28cm*16cm-4*3,28²cm² = 404,97 cm²
Aus betriebswirtschaftlicher Sicht beläuft sich der Materialbedarf rein auf das Silberlot. Die 28x16 cm Messingplatten waren ja vorher schon Verschnitt... 👍
Der Verschnitt hat immer noch den Schrottwert
hier wäre die Mitternachtsformel einfacher gewesen, da man nicht mit Brüchen unter der Wurzel hantieren muss.
Bei der Prüfung auf Extremwert kann x=11,... ignoriert werden, da 2x > 16cm und damit nach Aufgabenstellung unmöglich ist. Zudem muss strenggenommen noch untersucht werden, ob an den Randstellen kein größerer Wert vorliegt (hier: x=0 --> V=0 und x=16/2 --> V=0, beides aus der ursprünglichen Formel V(x)=(28-2x)(16-2x)(x) ablesbar, und beides offensichtlich kleiner als V(3,28)).
Bei c ist der Materialbedarf real anders zu verstehen: die Reststücke sind "ehda", man verliert höchstens den Gewinn beim Verkauf (sofern Messing gerade was einbringt). Materialbedarf pro Kästchen damit: Lot für 4x Kantenlänge pro Kästchen, plus Verpackung etc.
Für den Materialverbrauch ließe sich meiner Meinung nach leichter rechnen die Gesamtfläche des Messingbleches abzüglich der vier kleinen Eckquadrate, also (28 x 16) - (4 x 3,28²) = 448 - 43,03 = 404,97
Ist ja nett mit der zweiten Ableitung nach Hochpunkt / Tiefpunkt zu testen. Aber ein Blinder mit Krickstock sieht doch sofort, dass 16 cm (kurze Blechseite) - 2*11,4 schon negativ ist, somit der Kasten nicht mehr möglich ist.
Hallo Zusammen, ich habe ein Frage.
Ich orientiere mich immer (oft) an den Einheiten. Was habe ich gegeben? ... Was soll rauskommen? Beim Volumen ein klares cm^3 also cm x cm x cm.
Wenn das Volumen über Länge x Breite x Höhe als cm-Wert berechnet wird, geht diese Denkweise auch auf. Wenn ich nach V(x) berechne passt der Zahlenwert, aber ich habe doch ein cm^3 - cm^2 + cm stehen (was die Einheiten betrifft) und das geht eben nicht auf. Wo liegt mein Denkfehler, oder ist in der Funktion V(x) die Verwendung von Einheiten nicht vorgesehen?
Hallo Susanne, im ersten Teil der Aufgabe wird die zweite Ableitung für die Bestimmung des Maximums nicht benötigt. Da 2*x1 größer als die Breite des Bleches ist, gibt es als mögliche Lösung nur x2.
Bei der Prüfung der beiden Extremstellen, hätte im Vorfeld noch die Nebenbedingung klären können, dass x maximal 8 sein darf, da die kürzere Seite des Blechstücks nur 16cm lang ist.
Das hätte zum einen das Prüfen durch Einsetzen in die erste Ableitung gespart und zum anderen vermieden, dass man durch eine (böswillige) Bonusfrage, nach dem minimalen Volumen blindlings auf die vorab ermittelte Lösung von 11,39cm zurückgegriffen und damit eine negative Seitenlänge erzeugt hätte.
Das tatsächliche minimale Volumen entsteht in diesem Fall natürlich wenn eine der Seiten des Kästchsens 0cm lang ist, was bei eben genau x=8cm der Fall ist.
[ebenso bei x=0cm; Danke für die Anmerkung]
"Das tatsächliche minmale Volumen entsteht in diesem Fall natürlich wenn eine der Seiten des Kästchsens 0cm lang ist, was bei eben genau x=8cm der Fall ist." Gilt auch für x = 0 cm.
@@popogast Ohja, natürlich völlig korrekt. Danke für die Ergänzung.
Danke
Hallo
Solche Maximal/Minimal Berechnungen hab ich nie gelernt.
