Gleichung mit WURZEL nach x auflösen - Wurzelgleichungen quadratische Gleichungen
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- čas přidán 25. 07. 2024
- Gleichung mit Wurzel nach x auflösen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man Wurzelgleichungen lösen kann. Wir quadrieren und lösen die quadratische Gleichung mit der pq-Formel und entlarven die Scheinlösung mit der Probe. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Gleichung mit Wurzel nach x auflösen
0:19 Definitionsmenge bestimmen Wurzel
2:37 Lösungsmenge bestimmen
6:50 Quadratische Gleichung lösen
10:00 Wurzelgleichung Probe
12:19 Bis zum nächsten Video :)
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Apple macht mich traurig. 🥺
@@lrk9982 Wow - eins rauf mit Mappe
🥇
Ich wäre überzeugt. Hihihihi 😅
@@lrk9982 Nein, die Wurzel aus 25 kann nicht negativ sein. Somit ist -3 nicht Teil der Lösungsmenge.
Zur Erklärung:
Die Quadratwurzel hat (im reellen Zahlenraum für nicht-negative Werte) *per Definition immer genau eine nichtnegative Lösung.* Schau dir nur mal den Graphen der Wurzelfunktion an: Sie verläuft nur im ersten Quadranten, d.h. f(x) bzw. das Ergebnis einer Quadratwurzel kann gar nicht negativ sein (und x übrigens auch nicht - die Quadratwurzel ist im reellen Zahlenraum also nur für nicht-negative Zahlen definiert).
Es sind zwei verschiedene Dinge, ob du z.B. die Wurzel aus 25 ziehst oder die quadratische Gleichung x² = 25 lösen willst. Diese hat (logischerweise) zwei Lösungen.
*Aber:*
Formt man die quadratische Gleichung durch Wurzelziehen um, erhält man
x = *±* √(25)
und eben *nicht*
x = √(25)
Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung kommen also daher, dass man das Plusminuszeichen vor der Wurzel setzen muss (darum auch das Plusminuszeichen in der pq-Formel). Die Wurzel selbst hat aber nur eine einzige (nichtnegative) Lösung!
Sehr interessant! Habe das vor knapp 50 Jahren mal gelernt und in meinem Arbeitsleben nie gebraucht, aber ich finde diese Videos immer toll und hätte sie damals gut gebrauchen können. Mein Mathelehrer war nicht so der Erklärbär! 😀
Geht mir genauso. Nun kommt es auf meine Tochter zu und ich bereite mich schon Mal vor ....
🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣 ich auch
Danke... bist die beste Mathe Lehrerin.💪✍ Vor paar Jahren war ich sehr, sehr schlecht im Mathe... als ich dann deinen Kanal gefunden habe, bin ich immer besser geworden, und jetzt schreibe ich nur einen 1er oder 2er in den Schularbeiten.
@FakeCake4444 ja eh klar💪
Ja leider macht ein Lehrer/Lehrerin sehr viel aus. Bei mir hat das zu einer 1 in Geschichte geführt 🥰
Liebe Leute, wenn Ihr sie als ,,beste Mathe-Lehrerin" bezeichnet, ist sie nicht unvergleichlich 😂. Das ist sie aber, meine ich.
... an Mathematik muss man POSITIV herangehen und das vermittelst du perfekt liebe Susanne! Es ist nicht das "platte Beibringen" (was immer auch damit verbunden wird 😎) vom Lernstoff, es ist die Logik (verbunden natürlich mit dem nötigen Fachwissen), die du mit deiner freundlichen Art und Weise erklärst. Man merkt, dass du Spaß an der Sache hast und der ist ansteckend; die beste Voraussetzung für einen Lernerfolg! Mein "Bravo" dafür!!!!
In der Schule und im Abi muss man das Prinzip verstanden haben und in den Klausuren muss man schnell arbeiten können. In der Uni braucht es dann viel Logik, die man erst mal erlernen muss. Logik ist die Basis, die Sprache der höheren Mathematik.
Ich bin begeistert 🤩 das lernte ich (brauchte ich) in der Hauptschule 1970 und habe es nicht mehr geschafft 😳
Muß ich auch nicht, bin in Rente, jedoch hatte ich Spaß daran und nett erklärt - sehr gut rüber gebracht! ❗
Danke für die Mühe 😁😜✔️
Hallo Susanne. Sehr anschaulich und verständlich erklärt. Danke!
Danke! Hi Susanne, Deine Mathe-Videos sind für viele Schüler sicher ein Segen. Freundliche Grüße!
Danke dir René! Hoffe, dass sie möglichst vielen helfen.
@@MathemaTrick gerne, Dein Einsatz verdient wirklich ein dickes Lob.
Ganz, ganz große Klasse!! Es ist zu merken, dass Du das mit Herzblut machst.
Deine Videos hätte ich damals in der Schule gebraucht. Echt super!
Dankeschön! 🥰
Herzlichen Dank Susanne. Bei jeder Deiner Fragen habe ich diese Freude zu lösen, und es hat sich auch daraus ein Hobby kristallisiert.
Mal wieder Top erklärt. Ich freu mich immer über deine Videos.
Hallo, das hat zwar nichts wirklich mit dem Video zu tun, aber ich habe mal gestern aus Spaß dein Betriebsminimum und Optimum Video angeschaut, und das kam sogar zufällig noch im Mathe Abi mündlich vor, und denke mal so habe ich die 9 Punkte für bekommen. Danke sehr, dass du das so einfach erklärt hast, sodass ich die extra Punkte noch bekommen konnte.
Ist schon ewig her dass ich das gelernt hatte. Schön das wieder aufzufrischen! 😀
Moving the 2 to the other side made all the difference!
In this example, x^2 -5x -24 does factor out as (x-8)(x+3) but the use of the quadratic formula is simple enough.
Theorem of Vieta as my memories are correct.
Na, da muss Mathe doch Spass machen👍, und wie immer super erklärt. Als reiferes Semester darf ich mir hier ein Urteil bilden.
Dankeschön Sparky!
Ich hab gerade nur das Thumbnail gesehen mit der Gleichung und dachte mir nach mittlerweile 5 Jahren Sachsen-Abi: "Komm, probiere es mal zu lösen." Ich habe etwas über 10 Minuten gebraucht, aber gleich den richtigen Ansatz gefunden und nach Googlen der PQ-Formel tatsächlich auf Anhieb die richtigen Ergebnisse berechnet. Bin jetzt schon etwas stolz auf mich :D
Der Kanal ist wirklich GOLD wert!
Dankeschön Julian! 🥰
du machst das super!!!
Danke für die vielen interessanten und unterhaltsamen Videos!
Vielen, vielen Dank lieber Dirk! Das freut mich total, dass dir meine Videos so gut gefallen!
Mathe hat mir schon immer Spaß gemacht. Leider vergisst man mit der Zeit einiges und sich selber damit zu beschäftigen kann manchmal trocken und langweilig sein. Daher finde ich es großartig bei Dir so eine Bandbreite von Themen zu finden, von Knobelaufgaben über die klassischen "Textaufgaben" bis zum Logarithmus. Und das verständlich erklärt und immer sehr sympathisch präsentiert 👍
Sehr verständlich erklärt, danke!
Dankeschön, freut mich, dass ich dir weiterhelfen konnte! 🥰
Mit Dir macht Mathe nach 55 Jahren richtig Spaß.
Das freut mich!!
Danke, Martin!
Super.Lösungen testen. Die Probe machen.
Uuuuh, Scheinlösungen hatte ich voll vergessen.... Danke!! Top wie immer!!
Krass... Dachte immer "Scheinlösungen" bzw. "falsche" Lösungen gibt es gar nicht in der Mathematik?
Ich hätte damals geschrieben "Man sieht sofort, dass x=8 die Lösung ist", aber das geht natürlich nur, wenn die Zahlen so "nett" sind - und es fehlt auch der Beweis, dass es keine zweite Lösung gibt. Sehr schön erklärt. Auch die Probe ist sehr wichtig.
