Knifflige Geometrie Aufgabe - Wie groß ist der Winkel?
Vložit
- čas přidán 9. 07. 2024
- Winkel berechnen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man in dem Dreieck den fehlenden Winkel berechnen kann. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Dreieck Geometrie
0:43 Winkel berechnen
1:52 Hilfsdreieck
3:12 Winkel berechnen
8:40 Bis zum nächsten Video :)
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Derart viele Winkel am Morgen
geben Anlass zu großen Sorgen.
Doch Susanne erklärt's so gut,
wovor ich ziehe meinen Hut.
Einfach nur genial. Von selbst wäre ich nicht draufgekommen. Jetzt ist natürlich alles ganz easy. Danke für das tolle Video.
Die Aufgaben machen wie immer groẞen Spaß. Und wenn ich mal nicht weiter weiß, dann ist auch die Lösung wie immer sehr klar und leichtfüßig erklärt. Super toll.
Sehr guter Ansatz, ich schaue Deine Videos immer sehr gerne und "rätsele" mit und versuche mich mit meinem noch rudimentären Mathematikwissen es vorher auch zu lösen.
Eine verwinkelte reise ans Ziel!
hat spass gemacht!
Danke!
Ganz schön aufwändig. Danke für das Gehirntraining.
Hey Susanne! Ganz still und heimlich hast Du während Deines Urlaubs mal so eben die halbe Million geknackt! Ich schließe mich den Kommentarschreiber/innen, die Dir dazu herzlich gratulieren, an! 👏👍😊 Ich bin sicher, daß Du es im Urlaub angemessen gefeiert hast, und wünsche Dir weiterhin viel Erfolg hier bei CZcams, aber vor allem wünsche ich Dir Glück und Zufriedenheit in Deinem Leben! 🌻
Glückwunsch zu 500000 Abonnenten🤗
Hallo Susanne - zuerst einmal alles Gute zum neuen Jahr!
Habe mich bei der Aufgabe mit dem Sinussatz und dem Kosinussatz herumgeschlagen und am Ende auch 30° herausbekommen.
Aber Deine Lösung finde ich elegant.
❤liche Grüße!
Ja, ich habe mir die Zeichnung kurz scharf angeschaut und bin dann auf Deinen Lösungsweg gekommen. Man muß natürlich Sinus - und Kosinussatz kennen. Auf Susannes Lösungsweg wäre ich wahrscheinlich in drei Ewigkeiten nicht gekommen.
Super Video, danke!
Mir ist schwindelig... Ganz großes Kino! Applaus, Applaus...
Oh, endlich die 500k voll gemacht! GRATULATION🎉
Spannende Aufgabe,
und so großartig erklärt. 😊
Dankeschön 🥰
Danke Susanne wieder einmal eine sehr schöne Aufgabe
Hallo Susanne! Ich hatte einen komplett anderen Weg eingeschlagen. 30 Grad am Punkt B ließ sich leicht ausrechnen, dann habei ich die Höhe der beiden Dreiecke eingezeichnet (die 2x-Seite mit y verlängert bis zur Höhe). Dadurch erhielt ich einmal ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit zweimal 45 Grad Winkeln, die Katheten jewels x+y. Außerdem ein halbes gleichseitiges Dreieck: der eine Winkel 30 Grad, der andere 60. Cos 60 = 1/2, die Hypothenuse also 2 und die kürzere Kathete, gleichzeitig die Höhe der beiden Dreieicks: x+y=1. Dadurch Hypothenuse des gleichschenkligen Dreiecks √2. Mit Pythagoras die Länge der 2x+y Seite ausgerechnet, ergab √3. Davon x ausgerechnet: √3=2x-(1-x)=√3-1 wobei y=x-1. Dann habe ich Seite c (die Strecke AC) mit dem Kosinussatz und α mit dem Sinussatz (beide von dir gelernt) ausgerechnet. Zum Schluss erhielt ich 30 Grad, wollte es nicht glauben - ich dachte es wäre näher am 45. Deswegen deine Lösung angeguckt, und tada! es war ja richtig! Das Erfolgsergebnis des Tages. Danke für die knifflige Aufgabe. :)
Viel zu viel aufwendig🤷♂️
@@hamidavanaki86 Hört sich so an, bzw. liest sich so. Wenn man sich aber mit den gelichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken gut auskennt (die sind ja eigentlich sehr leicht), sin/cos/tan der wichtigen Winkeln im Kopf hat (oder schnell nachguckt), dann ist man im Nu beim Sinus- und Kosinussatz. Ich selber habe in Nachhinein einige Stellen gefunden, wo man hätte auch einfacher vorgehen können. Bin selber kein Mathematiker.