Wie hätte ich es gelöst?
Excel Tabelle, Daten eingegeben.
Dann hätt ich versucht, mir den Solver anzueignen, was vermutlich gescheitert wäre.
Dann hätt ich einen Schieberegler mit der Zelle (X) verknüpft und X solange verändert, bis V am Höchsten gewesen wäre.
Oder
Ein Makro geschrieben, was bei X = 1.00cm bis X = 10.00cm jedes Mal neu berechnet hätte und geschaut hätte, wo V am höchsten ist.
Was mir im Matheunterricht früher immer wieder gefehlt hat, war der Bezug zur Praxis.
In der Theorie gibts Vieles, was unterrichtet wird - theoretisch!
Aber bei solchen Textaufgaben wird das Ganze greifbar und die Motivation war deutlich gesteigert, bei mir zumindest
Hallo Susi. Du hast vielleicht schon mal Sudoku gemacht.
Wenn eine 9ergruppe (Zeile, Spalte, oder Quadrat) vorgegeben ist, wie viele Lösungen gibt es dann?
Kannst du so singen wie ZAZ? Mach's einfach mal.
Hey könntest du vielleicht Aufgaben erklären, die mit Abhängigkeit von x zutun haben bitte. Schreibe bald AP (Bayern) wäre sehr hilfreich😊
Habe ich einen Denkfehler oder war für Aufgabe a die Lösung 11,39 gar keine mögliche Lösung?
Wenn eine Seite 16cm lang ist und davon 2 mal 11,39 große Quadrate ausgestanzt werden, geht das nicht. 2 x 11,39 > 16
Die Funktion kann doch nur im Bereich von 0=8 eine Lösung liefern. Oder?
Du meinst sicher 0
@@bjornfeuerbacher5514 genau. Habe mich vertippt
Die Rechnung ist etwas freundlicher bei einem Blech mit 30 cm x 14 cm => x = 3 cm oder 32 cm x 20 cm => x = 4 cm ...
Beide Nullstellen der 1. Ableitung explizit auszurechnen war überflüssig. Die 2. Ableitung muß kleiner Null sein. Setzt man die nicht ausgerechneten Werte für xmax in die 2. Ableitung ein, läßt sich der Nenner des Klammerausdrucks (22 +/- 148^0,5)/3 gegen die 24 wegkürzen. Es bleibt nach ausmultipllizieren: 8 * 22 +/- 8 * 148^0,5 -176. 8 * 22 ist 176, also bleibt die "Minus-Alternative" der Lösung für die Bestimmung von xmax übrig. Jetzt erst wird die (22 - 148^0,5)/3 explizit ausgerechnet. Übrigens: Gäbe es die Zusatzaufgabe, für welchen Wert das Volumen Minimal wäre, wäre die Lösung keineswegs das Minimum der Funktion V(x) = 11,39. x kann maximal den Wert 8 annehmen. Für diesen Wert ist V(x) = 0, was anschaulich klar wird, wenn man sich die "Dinger" zum Hochklappen anschaut. Die oben und unten sind mit 8 * 12 i.O., aber die rechts und links sind 0 breit.
Das minimale Volumen ist also Null.
Moin, moin... Ja alles schon mal gehört, aber lang nicht mehr gebraucht... Es kann nicht schaden sich öfter mit den alten Sachen auseinanderzusetzen. Was mir im Bezug auf Einheiten Kopfzerbrechen bereitet ist V(x)... physikalisch betrachtet ist V(x) kein Volumen... Würde man mit Einheiten rechnen ließen sich die Therme gar nicht addieren... Kann man diesen Wiederspruch irgendwie auflösen?
Die letzte Aufgabe kann man auch einfacher berechnen mit:
O = 28 * 16 - 4 * 3,28²
Ja super
Hi Susanne, eigentlich wollte ich den Kommentar schreiben, was dann wiederum mit den je 4 quadratischen Blechstückchen passiert, die dann immer noch übrig bleiben, aber ein Kommentator namens "Löwenzahn" hat ihn mir schon vorweg genommen 🤨 schade.
