🎓🎓🎓 BEWEISE durch VOLLSTÄNDIGE INDUKTION! | Tipps und Tricks und "KOCHREZEPT" | Unimathe
Vložit
- čas přidán 27. 07. 2024
- Unimathematik ist tatsächlich eine ganz andere Liga als Schulmathematik. Wollte ich damals nicht glauben, aber bin dann schon im Vorkurs eines Besseren belehrt wollen. Damit ihr nicht so ins kalte Wasser springt wie ich, kommen in nächster Zeit immer wieder auch Videos zur Unimathe. Wie dieses hier, zum Thema vollständige Induktion. 🎓
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0:00 Beweisaufgabe mit vollständiger Induktion
0:20 Schickt mir gerne die Übungsaufgaben von euren Übungsblättern aus der Uni!
0:40 Ist die 0 (null) oder die 1 (eins) die kleinste natürliche Zahl?
1:27 Induktionsanfang IA n=1 | linke Seite und rechte Seite ausrechnen
2:44 Induktionsvoraussetzung IV | Die Behauptung gelte für ein fest gewähltes n Element IN
3:00 Induktionsbehauptung | Die Behauptung gilt dann auch für n + 1
3:11 Induktionsschritt IS | Beweis der Induktionsbehauptung mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung
4:57 Induktionsvoraussetzung IV im Induktionsschritt IS nutzen
6:10 Brüche mit Parameter auf denselben Hauptnenner bringen, vereinfachen und n+1 rauskürzen
8:15 Weitere Übungsaufgaben zur vollständigen Induktion mit Lösung
***** Und zum Schluss noch die Tags: *******************
#Mathe #Einführung #University
*Für mehr Übungsaufgaben zur vollständigen Induktion geht's hier entlang: **czcams.com/play/PLW6pxDxlBvBmdrXIerWRQLfJAoOsbF2cj.html*
Puhhhh, das wurde jetzt schon öfter gewünscht. Dabei bin ich gar kein großer Fan von DGL.... um die bin ich bisher sogar mit 5 Jahren Mathestudium immer drum herum gekommen 😃😇.
Summenausdruck mit vollständiger Induktion bewiesen. Eine wirklich sehr interessante Aufgabe! Toll!
Danke, Anestis! Freut mich, dass auch die anspruchsvolleren Videos ihre Freunde finden 🍀🐝.
Ich freue mich immer sehr über Videos mit Unimathematik 😍
Freut mich zu hören! Ich mich auch! 😃😃
Liebe Magda, diese Aufgabe hast Du sehr schön erklärt. Die vollständige Induktion hatte ich im 1. Semester meines Ing.- Studiums auch. Nach einiger Überlegung bin ich wieder darauf gekommen. Freundliche Grüße!
Hey Rene! Ein schönes Dejavü, oder? 🦊🦊 Ich muss auch immer an meine schöne Unizeit denken, wenn ich mich an vollständige Induktionen mache 🐝🐝🐝.
@@magdaliebtmathe Geht mir genauso. Ich bin inzwischen schon regelrechr nostalgisch.
@@renekoelzer2328 Haha! Jaaa! Das waren entspannte Zeiten, damals an der Uni. 😍😃 Und ich hab so wenig Schlaf gebraucht, unglaublich! 😅
Hallo Magda, ich hatte mit Mathe nie viel am Hut und das Fach hat mich fast das Abi gekostet. Das Thema dieses Videos ist mir auch zu hoch, aber ich schau trotzdem gerne alle deine Videos. Inzwischen habe ich dadurch mein logisches Denken verbessert/neu gelernt, und manche Aufgaben (Einsteinrätsel, oder das mit dem Dreieck letztens) kann ich ohne Probleme lösen. Dafür einfach mal DANKE.
Ohhh! Wie schön zu hören! Das freut mich mega! Sehr sehr gern geschehen! 🙃 Dieses Video hier ist Unimathe, also keine Sorge. Ganz normal, dass das schwierig ist! 🍀🌷
Danke für die interessante Aufgabe!
Supergern! 😍😘
12. Klasse Mathe-LK, aber die Herleitung hatte ich vergessen.
Übrigens liebe ich es, wie du das Summenzeichen krakelst. Meine sahen so ähnlich aus. Und frag mich bitte nicht nach Integralsymbolen, die sahen bei mir Betragsstrichen verdammt ähnlich.