Ich finde es total faszinierend, dass der Lösungsweg für etwas dass man so einfach auf den ersten Blick sehen kann, so kompliziert ist... Aber wenn die Zahlen mal nicht "schön" sind, braucht man den exakten Lösungsweg.
mir wurde das vorgeschlagen und ich dachte, ich schaue mal rein 😄 ich hab mich schon immer gefragt, warum man solche Proben überhaupt durchführt. noch nie wurde das so erklärt, wie du es tust. sondern einfach nur mit „ja sonst ist es falsch“
Du erklärst das so allumfassend und deutlich. Wer da noch Fragen hat, nun ja.....
Habe gerade nochmal gerechnet. Das Vorzeichen ist -, q ist -24. Minus x minus ist +, daher +24. Danke für die schöne Aufgabe, da ist ja alles drin. Sehr gut erklärt. WoWo
Hey, ich weiß garnicht was ich hier mache oder wie ich hier gelandet bin. Hab meine Matura (Österreich) vor 5 Jahren hinter mich gebracht und kuck mir diese Videos zur reinen Unterhaltung an. So nen Prof. wie dich hätt ich mir in Mathe damals gewünscht :)
I really love the Star Wars theme you got going :)
Sehr schöne Erklärung.
Dankeschön! :)
Mal wieder ein tolles Video es wäre aber schön wenn du mal eine Wurzelgleichung mit 3 Wurzeln behandeln würdest. :)
Das geht doch nach demselben Schema, oder meinst du etwas anderes? Gleichungen, in denen Kubikwurzeln ("dritte Wurzeln") vorkommen, sind nicht nach Schema F zu lösen, weil die Lösungsformel für kubische Gleichungen zwar bekannt ist, aber auch sehr umfangreich und kompliziert ist.
@@grauwolf1604 Nein ich meine tatsächlich mit 3 einfachen Wurzeln, dahe es in meinen Augen schwer ist, eine Gleichung zu quadrieren, wo auf einer Seite gleich 2 Wurzeln stehen. Hätte ich gerne da mal die Herangehenweise gesehen.
Super Video
Danke für die Aufgabe. Ich habe für den 2. Schritt die binomische Formel rückwärts angewendet und bin evtl. schneller zum Ziel gekommen:
a+b = -5
a*b = -24
(x-8)(x+3)
Lag aber eher daran, dass die pq- und die abc-Formel einfach schon zu lange her ist ;)
Danke!
Wie lieb von dir, Christian! Dankeschön!
Mir gefallen deine Beispiele und deine Lösungsdarstellungen sehr gut!!!
In diesem Beispiel wäre die grafische Darstellung vielleicht auch ganz interessant gewesen - vielleicht erklärt sich daraus die Scheinlösung.
Genau, siehe meine Anmerkung oben dazu.
Ich bin anderer Meinung. Susanne hat doch gesagt, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. sqrt(x) = -1 hat keine Lösung (Wurzeln sind nie negativ), aber durch Quadrieren ändert sich die Gleichung und liefert die Scheinlösung 1. Wenn man das eingesehen hat, erläutert eine grafische Darstellung nicht mehr, sondern stellt nur anders dar.
@@heikoschroder6824 Ich habe mich zu dem Thema noch einmal geäußert, s.o.
Hallo, ein paar Bemerkungen dazu:
1.) Zur Definitionsmenge bei 2:15 : Oft macht man vor der Bedingung statt eines Doppelpunkts einen senkrechten Strich, also in dem Fall D = {x aus R | x >= -28}. Und neben der Mengenschreibweise wird manchmal auch die Intervallschreibweise mit den eckigen Klammern verlangt. Das wäre in diesem Fall D = [-28, +unendlich[.
2.) 3:50 Ich habe mir angewöhnt, die Gleichheitszeichen bei einer Gleichung, sofern möglich, in jeder Zeile an genau derselben Stelle hinzuschreiben, weil es dann übersichtlicher aussieht, wenn alles schön wie mit Tabulatoren ausgerichtet (zu neudeutsch: "aligned") ist. Dann kann man die linken und rechten Seiten besser erkennen.
3.) 5:10 Gut finde ich, daß Du die Klammern nochmal explizit hinschreibst und diesen Schritt nicht überspringst, und dann das Quadrieren gegen die Wurzel "abstreichst". Das mache ich im Unterricht ganz genauso.
4.) 6:55 Bei der Normalform, in dem Fall x^2 - 5x - 24 = 0, probiere ich zuerst einmal aus, ob es ganzzahlige Lösungen bzw. eine ganzzahlige Zerlegung in LInearfaktoren gibt. Dazu muß man zwei Zahlen s und t suchen, deren Produkt gleich der Konstanten ist, also -24, und deren Summe gleich dem Koeffizienten von x ist, also -5 (ähnlich dem Satz von Vieta). Finde ich die beiden Zahlen s und t, dann lautet die Zerlegung (x + s)(x + t).
Da das Produkt s*t = -24, also _negativ_ ist, müssen s und t _verschiedene_ Vorzeichen haben, also hat die Zerlegung die Form (x + ...)(x - ...). Die Beträge ermittelt man durch Faktorzerlegung des Betrags der Konstanten, also 24. Das geht nur mittels 1*24, 2*12, 3*8, 4*6. Da die Summe s + t = -5 ist und die Vorzeichen von s und t _verschieden_ sind, muß die _Differenz_ der Beträge 5 sein. Das ist bei den Faktoren 3 und 8 der Fall. Also benötige ich 3 und 8 für die Zerlegung.
Jetzt ist nur noch die Frage, ob die Zerlegung (x + 3)(x - 8) oder (x + 8)(x - 3) lautet. Da die Summe der beiden Zahlen -5, also negativ, ist, überwiegt das Negative. Somit muß der größere Betrag 8 beim Minus eingesetzt werden und ich bekomme die Zerlegung (x + 3)(x - 8) = 0. Die Lösungen der quadratischen Gleichung haben dann dieselben Beträge, aber entgegengesetzten Vorzeichen, hier sind die Lösungen also x = -3 und x = +8.
Mathe ist das neue Killerspiel!
OHA ey du kannst so meeega gut erklären, danke für deine Videos. Ohne dich wäre ich komplett aufgeschmissen.
Dankeschön.
11:25 Wenn allerdings -5*-5=25, dann passt das auch. Weil -5+2=-3.
Wäre das dann nicht auch eine Alternative oder mögliche Lösung?
Habe ich mich auch gefragt.
Im reellen Zahlenraum kommt beim Wurzel ziehen immer eine positive Zahl raus! Also Wurzel(25)=5 und nicht -5, obwohl -5*-5=25.
@@curdtcurdt4218 Die Wurzel aus 25 (beispielsweise) ist immer +5 UND -5. Es gibt immer zwei Lösungen, und welche im konkreten Fall passt, muss man anderweitig herausfinden.
@@grauwolf1604 . Das stimmt so nicht. Bei einem Quadrat (x^2=y) gibt es 2 Lösungen. D.h., wenn ich dann bei einer Umformung die Wurzel ziehe gilt immer +/-Wurzel(y). Aber für die Gleichung wurzel(x)=y sind sowohl x als auch y immer positiv! (Wie gesagt im reellen ZR).
@@grauwolf1604 nein.
Ich war stets bemüht:-)
Sehr gut!