Man könnte vielleicht noch lauter kleine Würfel daraus machen, aber was soll man damit?
Also dann halt zum Schrotthändler und dann recyceln.
Jedenfalls enthält Messing viel Kupfer und ist recht wertvoll, und viel zu schade für den Restmüll.
❤liche Grüße!
Mit den 4 Abfallstücken könnte man ja wieder 4 kleinere Kästchen bauen. Und so weiter und so fort. Berechne den Grenzwert des Volumens aller Kästchen zusammen. Die Anzahl der Kästchen ist natürlich unendlich, aber die Summe ihrer Volumen nicht.
Die Oberfläche hätte man auch einfach an Hand der ersten Grundrisszeichnung ermitteln können 16x28 - 4 x Quadrat
Ich habe dich auch abonniert!
Auch wenn es hier um Mathe geht: Die Aufgabenstellung enthält zwei Kommafehler 🤨😆
Ich finde, dass man die zweite Ableitung nicht benötigt, da das Ergebnis der quadratischen Gleichung schon aussagekräftig genug ist. Es kann nur das zweite Ergebnis möglich sein, da bei dem ersten Ergebnis (11,39cm) b ja einen negativen Wert annehmen würde.
Kenn aber die Ausreden der Lehrer, auch wenn es schon mehrere Hundert Jahre her ist (Ich saß neben Gauß in der Schule) bei so einer Begründung zu Genüge, deswegen ich genauso vorgegangen wäre wie du.😊
Ich kenn die abc Formel gar nicht, wäre toll wenn du sie einmal zeigen würdest - du nimmst nämlich immer PQ :( ...
Ganz gut erklärt.
Trotzdem noch einige Anmerkungen...
1) Ich finde beim Quadervolumen die Formel V = l mal b mal h besser, da sieht man besser, dass Länge, Breite, Höhe gemeint sind.
2) Bei 4:15 vlt. noch dazu sagen, _warum_ man da eigentlich Klammern machen muss; bei 5:25 sagst du es dann ja prinzipiell.
3) Bei 6:30 würde ich dazu sagen, dass "Maximum finden" nichts anderes ist als "Hochpunkt berechnen", den letzteren Begriff kennen erfahrungsgemäß weit mehr SuS.
4) 9:40 Ich würde nie die komplette p-q-Formel (oder Mitternachtsformel) auf einmal in den Taschenrechner eintippen, sondern immer erst mal nur die Diskriminante berechnen und hinschreiben. Falls die schon falsch sein sollte, bekommt man auf den Rest der Rechnung meist noch ein wenig Punkte wegen Folgefehler.
5) 9:50 Wenn du rundest, dann schreibe doch bitte auch "ungefähr" hin, nicht "gleich".
6) 10:15 Die erste Lösung fällt eigentlich sofort weg, weil sie größer als die halbe Breite des Kästchens ist... Hier ist es hilfreich, wenn man sich vor dem Ableiten eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion V überlegt.
7) 11:30 Hier sieht man, dass Rundungsfehler gemacht wurden... eigentlich sollten die beiden Werte der zweiten Ableitung bis auf das Vorzeichen genau gleich sein.
8) 11:45 Es wurden nur gezeigt, dass ein _relatives_ Maximum an dieser Stelle vorliegt. Eigentlich kenne ich solche Aufgaben so, dass immer gezeigt werden muss, dass es auch wirklich ein _absolutes_ Maximum ist! Z. B. durch Überprüfen der Randextrema. Wofür man auch wieder die Definitionsmenge braucht...
9) 12:25, 13:40, 15:30 Die Endergebnisse können nicht mehr geltende Ziffern haben als das Zwischenergebnis.
Hier würde ich die Zahl 2 jeweils ausklammern, damit die Zahlen nicht so groß werden:
V
= 2*(14 - x) * 2*(8 - x) * x
= 2*2*(14 - x)*(8 - x)*x
= 4x * (14 - x)(8 - x)
= 4x * (112 - 14x - 8x + x^2)
= 4x * (x^2 - 22x + 112)
= 4x^3 - 88x^2 + 448x
Ist leichter zu rechnen, auch ohne Taschenrechner.