Das schöne an der Video-Lösung ist das eine Möglichkeit ohne Taschenrechner ist. Ich hab's auch anders gelöst. Nur habe ich x gleich 1 gesetzt und über die sin und cos Sätze die verschiedenen Seiten ausgerechnet, ohne die Höhen. Wie heißt es so schön, viele Wege führen nach Rom.
@@renamila das stimmt, hast du recht👍
Einfach Klasse....
Das ist ein recht langer Lösungsweg. Wie kommt man darauf, dass dieser Weg zum Ziel führen muss? Ich hätte nach der Hälfte des Weges geglaubt, dass ich mich verzettelt habe und was anderes versucht. 😀
Muss er nicht, aber gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke sind mächtig. Und wenn man den Ansatz probiert, klappt es hier einfach zu gut, um nicht zum Ziel zu führen ;-)
Tolle Aufgabe. Ich hab Schritt für Schritt mit Sinus- und Cosinussatz gearbeitet und Seite für Seite berechnet. Bin auf das richtige Ergebnis gekommen, allerdings mit ca. 1h rechnen, dafür ohne Magic-Hilfsdreiecke 😅
Hallo Susanne,
Herzlichen Glückwunsch zu über 500 000 Abonnenten.
Habe die Aufgabe leider diesmal nicht hinbekommen.
Sehr schöner Lösungsweg. Nur muss man hat erst mal darauf kommen.
LG nach KL aus dem Schwabenland
Genial gelöst
Phänomenal. Da muss man erstmal drauf kommen.😊
Sehr elegante Lösung. Ich habe mit Kanonen auf Spatzen geschossen und den Sinussatz und ein Additionstheorem angewandt. Mit dem Sinussatz gilt x/sin(alpha)=b/sin(45) und 2x/sin(alpha+15)=b/sin(30), wobei b die Strecke von A nach C ist. Dividiert man die Gleichungen durcheinander folgt 1/2*sin(alpha+15)/sin(alpha)=sin(30)/sin(45)=sqrt(2)/2 und somit sin(alpha+15)/sin(alpha)=sqrt(2). Mit sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) folgt sqrt(2)=[sin(alpha)cos(15)+cos(alpha)sin(15)]/sin(alpha)= cos(15)+sin(15)*cot(alpha). Auflösen ergibt cot(alpha)=(sqrt(2)-cos(15))/sin(15). Falls der Taschenrechner keinen arcus cotangens hat bildet man den Kehrbruch und erhält alpha=tan^{-1}(sin(15)/(sqrt(2)-cos(15))=30°.
Wow, ich dachte ich wäre fit in Geometrie. Eine so schöne Lösung 👍
Glückwunsch zur halben Million!
Der Winkel rechts neben dem 45°-Winkel ist 135° groß. Zusammen mit dem 15°-Winkel sind es 150°, der Winkel rechts unten ist also 30° groß.
BC=sin(135)*x/sin(15)=2,732x
AC^2=(2x)^2+(2,732x)^2-2*2*x*2,732x*cos(30)=1,414x
Alpha=sin^-1(x*sin(45)/1,414x)=sin^-1(sin/(45)/1,414)=30,004°...
Da ich das ganze mit dem Taschenrechner gemacht habe und nur 3 Stellen hinter dem Komma genommen habe, ist das jetzt vielleicht ein wenig ungenau.
Ich HASSE Winkelfunktionen!
So, jetzt habe ich mir das Video reingezogen und fühle meinen Hass auf Winkelfunktionen bestätigt.
Bin bestimmt kein Mathe crack,aber diese Aufgabe n machen echt Spaß!! Freue mich immer darauf.danke dafür❤
Das freut mich sehr 🥰
Meine Lösung:
Sei D der Mittelpunkt von AB, dazu wird von C ein Lot auf AB gefällt, der Schnittpunkt ist dann E. Sei AE = y. Dazu kommt noch F auf AB mit FE = AE = y.
Das Dreieck ECD ist dann gleichschenklig-rechtwinklig, es gilt also EC = x + y.