Kannst du bitte ausführlich erklären, warum die Lösung von einer Wurzel immer positiv ist und man nicht auch das negative nehmen kann? Du erklärst immer so toll ;)
Dies ist relativ einfach. Die Wurzel ist die Umkehrung von quadrieren. Egal welche Zahl du quadrierst, es gibt nie ein negatives Resultat. Plus mal Plus ergibt Plus, Minus mal Minus ergibt auch Plus. Hinzu kommt noch die Null. In der "Höheren Mathematik" gibt es allerdings eine sogenannte komplexe Lösung für eine Wurzel aus einer negativen Zahl.
wenn du „nur“ die Wurzel einer Zahl suchst, gibt es für jede positive Lösung auch die negative. Wenn aber die Wurzel in einer Funktion auftaucht, kann es nur um 1 (in Worten: eine) Lösung gehen und vereinbart ist die positive Lösung. Warum? Eine Funktion ordnet immer dem „x“ (innerhalb des Definitionsbereichs) genau ein (1) „y“ zu, so lernst du das bei der Einführung des Funktionsbegriffs. Eine Zuordnung von x auf zwei „y“ ist keine Funktion. Darum also…
@@wolfberlin Hm, so ganz verstehe ich das aber nicht. Ich meine mich zu erinnern, dass ich im Mathe-Unterricht (ist bei mir schon etwas länger her) gelernt habe, bei Wurzelziehen gebe es immer zwei Ergebnisse (positiv und negativ). Auf das Bespiel im Video angewandt: Wenn ich als Ergebnis für die Wurzel aus 25 die Zahl -5 annehme, bedeutet das für die Probe: -5+2 = -3. Das ist doch korrekt, oder wo irre ich mich?
Das geht eigentlich schon. Man landet allerdings bei den komplexen Zahlen und hat dann einen reelen und einen imaginären Part.
D.h. auch wenn es nicht in der Aufgabenstellung steht, wird wohl angenommen, dass x eine reele Zahl sein soll.
@@brunobasler2115 Du hast die Frage nicht verstanden. Es geht darum, warum die *Lösung* immer positiv sein soll, nicht das *Argument* . Und diese Frage ist vollkommen berechtigt.
gehöre wohl zu denen, die es immer noch nicht begriffen haben.
Wurzel 25 + 2 = -3
=> -5 + 2 = -3
(wohlgemerkt: kein Äquivalenz-Pfeil!)
warum ist das jetzt genau falsch? LG
@@shero3896 Das ist nicht ganz präzise. Tatsächlich ist die Quadratwurzel die *Umkehrung* der Quadratfunktion, und die hat zwei Lösungen. Man kann das auch sehr schön erkennen, wenn man das ganze als Graph in einem kartesischen Koordinatensystem betrachtet. Da liegt die Parabel mit der x-Achse als Symmetrieachse, und zu jedem x findet man auf Anhieb die beiden Lösungen.
Die Anwendung, von einem Quadrat mit gegebener Fläche die Seitenlänge zu berechnen, ist nur ein Spezialfall, für den negativen Lösungen ausgeschlossen werden.
@@dw8931 "Umkehrung" ja, aber dann wohl nicht mehr im Sinne von UmkehrFUNKTION, oder verstehe ich dich da falsch? Es beantwortet ja nicht, warum Wurzel(25) nicht auch als "-5" gedeutet werden kann. Das liegt eben meiner Meinung danach daran, dass bereits in der Ausgangsgleichung die Wurzel steht, wo sie als Funktion zu lesen ist und demnach *eindeutig* sein muss. Um die Quadratwurzelfunktion sinnvoll als UmkehrFUNKTION der Quadratfunktion zu deuten, müssen ja beide jeweils bijektiv sein (um mal mit Fachvokabular zu flexen :P). Und das macht in beiden Fällen nur Sinn, wenn als Definitions- und Wertemenge jeweils die nicht-negativen reellen Zahlen (wenn wir uns mal auf die reellen Zahlen beschränken) festgelegt werden. (Man könnte natürlich auch als Definitionsmenge der Quadratfunktion und entsprechend als Wertemenge der Quadratwurzelfunktion die nicht-positiven reellen Zahlen nehmen, was nach dieser Logik vom Prinzip her so auch möglich wäre. Ist aber nun mal nicht Konvention. :P)
Die Wurzel aus 25 ist 5, *nicht* ±5.
Die Quadratwurzel hat (im reellen Zahlenraum für nicht-negative Werte) *per Definition immer genau eine nicht-negative Lösung.* Schau dir nur mal den Graphen der Wurzelfunktion an: Sie verläuft nur im ersten Quadranten, d.h. f(x) bzw. das Ergebnis einer Quadratwurzel kann gar nicht negativ sein (und x übrigens auch nicht - die Quadratwurzel ist im reellen Zahlenraum also nur für nicht-negative Zahlen definiert).
Es sind zwei verschiedene Dinge, ob du z.B. die Wurzel aus 25 ziehst oder die quadratische Gleichung x² = 25 lösen willst. Diese hat (logischerweise) zwei Lösungen.
*Aber:*
Formt man die quadratische Gleichung durch Wurzelziehen um, erhält man
x = *±* √(25)
und eben *nicht*
x = √(25) .
Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung kommen also daher, dass man ein Plusminuszeichen vor der Wurzel setzen muss (darum auch das Plusminuszeichen in der pq-Formel). Die Wurzel selbst hat aber nur eine einzige (nicht-negative) Lösung!
Ich hätte eine Frage zum Schluss.
Auch wenn die erste Lösung von Sqrt(25) =5 ist gibt es doch auch noch das zweite Ergebnis mit -5
Und somit:
-5+2=-3
-3=-3
Wieso genau kann man das Ergebnis einfach ignorieren?
Liebe Grüße ich hoffe ich konnte meine frage verständlich formulieren.
sqrt(25) ergibt 5, nicht -5. Bei der Wurzel ist stets das positive Ergebnis gemeint.
@@pintman Dir ist schon Klar das dein "WEIL!" nicht die Frage beantwortet die gestellt wurde?!
Luis, wenn du in der Funktion beide Vorzeichen der Wurzel zulässt, ist es keine Funktion mehr: grundlegende Eigenschaft einer Funktion ist, dass jedem „x“ innerhalb des Definitionsbereichs genau ein (1) „y“ zugeordnet ist.
@Luis Frank wenn du in der Funktion beide Vorzeichen der Wurzel zulässt, ist es keine Funktion mehr: grundlegende Eigenschaft einer Funktion ist, dass jedem „x“ innerhalb des Definitionsbereichs genau ein (1) „y“ zugeordnet ist.
@@wolfberlin vielen lieben Dank.
Das war sehr hilfreich!
Vielen Dank für dieses Beispiel. Wie heißt die Software, die Du verwendest?
Hi Susanne, danke für Deine Videos. Mal ne Frage, vielleicht kannst Du diese auch Einbringen: 15-15:15-15 ... Meiner Meinung nach -1, aber gibts da einen Grund dass dies 1 ist?
Punkt vor Strich. Ergebnis: -1
(15 - 15) : (15 - 15) wäre auch gar nicht definiert.
Diese Frisur ist einfach so süß 😍😂
Sorry, musste ich mal sagen
Hab das bis zur Matura alles mal gemacht. Heute aber frage ich mich, wofür ich das zur Bewältigung des alltäglichen Lebens brauchen soll! Dennoch habe ich es mit Interesse zu Ende geschaut!
Nice! Wir fordern die sofortige Zusammenlegung unserer europäischen Bildungsminister in einer Waldorf-Schule! Ich muss dir nicht erzählen, wie viele Schnarchnasen du gerade im Galopp überholt hast...
frage: ±√25 +2 - wenn vor der Wurzel Plus Minus steht könnte als Ergebnis -5 +2 = -3 auch als Lösung stimmen?
Berechtigte Frage, obwohl Susanne das per definitionem ausgeschlossen hat (10:50). Stichwort "Mehrdeutigkeit von Wurzeln" aus Matheduden:
>> Ist a²=b, so ist auch (-a)²=b. Es gibt also zwei Zahlen +a und -a, die, ins Quadrat erhoben, b ergeben. Man bezeichnet mit √b nur den positiven Wert, den sogenannten "Hauptwert", √b=+a. Man muß also, wenn beide Wurzeln angegeben werden sollen, stets ±√b schreiben.
@@porkonfork2021 achso, hatte nur die Aufgabe angeschaut -> gerechnet und dann gleich zum Ergebnis "vorgespult"
wieder mal so ein typischer Leichtsinnsfehler, irgendwas geht da immer schief 🥺
Zeichne doch mal die beiden Wurzelfunktionen, dann siehst Du, dass deine "liegende Parabel" sich mit der Winkelhalbierenden ("x") bei den von dir geannten Punkten schneidet. ......... Aber: In der Aufgabenstellung war nur die Rede von dem oberen Ast der Wurzelfunktion. Daher ist -3 keine Lösung.