Auch die Ableitungsfunktionen lassen sich dann leichter bilden:
f(x) = 4 * (x^3 - 22x^2 + 112x)
f'(x) = 4 * (3x^2 - 44x + 112)
f''(x) = 4 * (6x - 44) = 4*2*(3x - 22) = 8 * (3x - 22)
f'''(x) = 8 * 3 = 24
Dann ist auch die Berechnung der Extremstellen einfacher, da die Koeffizienten der quadratischen Gleichung um den Faktor 4 kleiner sind:
f'(x) = 4 * (3x^2 - 44x + 112) = 0
Durch 4 teilen:
3x^2 - 44x + 112 = 0
Und jetzt _nicht_ durch 3 teilen und häßliche Brüche bekommen, nur um die pq-Formel anwenden zu können, sondern die abc-Formel bzw. "Mitternachtsformel" anwenden:
a = 3, b = -44, c = 112
D = b^2 - 4ac = 44^2 - 4*3*112 = 1936 - 1344 = 1592 = 16*37
x1,2 = (-b +- sqrt(D))/(2a) = (44 +- 4*sqrt(37))/6 = (22 +- 2*sqrt(37))/3
Die Näherungswertre sind
x1 = 11,3885
x2 = 3,2782
👏👏👏👏👏
Gut, wobei die 1. Lösung der quadr. Gleichung nicht in Frage kam, da 2 x 11,39 größer als 16 ist, also eine negative Zahl für eine Seite ergäbe, ergo falsch. Die Außenfläche errechnet sich ganz einfach aus (16 X 28) - 4x², gell?
Man hätte die den Tiefpunkt (x1 = 11.39) auch etwas anders verwerfen können: Kantenlänge b ist 16 - 2x. Mit diesem Wert wäre die Kantenlänge negativ. (Ich weiß: Der ewige Kampf zwischen Ingenieur und Mathematiker)
Wieso Kampf zwischen Ingenieur und Mathematiker? Dass eine Kantenlänge nicht negativ sein kann, ist ein mathematische Argument.
@@bjornfeuerbacher5514 Dieser Ausdruck liegt eher an meinen alten Dozenten, der uns erklärt hat, dass Mathematik immer 100% sein muss. (in diesem fall x A mit A = {x | 0
@@AlexK171 "In der Mathematik ist es nicht unüblich mit negativen Flächen/Volumen zu rechnen."
Habe ich noch nicht gesehen. Wo kommt das denn vor?
@@bjornfeuerbacher5514 Integral einer Funktion: Ist bildlich an sich die Fläche zwischen der X-Achse und der Funktion. Im positiven Y-Bereich ist die Fläche positiv im negativen Y-Bereich negativ. Die Flächen können sich gegenseitig aufheben. Nimm mal bei der Funktion "sin(x)" das Integral von 0 bis 2*pi und dann mal je von 0 bis pi und pi bis 2pi
Sehr oft kommt das auch bei einer Faltung einer Funktion vor (Faltung ist aber schon ziemlich hohe Mathematik)
@@AlexK171 Nein, dass ein Integral einen Flächeninhalt angibt, stimmt nur dann, wenn die Funktionswerte nicht negativ sind. Wenn die Funktionswerte negativ sind, dann gibt das Integral _minus_ den Flächeninhalt an. Steht so in jedem Mathebuch, das ich kenne.
