Mathe Wettbewerb - Finde die Zahlen!
Vložit
- čas přidán 1. 06. 2024
- Mathematik Wettbewerb
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man das Rätsel mit Gleichungssystemen, den binomischen Formeln und der Primfaktorzerlegung lösen kann. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Mathe Rätsel
0:33 Lösung
4:30 Gleichungssysteme lösen
8:37 Bis zum nächsten Video :)
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Sehr schön.Wenn man weiß, dass die Differenz der Quadrate zweier aufeinander folgenden Primzahlen immer um 2 zunimmt, kann man das Rätsel schnell lösen. Beispiel : 49-36=13; 64-49=15; 81-64=17 usw. Aber deine Lösung passt zum Lehrplan !
Ich finde es immer wieder krass wie Susanne solche Aufgaben löst.
Die Differenz von benachbarten Quadratzahlen ist ungerade und wir immer um 2 größer. Zwischen 18^2 und 19^2 ist die Differenz genau 37. 😊
Dies wäre auch mein Ansatz gewesen, allerdings funktioniert das nur mit ungeraden Zahlen und schließt nicht aus, das es weitere Lösungen gibt (zumindest nicht offensichtlich)
@@dGoerrWieso "funktioniert nur mit ungeraden Zahlen" - bei zwei benachbarten ist doch immer eine gerade und eine ungerade? Oder meinst du die rechte Seite?
Was auf jeden Fall stimmt ist, dass es grundsätzlich noch weitere Lösungen geben kann - Beispiel: 33² - 32² = 65 = 9² - 4².
Die Differenz zweier benachbarter Quadratzahlen ist die Summe ihrer Wurzeln.
@@dGoerr Das ist hier aber nicht der Fall, weil 37 prim ist. (n + 3)² - n² wäre aber z.B. durch 3 teilbar. Und (n + 5)² - n² durch 5 etc.
Hallo Jan Floh, ergänzend zur Anmerkung von dGoerr noch folgende Überlegungen:
1) ja, die Differenz benachbarter Quadratzahlen ist immer ungerade
Sei Q1 die kleinere der beiden benachbarten Quadratzahlen und Q2 die größere Quadratzahl
n1 sei dann die Quadratwurzel (sqrt) von Q1 und n2 die Quadratwurzel(sqrt)
n1 und n2 sind also ganzzahlige Werte n1,n2€Z
dann muss gelten n2: = n1 +1.
Wäre das nicht der Fall, gäbe es ein Zahl n3 die zwischen n1 und n2 liegt und somit eine Quadratzahl Q3 (n3 * n3) die zwischen Q1 und Q2 liegt... Dann wäre jedoch Q1 und Q2 nicht benachbart.
Da Q2 also (n1 +1) = n1^2 * 2 * n1 + 1^2 (nach 1. binomischer Formel), lässt sich die Differenz Q2 - Q1 schreiben als n1^2 * 2 * n1 + 1^2 - n1^2 = 2n1 - 1
2n1 + 1 wiederum ist für jeden beliebigen ganzzahligen Wert ungerade (wegen Parität )
2) für ungerade jede Differenz > 1 lässt sich aus 1) Eine Gleichung a^2 - b^2 = x konstruieren mit der Eigenschaft, das a^2 und b^2 benachbarte Quadratzahlen sind.
Dies muss jedoch nicht zwingend die einzige Lösung der Gleichung sein!
Beispiel:
a^2 - b^2 = 21
Dies könnte z.B.
121 - 100 = 21 sein
mit den Lösungen für a und b
a = +/- 11, b = +/- 10
Möglich wäre jedoch auch
25 - 4 = 21
a und b wären dann
a +/- 5, b = +/- 2
Um an Susannes Aufgabenstellung zu bleiben gäbe es mit diesen Zahlen dann für a^2 + b^2 die Lösungen
1) 121 + 100 = 221
2) 25 + 4 = 29
3) Die Lösungsstrategie mit den benachbarten Quadratzahlen klappt nur deshalb eindeutig, weil uns Susanne den Gefallen getan hat, eine Primzahl (37) als Differenz zu wählen, bei der es nur die Faktoren +/-1 und +/-37 gibt.
LG und noch ein schönes Wochenende aus dem Schwabenland.
Danke für deine Videos!! Ich bin in der 7. Klasse und gucke mir deine Videos , obwohl der Großteil über die Oberstufe geht so gerne an.
Ich bin durch brutales Ausprobieren dorthin gelangt - deine Methode ist weitaus eleganter! Vielleicht war das letzte Bier gestern Abend schlecht geworden!