@Gehteuch Nichtsan für x=-3 kann die gleichung durchaus richtig lösbar sein, aber nur dann, wenn für die lösung der √25 der negative wert zulässig wäre. das ist er nicht, aber nur wegen des vorzeichens vor der wurzel, das den positiven lösungswert vorschreibt.
Wenn man die Kommentare so durchschaut, wundert man sich über die Hartnäckigkeit, mit der an einer Doppellösung +/- bei Wurzeln festgehalten wird.
Unterscheide: Für a>0 hat die Gleichung x² = a die beiden Lösungen √a und -√a Beispiel: x² = 25 hat die Lösungen x = 5 und x = -5
Aber: Für a>0 ist festgelegt: √a ist die positive Lösung der Gleichung x² = a Beispiel: √25 = 5
Hier: √(x + 28) + 2 = x hat nur die Lösung x = 8
x = - 3 wäre die Lösung zu - √(x + 28) + 2 = x
Wenn man -3 einsetzt in die Gleichung x+28 = (x-2)² (siehe 6:00) kommt man auf -3+28 = (-5)²
Da durch das Quadrieren der -5 die positive Zahl 25 rauskommt, entsteht hier diese Scheinlösung.
Setzt man die -3 in die Gleichung darüber ein, Sqrt(-3+28) = -3-2, so kommt man auf 5 = -5. Es entsteht also eine Scheinlösung, da durch das Quadrieren sowohl 5² als auch (-5)² 25 ergibt.
Spannend, danke Susanne. Seit der Schule hatte ich damit nichts zu tun.
Die Wurzel aus 25 kann auch -5 sein. Also ist die zweite Lösung auch richtig, denn -5 + 2 = -3 ! Es ist eben keineswegs so, dass die Wurzel aus einer Zahl immer eine positive Zahl ist.
Die Aufgabe ist ganz wunderbar erklärt. Ja. Großes Lob dafür!
Aber: Man sagt ja, dass man mit dem Alter langsamer denkt. Nun bin ich über 80 Jahre alt, aber die Erklärung, so gut sie ist, ist für mich um ein Viiiielfaches zu langsam. Ich sehe mir diese an sich sehr guten Videos ungerne an, weil sie so äntsääätzlich langsam vorangehen.
"Es ist eben keineswegs so, dass die Wurzel aus einer Zahl immer eine positive Zahl ist."
Abgesehen von Wurzel(0)=0 (0 ist weder positiv noch negativ): Doch. Das sagt uns die Definition der Wurzelfunktion auf den reellen Zahlen. Eine Quadratwurzel kann grundsätzlich nicht negativ sein. Das kann in Wikipedia etc. schnell verifiziert werden. Eine Quadratwurzel als Funktion muss EINDEUTIG sein. Und entsprechend muss man sich bzgl. des Vorzeichens entscheiden. Per Vereinbarung ist + das Vorzeichen. Mit etwas Herumüberlegen wird einem auch klar, dass das so Sinn macht: Würde man die negative Version festlegen, käme man schnell auf Probleme mit den Potenzgesetzen. So oder so muss man sich aber in jedem Fall für EINE Möglichkeit entscheiden und nicht 2 zugleich. (So wie z.B. auch ein Licht nur eindeutig entweder an oder aus sein kann.)
Ist wiederum nicht zu verwechseln mit z.B. x^2=4: Hier sind x1=2 und x2=-2 mehrere reelle Lösungen. Die sind aber nicht jeweils zu lesen als Wurzel(4) mit 2 "Optionen", sondern als +Wurzel(4) und -Wurzel(4). Die Wurzel ist stets eindeutig, erst das vorangestellte Vorzeichen sorgt für die Mehrdeutigkeit der Lösung der Gleichung. Das Wurzel ziehen, was man hier zum Lösen der Gleichung anwendet, ist dann nicht als Anwendung einer Funktion, sondern als OPERATOR zu verstehen.
@@novidsonmychanneljustcomme5753 Hast du schon mal die Parabel y=x^2 gesehen? Die hat einen Ast im 1. und einen Ast im 4. Quadranten. Der Letztere stammt von den Quadraten negativer Zahlen. Niemand hat je behauptet, dass man die Sache nicht umkehren kann.
Also: Wurzel aus 4 = plus und minus 2!
@@grauwolf1604 Natürlich kenne ich solche Parabeln. Aber du bringst hier Relation und Funktion durcheinander. Wenn man bei der gesamten Parabel x und y vertauscht, erhält man den Graphen, den du wahrscheinlich im Kopf hast, d.h. die an der 1. Winkelhalbierenden gespiegelte, bzw. nach deinen Worten "umgekehrte" Parabel. So weit, so gut, aber das ist dann keine Funktion f(x) mehr, sondern die Relation x=y^2. Als Funktionsgraph f(x) interpretiert macht das keinen Sinn, weil z.B. nicht gleichzeitig Wurzel(4)=+2 und Wurzel(4)=-2 gelten kann. (Man könnte es höchstens als Funktion f(y) lesen, aber dann hätte man im Sinne der Umkehrfunktion nichts gewonnen, weil es wieder eine Quadratfunktion ist.)
Umkehren als Funktion lässt sich jeweils nur ein "Ast" der Parabel, entweder der entlang der nicht-positiven y-Werte oder der entlang der nicht-negativen. (Genauer gesagt deshalb, weil die Funktion dort jeweils bijektiv ist. Der Fachbegriff ist hier aber eher nebensächlich. ;-))
Gut und ausführlich erklärt ist es auch hier: de.m.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion Die genauen mathematisch tiefer gehenden Abschnitte sind gar nicht zwingend wichtig. Ich empfehle v.a. den einleitenden Absatz vor den einzelnen Abschnitten sowie die Abschnitte "Einfache Beispiele" und "Umkehrfunktion für nicht bijektive Funktionen".
Und, wo wir schon dabei sind: de.m.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel Hier empfehle ich v.a. den Abschnitt "Quadratwurzeln aus reellen Zahlen".
Hey, *-3 ist richtig!*
*-5 + 2 = -3*
Lösung stimmt!
Eine Wurzel hat *immer 2 Ergebnisse*
36 ^ 0.5 = 6*6 , (-6)*(-6)
...
Um auf die Lösung zurückzukehren:
Die Wurzel aus 25 ist entweder 5 oder (-5)
Vielleicht macht das ganze mehr Sinn, wenn man im klaren ist, dass es eine nach oben geöffnete und nach unten verschobene Parabel ist. Natürlich schneidet diese 2x die X-Achse
dem würde ich mich eigentlich anschließen...
Nein, das ist falsch. Die Wurzel aus einer (nicht negativen) Zahl ist _definiert_ als diejenige _nicht negative_ Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl ist.
@@bjornfeuerbacher5514 Mit anderen Worten: Jede Parabelgleichung a*x^2 +bx + c
Mit c = 0 hat bei einem positiven a und b
@@castleclasher1236 Nein. Die Gleichung x² = 4 hat die beiden Lösungen x1 = + Wurzel aus 4, also +2, und und x = - Wurzel aus 4, also -2.
Die Wurzel selbst ergibt _immer_ ein positives Ergebnis - genau deshalb muss man das plus bzw. minus ja noch _vor_ die Wurzel schreiben!
@@bjornfeuerbacher5514
Auf Wikepedia:
Allgemein gilt daher für geradzahlige Wurzelexponenten:
sqrt(x ** n) = |x|
Das entscheidende ist hier das *"Allgemein"* .
mit kopfrechnen hatte ich die 8 in etwa 5-10 Sekunden, gilt das auch?
da die einzig in Frage kommende Quadratzahl nur 36 sein kann, kommt nur 8 in Frage, und siehe da, es geht auf.
es war doch rechnen sogar mit einem weg
Hallo,
Bei 3:54 hätten Sie ebenfalls die Definitionsmenge der Wurtzel von (x+28) bestimmen müssen welche sagt dass dieser Betrag >= 0 sein muss, was somit bedeutet dass (x-2) ebenfalls >=0 sein muss und somit x >= 2 sein muss was wiederrum die 2. Wurtzel (-3) welche Sie am Ende herausfinden von vorneherein ausscheidet.