V(x)=x*(28-2x)*(16-2x)
V(x)=x(28*16-2x*28-2x*16+2x*2x
V(x)=x*(448-56x-32x+4x²)
V(x)=x*(448-88x+4x²)
V(x)=448x-88x²+4x³
V'(x)=448-176x+12x²=0
0=448-176x+12x²
0=112/3-44x/3+x²
x1≈3,2782
x2≈11,389
Wenn auf beiden Seiten x2 abgeschnittenen werden müsste in der Breite, wäre das länger als der Blech (Überschlag 11+11 ist größer als 16), deshalb ist x2 außerhalb von D
also ist a) ca 3,28cm
b) die Breite b der Kästchen ist 16-2*3,28=16-6,56=9,44
die Kästchen Höhe h ist 3,28
die Kästchen lange l ist 28-2*3,28=28-6,56=21,44
c) für das maximale Volumen gilt h*b*l≈663,85cm³=0,66385 L(iter)
die anfallende Materialmenge pro Kästchen ist 16*28-4*3,28²=404,9664cm²
Ohne das Video zu gucken hehe
Hallo,
ich glaube die Aufgabe ist in Teilen sehr schlecht formuliert und damit höchst missverständlich. In Aufgabenteil c) wird nach dem Materialbedarf pro Kästchen gefragt.
Im Aufgabentext wird ja explizit auf den Prozess des Verlötens hingewiesen. Eine vollständig korrekte und damit fehlerfreie Antwort müsste dann auch eine nicht näher zu spezifizierende Menge x an Lötzinn enthalten. Des Weiteren lässt sich mit dem Materialansatz von ca. 405 cm^2 Messingblech keine entsprechende Messingschachtel herstellen. Mir ist zunächst nämlich kein Herstellungsprozess bekannt, mit dem man eine solche Schachtel herstellen könnte. Es wird ja explizit darauf hingewiesen, das ein Abfallstück der Größe 28cm x 16cm benötigt wird, damit man eben den entsprechenden Herstellungsprozess (Ecken quadratisch ausschneiden, Seiten hochklappen und verlöten) überhaupt durchführen kann.
Eine vollständig korrekte Antwort für den Aufgabenteil c würde dann lauten:
Das maximale Volumen des Messingkästchens beträgt 663,85 cm^3.
Der Materialbedarf ist
- 1 Abfallstück Messingblech der Größe 28cm x 16cm.
- Das Messingkästchen selbst besteht aus 404,97 cm^2 Messingblech.
- Eine unbekannte Menge x in Gramm an Lötzinn.
Wer das Glück hatte, in seinem Mathe LK ein paar Schrammecks oder Cattus zu haben, der ist für solche Dinge sensibilisiert. :-)
In den meisten Fällen waren die selbst erstellten Aufgaben meiner Mathelehrer frei von solchen Fehlern. Und wenn man mit Ihnen über die Mehrdeutigkeit einer Aufgabe diskutiert hat, wurde das als konstruktive Kritik aufgefasst.
Viele Grüße,
Oliver
fehlen beim materialbedarf nicht die ausgestanzten quadrate?
14:09 "das ist was wirklich für das Kästchen verwendet wird" also nein, die Quadrate können ja noch andersweitig verwendet/recyclet werden.
@@dfg12382 bei "bedarf" denke ich an einkauf. der lieferant wird auch nicht sagen: "brauchen sie nicht. na, dann ziehen wir es von der rechnung ab." "bitte, gerne!" 🙂
@@dfg12382 Bei allem Respekt für Susannes mathematisches Können, nur weil sie das sagt, heißt das noch lange nicht, dass das auch stimmt. Sie hat die Aufgabe ja (vermutlich) nicht entworfen.
@@Pandra111 Ich hätte vom mathematischen Ansatz her direkt an die Oberfläche des Bodens+Seiten gedacht, also ohne die ausgestanzten Ecken.
Ich vermute, dass die Aufgabensteller das auch so gemeint haben.
Aber du hast in der Praxis natürlich recht.
Man stellt die Kästchen ja aus den rechteckigen Abfallstücken (welchen Vorgangs auch immer) her und an denen sind zwangsläufig auch die Ecken dran, egal ob die nun für das fertige Kästchen gebraucht werden oder nicht.
Theoretisch könnte man das Material der Ecken einschmelzen und wiederverwenden, aber wenn das eine realistische Option wäre, dann würde die Stanzerei das ja gleich mit den rechteckigen Abfallstücken machen und vom eigentlichen Produkt etwas mehr herstellen statt irgendwelche Notbehelfskästchen zu produzieren.