Meine Herangehensweise war so das die Differenz zweier benachbarter quadrierter Zahlen immer die Summe der Zahlen selbst ist
Zb
1)
2^2=4
3^3= 9
Differenz 5 = die Summe aus 2 und 3
2)
554^2=306916
555^2=308025
Differenz = 1109 = Summe aus 554 und 555
Auf dein Beispiel umgelegt war somit von 18 und 19 (Summe = 37) auszugehen
Servus!
Falls du das liest, es ist Arthur. Ich habe die Autogramm Karte erhalten und war schockiert vom Umfang!
Vielen, vielen Dank nochmal. Das hat mir den Tag bereitet😄
Ich hätte beim Ermitteln von x und y jeweils die beiden Gleichungen addiert, nachdem stets einmal +y und einmal -y vorkommt, sodass auf diese Weise das y wegfällt.
Die ersten beiden Lösungen waren auszuschließen, da sie selbst keine ganzen Zahlen ergeben.
Durch Addieren der Gleichungen erhält man 2 x^2 = 37 + 685 bzw. 27 + 1369
Berechnet man x, so kommt 19 heraus bzw 26, . ., womit 1369 ausscheidet und 685 die richtige Lösung ist, zumal y dann auch eine ganze Zahl ist: 18.
Ist heute nicht mein Tag, habe (ich hoffe hatte) heute einen "Knoten" in der Gehirnwindungen 😕 Danke für Deinen Super Lösungsweg 🌹
Genial! 👍 Nur hätte ich zu Anfang gleich x und y genommen und die linearen Gleichungen addiert, das hätte vielleicht ein wenig Verwirrung reduziert.
Man ahnt jedoch, dass das System "Trial and error" in der Mathematik mehr Bedeutung finden sollte.
Klasse und logisch konsequent. 🧑🎓
Ich wäre schon froh, wenn die Leute die Zinsrechnung und den Dreisatz beherrschen und noch Brüche erweitern. 😂🎉😂
Wenn man Brüche beibringt, fängt man am besten mit Bilder an, sonst wird es im schlimmsten Falle nichts. Beim Dreisatz muss man in der zweiten Klasse verstanden haben, was Division und Multiplikation bedeutet bzw. aussagt. Zinsrechnung beruht ja auf dem Prinzip des Dreisatzes.
@@timurkodzov718 Sie haben recht, aber das ist heutzutage nicht mehr selbstverständlich. Das ganze Schulsystem gehört reformiert, besonders das in Bayern !
Da 37 eine Primzahl ist, sind die einzigen ganzen Zahlen die die erste Gleichung lösen |18| und |19| und die Summe dieser Zahlenkombinationen zum Quadrat liegt ohne zu rechnen zwischen 2*16² und 2*20². Das bedeutet 512
Sehr langer, aber natürlich eleganter Weg! 😊
Aber in einem Wettbewerb zu lang.
Ich schaue mir Deine videos an um meinen intilligenz-quotienten zu erhoehen.
Das Quadrat der ganzen Zahl n lässt sich auch als Summe der ersten n ungeraden Zahlen darstellen. Also ist die Differenz zwischen der n-ten Quadratzahl und der "n-1"ten Quadratzahl gleich 2n-1.
Wenn also 2n-1=37 ergibt, dann ist n=19 und n-1=18, somit ergibt sich 19^2+18^2=685.
Mein Weg war: brauch ich nich, lass ich bleiben :D Und dann hab ich mir die echte Lösung angeguckt ^^
Top Hoodie!😎
Top Frau... 🥰
Antwort c ist richtig. 19^2+18^2=685
Hallo. Kurze Frage. Wie berechnet man radius wenn beim Zylinder wenn das Volumen mit 56,52 gegeben ist und man weiß dass Körperhöhe und Durchmesser gleich sind?
V = Grundfläche * Höhe.
Lt Vorgabe soll gelten:
Durchmesser = 2 * Radius = Höhe
Bei einem Zylinder ist die Grundfläche ein Kreis, für dessen Fläche gilt: pi * Radius^2
Für das Volumen des Zylinders ergibt sich dann:
V = pi * Radius^2 * 2 * Radius (Höhe soll ja gleich der Durchmesser des Kreises sein)
Dann Werte Einsetzen:
56,52 Volumeneinheiten (VE) = pi * Radius^2 * 2 * Radius = 2 * pi * Radius^3
Jetzt kann man durch pi und durch 2 teilen:
(56,52 / (2 * pi)) = Radius^3 = 8,995....
Jetzt noch die 3. Wurzel ziehen
Radius = 2,0797... Längeneinheiten (LE)
Hilft Dir das?
LG aus dem Schwabenland.
@@markusnoller275 Auf zweite Nachkommastelle gerundet r = 2,08.