Das Dreieck ECB ist ein halbes gleichseitiges Dreieck (30-60-90), also gilt BC = 2*EC = 2x + 2y.
Das Dreieck BCF ist gleichschenklig, da BC = FB = 2x + 2y. Damit ist Winkel CFB = 0,5*(180-30) = 75.
Die Dreiecke CFE und CEA sind kongruent, also ist auch Winkel EAC = 75.
Damit ist WInkel CAB = 105 und Alpha = 30.
Juhu
Guten Morgen 🤗
Hab einfach mein Geodreieck drangehoben und ausgemessen.
Hi, deine Videos sind echt durch die Bank weg top. Bin da immer etwas kritisch unterwegs deswegen hier echt wirklich gut.
Teils scheinen mir aber (nicht nur dieses Video) die Aufgaben sehr "absichtlich" konstruiert zu sein.
Also soll jetzt nicht wirklich negativ gemeint sein, die ganzen mathematischen zusammenhänge die damit einhergehen sind ja toll dargestellt, aber leider sind die halt quasi so gewählt worden, von der Aufgabe aus, damit das alles "schön" zusammenpasst.
Mir fehlt bei dieser konkreten Aufgabe immer dann ( war damals als Schüler schon so) etwas der Bezug zur Realität.
Wie gesagt eigentlich alles top und richtig erklärt und toll von der Aufgabe her, um die in diesem Falle für Gleichschenklige Dreiecke gültigen zusammenhänge zu erklären.
ABER: genau diese "konstruierten" Aufgaben sind für wirklich tja.. "Begabte" nenn ich diese jetzt mal teilweise problematisch, weil dieser Ansatz der hier wenn man es aus der Aufgabenstellung her betrachtet recht willkürlich wirkt. Weil der Zusammenhang der sich durch diese gezielte Aufgabenstellung im "echten Leben" so tatsächlich eher zufällig und nicht wirklich schlüssig ergibt.
Lange Rede kurzer Sinn: Wirklich gute Schüler mögen genau diese konstruierten Aufgaben gar nicht, weil diese eher zufällig und nicht wirklich logisch zu sein scheinen, eben weil sie "gezielt konstruiert" wurden.
PS Genau solch eine ziemlich ähnliche Aufgabe hat mir mal ne ziemlich schlechte Note eingebracht, weil ich zu viel "denk Zeit" in einer Klausur "verschwendet" habe, weil dieser "Zufällige" Zusammenhang mir eben nicht als wahrscheinlich vorgekommen war und ich zu viel Zeit in dem finden zu alternativen gemeingültigen Lösungsansetzten verbrachte. Damit dann auch zu viel Zeit für diese eine Aufgabe investieret und effektiv keine mehr für den Rest der Klausur übrig hatte.
Zeil des gesamte Kommentars: Bitte die Aufgaben nicht so formulieren, damit sie (nicht nur) aus "Aufgaben-STELLER" Sinn machen, sondern eben auch aus "Aufgaben-NEHMER".
danke
Super Gedankenspiel
Ein Nachtrag mit Berechnung über Algebra: ich lege in die Zeichnung ein Kordinatensystem mit (0/0) am linken unteren Eck. Dann die beiden Geradengleichungen ausgehend von P1(x/0) bzw. P2(2x/0) berechnen, wobei der Tan von 45 und 30 Grad ja jeweils die Steigung angibt. Schnittpunkt der Geraden bestimmen = P3. Steigung von P3 mit (0/0) berechnen = 75 Grad. Davon 45 Grad subtrahieren. Ergebnis: 30 Grad.
💯
Hallo Susanne, ich habe eine Frage an dich . Weil es in diesem Video um Winkel geht , habe ich mich erinnert an eine Aufgabe , die ich mir vor geraumer Zeit selbst gestellt habe. Sie lautet folgendermaßen : Wie oft , innerhalb 24 Stunden , stehen Minutenzeiger und Stundenzeiger einer Analoguhr in exaktem Winkel von 180 Grad zueinander und welche exakten Uhrzeiten werden dabei angezeigt ? Ich habe die Ergebnisse in Dezimalzahlen umgerechnet , also zB. 20 Uhr zehn ist dann 20,166666667 Stunden nach 00:00 Uhr . Meine Frage lautet nun : Sind diese Zahlen , die man dabei erhält noch rational , oder schon irrational bzw. transzendent ?