Lange, Rede kurzer Sinn: Ich denke, du hast Recht. Wenn man es von der handwerklichen Seite aus betrachtet, zählen die Ecken zum Materialbedarf, auch wenn man die hinterher übrig hat.
(Könnte man ja noch kleinere Kästchen draus machen! 😛)
@@jensraab2902 Es ist ihr Video, daher gehe ich mit ihrer Festlegung der Aufgaben. Klar kann sich jeder selbst eine Auslegung der Aufgabe ausdenken.
Ob diese Kästchen Verkaufsschlager werden?
Mathematische versus reale Lösung ;-): Der Materialbedarf ist 28 x 16 cm, somit 448 cm^2. Ein Teil davon ist Verschnitt, aber man benötigt ein Metallstück dieser Größe, um das Kästchen überhaupt bauen zu können. Den Verschnitt kann man dann natürlich verwerten und eventuell Mini-Kästchen bauen, was wiederum...
Lösung:
a) Das Volumen beträgt:
V(x) = (28-2x)*(16-2x)*x = (28-2x)*(16x-2x²) = 4x³-88x²+448x
V’(x) = 12x²-176x+448
V’’(x) = 24x-176
Die notwendige Voraussetzung für ein Maximum an der Stelle xmax ist V’(xmax)=0:
12xmax²-176xmax+448 = 0 |/12 ⟹
xmax²-44/3*xmax+112/3 = 0 |p-q-Formel ⟹
xmax1/2 = 22/3±√[(22/3)²-112/3] = 22/3±√[484/9-336/9] = 22/3±1/3*√148 ⟹
xmax1 = 22/3+1/3*√148 ≈ 11,389 und xmax2 = 22/3-1/3*√148 ≈ 3,278 ⟹
Die hinreichende Voraussetzung für ein Maximum an der Stelle xmax1 ist V’’(xmax1) 0 ⟹
An der Stelle ist xmax1 = 22/3+1/3*√148 ≈ 11,389 ein Minimum.
Die hinreichende Voraussetzung für ein Maximum an der Stelle xmax2 ist V’’(xmax2)
Hier fehlt die Begrenzung auf ein vernünftiges Intervall von x auf (0;8), da eine Breite unter 16-2*8 oder eine Höhe
Auch ohne die 2. Ableitung ist doch klar, dass x zwischen 0 und 8 liegen muss, oder?
Schon, aber auch wenn die 11,39 ausscheidet, musst du trotzdem noch zeigen, dass 3,28 ein Hochpunkt ist.
@@teejay7578 Ja, aber man spart es sich zumindest, V ' '(11,39) auszurechnen.
@@bjornfeuerbacher5514 V'' braucht man für beide Werte nicht auszurechnen. Da man davon nur das Vorzeichen wissen will, genügt es, diesen Wert abzuschätzen. Mit der Überlegung, aus sachlichen Gründen den Definitionsbereich auf [0; 8] einzuschränken, kann man sich für 11,39 natürlich auch das sparen. Aber man kann nicht - wie robsn76 aus meiner Sicht vermutet - komplett auf V'' verzichten, nur weil V' nur eine Nullstelle in [0; 8] hat.
@@teejay7578 Da stimme ich dir natürlich völlig zu.
Bei anderen Extremwertaufgaben bist du immer nach dem Schema Hauptbedingung, Nebenbedingung, Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen gegangen. Diesen Schritt hier hast du ja direkt zusammengefasst. Mich hätte trotzdem mal interessiert, was hier die eigentliche Nebenbedingung gewesen wäre.
Hier wären die Nebenbedingungen: Länge des Kästchens: 28-2x, Breite des Kästchens: 16-2x.
@@gelbkehlchen danke!
Warum nicht einfach c) V=L*B*H und O=28*16-4x² ?