Das Volumen eines Zylinders ist Grundflaeche mal Hoehe, bei Hoehe h und Durchmesser d also (pi*(d/2)^2)*h. Sind Durchmesser und Hoehe beide gleich d, erhaelt man fuer das Volumen (pi*(d/2)^2)*d oder weiter zusammengefasst
pi*d^3/4- Setzt du das gleich dem vorgegebenen Volumen, kannst du das nach d aufloesen und erhaeltst den Durchmesser. Der Radius ist die Haelfte vom Durchmesser ...
Habe das mit den ganzen Zahlen zwar überlesen, aber geschlussfolgert, dass die Summe >37 sein muss und so a) und b) verworfen. Dann die 685 gleich der Summe gesetzt und das Gleichungsystem addiert, durch zwei geteilt und die Wurzel gezogen, wodurch für das Quadrat (oder in der Schreibweise hier x) 19 rauskam. Dann 685 - 19² gerechnet und die Wurzei gezogen und so auf 18 gekommen. Durch die Quadrate ist logisch, dass es jeweils auch das Negative sein könnte, aber das war nicht die Frage, sondern ob 685 die Lösung wäre, was damit gezeigt ist. Das sollte auch für Nichtprimzahlen funktionieren, sofern man Lösungsvorschläge überprüfen soll.
Wenn man ganzzahlig *nicht* voraussetzen wuerde, were auch x^2+y^2=37 moeglich mit x=sqrt(37) und y=0. Es muesste in deiner Antwort also "dass die Summe >=37 sein muss" heissen ...
@@juergenilse3259 Naja, bei diesen Fragestellungen wäre es aber recht witzlos, eine 'Variable" gleich Null zu setzen. Dann dürfte aus das Binomisieren nicht gehen, denn da dürfte a ungleich b ungleich null gelten.
@@CvSp22 Warum schliesst du y=0 aus? Aus der Aufgabenstellung geht das nicht hervor ...
Da quadrierte Zahlen immer um 2 zunehmen (z.B. 1^2= 1, 2^2= 4, 3^2=9, 4^2=16 (Abstände: 3,5,7...)) habe ich den Abstand von 37 gesucht. Der ist endstanden durch die Zahlen 18 und 19. Ein bisschen anders, aber bekanntermaßen führen viele Wege nach Rom. :)
Ich hätte bei den Gleichungssystemen addiert, und dadurch y eliminiert, dann nach x aufgelöst. Ist zwar Pott wie Deckel, aber man erspart sich das eine oder andere Minuszeichen.
Ich hab alle Quadratzahlen bis 400 aufgeschrieben und durchprobiert, wo ich eine Differenz von 37 habe. Wie immer natürlich erst am Ende 324 und 361. Höher als 400 konnte es nicht sein, da die Differenz zu der davor bereits 39 ist. Dabei fiel mir auch auf, dass die Differenzen zwischen den Quadratzahlen aufsteigend immer um 2 zunehmen. Also danach zwischen 361 und 400 = 39, davor zwischen 289 und 324 = 35.
Moin. Bin neu hier und finde die Videos lehrreich und interessant. In diesem Fall gibt es aber noch eine einfachere Lösung.
Wenn die Differenz zweier Zahlen zum Quadrat 'x' ist (in diesem Fall 37), so zieht man von der Differenz 1 ab (hier 36) und teilt diese Zahl dann durch 2 (36 : 2 = 18). So weiß man, daß die Zahlen 18 und 19 sein müssen. Jetzt nur noch die Probe mit den verschiedenen Vorzeichen unf fertig. 😀
So habe ich es auch gemacht. Aber mein Hinterkopf fragt: Könnte die 37 nicht die Differenz von zwei Quadratzahlen sein, die 3 oder 5 oder 7... Quadratzahlen auseinander liegen? Natürlich dann alle kleiner als 37^2 (sonst wäre der Abstand ja zu groß). Auch das sind überschaubar viele Fälle, und ich vermute nein, aber spontan wüßte ich nicht, warum nicht.
@@cypherpunks2002Guter Punkt. Damit das klappt, müsste 37 ja als Summe dreier (oder fünf etc) aufeinanderfolgender ungerader Zahlen darstellbar sein.
Für drei Zahlen ergibt 9+11+13 nur 33 und 11+13+15 bereits 39.
Für fünf Zahlen ergibt 3+5+7+9+11=35 und 5+7+9+11+13=45.
Für sieben Zahlen gilt 1+3+5+7+9+11+13=48 und mehr brauchen wir nicht zu probieren.
Also im allgemeinen hast du recht, aber für 37 geht tatsächlich nur die Lösung der benachbarten Zahlen 18 und 19.