Hahaha, lieb deine direkte ehrliche Art!! 😃😇
No way genau die Aufgabe habe ich auch in einer Analysis Altklausur gefunden.
Yayyyy! Cool! Das freut mich! 🍀
Sind da noch mehr Aufgaben drin, für die du gerne eine Videolösung hättest? Dann schick die Altklausur(en) megagerne mal per Mail rüber! magda@magdaliebtmathe.com. Will jetzt wieder öfter mal Unimathe bringen 🙃☀️.
Das haben wir in der Übungsgruppe zur Vorlesung Analysis 1 immer gemacht, da zuerst Folgen drankamen, später Funktionen einer reellen Veränderlichen.
Induktionsanfang: Für n = 1 gilt:
Summe von k=1 bis 1 von 1/(k(k+1)) = 1/(1*(1+1)) = 1/(1*2) = 1/2 = 1 - 1/2 = 1 - 1/(1+1) stimmt!
Induktionsschritt (n -> n+1):
Summe von k=1 bis n+1 von 1/(k(k+1))
= Summe von k=1 bis n von 1/(k(k+1)) + 1/((n+1)(n+1+1)
Nach Induktionsvoraussetzung ist der linke Summand = 1 - 1/(n+1)
= 1 - 1/(n+1). Der rechte Summand ist 1/((n+1)(n+2)).
Insgesamt erhalten wir
= 1 - 1/(n+1) + 1/((n+1)(n+2))
= 1 - (n+2)/((n+1)(n+2)) + 1/((n+1)(n+2))
= 1 + ( -(n+2) + 1) / ((n+1)(n+2))
= 1 + (-n-2+1) / ((n+1)(n+2))
= 1 + (-n-1) / ((n+1)(n+2))
= 1 - (n+1)/((n+1)(n+2))
= 1 - 1/(n+2)
= 1 - 1/((n+1) + 1)
q.e.d. (quod erat demonstrandum,
nicht zu verwechseln mit CQD (Come Quick Danger)
Quod erat demonstrandum
@@goldfing5898 Sehr schön!! Das hast du ja noch perfekt drauf! 😍😍
@@magdaliebtmathe Und das nach über 30 Jahren, ich hatte das 1. Semester (Informatik Bachelor und Master mit Nebenfach Physik, aber auch Mathe-Vorlesungen waren im Grundstudium mit dabei) im WS 1991/92 🙂Aber ich bin halt noch in Form, da ich später noch an der ETH Zürich doktoriert und 2014-18 das Lehramt für Gymnasien für Info und Mathe gemacht hab und jetzt Mathelehrer bin :-)
Und die Mathe-Vorlesungen waren immer am schwierigsten!
@@goldfing5898 Haha! Wunderbar! 😍😍😍 Ich hab schon seit ner Ewigkeit ein Video geplant in dem ich über meine Erfahrungen im Studium erzähle und ein paar Tipps gebe, die ich meinen Ersti-Ich heute geben würde. Mal sehen, wann ich es schaffe das mal aufzunehmen 🙈😅. Denke ich mache das im Sommer, wenn die Abiturienten sich überlegen, was sie nach dem Abi machen wollen. 🌷
Der Beweis lässt sich statt mit vollständiger Induktion auch sehr gut mittels Partialbruchzerlegung führen: Summe von k =1 bis n von 1/(k(k+1)) führt nach einer Partialbruchzerlegung zu: Summe von k=1 bis n von ( (1/k) - (1/(k+1))), also 1- (1/2) + (1/2) - (1/3) + ... + (1/n) - (1/(n+1)). Man sieht leicht, dass außer der 1 am Anfang und - (1/(n+1)) am Ende sich alles weitere gegenseitig aufhebt.
Oh wow!! Das ist ja smart! 😍
Aha, stimmt, eine sogenannte "Teleskopsumme", die man zusammenschieben kann. So haben wir das damals genannt.