Nein, hätte sie nicht. Genau genommen ist das NACHTRÄGLICHE Bestimmen von Definitionsmengen sowieso Quatsch, wird aber in der Schulmathematik üblicherweise so gemacht. Eigentlich muss der Definitionsbereich der Variablen vor ihrer ersten Verwendung in der Metasprache angegeben werden; also vor dem ersten Hinschreiben der Gleichung. Danach darf sich dieser nicht mehr verändern.
wenn man es aber schon macht, dann hat er schon recht. Wenn die linke seite >=0 sein soll, dann auch die rechte.
@@heikoschroder6824
Es tut mir leid Mr Schröder, Metasprache hin oder her, da sind Sie auf dem Holzweg; kann dem besten Spezialisten vorkommen. 😉
Um das Ganze besser zu verstehen, kann die erwähnte Gleichung in die folgende Form geschrieben werden :
Wurzel(A(x)) = B(x) ; mit A(x) = x + 28 und B(x) = x - 2
Wird ab 12:26 ja auch so gemacht.
Unter dieser Form ist leicht zu erkennen dass beide Beträge A(x) und B(x) >= 0 sein müssen, ansonsten ist die Gleichung nicht gültig in der Domäne der Realen.
Letztendlich um beide Konditionen zu berücksichtigen muss x >= 2 sein.
@@danielb7311 Es tut auch mir leid, Herr Daniel, dass ich noch einmal deutlich widersprechen muss. ;-) ,,Metasprache hin oder her'' zeigt mir, dass ich nicht richtig verstanden wurde. Die Gleichung hieß sqrt(x+28)+2=x. Davon ist auszugehen. Ich sagte, dass der Definitionsbereich eigentlich VORHER anzugeben ist, bevor man die Gleichung hinschreibt (was nur metasprachlich möglich ist). Nur für Werte, die größer oder gleich -28 sind, sind alle Terme definiert. Es darf also 1 eingesetzt werden. Auch in der Gleichung sqrt(x+28)=x-2! Dass das keine Lösung sein kann, zumal die rechte Seite negativ ist, ist eine ganz andere Frage. Die Gleichung ist für 1 definiert. Das ist entscheidend. Und deshalb: Ein Definitionsbereich darf während einer Gleichungsumformung nicht geändert werden. Der steht schon vorher fest.
@@heikoschroder6824 Hallo Herr Schröder, Metasprache hat mit der reine Mathematik nichts zu tun und sie kann auf keinen Fall derer Regeln beeinflussen weder noch beleugnen.
Lassen wir es dabei, soll jeder daraus entnehmen wass er für richtig hält.
Besten Gruß
Auch möglich: Addiere 28 auf beiden Seiten und substituiere im Anschluss sqrt(x+28):=u. Daraus ergibt sich die quadratische Gleichung u^2-u-30=0 mit u1=6 und u2=-5 als Lösungen. Bei der Resubstitution sieht man dann, dass nur u1 in Frage kommt, denn sqrt(x+28)=-5 ist ausgeschlossen, da eine (reelle) Quadratwurzel nach Definition nie negativ sein kann. Und aus u1 ergibt sich x=8, was auch in der Probe passt.
Denke, dein Weg ist der direktere und intuitivere, wollte aber dennoch mal noch diesen Vorschlag mit einbringen. 🤓😉
Was bedeutet Scheinlösung "technisch"?
VG
Könntest du nochmal erklären, warum das Ergebnis der Wurzel immer positiv ist?
Bei der pq Formel benutzt man ja beide Teile.
Oder hat das eine nichts mit dem anderen zutun?
Der Unterschied ist, dass bei der pq-Formel das Minus vor und nicht in der Wurzel steht.
Die Quadratwurzel hat (im reellen Zahlenraum für nicht-negative Werte) *per Definition immer genau eine nicht-negative Lösung.* Schau dir nur mal den Graphen der Wurzelfunktion an: Sie verläuft *nur* im ersten Quadranten, d.h. f(x) bzw. das Ergebnis einer Quadratwurzel kann gar nicht negativ sein (und x übrigens auch nicht - die Quadratwurzel ist im reellen Zahlenraum also nur für nicht-negative Zahlen definiert).
Es sind zwei verschiedene Dinge, ob du z.B. die Wurzel aus 25 ziehst oder die quadratische Gleichung x² = 25 lösen willst. Diese hat (logischerweise) zwei Lösungen.
*Aber:*
Formt man die quadratische Gleichung durch Wurzelziehen um, erhält man
x = *±* √(25)
und eben *nicht*
x = √(25)
Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung kommen also daher, dass man ein Plusminuszeichen vor die Wurzel setzen muss (darum auch das Plusminuszeichen in der pq-Formel). Die Wurzel selbst hat aber nur eine einzige (nicht-negative) Lösung!
Hat Spaß gemacht! Ich bin nach 40 Jahren sooo raus! Hatte aber in 4 Schritten die Lösung: 7,999.
(Das klappt nicht immer!) Wie?
Ich hab' links für x 1 eingesetzt. Mein x rechts war dann 7,385. (besser als nix)
Das hab' ich als neues x auf der linken Seite eingesetzt. Nach 4 mal hatte ich meine 7,999.
Die Werte sind nicht hin- und hergesprungen. Ich war zufrieden.
Ich meine zu erinnern, daß dies Verfahren Iteration heißt. Ich habe es extra "aus dem Handgelenk" gemacht. Ohne irgendwo nachzuschauen.
👍🏻
Selam sesiniz Cok guzel
Die 8 war schnell erraten, aber jetzt schau ich mir mal an, wie man das x aus der Wurzel raus bekommt.
Definition:
x + 28 ≥ 0
x ≥ - 28
√(x + 28) + 2 = x
√(x + 28) = x - 2
√(x + 28) ≥ 0
x - 2 ≥ 0
x ≥ 2
Definitionsmenge: x ∈ ℝ ≥ 2
Lösung:
√(x + 28) + 2 = x
√(x + 28) = x - 2
x + 28 = x² - 4x + 4
x² - 5x - 24 = 0
x = 2,5 ± √(6,25 + 24)
x₁ = - 3 ∨ x₂ = 8
Da x₁ = - 3 > 2, ist diese Lösung auszuschließen.
Lösungsmenge: x ∈ {8}
"Da x₁ = - 3 > 2, ist diese Lösung auszuschließen"... -3 < 2 meinst du, oder?
Guter Punkt - so wird die Scheinlösung schon über die Definitionsmenge ausgeschlossen.
@@teejay7578 Aha! Nennt man Das also "Scheinlösung", wenn einem die Lösung nicht passt?
@@BachForeveryone Hast du das Video überhaupt gesehen?
@@teejay7578 Nein, das konnte ich ohne Video lösen.
Hallo Susanne. Wenn man allerdings die negative Wurzel aus 25 zieht, dann stimmt die Lösung.
Denn -5 + 2 = -3. Das stimmt.
Nein, die Wurzel aus 25 ist 5, *nicht* ±5.
Die Quadratwurzel hat (im reellen Zahlenraum für nicht-negative Werte) *per Definition immer genau eine nicht-negative Lösung.* Schau dir nur mal den Graphen der Wurzelfunktion an: Sie verläuft nur im ersten Quadranten, d.h. f(x) bzw. das Ergebnis einer Quadratwurzel kann gar nicht negativ sein (und x übrigens auch nicht - die Quadratwurzel ist im reellen Zahlenraum also nur für nicht-negative Zahlen definiert).
Es sind zwei verschiedene Dinge, ob du z.B. die Wurzel aus 25 ziehst oder die quadratische Gleichung x² = 25 lösen willst. Diese hat (logischerweise) zwei Lösungen.