Wenn man Hintergrundwissen hat, ist es ganz einfach. 37 ist eine Primzahl, d.h. die einzigen Faktoren sind 1 und 37. 37 als Differenz über 2 Quadrate kann nur 19^2 und 18^2 sein. Somit die Lösung 19^2+18^2=685. Wäre nicht 37, sondern 35 gefragt, gäbe es 2 Lösungen.
Das Ausprobieren der Quadratzahlen führt zur Lösung , wenn man die Quadratzahlen von 1 bis 20 ( z. B. ) auswendig kennt .
Hey kannst du bitte was für die MatheZp10 NRW 2024 machen?
Erster Blick, dritte binomische...
Können sie ein Video zu Kalkulation 😊😊Bäckereifachverkäufer zeigen mit Berechnung Materialkosten Betriebskosten netto und Bruttoverkaufspreis
Das ist eher keine Aufgabe für einen Mathekanal. Die mathematischen Kenntnisse zur Lösung solcher Aufgaben beschränken sich auf die Grundrechenarten und ggf noch Dreisatz / Prozentrechnung. Das eigentliche Thema derartiger Kalkulationen (Einkaufs-, Verkaufs-, Handels-, Kostenkalkulationen, etc.) ist ein Verständnis über betriebswirtschaftliche Zusammenhänge, Hintergründe und Fachbegriffe und die entsprechende praktische Umsetzung.
Folglich eher eine Fragestellung an Wirtschaftspädagogen, Rechnungswesen- und BWL-Lehrer, etc. statt an eine Mathematikerin.
Vielleicht kennt hier ja jemand einen Kanal, der solche Themen in den Fokus stellt und kann einen Tipp geben
Das mit den negativen Zahlen, also die Fälle 3 und 4, hätte man sich sparen können, da die ja in der Gleichung mit der gesuchten Zahl eh wieder quadriert werden.
Da in den Lösungsvorschlägen ja auch Wurzeln vorkommen, ist mir direkt (W(38))^2 - 1^2 = 37 in den Sinn gekommen. Ist aber nicht angegeben.
sqrt(38) ist nicht ganzzahhlig, und damit ist x=sqrt(38) und y=1 keine der Aufgabe entsprechende Loesung ...
Mit W(38) meinst du die Quadratwurzel aus 38? Ist eine sehr ungewöhnliche Schreibweise... normalerweise steht W(x) für die (Lambert'sche) W-Funktion.
Sussane du bist klug-Wahnsinn
Ohne zu schauen - easy: 3. Binomische Formel und das Wissen, dass 37 eine Primzahl ist. Daher müssen a-b = 1 und a+b = 37 sein - also 19 und 18. Antwort c)
Als offene Aufgabenstellung hätte ich das genauso wie du gelöst; aber bei Multiple-Choice hat man immer die Möglichkeit, über die vorgegebenen Antwortmöglichkeiten zu gehen und das Pferd von hinten aufzuzäumen:
Da x und y ganze Zahlen sind, muss auch x² + y² eine ganze Zahl sein ⇒ a) und b) scheiden aus. Betrachte nun c) [d)]:
x² + y² = x² - y² + 2y² = 37 + 2y² = 685 [1369] | - 37
⇔ 2y² = 648 [1332] | : 2
⇔ y² = 324 [666] | √
⇔ |y| = 18 ∈ ℤ [25,8 ∉ ℤ ⚡] ⇒ d) scheidet aus. Weiter nur noch mit c):
Einsetzen: x² - 324 = 37 | + 324
⇔ x² = 361 | √
⇔ |x| = 19 ∈ ℤ
Nur bei Lösung c) sind x² und y² Quadrate ganzer Zahlen. ✅
PS: Wäre auch bei c) x oder y keine ganze Zahl gewesen, wäre nach dem Ausschlussprinzip e) die richtige Antwort gewesen.
In der Tat wäre die Aufgabe viel spannender gewesen, wenn keine Antwortmöglichkeiten vorgegeben gewesen wären. Allerdings ist Ihr Lösungsweg unvollständig, da Sie nicht zeigen, dass es außer den von Ihnen gefundenen Werten für x und y keine weiteren möglichen Werte gibt. Wenn es noch andere Kombinationen gäbe mit anderen Werten für x²+y², dann wäre die Aufgabe unlösbar und somit Antwort e die richtige.
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheimDas sehe ich anders: Eine Aufgabe mit mehreren richtigen Lösungen ist zwar nicht eindeutig lösbar, aber lösbar ist sie. Nicht lösbar ist eine Aufgabe nur, wenn es keine richtige Lösung gibt. Somit kann die Antwort e) in dem Moment, wo c) als richtige Lösung identifiziert wurde, nicht mehr die korrekte sein.