Stimmt! Den Begriff kenn ich auch noch! 🍀🌷
@Marius 1986de Leider kriegt man vom Dozenten das Verfahren in einer Klausur manchmal vorgeschrieben. Ist mir einmal in einer Numerik-Klausur passiert. Da sollte man eine QR-Zerlegung mittels Householder-Transformation machen. Ich hatte bei meiner Faulheit natürlich weder Houserholder-Transformation oder Givens-Rotation gelernt, sondern nur Gram-Schmidt.
@@DarthAndredu Schade. Eigentlich sollte doch im Vordergrund stehen, dass man eine Behauptung korrekt beweist, ansonsten führen ja bekanntlich viele Wege nach Rom
Bringe mir die Induktion gerade selber bei. Ich habe das Vorzeichen geändert und am Schuluss stand dann bei mir 1+(-n-1)/(n+1)*(n+2). Dann wieder zurück verwandelt und dann hat es auch geklappt.
Natürlich kann man die Gleichung durch Induktion beweisen , aber man muss nur erkennen ,dass 1/(k*(k+1)) = 1/k - 1/(k+1) , dann sieht man sofort
die Richtigkeit der Gleichung ein .
Ja, weil dann eine Teleskopsumme kommt, nachdem man den Bruch zerlegt hat.
zu meiner zeit wurde zum beispiel für die ermittlung des unbestimmten integrals eine partialbruchzerlegung angewendet, oder man berechnet bruch ausdrücke mit gleichem nenner
1-1/(n+1)+1/((n+1)*(n+2))=((n+1)*(n+2)-n-2+1)/((n+1)*(n+2))
und man erhält (n+1)/(n+2)=1-1/(n+2)
Hui!! Das ist anspruchsvoll! Wann war „deine Zeit“? 😊
ich habe 1984 studiert. einen beitrag zum thema "nytimes hard sudoku" würde ich begrüssen
Cool. Schade, dass ich nur Grundkurs Mathe hatte, wo das Thema nicht dran war.
Jetzt kannst du‘s ja nachholen 😃😃. Mathe als Hobby macht meistens auch mehr Spaß als Mathe als „Schul-Muss“. Aus der Fülle statt aus der Not heraus! 😃
Wie kann man eine Formel (wie hier zum Beispiel 1-1/(n+1)) für ein Summen Konstrukt ableiten?
Wirklich gut. Aber zwei Anmerkungen. Die Definition der Natürlichen Zahlen ist keine Glaubensfrage. Gemäß Definition ist das erste Element dieser Menge die 1. Nimmt man die Zahl 0 hinzu, so wird dem N noch der Index 0 verpasst. Habe ich schon in der Grundschule so beigebracht bekommen. Und für gewöhnlich lernt man das Beweisverfahren der VI bereits im Mathe-LK der gymnasialen Oberstufe und nicht erst an der Uni. Sonst aber top Video.
Danke fürs Feedback! Bei uns an der Uni war es tatsächlich eine Glaubensfrage! Es gab Profs, die wollten die Null drin haben und andere nicht. Das haben die immer direkt am Anfang der 1. Vorlesung klargestellt. 😃😅
@@magdaliebtmathe Ich habe gerade etwas recherchiert. Selbst Guiseppe Peano war sich da nicht sicher. Bei der ersten Version seiner fünf Axiome war die 1 die erste natürliche Zahl. Dann hat er das wohl nochmal überarbeitet und die 1 durch die 0 ersetzt. Ich glaube Leopold Kronecker hat mal gesagt:"Die natürlichen Zahlen sind von Gott gegeben und dabei sollte man es belassen."
Kann ich auch so lösen?
finde ich verständlicher...
1-(1/((n+1)+1/(n+1)(n+2))
1-1/((n+1)-1/(n+1)(n+2))
usw
🙃
😵🤯
🍀🍀🍀
Die vollständige Induktion habe ich gehasst :D Ich hatte es im ersten oder zweiten Uni-Semester und ich hatte es absolut nicht verstanden..
Und jetzt, so rückblickend? Ich finde oft muss man Mathe mit ein bisschen zeitlichem Abstand nochmal anschauen und dann ist es meistens gar nicht so kompliziert wie man damals dachte 😇.