Schöne Lösung, aber es geht auch über den Sinussatz. Es entsteht das Verhältnis: sin(30°)/sin(15°)=sin(135°-alpha)/sin(alpha) und dafür existiert nur die Lösung alpha=30°
Ich habe auch mit den Winkeln des rechten Dreiecks angefangen und es mir dann schwer gemacht. BC habe ich mit Sinussatz ausgerechnet, dann AC mit Cosinussatz und das wieder im Sinussatz eingesetzt, x kürzt sich weg und dann nach Alpha aufgelöst.
Sorry, das erste was mir beim Thumbnail einfiel „Feinwäsche“ (30°) Sorrüüüüüüüü😂
❤
Susanne super, nur mit Geometrie, ohne Trigonometrie wie ich!
Kann mich dunkel erinnern, dass wie so eine Aufgabe in der 8. Klasse bekommen haben. Hach ja, schön war's. 😄
Tolle Aufgabe. 👍🏼
Ich frag mich gerade folgendes: Wenn man C auf BC verschieben würde, dann wäre CD doch nicht zwangsläufig gleich x? Oder übersehe ich da etwas?
Strecke BA um zweimal x nach links verlängern und B´ mit C verbinden: Im großen Dreieck B´CB gilt 180° - 2 * 30° - 2 * 15° = 2 * Alpha! => Alpha = 45°!
Das funktioniert nicht. Der Winkel bei B' ist nicht 30°. Dir fehlt bei der Verlängerung noch die Entfernung von A nach links bis zur Höhe durch C. Auch kommt dann noch ein, bzw. zwei zusätzliche Winkel bei C dazu.
Das würde nur funktionieren, wenn der Winkel 90 Grad wäre, dann wäre dieser Ansatz sehr gut 😊
Ich hab es einfach mit dem Sinussatz gemacht. Ich habe aber viel länger gebraucht als mit den Hilfsdreiecken, auf die ich nie gekommen wäre.
Zum Sinussatz: Ich bezeichne die Trennlinie der beiden Dreiecke (von A zum Mittelpunkt der unteren Seite) als a, dann ist nach dem Sinussatz im rechten Dreieck a/x = sin 30°/sin 15° und im linken Dreieck a/x = sin (135°-alpha)/sin alpha. Dann beide gleichsetzen, a und x fallen raus und nur die Unbekannte alpha bleibt über. Nun Additionstheorem anwenden: sin(135°-alpha)=sin 135° cos alpha - sin alpha cos 135° = 1/wurzel(2) cos alpha + 1/wurzel(2) sin alpha. Dies durch sin alpha teilen ergibt 1/wurzel(2) (1/tan alpha +1) und man erhält sin 30°/sin 15° = 1/wurzel(2) (1/tan alpha) + 1). Dies nach tan alpha auflösen und arcus Tangens anwenden, fertig ist der Lack: alpha = arctan (wurzel(2) sin 30°/sin 15° - 1). Ich hab die Werte im Taschenrechner gelassen und es kam 30,0000000004 heraus.
Ohh, ich war zu schnell. Am Ende muss man noch den Kehrwert nehmen: alpha = arctan (1/(wurzel(2) sin 30°/sin15° -1)). Man sollte sich mehr Mühe geben beim Abschreiben vom Zettel.
Und ich meinte a für die Strecke von C zum Mittelpunkt der unteren Seite, man sollte genau hinschauen ...
Also ich kam auf 30 Grad ohne zu rechnen. Hab zwar keine Ahnung ob mein Gedanke zufällig richtig war oder immer funktioniert. Da sich die untere Seite verdoppelt hat (x+x), wenn man davon ausgeht, dass das rechte dreieck dazu gekommen ist, muss sich der dazu addierte Winkel neben alpha, also der obere Winkel im rechten Dreieck (15 Grad) halb so groß sein wie der obere Winkel des linken Dreiecks (also alpha). Deswegen hab ich die 15 Grad einfach verdoppelt und kam auf 30 Grad.
Herzlich Willkommmen in der Winkelgasse bei unserer Winkeladvokatin. 🙂
Was für ein Weg !
Keinen Plan, muss ich wohl noch mal anschauen.