@@teejay7578 Leider ist die Aufgabe in diesem Punkt nicht präzise gestellt. Bezieht sich "nicht lösbar" auf die Gleichung x²-y²=37 mit ganzzahligen Werten für x und y? Wenn das gemeint ist, haben Sie recht. Oder heißt "nicht lösbar", dass die Aufgabe unlösbar ist, dass es also nicht möglich ist, aus den Angaben die Summe der Quadrate zu bestimmen? Wenn das gemeint ist, trifft Antwort e auch dann zu, wenn es mehrere mögliche Summen gibt.
Das Problem hätte man vermeiden können, indem man die Antwortmöglichkeiten weggelassen hätte. Durch die Vorgabe der Antwortmöglichkeiten ist nicht mehr ganz klar, was man zeigen muss und was man voraussetzen darf.
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim "unloesbar" faellt aus, wenn es (mindestens) eine Loesung gibt. In der Fragestellung wird nicht verlangt, dass es *nur**eine* Loesung gibt. Ist also x^2+^2=685 eine moegliche Loesung, kommt "unloesbar" nicht mehr in Frage ...
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheimDas Paar (x; y) ist ja nicht mal eindeutig bestimmbar, aber x² + y² ist, wie Susanne gezeigt hat, für alle möglichen Paare identisch. Falls das nicht so wäre und 685 nicht der einzige mögliche Summenwert wäre, wären alle fünf Antworten falsch - a), b) und d) sowieso, c) weil da nur "685" und nicht "685 oder ..." steht, und e) weil es eine Lösung gibt und die Aufgabe somit nicht unlösbar ist. Ganz genau betrachtet muss ich Ihnen in dem Punkt, dass das Identifizieren von 685 als mögliche Summe von x² und y² alleine nicht ausreicht, um c) zu verifizieren, sogar Recht geben. Aber es reicht aus, um e) zu falsifizieren. Und wenn vier von fünf möglichen Antworten nachweislich falsch sind, muss die fünfte zwingend richtig sein. Infoern ist mein Lösungsweg sehr wohl vollständig.
@juergenilse3259 Naja, die Formulierung der Fragestellung in Kombination mit den Antwortmöglichkeiten suggeriert schon, dass es entweder keine oder genau eine Lösung gibt. Aber gerade deswegen ist ein Nachweis, dass 685 die einzige Lösung ist, eben nicht erforderlich.
da 37 eine Primzahl ist, mag man geneigt sein, bei der Multiplikation auszusteigen.
Ich bin davon ausgegangen:
2 + 1 = 2^2 - 1^2
3 + 2 = 3^2 - 2^2
4 + 3 = 4^2 - 3^2
usw.
Daher: 19 + 18 = 19^2 - 18 ^2
und die Lösung ist daher 19^2 + 18^2 = 685
Da von ganzen Zahlen die Rede war, sind die Lösungen a) und b) bei mir gleich rausgefallen. Da kommen nur Komma-Zahlen raus.
Ehrlicherweise muss ich zugeben, diesmal die Lösung durch Ausprobieren gefunden zu haben.
man kann sich auch überlegen, dass x² - (x-1)² = 2x-1 ist und dann schauen, welche Zahl für x (bzw Viereck) eingesetzt werden muss und welche Zahl dann für y (bzw Dreieck) folgt
Bezaubernd
Ich hab mich erst schwer getan.
Aber mit der Erkenntnis, dass 37 eine Primzahl ist, ging es dann ganz einfach
MfG
Hallo🎉
Sorry Susanne, bei dem warmen Wetter ist mir nicht nach Mathematik, ich hab einfach zugeschaut und mich entspannt, das war mein Weg zur Lösung dieser Aufgabe, allein hätte ich es e nicht lösen können!!!
1
da doch nur die vorgegebenen Ergebnisse geprüft werden müssen, geht das auch "einfacher", denn 2*x^2 ist doch 37+"Lösung aus der Liste".
Wirklich? Wenn Du nur darauf guckst, dann gibt es zwei Lösungen, 19 und -19 - also keine eindeutige Lösung, also Antwort e) ;-)
@@cypherpunks2002 Es war aber nicht nachh den Werten fuer Quadrat und Dreieck gefragt, sondern nach dem Wert von Quadrat^2+Dreieck^2,und der ist bei ganzzahligen Quadrat und Dreieck eindeutig. Ausserdem wurde die Eindeutigkeit einer Loesung nicht gefordert, so dass "unloesbar" nicht in Frage kommt ("unloesbar" hiesse "keine Loesung", mehrere Loesungen waere "nicht eindeutig" statt "unloesbar").
@wolfgangfritsch485:
Ja, das stimmt (leider😉). Genau deshalb finde ich es schade, dass überhaupt Antworten vorgegeben wurden (von denen man auch noch a, b, d praktisch sofort ausschließen kann).