*Aber:*
Formt man die quadratische Gleichung durch Wurzelziehen um, erhält man
x = *±* √(25)
und eben *nicht*
x = √(25) .
Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung kommen also daher, dass man das Plusminuszeichen *vor* die Wurzel setzen muss (darum auch das Plusminuszeichen in der pq-Formel). Die Wurzel selbst hat aber nur eine einzige (nichtnegative) Lösung!
@MathemaTrick warum muss der wurzelausdruck positiv sein? Es gibt doch die Menge der komplexen zahlen?
Definitionsmenge ist aber R also Reell und nicht C, komplex.
@@MichaelJedamzik
Die Definitionsmenge wurde aber selbst bestimmt. Das hat die Aufgabe nicht gemacht
@@hansmuller1012 Ja und? Susanne hat das so gemacht vor dem Hintergrund, dass die Zielgruppe solcher Videos, nämlich Mittelstufenschüler, im Normalfall nicht mehr als die reellen Zahlen kennen. Da etwas einzuführen, was nicht relevant ist für Ihren Schulstoff, wäre unangebracht. Also zumindest für mich hier eine offensichtlich vernünftige Vorgehensweise.
🌹
Minute 11:50 !!!
Ich muss etwas dazu beitragen
also bei der Probe von x= 8 hast du beim Wurzelziehen die positive Zahl genommen weil es gerade gepasst.
Aber mir ist aufgefallen dass es bei der Probe von x= -3 die Aussage auch wahr wäre wenn du die negative Wurzel genommen hättest
Also :
√25 + 2 = -3
-5 +2 = -3
-3 = -3 ( wahr✓)
Meine Frage warum?
ich bitte um Erklärung
Eine negative Wurzel gibt es nach Definition nicht. D.h. für alle reellen Argumente x>=0 ist auch stets Wurzel(x)>=0.
Natürlich gilt auch (-5)*(-5)=25, das betrachtet man aber nicht als die Quadratwurzel aus 25, sondern als Lösung der quadratischen Gleichung x^2=25. Die ist nämlich +-5, und zwar nicht zu lesen als x1,2=Wurzel(25)=+-5, sondern als x1,2=+-Wurzel(25)=+-5. D.h. die Wurzel selbst bleibt eindeutig, das "+-" kennzeichnet dann die Mehrdeutigkeit der Lösung der Gleichung.
Kern des ganzen Dilemmas ist, dass die Wurzel als definierte *Funktion* (also f(x)=Wurzel(x)) eine *eindeutige* Zuordnung sein muss. Zu einer reellen Quadratwurzel kann es keine 2 verschiedenen reellen Lösungen geben. Per Konvention hat man sich darauf geeinigt, dass die nicht-negative Variante "die" Quadratwurzel ist. Es spräche auch nichts dagegen, die jeweils nicht-positive Variante zu nehmen, das müsste man dann aber konsequent machen und vieles bisher Gewohnte, was darauf basiert, müsste man nochmal neu auf Kohärenz überprüfen. Meinem Gefühl nach macht aber die nicht-negative Variante in jedem Fall Sinn und hat ihre Daseinsberechtigung. ;)
(Interessant wird es in diesem Zusammenhang dann, wenn man den Horizont über die reellen Zahlen hinaus auf die komplexen Zahlen erweitert. Dann kann, ja muss man sogar mit Mehrdeutigkeiten leben. Das übersteigt aber (zumeist) den Inhalt der Mathematik, der an Schulen gelehrt wird. Wer die in diesem Video geschilderten Sachverhalte verstehen & anwenden möchte, kann das getrost ignorieren. ;))
👍
Sehr interessant! Klingt sehr logisch. Leider verstehe ich nur "Bahnhof"
Hinter dem Problem mit der Scheinlösung x=-3 steckt, dass nach Definiton √25=+5 und NICHT √25=-5 ist. Der Hintergrund wird spätestens ersichtlich, wenn man in der letzten Gleichung des Videos (erste Zeile) auf beiden Seiten -2 addiert. Das hat Susanne in diesem Video sehr gut aufgespießt!
Wann darf ich die PQ-Formel anwenden und wann nicht? Gibt es da eine Regel?
Man darf sie immer anwenden, wenn vor dem X^2 keine andere Zahl steht, also kein Faktor. Und die andere Seite der Gleichung muss natürlich 0 sein.
@@bielefeldundmehr2461 Danke für die Antwort!
gut… Gut… GUT . . . GUUUT!!!!
Die Bewahrerin des Grals!!!
Ich hatte schon vor 50 Jahren Probleme damit zu erkennen, wann welche Formel anzuwenden ist. Mal abgesehen davon, dass ich die sowieso nie im Kopf hatte. (Ich glaube mich erinnern zu können, dass wir später Formelsammlungen nutzen durften)
Liebe Susanne, ich mag deinen Kanal sehr! Ich habe nur eine Bitte: Begehe nicht den Fehler, den Lösungsmengenbuchstaben L mit einem Doppelstrich zu schreiben (𝕃). Leider tun dies viele Lehrer und man sieht es sogar in manchen (älteren) Schulbüchern. Die Doppelstrich-Buchstaben sind den "Ausgezeichneten (unveränderlichen) Zahlenmengen" vorbehalten (z.B. ℤ, ℚ, ...). Definitions- und Lösungsmengen jedoch sind immer ganz speziell und sollten entsprechend mit D und L bezeichnet werden.
Ui, danke dir für die Info! Das hat sich bei mir von früher so eingeschlichen, aber ab sofort werde ich es dann richtig schreiben.
wäre x aus c (komplexe Zahlen) nicht auch eine definitionsmenge, da man ja im Bereich der Komplexen zahlen durchaus wurzeln aus neg zahlen ziehen darf mit wurzel (-1) = i. Der Grunlegende Definitionsbereich für x ist nämlich nicht in der Aufgabenstellung vorgegeben es steht also nicht x aus R da, erst als du es hinschreibst.
An der Schule ist die Grundmenge eigentlich immer R.
Nein, üblicherweise ist die Wurzel nur für nicht-negative zahlen definiert. Sonst würden andere Potenzrechengesetze gelten und das will man normalerweise nicht.
@@jan31416 eig nicht wirklich. mit wurzel (-1) = i und dem einbezug komplexer zahlen mit reeelen und imaginären anteil kann man bei der wuzel aus der negativen zahl die -1 ausklammern und hat dann einfach i mal der Wurzel aus einer positiven zahl und kann dann einfach damit weiterrechnen
@@thelurker1493 wurzel (-1) ist aber nicht i.
ich schreibe eineach mal w() für Wurzel().
1 = w(1) = w(-1 * -1) = w(-1) * w(-1) = i * i = -1.
Nicht gut. Damit müssten wir die Potenzrechengesetze in den Komplexen Zahlen ändern - macht keiner. Die Wurzel von negativen Zahlen ist nicht definiert. Aber die komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen.
Anmerkung: w(x) = x^(1/2).
@@jan31416 wurzel(-1) kann auch -i sein, da (-i)*(-i)=i^2=-1. Anders als im reellen, wo eine Wurzel z.B. wurzel(4)=2 immer positiv ist, kann man sich im komplexen nicht darauf festlegen. Im komplexen muss man extrem vorsichtig mit den Potenzgesetzen sein und solche Wurzelrechnungen sind dann nur bedingt richtig. Dennoch kann man mit komplexen Zahlen Wurzeln von negativen Zahlen ziehen. Gerade das ist ja der Grund für die Verwendung von komplexen Zahlen.
Was für ein schönes und kluges Mädchen. Beim zusehen war das alles ganz einfach. Legt sie mir eine neue Aufgabe hin, ..oh Gott..... dann bin ich tot. Grüße,..Andi. (58)
Liebe Susanne, da die Wurzel mindestens 0 sein muss, ist die linke Seite der Gleichung mindestens 0+2. Somit muss x mindestens +2 sein. Die "Scheinlösung" x = -3 kann also schon am Anfang ausgeschlossen werden.