Ufff 🤯 wäre ich nicht drauf gekommen
Schon interessant das immer die selben Aufgaben genommen werden. Das Ding ist bei Premathe schon ewig
drin. Übrigens der selbe Lösungsweg. Ausser Sinussatz gibt es noch ein dritten Weg den keiner mehr auf den Zeiger hat, mit Millimeterpapier zeichnen :)
Einspruch! Allerdings nehme ich kein Millimeterpapier mehr, sondern ein CAD-Programm ;-)
Ich hätte ja wenigstens die Zahlen verändert zum Beispiel 20 für 15 und 60 für 45.
Damit sieht man das sich noch keiner den Gedanken gemacht hat welche Zahlenkombination noch
geht auf diese Art und Weise. Und vorallem das nicht jede Zahlenkombination geht so.
Natürlich wird mit Geogebra konstruiert, um schonmal die Lösung zu haben, ohne das Video zu sehen. Beim Konstruieren entstehen dann evtl. auch Lösungsideen.
❤❤❤🤓😂
Ich hatte bei dieser Aufgabe gar keine Idee zum vorgehen
Mein Lösungsvorschlag ▶
Der mittlere Punkt zwischen A und B soll D sein.
w(ACD)= α
w(CAD)= β
w(ADC)= 45°
w(CDB)= 180°-45°
w(CDB)= 135°
w(DBC)= 180°-15°-135°
w(DBC)= 30°
für das Dreieck CAD:
α+ β + 45°= 180°
α+ β = 135°
β =(135- α)
⇒
für das Dreieck CAD:
CA= z
AD= x
CD= y
⇒
Nach dem Sinussatz für das Dreieck CAD:
sin(α)/ x = sin(45°)/z = sin(β)/y................Gl-1
für das Dreieck CAB:
CA= z
AB= 2x
CB= k
⇒
Nach dem Sinussatz für das Dreieck CAB:
sin(β)/ k = sin(30°)/z = sin(α+15°)/2x.........Gl-2
β =(135- α)
von der Gl-1 das Verhältnis zwischen x und z :
sin(α)/ x = sin(45°)/z
sin(α)*z= x*sin(45°)
x= sin(α)*z/sin(45°)
von der Gl-2 das Verhältnis zwischen x und z :
sin(30°)/z = sin(α+15°)/2x
sin(α+15°)= sin(α)*cos(15°)+sin(15°)*cos(α)
⇒
2x*sin(30°)= z*sin(α+15°)
x= z*sin(α+15°)/2*sin(30°)
die x Werte von Gl-1 und Gl-2 sind sich gleich:
⇒
sin(α)*z/sin(45°) = z*sin(α+15°)/2*sin(30°)
sin(α)/sin(45°)= [sin(α)*cos(15°)+sin(15°)*cos(α)]/(2*sin(30°))
sin(30°)= 0,50
sin(45°)= √2/2
⇒
2sin(α)/√2 = [sin(α)*cos(15°)+sin(15°)*cos(α)]/(2*0,5)
√2sin(α)= sin(α)*cos(15°)+sin(15°)*cos(α)
sin(α)[√2-cos(15°)]= sin(15°)*cos(α)
sin(α)/cos(α) = sin(15°)/[√2-cos(15°)]
tan(α)= sin(15°)/[√2-cos(15°)]
⇒
α = arctan[sin(15°)/[√2-cos(15°)]]
sin(15°)= 0,258819045
cos(15°)= 0,965925826
⇒
α = arctan[0,258819045/[√2-0,965925826]
α = arctan(0,577350269)
α = 30°
2. Lösungsvorschlag ▶
Für das Dreieck CDB, nach dem Sinussatz:
sin(15°)/x = sin(135°)/k= sin(30°)/y..............Gl-1
Für das Dreieck CAB, nach dem Sinussatz:
sin(β)/k= sin(30°)/z = sin(α+15°)/2x.............Gl-2
β= 135°-α
⇒
sin(135°-α)/k= sin(30°)/z= sin(α+15°)
Berücksichtigt man das Verhältnis zwischen x und k in den beiden Gleichungen und isoliert x, ergibt sich als:
sin(15°)/x = sin(135°)/k