Zum Glück hat Susanne ungeachtet dessen schön gezeigt, wie die Aufgabe auch ohne diese "multiple-choice-Krücke" gelöst wird.
🙂👻
@@cypherpunks2002
Witzig: Sie geben selbst zwei (wenn auch falsche) Lösungen an, nur um daraus zu folgern, dass dann ja Antwort e) "nicht lösbar" richtig wäre...🤔
🙂👻
@@roland3et Ich gebe zwei Lösungen für die Gleichung von Wolfgang an, keine Gesamtlösung. Aber ja, ich habe "Nicht lösbar" als "nicht eindeutig lösbar" gelesen.
Man kann hier o.B.d.A annehmen, dass x+y=37 und x-y=1 bzw. x>0 y>0
Begründung der o.B.d.A.:
1) x>0 y>0 x+y=37 x-y=1
2) x>0 y0 -y>0
3) x0
4) x0 x+y=-1 x-y=-37
bzw. (-x)-y=1 (-x)+y=37
-x>0 y>0
x-y=1 x=y+1
x+y=37 2y+1=37 y=18 => x=19
1=(x-y)²=x²+y²-2xy x²+y²=1+2xy=1+2*18*19=1+2*342=685
(für komplexe Zahlen gäbe es auch 6 und i, aber das ist nicht die Aufgabe)
(ps dann wäre das Ergebnis aber 35)
74
37 / 2 = 18,5
⇒ 19² - 18² = 37
19² + 18² = 361 + 324 = 685.
Antwort c)
Weitere Lösungen sind nicht möglich, weil 37 prim ist.
Ergänzung: Nach der 3. binomischen Formel ist (n + m)² - n² = m ⋅ (2n + m). Da 37 prim ist, muss m = 1 sein und damit n = 18.
In der Praxis würde ich meinen Schülern empfehlen, die Lösungen einfach auszuprobieren. Die ersten beiden Lösungen lassen sich sofort ausschließen, da die Summe der Quadrate größer als 37 sein muss. Setzt man 685 für die Fragezeichen und addiert beide Gleichungen, kommt man auf 722 =2x^2 oder 361=x^2. x ist dann 19 und y muss kleiner sein und ist schnell gefunden. Das spart die ganze Fallunterscheidung und die Primzahl muss man auch nicht erkennen. 😀
So isses wohl.
Das ist nicht vollständig, da Sie voraussetzen, dass es keine weiteren Kombinationen mit anderen Werten für x²+y² gibt. Wenn es solche Kombinationen gäbe, wäre die Aufgabe unlösbar und Antwort e die richtige. Besser wäre die Aufgabenstellung, wenn keine Antwortmöglichkeiten vorgegeben wären. Dann würden solche Probleme nicht auftreten.
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheimVollkommen richtig. Daher schrieb ich "in der Praxis", einer Prüfung zum Beispiel. Der Beweis ist ja gerade nicht gefordert. Als Mathematiker dürfte man sich damit natürlich nicht erwischen lassen. (Wollte man jetzt semantisch werden: wir zeigen damit, dass 685 die Aufgabe löst. Ist eine Aufgabe nicht lösbar, wenn man eine Lösung angeben kann? Ich würde dann von "es gibt mehr als eine Lösung" sprechen... Dann müsste die Antwortmöglichkeit aber lauten "nicht eindeutig bestimmt", oder? Lösen kann man das Problem ja trotzdem...)
@@tonimuellerDD Leider ist die Aufgabe in diesem Punkt nicht präzise gestellt. " Ist mit "nicht lösbar" gemeint, dass die Aufgabe nicht lösbar ist? Dann wäre Antwort e richtig, wenn es mehrere Kombinationen gibt. Oder ist mit "nicht lösbar" gemeint, dass es keine entsprechende Kombination gibt? Je nachdem, was gemeint ist, führt das Abweichungen in den möglichen Lösungswegen.
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim Jein. Lösung e ist in jeden Falle falsch, in sofern ist die Aufgabe nicht falsch gestellt. Mit meinem Lösungsweg kann ich nur nicht ausschließen, dass die Deutung "nicht lösbar = hat mehr als eine Lösung" nicht doch die richtige Antwort ist ( im Gegenstand zum Lösungsweg im Video). Ich schließe nur aus, dass es keine Lösung gibt. x=19, y=18 ist hinreichend, aber ist es auch notwendig? Ein Risiko, dass ich aber in einer Prüfung definitiv eingehen würde, weil die Interpretation "Die Aufgabe ist nicht lösbar, da sich mehr als eine Lösung findet" gerade aufgrund der semantischen Unpräzision echt unwahrscheinlich ist. Eine solche Lösung hört sich doch sehr nach "ätschibätschi, reingelegt" an. Aber ja, mathematisch rigoros ist das natürlich nicht. Da würde ich meinen Schülern auch sagen, aber der schnellere, relativ sichere Weg zur richtigen Antwort, auf den es in einer Prüfung ja ankommt, ist es halt doch.