Wenn man nun für x mindestens +2 einsetzt, dann wird die Wurzel aus mindestens 30 (2+28) gezogen, d.h. die Wurzel ist auf jeden Fall grösser als 5. Wenn man dann noch die 2 dazu zählt, muss x grösser als 7 sein.
Süße Frisur ☺️
Eine schöne Aufgabe, die offenbar erheblichen Kommentarbedarf ausgelöst hat (s. u.) Zum Thema „Scheinlösung“: Wenn man sich die Ausgangsgleichung anschaut und diese leicht umstellt: √(x+28) = x - 2, so sieht man, wenn man sich die jeweiligen Graphen der beiden Ausdrücke anschaut, dass es nur einen Schnittpunkt (in Q1) geben kann (der Graph von √(x+28) verläuft in Q1 und Q2, der Graph von (x - 2) in Q1 und Q3 (und kurz ein wenig in Q4)). Es wurde bereits mehrfach darauf hingewiesen, dass √(x+28) ≥ 0 sein muss, d. h. aber auch, dass (x - 2) ≥ 0 sein muss, also x ≥ 2. Da durch das Quadrieren eine quadratische Gleichung entsteht, hat diese in diesem Fall zwei Wurzeln (8 bzw. -3), das sind also keine „Scheinlösungen“ für die Ausgangsgleichung, sondern Lösungen für die quadratische Gleichung. Insofern hätte Mathematrick auf diesen Unterschied aufmerksam machen können, damit der YT-User das leichter versteht. „Scheinlösung“ ist mir als mathematischer Ausdruck leider kein Begriff…😊. Die „Probe“ hilft sicherlich, aber noch wichtiger erscheint mir, dass der Betrachter eine grobe Vorstellung von den Graphen der Funktion(en) hat, sonst endet das in rein „hydraulischem“ Rechnen…
Wann ich doch die Wurzel aus 25 ziehe, ist das doch +5 und -5. Und -5 +2=-3. Somit ist -3 auch eine Lösung.
Die Wurzel aus einer Zahl meint immer das positive Ergebnis. Die Wurzel aus 25 ist also nur 5 und nicht -5.
@@pintman Warum wird dann bei der quadratischen Gleichung eine +/- Wurzel angegeben. Hier handelt es sich auch nur um eine Zahl.
@@noskingang2352 "+/-" steht *vor* der Wurzel. Die Mehrdeutigkeit erzeugt die Notation der Formel an sich. Die Wurzel selbst bleibt aber eindeutig. Mehrdeutig wird erst das Endergebnis, indem vor die *bereits berechnete* (und eindeutige) Wurzel das "+/-" gesetzt wird.
@3:52 Wenn man die 2 nach der rechte Seite bringt, bekommt man x-2. Und das bedeutet x>2, weil die Wurzel immer positiv sein soll. Damit ändert das Definitionsmenge nach D={x e R : x=>2}
Nein, die Definitionsmenge darf sich niemals ändern, da sie eigentlich schon VOR der ersten Versendung der Variablen angegeben werden muss.
Ich glaube, du bringst hier Definitions- und Lösungsmenge durcheinander. Eine Definitionsmenge legt fest, für welche Zahlenbereiche die auftretenden Terme überhaupt definiert sind, und zwar der Bereich, bei dem das für alle gegebenen Terme zugleich der Fall ist. Das heißt dann nicht zwingend, dass auch eine Lösungsmenge existieren muss. Z.B. hat x=x+1 als Definitionsmenge alle reellen Zahlen, da weder für x noch für x+1 für bestimmte Werte von x etwas mathematisch "Verbotenes" passieren könnte. Die Lösungsmenge selbst ist aber offensichtlich leer. Und das wäre sie in dem von dir genannten Fall auch, wenn man sich nur auf -28
Hi, wie kann ich folgendes lösen:
x + 8^(x+1) = 5
Danke!
6:54 oder Mitternachtsformel
Ich möchte gerne wissen wo und wann man diese Form im alltäglich nützlich sein.
Substitution mit u^2=x+28 führt zum selben Ergebnis:)
Also wenn man das mit den Wurzeln korrekt macht (eine Wurzel hat nun mal 2 Lösungen), dann wäre -3 auch keine Scheinlösung. Einmal bekommt man -6+2=-4 also ungleich 8 und das andere mal -5+2=-3. Das ist, afaik auch damit begründet, weil die PQ und die Mitternachtsformel stets 2 Ergebnisse liefern, von denen für eine die negative Lösung der Wurzel verwendet wurde (hier -11/2). Scheinlösungen (leere Lösungsmenge) erhält man afaik nur dann, wenn die Proben nur mit nicht korrespondierenden Wurzelergebnissen - bei Probe mit positiver Wurzel muss das Ergebnis der negativen PQ-Wurzel verwendet werden und vice versa - erreicht werden können, was auch vorkommen kann. Oder verstehe ich da was falsch?
Nein, eine Wurzel hat _keine_ zwei Lösungen. Die Wurzel aus einer (nicht negativen) Zahl ist _definiert_ als diejenige _nicht negative_ Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl ist. p-q-Formel und Mitternachtsformel liefern nur deshalb zwei Lösungen, weil in diesen Formeln _explizit_ plusminus _vor_ der Wurzel steht!
@@bjornfeuerbacher5514 Und warum steht da explizit plusminus vor? (-5)*(-5)=25; 5*5=25 und von daher ist die Wurzel aus 25 plusminus 5. Das pm steht da meines Wissens nach, um auf diesen Umstand explizit aufmerksam zu machen. Ich lasse es deswegen gerne weg und betrachte für die Probe deswegen auch gerne mal nur die Lösung, bei der ich die positive Wurzel bei PQ verwendet habe. Wenn es dann nicht passt, habe ich eine Scheinlösung, weil sie nur dann funktioniert, wenn ich mit dem negativen Wert der Wurzel in der Probe arbeite. Kurzgesagt, wenn die Vorzeichen der Wurzeln verdreht sind. Ich muss auch dazu sagen, dass ich den ganzen Kram lange bevor es Wikipedia gab in der Schule gelernt habe.
@@nichtvonbedeutung Da steht explizit +- davor, gerade ___WEIL___ die Wurzel nur das nicht-negative Ergebnis liefert! Wenn die Wurzel automatisch beide Ergebnisse liefern würde, dann könnte man sich doch sparen, das +- extra hinzuschreiben!
"(-5)*(-5)=25; 5*5=25 und von daher ist die Wurzel aus 25 plusminus 5."
Der erste Halbsatz ist richtig, der zweite folgt aber nicht daraus. Die Wurzel aus 25 ist _nur_ plus 5. Deshalb sind die Lösungen der Gleichungen x² = 25 eben _nicht_ nur einfach Wurzel(25), sondern +- Wurzel(25)!
"Das pm steht da meines Wissens nach, um auf diesen Umstand explizit aufmerksam zu machen."
Nein, das +- steht da, weil es _nötig_ ist. Wenn man es weglassen würde, dann hätte man nur die Lösung +5, die Lösung -5 würde fehlen.
"Ich lasse es deswegen gerne weg"
Dann machst du es schlicht falsch. Ich habe hier jede Menge Mathebücher rumstehen, sowohl auf Schul- als auch auf Uni-Niveau, und in _allen_ steht drin, dass die Wurzel aus a _immer_ die _positive_ Lösung der Gleichung x² = a ergibt. (bzw. genauer die nicht-negative Lösung)
"Ich muss auch dazu sagen, dass ich den ganzen Kram lange bevor es Wikipedia gab in der Schule gelernt habe."
Ich weiß nicht, ob es dein Lehrer damals falsch erklärt hat oder ob du dich falsch erinnerst. Ich hatte das ca. im Jahr 1990 in der Schule gelernt, und auch damals schon hat meine Lehrerin gesagt, dass die Wurzel immer nur die _positive_ Lösung der Gleichung ergibt, und in meinem Schulbuch von damals (das wurde 1985 gedruckt) steht das auch so drin.