x*sin(135°)= k*sin(15°)
x= k*sin(15°)/sin(135°)
sin(β)/k= sin(α+15°)/2x
2x*sin(β)= k*sin(α+15°)
2x*sin(135°-α)= k*sin(α+15°)
x= k*sin(α+15°)/2*sin(135°-α)
⇒
k*sin(15°)/sin(135°) = k*sin(α+15°)/2*sin(135°-α)
2*sin(15°)/sin(135°)= sin(α+15°)/sin(135°-α)
sin(15°)= 0,258819045
sin(135°)= 0,707106781
⇒
0,732051= sin(α+15°)/sin(135°-α)
sin(α+15°)= sin(α)*cos(15°)+sin(15°)*cos(α)
sin(135°-α)= sin(135°)*cos(α) - sin(α)*cos(135°)
⇒
0,732051= sin(α)*cos(15°)+sin(15°)*cos(α)/[sin(135°)*cos(α) - sin(α)*cos(135°)]
0,732051*sin(135°)*cos(α) - 0,732051*sin(α)*cos(135°) = sin(α)*cos(15°)+sin(15°)*cos(α)
0,732051*sin(135°)*cos(α)-sin(15°)*cos(α) = 0,732051*sin(α)*cos(135°) + sin(α)*cos(15°)
cos(α)[0,732051*sin(135°)-sin(15°)]= sin(α)[0,732051*cos(135°) + cos(15°)]
sin(α)/cos(α)= [0,732051*sin(135°)-sin(15°)]/[0,732051*cos(135°) + cos(15°)]
tan(α)= [0,732051*sin(135°)-sin(15°)]/[0,732051*cos(135°) + cos(15°)]
cos(135°)= -0,707106781
cos(15°)= 0,965925826
⇒
tan(α)= [0,732051*0,70710678 - 0,258819045]/[0,732051*(-0,707106781) + 0,965925826]
tan(α)= 0,258819181/ 0,4482876
tan(α)= 0,577350747
α = arctan(0,577350747)
α ≅ 30°
10 Jahre später .. Omg 500 tausend.. ich muss aufholen ^^
Entscheidend ist natürlich das Einzeichnen der ersten Hilfslinie. Alles Andere ist dann ziemlich trivial und leicht nachzuvollziehen. Aber wie um Alles in der Welt soll ich auf diesen ersten Schritt kommen? Und eine Frage, an Dich Susanne und an die Zuschauer: Wer glaubt, daß er nach dem Betrachten des Videos eine ähnliche Aufgabe besser lösen könnte als vorher? Und darum geht es doch wohl letztlich!
Übrigens mußte ich nicht lange nachdenken, um einen alternativen Lösungsweg zu finden!
czcams.com/video/4n6aB4aasyg/video.htmlfeature=shared
Viel Spaß beim Anhören
Anderer Ansatz:
Die tatsächliche Länge von x ist irrelevant, so lange die Längenverhältnisse (und damit die Winkel) gleich bleiben.
Ebenso haben die beiden Teildreiecke die gleiche Fläche (da gleiche Basis x und gleiche Höhe).
Nennen wir den Punkt, der die untere Seite halbiert, D.
Das Dreieck BCD hat die Winkel 30, 15 und 135.
Wir wählen x=1 (Längeneinheit) und erhalten via Sinussatz alle (relativen) Seitenlängen von BCD (BC=2,7321 (Längeneinheiten) und CD=1,9319 (Längeneinheiten))
Via Heronformel erhalten wir die (relative) Fläche des Dreiecks BCD (0,6830 (Flächeneinheiten)).
Da wir AD (1) und CD (1,9139) schon kennen können wir nun via Heronformel AC (1,4142) ausrechnen und dann via Sinussatz alle Winkel.
Es ergibt sich alpha=30.
?😄🔫
Lösung:
D = Mitte der Strecke AB,
Winkel BDC = 180°-45° = 135°,
Winkel CBD = 180°-15°-135° = 30°.