Hallo zusammen 🙂
Wer kann mir helfen? Ich bin nicht soo fit in Mathe und möchte gerne eine Rechnung von euch überprüfen lassen.
Beim Bau der Pyramiden in Gizeh wurden Steinblöcke von bis zu 40 Tonnen bewegt. Meine Idee ist, dass man dafür Heißluftballons verwendet hat und ich möchte gerne wissen, wie groß so ein Ballon hätte sein müssen, um 40 Tonnen zu heben. Wenn wir davon ausgehen, dass 1 Kubikmeter heiße Luft ca. 250 Gramm tragen kann, wie groß wäre dann der Durchmesser eines solchen Ballons, der 40 Tonnen tragen kann?
Wenn man pro 250 g Traglast des Ballons einen Kubikmeter Ballonvolumen braeuchhte, braeuchte man fuer 40 t Traglast 160.000 Kubikmeter Ballonvolumen. Geht man von einem kugelfoermigen Ballon aus (und beruecksichtigt das Gewicht der Ballonhuelle nicht), so laessst sich der Radius des Ballons aus der Volumenformel fuer die Kugel V=pi*r^3*4/3 berechnen:
r^3=3*v/(4*pi)
Daraus folgt dann,dass der Radius des (kugeloermigen) Ballons gut 40m, der Durchmesser alsogut 80m sein muesste. Beruecksichtigt man jedoch das jeweilige aufheizen der Luft fuer den Ballon und das "festhalten" des Ballons nach ausklinken der Last usw. erscheint eine solche Loesung gegenueber Muskelkraft, Rampen und Rollen eher sehr unpraktisch ...
Lieber Jürgen,
vielen Dank für die super Antwort und deine damit verbundene Mühe! 🙂
Ich glaube auch nicht, dass dies das Mittel der Wahl war. In bestimmten Situationen wäre es jedoch sicherlich eine gute Option gewesen, z. B. beim Heben von schwer zugänglichen Steinen im Steinbruch oder bei der Platzierung an Stellen, wo die sonstigen Mittel eher unpraktisch wären. Die meisten Steinblöcke haben auch nur ein Gewicht von durchschnittlich 2,5 t und nur der schwerste (bekannte) Steinblock wiegt 40 t. In erster Linie ging es mir darum, ob die Methode überhaupt realisierbar gewesen wäre und dies würde ich schon mit "Ja" beantworten.
Liebe Grüße und alles Gute! 🙂
Ich verstehe nicht warum +y und -y = 2y Ich bin da zu doof
y - (-y) = 2y ..
Sieht zunächst einmal nach nichts aus. Aber beim zweiten hinsehen ziemlich umfangreich 😊
Naja, kurze Kopfrechnung. Musste in der Schule alle Quadratzahlen bis 25 auswendig lernen und kam so schnell darauf, dass 18² und 19² genau 37 auseinander liegen und dann blieb nur 324+361 zu rechnen.
@@marie-juhanna1281 Dieser Weg ist nicht vollständig, da Sie voraussetzen, dass es keine weiteren Kombinationen mit anderen Werten für x²+y² gibt. Wenn es solche Kombinationen gäbe, wäre die Aufgabe unlösbar und Antwort e die richtige. Besser wäre die Aufgabenstellung, wenn keine Antwortmöglichkeiten vorgegeben wären. Dann würden solche Probleme nicht auftreten.
Bei Susanne steht im Zeugnis:
Betragen und Fleiß: sehr gut
Der Zuschauer hätte im Nachhinein seine 8:44 aber lieber anders zugebracht.
Ich habe bei Mathe irgendwann nicht mehr aufgepasst und löse solche Rätsel durch ausprobieren. Und hier hilft Phyton: 😅
quadratzahlen = [x**2 for x in range(1, 50)]
for i in range(1, 50):
result = quadratzahlen[i-1] - 37
if result in quadratzahlen:
pos_i = i
pos_result = quadratzahlen.index(result) + 1
summe = quadratzahlen[pos_i - 1] + quadratzahlen[pos_result - 1]
print(f"Gefundene Gleichung: {pos_i}^2 + {pos_result}^2")
print(f"Position: {pos_i}^2 + {pos_result}^2 = {quadratzahlen[pos_i - 1]} + {quadratzahlen[pos_result - 1]}")
print(f"Ergebnis: {quadratzahlen[pos_i - 1]} + {quadratzahlen[pos_result - 1]} = {summe}")
break
else:
print("Kein Wert gefunden, der minus 37 ein Ergebnis ergibt, das auch in der Liste enthalten ist.")