@@magdaliebtmathe Mir ist vieles, was ich während des Semesters in dem Trubel nicht kapiert hatte, dann in den Semesterferien klargeworden, als ich mich voll auf diese eine Vorlesung konzentrieren konnte und auf deren Prüfung lernte. Und das ist ja genau der richtige Zeitpunkt, wenn man es dann in der Prüfung checkt, sowohl in schriftlichen als auch in mündlichen (und in Mathe waren es im Grundstudium immer mündliche!)
Ich war sozusagen das, was man im Fußball eine "Turniermannschaft" nennt :-)
@@goldfing5898 Ich hab immer die Freaks bewundert, die dieses Nachbereiten schon während des Semesters gemacht haben und dann am Ende kaum noch richtig lernen mussten. Hab ich mir jedes Semester wieder vorgenommen, aber natürlich nie geschafft 🤣.
@@magdaliebtmathe Rückblickend war es machbar. Was danach im Studium kam war schlimmer. Ich habe ein MINT Fach bis zum Master durchgezogen (E-Technik). Gegen Ende des Bachelors kamen ekligere Sachen wie Fourierreihen, -transf., ...
Zu meiner Schulzeit, da lernte ich schon
den Beweis durch vollständige Induktion.
Wer nun glaubt, das sei 'ne Mär,
mein Abi ist verdammt lang her,
da gab's noch Sirenen mit Ton.
Da mich das ehrlich interessiert: Wer ist euch hat auch schon zu Schulzeiten mathematische Beweise geführt (oder vom Lehrkörper vorführen lassen)?
Ich. War an einem humanistischen Gymnasium, dann aber Mathe- und Physik als Leistungskurse in 12 und 13. Kann mich an eine Klassenarbeit in der 11. erinnern, wo als Aufgabe für die "Einser-Kandidaten" ein Beweis vorkam. Und zwar machten wie ja in der 11. Analysis, Differentialrechnung mit Polynomen. Anfangs des Schuljahres begannen wir mit Wdh. Der linearen Funktionen. Schulbuch war das violette Lambacher Schweizer Analysis Eins von 1987/888.
In der KA waren drei Punkte in einem KS gegeben und man sollte beweisen, daß diese ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen. Die Musterlösung sah vor, durch je zwei Punkte eine Gerade (lineare Funktion) aufzustellen und dann für die beiden Steigungen m1 und m2 zu zeigen, daß m1 * m2 = -1 gilt, die Geraden also senkrecht zueinander sind.
Ich dagegen berechnete die drei Seitenlängen des Dreiecks (Abstand zwischen je zwei Ecken mit Pythagoras) und zeigte, daß für die Seitenlänge der Pythagoras erfüllt war und an einer Ecke deshalb ein rechter Winkel war. Bekam natürlich volle Punktzahl und ne Eins :-)
Ich auch - Abi 1989 - Beweise im Mathe-LK Brrrrr...
Ist dein Baby schon da?????
Haha, schon seit einem halben Jahr! 😊
@@magdaliebtmathe WAS?????? Gratulation liebe Magda!!!! JUnge oder Mädchen???? SUPER!!!
@@Sonnen44mond Ein kleines Mädchen 🥰.
@@magdaliebtmathe Oh herrlich!!!!! :)
Hast du bereits dieses wundervolle neue innovative supidupi megaKewle 1A spitzenmäßige "ChatGPT" für deine Mathematikaufgaben ausführlich ausgetestet?
Noch nicht, Chrissss! Aber ich würde gerne. Wie genau spreche ich mit der ChatCPT? Brauche ich dafür ne App? 😅
die rechte Seite für (n+1)=1-1/(n+1+1)---->1-1/(n+2) = (n+2-1)/(n+2)= (n+1)/(n+2) sollte bewiesen werden. Die linke Seite wäre 1-1/(n+1)+1/(n+1)(n+2) = 1-(n+2)/((n+1)*(n+2))+1/((n+1)*(n+2)) = (n+2)(n+1)-n-2+1/((n+1)*(n+2)) = ((n+2)(n+1)-(n+1))/((n+1)*(n+2))= ((n+1)((n+2)-1))/((n+1)*(n+2)) = ((n+1)*(n+1))/((n+1)*(n+2)) = (n+1)/(n+2) = 1-1/(n+2) ist mit dem Satz von der rechten Seite identisch 🤗