Sinussatz im Dreieck ABC:
(1) AC/(2x) = sin(30°)/sin(α+15°)
Sinussatz im Dreieck ADC:
(2) AC/x = sin(45°)/sin(α)
(1):(2) = (3) [AC/(2x)]/[AC/x] = [sin(30°)/sin(α+15°)]/[sin(45°)/sin(α)] ⟹
(3a) 1/2 = (1/2)*sin(α)/[sin(α+15°)/√2] |*2*sin(α+15°)/√2 ⟹
(3b) sin(α+15°)/√2 = sin(α) |*√2 ⟹
(3c) sin(α)*cos(15°)+cos(α)*sin(15°) = sin(α)*√2 |/sin(α) ⟹
(3d) cos(15°)+1/tan(α)*sin(15°) = √2 |*tan(α) ⟹
(3e) cos(30°/2)*tan(α)+sin(30°/2) = √2*tan(α) |-cos(30°/2)*tan(α) ⟹
(3f) √2*tan(α)-cos(30°/2)*tan(α) = sin(30°/2) ⟹
(3g) [√2-cos(30°/2)]*tan(α) = sin(30°/2) |nach den Halbwinkelformeln auf Wikipedia ⟹
(3h) {√2-√[(1+cos(30°))/2]}*tan(α) = √[(1-cos(30°))/2] ⟹
(3i) {√2-√[(1+√3/2)/2]}*tan(α) = √[(1-√3/2)/2] ⟹
(3j) {√2-√[1/2+√3/4]}*tan(α) = √[1/2-√3/4] |/{√2-√[1/2+√3/4]} ⟹
(3k) tan(α) = √[1/2-√3/4]/{√2-√[1/2+√3/4]} ⟹ α = 30°
Mein Lösungsweg
Der Mittelpunkt von AB ist sei M.
Der ○ mit Mittelpunkt M und Radius r geht durch A und B. Der Schnittpunkt mit CB sei D.
Der Schnittpunkt von AD mit MC sei S.
Das △ADC ist rechtwinklig (Satz von Thales) mit Katheten AD und CD.
∡DSC ist also 90°-15°=75°, dann ist ∡DSM=105° und ∡DMC=15°.
△DMC ist also gleichschenklig mit MD=CD=x
△AMD ist gleichschenklig mit einem ∡60, also ist es gleichseitig, dann ist AD=MD=AM=x.
∡ADC=90° mit AD=CD, also sind die Hypothenusenwinkel 90°/2=45° und somit alpha=45°-15°=30°
Verstehe die Lösung nicht. Was ist AD? M muss auf der Mittelsenkrechten von AB liegen, damit der Kreis durch A und B geht.
@@semiconnerd Danke. Das ist natürlich richtig.
Ich hatte zwei verschiedene Lösungen gezeichnet und bin dann bei formulieren des Lösungswegs in der Skizze verrutscht. Ich hab es korrigiert.
Wenn ein Susanne-Video fast neun Minuten dauert, dann ahne ich: Entweder verstehe ich es sofort oder es zieht sich 🙂. Und? Es zog sich. Natürlich blieb ich trotzdem dabei, das Rumgefummele mit Zirkel und Lineal war immer ein goßer Spaß.
Mit ihren Geometriekenntnissen wäre Susanne locker in Platons und Aristoteles Akademien aufgenommen worden.
(Sorry Denkfehler)Ich mag Deine Videos sehr aber, das Problem ist mir zu kompliziert gelöst. Wenn Du die Strecke B-A(2x) um y verlängerst,
so das Links von A ein rechtwinkeliges Dreieck entsteht , hast Du ein Dreieck Mitte(AB) C und Y.
Ein Winkel(MAB) ist 45 Grad der Winkel an Y ist 90. Macht fuer Alpha ebenfalls 45 Grad. finde ich schneller.
LG
Du weißt noch nicht, dass der neue Winkel δ bei C 15° beträgt, kannst nur sagen, dass α+δ 45° groß sind.
@@porkonfork2024 hast Du ein Dreieck Mitte(AB) C und Y Ich brauche das nicht wissen. der Teilwinkel mit 15 ° liegt nicht in dem Dreieck, das ich betrachte. Das Dreieck mit dem 15° Winkel betrachte ich gar nicht.
@@binjanurich8844 in deinem neu geschaffenen, rechtwinkligen Dreieck ( [Mitte AB], C, Y) ist der Winkel bei C aber nicht Alpha, sondern Alpha + der noch unbekannte, links daneben liegende Winkel Delta
@@bigginabru3025 Stimmt, da hatte ich einen Denkfehler.
Alpha ist aber 30°
2cm. OK, ich gebe zu ich habe pause gedrückt und abgemessen. 😄
cm ist aber keine Maßeinheit für Winkel 😅
😂
Nochmal zur 500000 .. GZ
Ein Dreieck in einem Dreieck... der gegenüberliegende Winkel ist gleich gross... und insgesamt sind es 180 Grad... also wissen wir das a= 45 grad sind
An sich ist Mathe ja net schwer, solang man nur weiß, wie man vorgehen muss. Und daran haperts meist ^^.