Habe deinen Code ausprobiert. Ergebnis:
Gefundene Gleichung: 19^2 + 18^2
Position: 19^2 + 18^2 = 361 + 324
Ergebnis: 361 + 324 = 685
Muß schon sagen daß mir deine Lösung gefällt. Ab hier kann man aus Neugier einsetzen was man will und bekommt sofort ein Ergebnis.
@@chyousubIch habe einfach Schritt für Schritt (+1)^ x2 -37 = y gerechnet, bis y eine Quadratzahl ergab. Somit habe ich weser die Vorzeichen noch weitere Ergebnisse berücksichtigt.
Da man nicht unendlich viele Kombinationen ausprobieren kann, reicht das nicht.
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim Das stimmt. Aber beim „Ausprobieren“ wäre der Ansatz mit unendlich vielen Möglichkeiten ja auch etwas lang. Und wie ja schon geschrieben: mein Anspruch war nur eine Lösung. An die dritte binomische Formel habe gar nicht gedacht… aber deswegen mag ich die Videos auch so gerne.
Sie können ein Blatt Papier sowieso nicht mehr als sieben Mal falten, da es dann zu dick ist. Du glaubst nicht? Versuch es selber.
ARGH! Zu hell
3 Unbekannte: Quadrat, Dreieck und Fragezeichen.
Aber nur 2 Gleichungen.
Ergo: nicht lösbar
Da Ganzzahligkeit vorausgesetzt wurde (hatte ich auch anfangs uebersehen), gibt es eine Loesung (und da 37 eine Primzahl ist, sogar nur genau eine Loesung),
"nicht lösbar" wäre selbst dann nicht richtig, wenn allesreelle Zahlen zugelassen wären - dann könnte man nur sagen: "nicht eindeutig lösbar".
Lösung:
Über das Ausschlussverfahren können wir schon mal (a) und (b) ausschließen, da beide Symbole GANZE ZAHLEN sein müssen, daher kann die Summe der quadrierten Zahlen nie eine Wurzel ergeben.
Wir müssen nur zwei perfekte Quadratzahlen finden, die genau 37 auseinander liegen.
Erstmal berechnen wir die mal die ersten 20 Quadratzahlen:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400
Und rechnen mal die direkten Abstände:
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39
Nicht nur, dass wir direkt eine Lösung gefunden haben, wir haben auch ein Schema gefunden: Der Abstand ist immer ungerade und wächst linear. Damit ist es unmöglich, dass es mehr als die eine direkte Lösung gibt, da keine ungeraden aufeinanderfolgenden Zahlen zur Zahl 37 führen.
(Damit die Summe von ungeraden Zahlen ungerade bleibt, müssten es 3, 5, 7, ... Zahlen sein, die addiert werden. Drei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen addiert sind aber immer durch 3 teilbar, genauso wie fünf davon immer durch 5 teilbar sind, usw. Die Zahl 37 ist aber eine Primzahl und daher nicht teilbar)
Die zwei Zahlen sind also 19 (19²=361) und 18 (18²=324)
19² + 18² = 361 + 324 = 685
Damit ist Antwort (c) korrekt.
Anmerkung: Vorzeichen sind in diesem Fall egal, weil es sich immer um Quadratzahlen handelt. Es kann also jede Kombination von ±19 und ±18 geben
Nur Titelbild: unendlich Lösungen
Aha nur ganze, ok …ja ne auf die Zerlegung in die binomische weil is ja logisch einfach lösbar weil Primzahl…ja also NACH dem Video logisch u einfach….😂davor:😵💫🤧🤷♂️
x und y sehen mathematischer aus? 1 Mrd Chinesen und 800 Mrd Inder widersprechen Kicher
Auch Chinesen und Inder benutzen lateinische und griechische Buchstaben in der Mathematik.
800 Milliarden Inder? Ernsthaft? :D
So würde ich nach einer Lösung streben➡
🟥² - 🔺² = 37
🟥= y
🔺= x
⇒
y²-x²= 37
für x, y ∈ ℤ
y²-x²= 37
(y-x)*(y+x)= 37
(y-x)= 1
(y+x)= 37 und
(y-x)= 37
(y+x)= 1
a) für:
(y-x)= 1
(y+x)= 37
wenn wir beide Gleichungen addieren:
2y= 38
y= 19
x= 18
⇒
x²+y²
= 18²+19²
= 324+361
= 685
b) für:
(y-x)= 37
(y+x)= 1
wenn wir beide Gleichungen addieren:
2y= 38
y= 19
x= -18
⇒
x²+y²
= (-18)²+19²
= 324+361
= 685
Demnach ist c) richtig ✅