Lösung:
(a)
Die Länge des Ziel-Quaders ist 28cm - 2 * x (je ein x links und rechts)
Die Breite des Ziel-Quaders ist 16cm - 2 * x (je ein x oben und unten)
Die Höhe des Ziel-Quaders ist x
Daraus folgt:
V = x * (28 - 2x) * (16 - 2x)
V = (28x - 2x²) * (16 - 2x)
V = 28x * 16 - 28x * 2x - 2x² * 16 + 2x² * 2x
V = 448x - 56x² - 32x² + 4x³
V = 4x³ - 88x² + 448x
V' = 12x² - 176x + 448
V'' = 24x - 176
Nebenbedingung: Da die Breite des Rohmaterials 16cm beträgt, kann x nicht größer werden als 16 / 2 = 8, daher ist 0 < x < 8
Hoch-/Tiefpunkt > V' = 0:
0 = 12x² - 176x + 448 |:12
0 = x² - 44/3 x + 112/3
x₁,₂ = -(-(44/3) / 2) +- √( (-(44/3) / 2)² - 112/3)
x₁,₂ = 22/3 +- √( (22/3)² - 112/3)
x₁,₂ = 22/3 +- √(484/9 - 336/9)
x₁,₂ = 22/3 +- √(148/9)
x₁,₂ = 22/3 +- √148/3
x₁,₂ = (22 +- √148)/3
Nebenrechnung:
(22 + √148)/3 ~ (22 + 12,166)/3 ~ 34,166/3 ~ 11,389 > Dies ist größer als 8 und daher nicht relevant.
x = (22 - √148)/3
x ~ 3,278 [cm]
Ist dies ein Hochpunkt?
Beweis: Ist V''(x) < 0?
V'' = 24x - 176
V'' = 24 * 3, 278 - 176
V'' = 78,672 - 176
V'' = -97,328
x ist ein Hochpunkt!
(b)
Länge: 28 - 2 * 3,278 = 21,444 [cm]
Breite: 16 - 2 * 3,278 = 9,444 [cm]
Höhe: 3,278 [cm]
(c)
Volumen:
V = 21,444 * 9,444 * 3,278 = 663,851 [cm³]
Materialbedarf ist 28 * 16 abzüglich 4 Quadraten mit Seitenlänge x.
Daher:
A = 28 * 16 - 4x²
A = 448 - 4 * 3,278²
A = 448 - 42,981
A = 405, 019 [cm²]
Ich weiß, aber da man es sowieso rundet und nicht direkt mit diesem Wert weiterrechnet, ist das hier irrelevant.
Ich hab da was interessantes zum Thema Dreiecke von Harald Lesch gefunden. Er erzählt da über Kreise und Dreiecke, und dass die Summe der Innenwinkel größer wird, wenn ich ein Dreieck auf einen Kreis stelle.
czcams.com/video/gyal9T_fQ-8/video.html (Ab 2 Minuten 11)
Wenn ich nun ein rechtwinkliges Dreieck mit gleichlangen Katheten (klassisches Geodreieck) mit der Hypotenuse auf eine Kugel Stelle, steht es nicht Stabil :)
Jetzt Drücke ich die Hypotenuse ein, so dass das Dreieck stabil auf der Kugel Steht. Was passiert? Der 90° Winkel bleibt. Die Katheten bleiben gleich. Die Hypotenuse wird NACH INNEN eingedrückt. Damit werden die Innenwinkel doch kleiner und nicht größer.
Je nachdem wie ich Kugel und Hypotenuse dimensioniere ist es doch möglich, dass die 45° Winkel gegen 0° laufen.
(Wenn die Kugel Komplett im Dreieck liegen würde, haben Kathete und Hypotenuse im eigentlichen 45° Winkel doch die gleiche Startrichtung. Irgendwann trennen sich die Wege: Hypothenuse läuft um die Kugel, Kathete geht grade weiter).
Kannst du in deiner Liebenswürdigen Art das mal grafisch Darstellen? Ich gehe ehrlich gesagt davon aus, dass ich ein Gedankenfehler mache.