Ich hab lange nach einer Lösung gesucht, bin dann über Parallelogramme gegangen.
Wieso können wir hier nicht mit sinus oder cosinus arbeiten?
Weil die Längen der Seiten nicht gegeben sind?
Nur im rechtwinkligen Dreieck.
Ich habe es mit dem Sinussatz probiert, aber ohne Erfolg...
Nun, es geht eben auch klassisch-griechisch, also nur mit Zirkel, Lineal und Sätzen über Winkel und Dreiecke. Finde ich viel spannender, archaischer.
Geht schon, und zwar mit Sinus- und Cosinussatz, ist aber mühseliger.
Zu komplizierter rechenweg aber trotzdem Klasse gemacht!
Ist ein bisschen wie Tresor knacken 😂
Liebe Susanne,
wenn Sie Influencerin für Kuckucksuhren wären, dann wäre meine ganze Wohnung voll Kuckucksuhren.
Also graphisch leider nicht so schön. Die Berechnung finde ich allerdings klasse!
Ein Fächer, hahaaa, ein Wing? Eine Flosse? Guten Morgen Lady M, ja für mich is grade morgens
Oder man rechnet 180-45-30=105
180-105-45=30❤
Lösung:
Zuerst benennen wir den Punkt bei 45° als D
Wir können anhand der gegebenen Winkel die drei Winkel des rechten Dreiecks über die Innenwinkelsumme von Dreiecken (=180°) berechnen:
Winkel bei D: 180° - 45° = 135°
Winkel bei B: 180° - (15° + 135°) = 30°
Nun haben wir 3 Winkel und die Seite BD = x.
Die Seite CD kann nun mit dem Sinussatz in Abhängigkeit zu x berechnet werden:
CD / sin(Winkel B) = BD / sin(Winkel C) |*sin(Winkel B)
CD = BD * sin(Winkel B)/sin(Winkel C)
CD = x * sin(30°)/sin(15°)
CD = x * (1/2) / (1/4 * (√6 - √2))
CD = 2x / (√6 - √2)
CD ≅ 1,932 x
Mit zwei Seiten und einem Winkel können wir nun den Winkel alpha berechnen:
Zuerst über den Kosinussatz die fehlende Seite bestimmen:
b² = a² + c² - 2ac * cos(beta)
AC² = AD² + CD² - 2 * AD * CD * cos(45°)
AC² = x² + (2x / (√6 - √2))² - 2 * x * 2x / (√6 - √2) * √2/2
AC² = x² + 4x² / (√6 - √2)² - 2x²/ (√6 - √2) * √2
AC² = ((√6 - √2)²x² + 4x² - √2 * (√6 - √2) * 2x²) / (√6 - √2)²
AC² = x² * ((√6 - √2)² + 4 - √2 * (√6 - √2) * 2) / (√6 - √2)²
AC = x * √(((√6 - √2)² + 4 - √2 * (√6 - √2) * 2) / (√6 - √2)²)
AC ≅ 1,414 x
Und dann nochmal über den Kosinussatz den gesuchten Winkel bestimmen:
a² = b² + c² - 2bc * cos(alpha) |-b² -c²
- 2bc * cos(alpha) = a² - b² - c² |:-2bc
cos(alpha) = -(a² - b² - c²)/2bc |arccos
alpha = arccos((b² + c² - a²)/2bc)
alpha = arccos((AC² + CD² - AD²) / (2 * AC * CD))
alpha = arccos(((~1,414 x)² + (~1,932 x)² - x²) / (2 * ~1,414 x * ~1,932 x))
alpha = arccos((~1,414² * x² + ~1,932² x² - x²) / (2 * ~1,414 * ~1,932 * x²))
alpha = arccos(((~1,414² + ~1,932² - 1) * x²) / (2 * ~1,414 * ~1,932 * x²)) |x² kürzt sich weg
alpha = arccos((~1,414² + ~1,932² - 1) / (2 * ~1,414 * ~1,932))
alpha ≅ 30°
Komplizierte Zahlen, aber strikte Anwendung von Sinus- und Kosinussatz.
Mein Weg unterscheidet sich nicht wesentlich von deinem; allerdings habe ich mit dem Sinussatz gearbeitet...👍👌
Was heißt hier eigentlich sehr sehr viele, voll daneben, ich hatte keinen einzigen Lösungsweg und konnte die Aufgabe gar nicht lösen!!!