@@bjornfeuerbacher5514 Ich denke nicht, dass der Lehrer das damals falsch erklärt hat, denn es ging nur um den Umstand, wie das Ergebnis gerader Wurzeln zu interpretieren ist. Von uns hat damals keiner die Ergebnisse des Wurzelzeichens als nur positiv betrachtet, weil es irgendwo stand. Es war damals eher so, dass xte Wurzel grundsätzlich hoch 1/x heisst und schon hat das Wurzelzeichen keinerlei Bedeutung mehr und von daher auch nicht die, dass dessen Ergebnisse nur als positiv betrachtet werden müssen. 25^1=(-5)^2 woraus 25^0,5=-5 ist nämlich genauso korrekt, wie 25^1=5^2 woraus 25^0,5=5 folgt - insgesamt also 25^0,5=5;(-5). Und jetzt zeige mir die Stelle, an der das Wurzelzeichen nur positive Werte liefert, wenn man es nicht explizit definieren würde, was wohl nach meiner Zeit (1986) passiert sein muss. Ich kann mir gut vorstellen, dass das vom Logarhitmus negativer Basen kommt, was ja bekanntlich nicht funktioniert und das Vorzeichen deswegen vor das log gehört, also -log_b statt log_-b.
@@nichtvonbedeutung Sobald die Basis negativ ist, gelten aber halt die Potenzgesetze nicht mehr uneingeschränkt - also sind deine Schlussfolgerungen nicht zulässig.
"Und jetzt zeige mir die Stelle, an der das Wurzelzeichen nur positive Werte liefert, wenn man es nicht explizit definieren würde"
Man _muss_ es doch irgendwie definieren. Und dass man es so definiert, dass es nur positive Werte liefert, hat den einfachen Grund, dass man auch über Wurzel_funktionen_ reden will. Und Funktionen _dürfen_ bekanntlich _immer_ nur ein eindeutiges Ergebnis haben, die dürfen nicht zwei verschiedene Ergebnisse liefern.
" was wohl nach meiner Zeit (1986) passiert sein muss"
Wie gesagt, mein Mathebuch damals wurde 1985 gedruckt, und da stand es auch schon so drin.
"und das Vorzeichen deswegen vor das log gehört, also -log_b statt log_-b"
??? -log_b und log_-b sind doch zwei völlig unterschiedliche Terme. (Letzteres kann man definieren, wenn man komplexe Zahlen zulässt, es liefert aber eben _völlig_ andere Ergebnisse als ersteres.)
Dat kan veel eenvoudiger ! xx-5x-24 = (x-8)(x+3) = 0 enz.
10:45 warum wird da immer die positive Zahl genommen? Nach welcher Regel geht das?
-6 wär doch eben auch ne Möglichkeit für die Wurzel aus 36. Man kann doch nicht sagen "man ignoriert bei Wurzeln die negativen Ergebnisse einfach immer"...!?
So, ich hab jetzt mal auf Wikipedia de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik) nachgeschaut, warum das so ist.
"Die folgende Beschreibung des Radizierens als einer rechtseindeutigen Wurzelfunktion bezieht sich auf den angeordneten Körper {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb{R} der reellen Zahlen, also gewissermaßen auf die Schulmathematik. Ein allgemeinerer Wurzelbegriff, der den hier beschriebenen umfasst, wird im Artikel Adjunktion (Algebra) behandelt."
Ergo: Wird also so nur in Schulmathematik behandelt. Schade!
Ich habe eine Frage: Wenn ich auf einem 100€ Schein mit Edding eine weitere 0 hinzufüge, bekomme ich dann wieder den Einkaufswagen voll?
ist einen versuch wert...
Hello, I guess by defining that the root of x+28 needs to be greater than 0, you may discard imaginary (complex) solutions! The root of negative figures do exist! (e.g. the root of -1 = i because i to the power of 2 equals -1...) These solutions can be important in technical environments. Because you defined that only solutions for real figures are possible, this may limit the solutions for the equation: Complex solutions may also be solutions! In this exercise however, I think that no complex solutions are possible. Can you please comment this? Best regards and many thanks in advance. Perhaps you can demonstrate also by finding an example?
Was ist mit der -5?
-5 + 2 = -3 und
-5² = 25 > 25^(0,5) = 5 oder -5
25^0,5 ist nicht -5, sondern nur 5. Das ist so festgelegt und in Wikipedia etc. überall verifizierbar. Andernfalls wäre das Wurzelziehen keine eindeutige Funktionszuordnung mehr.
Hallo!
muss man nicht substituieren, wenn man Wurzel aus einer Zahl zieht. Also ist doch davon auszugehen, dass sowohl der negativer als auch der positive Wert einer Wurzel in betracht gezogen wird. Somit müsste doch auch der Wurzel von 25 =-5 ergeben können, und dass +2 ist = -3 also also sowohl im def-Bereich als auch keine Scheinlösung. Wo ist mein fehler? Grüße
Wurzel aus 25 ist doch auch -5 . Also -5+2=-3 . Oder lieg ich da falsch? Ist das nicht beides richtig?
Nein, Wurzel aus 25 ist nur 5. Per Definition sind Quadratwurzeln aus reellen Zahlen (sofern sie existieren) nie negativ. Andernfalls wäre die Wurzelfunktion keine eindeutige Zuordnung.
Wenn man am Anfang schon definiert, dass √(x + 28) ≥ 0 (Quadratwurzeln sind im Bereich von ℝ immer nicht-negativ), dann bekommt man schon bei der Definitionsmenge x ∈ ℝ ≥ 2. Und damit fällt die -3 dann auch direkt raus, und die Lösungsmenge ist x ∈ {8}.
Das ist doch bei ihren Video (leider) immer so, dass sie durch sowas künstlich "aufgebläht" werden. Ich war am Anfang echt ein Fan vom Kanal, aber diese Art von Problemen werden leider nicht besser, sondern eher häufiger. Einheiten werden auch nie korrekt mitgezogen und es werden immer die längstmöglichen Wege gezeigt. Und die ersten Kommentare unter den Videos sind immer inhaltlich die gleichen von den gleichen Leuten, das fällt auf. Als solle hier von einem privaten Zirkel für den CZcams-Vorschlagsalgorithmus gepusht werden.
"Wenn man am Anfang schon definiert, dass √(x + 28) ≥ 0 (Quadratwurzeln sind im Bereich von ℝ immer nicht-negativ), dann bekommt man schon bei der Definitionsmenge x ∈ ℝ ≥ 2."
Das sieht man aber nicht schon ganz am Anfang. Da muss man vorher schon erst mal den Zwischenschritt zu √(x + 28) = x - 2 machen.
Das ist aber nicht die Definitionsmenge. Die Definitionsmenge ist die Menge aller Zahlen, die ich einsetzen darf, sodass ein Term definiert ist. Also sprich, dass ich damit rechnen kann.
Erstmal Unabhängigkeit davon, ob damit die Gleichung erfüllt ist oder nicht. Und die Zahlen zwischen -28 und 2 darf ich einsetzt. Die Gleichung ist damit immer noch definiert.
@@annakonda3597 Na ja, man kann über die Definitionsmenge eines Terms reden, aber auch über die Definitionsmenge einer Gleichung. Die Definitionsmenge des Wurzelterms besteht hier aus allen Zahlen >= -28. Aber die Definitionsmenge der kompletten Gleichung besteht eben nur aus allen Zahlen >= 2.
@@bjornfeuerbacher5514 wodurch sollte die in dem Fall beschränkt werden? Ich kann doch auch Zahlen zwischen 2 und -28 einsetzen und die Gleichung ausrechnen. Wenn ich zum Beispiel -24 einsetze hab ich √(-24+28) +2= -24 √4 +2=-24 2+2 =-24
Damit ist die Gleichung zwar nicht erfüllt, definiert ist sie aber
Du bist voll süß! ♥
vor vielen Jahrzehnten habe ich das mal beherrscht. Jetzt guckte ich zu wie ein Schwein ins Uhrwerk.