Décomposition en éléments simples : technique des dérivées.
Vložit
- čas přidán 20. 08. 2024
- On examine une nouvelle technique de calcul des coefficients de la décomposition en éléments simples qui utilise la dérivation. Cette technique peut s'avérer très efficace dans certains cas (comme celui présenté dans la vidéo).
SYNOPSIS :
I. Préambule calculatoire.
II. Présentation de la technique sur un exemple.
III. Mise en garde sur l'apparente rapidité de la technique.
Prérequis : Théorème de la décomposition en éléments simples.
Niveau : prépa et BAC+1.
Bien compris et vraiment cool cette méthode ,c'est un plaisir de vous suivre merci pour mes neurones
merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii bonnes explications des efficaces méthodes je vous remercie encore une fois
mais waw c'est la meilleure méthode ever xDDDD, c'est trop cheaté, on séléctionne ce qu'on veut en g(x), ca va toujours s'annuler et on trouvera tout le reste 😎😎😎
Merci pour votre effort :-)
you are the best 💪
merci mr
👏👏👏👏👏👏
Merciiiiiii
ceette methode prend plus de temps et n'est pas efficace de façon génerale sauf dans des cas trés spécifiques en tout cas merci pour vos efforts
Oui c'est vrai. En fait cette méthode est efficace essentiellement pour la décomposition de fractions rationnelles du type : 1/(X-a)^p(X-b)^q. Dès que l'on met un polynôme au numérateur ou que l'on complique le dénominateur, le calcul des dérivées devient pénible. Cela dit, elle peut s'avérer intéressante à connaître pour attaquer des questions d'oral de concours. Elle fait aussi parti des méthodes marginales parfois exposées dans certains livres qu'il est difficile de déchiffrer sans une explication en vis-à-vis.
Merci, c'est très intéressant
fr.mathsways.net/
salut est ce qu'on peut choisir n'importe qu'elle technique ????
Bonjour +Hind Zehiri,
Oui bien sûr!! La technique des dérivées est intéressante mais n'est pas toujours commode. Utiliser celle dans laquelle vous êtes le plus à l'aise.
Merci pour l'effort ,mais g(x) n'est pas une fonction linéaire
Sauf erreur de ma part, je ne pense pas avoir dit que g était ou devait être une fonction linéaire. Pouvez-vous préciser la minute dans la vidéo où il y aurait une erreur?
malgré ça je n arrive pas a faire la décomposition de 2/(x^2+4)^2 :(
Avez-vous essayé les techniques élémentaires?
math-sup.fr oui j'ai essayer je reviens à la case départ car en pas deux fonction ( sachant que j en ai besoin pour faire la transformée inverse de laplace )
Ah!! Pour Laplace vous essayez peut-être de faire une décomposition en éléments simples dans R j'imagine. Si c'est le cas, il faut savoir que votre fonction est déjà un élément simple dans R. Vous ne pourrez pas la casser d'avantage. Par contre dans C c'est possible.
Merciii beaucoup 💕
La morale de cette astuce c'est que la dérivée d'une constante est nulle, ce qui permet de trouver les coefficients.
C'est un peu plus subtile car on utilise l'annulation des dérivées successives. Dans le jargon des matheux on parle d'ordre de multiplicité du zéro d'une fonction par analogie avec la multiplicité d'une racine d'un polynôme. Mais peu importe le jargon!
D'accord merci, Pouvez vous m'en dire un plus ?
A propos de quoi exactement?
du rapport entre les dérivées et de la multiplicité des zéros de la fonction svp
OK. En fait si un polynôme P a une racine (disons a), vous devez savoir qu'il est alors possible de factoriser le polynôme par (X-a). Cela donne alors :
a est racine de P ssi P(X)=(X-a)Q(X) où Q est un polynôme.
Mais il est parfois possible (pas toujours!) de factoriser plusieurs fois (X-a) de sorte que
P(X)= (X-a)^m H(X) où H est un polynôme.
On appelle multiplicité de la racine a, la plus grande puissance possible pour m. Pour trouver m, on dispose du théorème suivant :
(a est racine de multiplicité m de P) ssi ( P(a)=P'(a)=...=P^(m-1)(a)=0 et P^(m)(a) non nul )
autrement dit ssi toutes les dérivées de P en a s'annulent jusqu'à l'ordre m-1 mais pas la m-ième.
Par analogie on étend ce résultat comme définition de la multiplicité d'un "zéro" d'une fonction (plus nécessairement un polynôme). Si vous prenez une fonction suffisamment dérivable f, vous dites que a est un zéro (ou racine) de f de multiplicité m si
f(a)=f'(a)=...=f^(m-1)(a)=0 et f^(m)(a) différent de zéro.
Voilà!
merciiiiii