Démonstration de la décomposition en éléments simples dans C
Vložit
- čas přidán 11. 09. 2024
- Il existe plusieurs démonstrations de la décomposition en éléments simples. Certaines reposent sur l'arithmétique sur l'anneau des polynômes, d'autres sur l'analyse (formule de Taylor en particulier), d'autres encore sont algorithmiques.
Celle que je vous propose est basée sur l'algèbre linéaire. Certes ce n'est pas la plus synthétique, mais elle a le bon goût :
- d'être stratégiquement simple,
- de suivre une ligne de preuve qu'un étudiant en fin de L1 a déjà étudié plusieurs fois,
- d'éviter le jargon des pôles d'une fraction rationnelle.
Par contre le gros point faible est qu'il faut bien sûr avoir suivi un cours d'algèbre linéaire.
Prérequis : Espaces vectoriels et dimension (finie). Éventuellement l'ensemble C(X) mais on peut suivre sans.
Niveau : BAC+1.
SYNOPSIS
I. (00:11) Prérequis
II. (00:53) L'espace C(X)
III. (03:30) Stratégie de la démonstration
IV. (07:51) Étude de E : ev et famille génératrice
V. (11:30) Base et dimension de E
VI. (15:15) Étude de F : ev et famille génératrice
VII. (18:19) Base et dimension de F
VIII. (25:19) F est inclus dans E
IX. (27:58) Conclusion de la preuve
X. (30:43) Résumé de la preuve et conclusion de la vidéo
Pour ceux qui souhaitent une version écrite de la démonstration : math-sup.ouvato...
Le site de la prépa Dupuy de Lome : mp.cpgedupuydel...
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www.tipeee.com...
Vous pouvez aussi vous rendre sur mon site pour voir l'ensemble de mes vidéos classées ainsi que mes cours en ligne :
www.math-sup.fr
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Attention ! À partir de la minute 11:57, j'ai commis une erreur d'indexation. Cela ne remet pas en cause le raisonnement, mais cela ne fait pas "propre". À partir de ce moment, j'aurais dû écrire :
\lambda_0 1/Q(X) + \lambda_1 X/Q(X) + ... + \lambda_{D-1}X^{D-1}/Q(X)
- je confirme p-1 indices pour p termes. C'est pas grave.
La manière dont vous expliquez me plait énormément ! Pouvez vous nous créer une playlist de la TOPOLOGIE GENERALE et plus approfondie ??? Please!!!!!
Bonjour,
Vous êtes nombreux à me demander de la topologie, mais je ne sais comment satisfaire tout le monde sur le sujet... Quels sont vos difficultés à vous concernant cette matière ?
mrc bcp mon prof pour ces videos vs pouvez faire des cours sur la topologie
Ca viendra en son temps !
ah d'accord et merci
13:13 Ça ne serait pas plutôt lambda(D)*x^(D-1) ?
Bonjour,
Oui, vous avez raison... Merci de votre vigilance !
Ce n'est rien, ça ne change pas l'essence de la démonstration ! :)
Bonne continuation.
Super vidéo, serait-il possible de démontrer de la même manière la décomposition en éléments simples dans R ?
Pour être franc, je n'en ai pas trop le courage... Les modifications par rapport à C sont mineures mais il faudrait tout recommencer quand même. Je vous explique en quelques lignes comment faire.
Bien sûr vous remplacez la décomposition de Q dans C[X] par une décomposition dans R[X]. L'expression du degré de Q sera changée mais cela n'a pas d'importance.
Pour l'espace E, vous remplacez les polynômes complexes par des polynômes réels, mais l'étude de E reste identique : rien à changer.
Pour F, il faut mettre la forme des fractions rationnelles décomposées dans R. Pour montrer que F est un ev et en trouver une famille génératrice, les modifications par rapport à C sont mineures. Par contre pour montrer que la famille génératrice est aussi libre (donc une base), c'est un peu plus lourd à mettre en marche. La stratégie reste la même mais quand on multipliera par les "blocs" qui portent les racines complexes, il faudra par la suite poser deux valeurs pour X : les deux racines conjuguées portées par les "blocs". et on arrive à montrer que le famille est libre.
Pour toutes les autres étapes (inclusion, égalité des ensembles, unicité) les lignes sont les mêmes.
Je ne sais pas trop si j'ai été assez clair. J'essaierai malgré tout (plus tard, je ne sais pas quand) d'en produire une version écrite; A surveiller!
Bon courage.
Bonjour, s'il vous plait j'aimerais savoir avec quoi vous tenez votre caméra pour filmer comme ça ?
En fait c'est une webcam que je coince entre plusieurs livres qui sont eux-même posés sur un petit marche pied. Bref, c'est du gros bricolage improvisé...
D'accord merci beaucoup
Bonjour
Vous pourrez consulter vos mail svp.
26:30 petite coquille: vous avez oublié le petit coeff devant le produit de polynômes
Grrr... Les micros-coquilles qui gâchent tout... Merci beaucoup de votre vigilance, je vais chercher un moyen de faire un correctif propre.
Le jargon sur les pôles est massivement utilisé par les profs de prépa... peut-être sont-ils un peu dans leur monde je ne me rends pas compte... Mais le mot est dans mon cours de façon fréquente et explicite; j'ai bien l'impression qu'il est officiel :)
Oui lorsque la décomposition en éléments simples est au programme la notion de pôle fait également partie du programme. Mais par expérience le jargon provoque des blocages chez les étudiants parce qu'il demande du temps pour être intégré et crée un écran avec le concept qui lui est bien souvent élémentaire. C'est la raison pour laquelle j'essaye de m'en passer, quitte à perdre en concision.
Malgré tout parfois j'ai du mal à tenir à distance ce jargon. Ça a été le cas par exemple dans mes vidéos d'algèbre linéaire avec la notion de combinaison linéaire. J'ai cru pouvoir m'en passer, mais peu à peu cela s'avérait insupportable dans les explications... Je cherche une bonne articulation, mais je n'y suis pas encore.
Il faudrait mener une étude de fond sur l'articulation entre concept, verbalisation du concept ainsi que sa transmission à un apprenant : un beau sujet de thèse à la croisée de la philo, la didactique et les sciences cognitives peut être?