Das Dreieck wird nicht auf die Kugeloberfläche gestellt, sondern ist Teil der Kugeloberfläche. Schau dir mal dieses Bild an oder google "nicht-euklidische Geometrie". de.wikipedia.org/wiki/Nichteuklidische_Geometrie#/media/Datei:Triangles_(spherical_geometry).jpg
@@marpaub Nach entsprechender Suche war ich auch bei Wiki und habe nur das Thema Triangulation gesehen. Da konnte ich mein Fehler jetzt nicht so schnell finden. Nichteuklidische Geometrie macht es viel deutlicher, danke!
Die Rechnung funktioniert nur bei einem infinitessimal dünnen Blech.
Nachdem man in Aufgabe b die Abmessungen berechnet hat, kann man das Volumen auch mit a*b*c berechnen.
Die Frage ist, ob diese Kaestchen tatsaechllich produziert worden waeren, oder ob die Kaestchen als "nicht rentabel verkaeufllich" beurteillt und die Betriebsingenieurin wegen ihres daemlichen Vorschlags gefeuert worden waere ...
😉
Aus betriebswirtsschaftlicher Sicht waere der Materialbedarf die Groesse des urspruenglichen Blechs, aus dem die Ecken ausgeschnitten werden, weil die ausgeschnittenen Ecken nicht weiterverwendet werden koennen ...
😉
Der Materialbedarf ist doch einfach das sowieso anfallende Abfallblech, von dem man die 4 x²-Ecken noch abschneidet.
Nix kapiert, aber trotzdem like
Wir waren in Mathe immer faul xD eine Ableitung reicht, musst halt nur wissen wo positiv ist... Auch pq Formel - Quadratische Ergänzung geht immer und mit Übung bei den glatten Zahlen oft sogar schneller
Immer Abc. PQ ist ja nur ein Sonderfall. Aber wie auch immer: beides geht gut😅
Da kann man sich drüber streiten ... denn schliesslich kann aus der abc-Form IMMER (immer immer immer) auch eine pq-Form erzeugt werden. Die Aussage, die pq-form sein ein Sonderfall, ist also Blödsinn.
Natürlich immer die q-Formel 😊
Was ist denn jetzt mit diesem ominösen x2, die 11,39cm. Das muss doch irgend eine mathematische Bedeutung haben. In der Praxis geht es natürlich nicht, da würde von dem Blech zumindest in einer Richtung nix mehr übrig bleiben. Wäre es dann ein negatives Volumen mit virtuellen Blechkanten?
Völliger Hirnfi**, Wahnsinn, dass du die Welt diese Sachen lehrst! Danke dafür, ich hätte es nicht mal ansatzweise hinbekommen! Bleib wie du bist und bitte do what you do!👌👌👌🦝
Du hast nur lokale Extrema betrachtet. Es kann auch absolute Extrema geben. Das braucht zumindestens noch eine Betrachtung. V hat 3 Nullstellen (0,8,14) wie anhand der Zeichnung sofort klar ist. Nur Werte zwischen 0 und 8 sind physikalisch sinnvoll. Da dazwischen das lokale Maximum liegt, muss dieses auch das absolute Maximum sein, denn es gibt keine weiteren lokalen Extrema dazwischen.
Here after world raisers channel
Warum war Mathe bei mir nur so unfassbar öde und langweilig…Grüße gehen raus an Herrn Weiler….
was geht youtube
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Hä? 2×88=172. Ich glaube, da hast du dich verrechnet. 😅
Pfiffige Aufgabe. Die einzelnen Aufgabenteile zwar gelöst aber den Optimierungsvorgang muss ich noch üben.
Mal etwas anderes, das sich meine Söhne von Dir abgekupfert haben: Man merkt, dass du Musikerin bist, da wird der Logarithmus zu Logarhythmus . . .
Frag doch die Ingenieurin!
Oberflächeninhalt bei offenen Körpern ist vermutlich eine irreführende Bezeichnung. Außenfläche trifft es vielleicht besser?