🎯 Tu veux la solution pour devenir solide en maths 💪 ? C'est ici : hedacademy.fr/p/notre-methode On apprend ou réapprend à calculer le volume d'une pyramide régulière à base carrée.
Et pour les terminales avec option maths, démonstration de la formule du volume d'une pyramide. La méthode est intéressante à étudier et s'applique également au cône, à la sphère.
Calcul intégral : dV = S(z) . dz avec S(z)=[c*z/h]² , c: longueur du coté, h: hauteur (S(0)=0, S(h) = c²) S(z) = c²z²/h² dV = c²z²/h² . dz , on intègre sur z de 0 à h V = c².[ h^3/(3*h²) - 0^3/(3*h²) ] = c² . h / 3 ça marche en effet aussi très bien avec le cône et la sphère, très pratique en électrostatique.
Pourquoi démontrer des formules déjà démontrées qu’il faut connaître ? La terre tourne autour du soleil faut il encore le démontrer ou c’est bon vous le savez et l’admettez?
@@chris31934 quelle agressivité monsieur. Je ne connais plus cette démonstration, j'aime bien l'approche de cette chaîne et je pensais que ça pourrait intéresser quelques personnes ici. Si ma question ne vous convient pas vous pouvez aussi simplement l'ignorer. Ou alors vous qui semblez tout savoir, peut-être pourriez vous faire cette démonstration ?
@@florentgrenier7330 de quelle agressivité avez vous été victime? Le but de la vidéo est de trouver le volume du prisme non de démontrer comment calculer on en est arrivé il y a des années à la formule qu’on a tous appris à l’école . On utilise pi depuis des siècles sans avoir à démontrer comment il a été trouvé.
Ouaiiiiii!!!!!! J'en sais plus que toi, incroyable 😂. Ancien dessinateur industriel, avant l'arrivée de CAO (Conception Assistée par Ordinateur) nous faisions à la main toutes les "perspectives" comme tu dis. Et nous faisions aussi de la "géométrie descriptive" (développée par le mathématicien Gaspard Monge, un pote à toi) pour déterminer les intersections de volumes. Alors là, je suis plus calé.... 😂😂😂
Bonjour! Merci pour ce petit exo rafraichissant! Mais au fait, comme plusieurs personnes l'ont dit, pourquoi la pyramide c'est trois fois moins que tout le pavé ?? 😉 Christophe.
Pour la formule de la diagonale d'un carré, ça se retrouve rapidement avec Pythagore : c² = 2a² donc, comme ce sont des longueurs, donc des nombres positifs ou nuls, c = a sqrt(2).
D'où il faut connaître la formule de la diagonale par coeur? C'est juste pythagore, on la calcule en 10sec. d=sq(6²+6²) = sq(2x6²) = 6 sq(2) Et c'est même encore plus simple de la laisser en sq(72) vu qu'on va l'éléver au carré après pour trouver la hauteur -> 72/4 = 18
Ce que je vais dire n'a pas valeur de démonstration rigoureuse. En 2 dimensions : On va prendre un triangle ABC rectangle en A et on le découpe en plein de trapèzes de hauteur égale et dont les coupes sont parallèles à AB. On va approximer tous les trapèzes par des rectangles et dont le côté non colinéaire passe par le milieu. Ainsi, si on ne découpait pas le triangle, on aurait un rectangle de longueur AC et de largeur AB/2. En découpant le triangle en 2 morceaux, on se retrouve avec un rectangle de longueurs AC/2 et AB/4 et un autre de longueur AC/2 et 3AB/4. En le découpant en 3 morceaux, on a des rectangles de : AC/3 * AB/6, AC/3 * 3AB/6 et AC/3 * 5AB/6. Ainsi, si on découpe en n morceaux, on se retrouve avec n rectangle, dont le rectangle i est de taille AC/n * (2i-1)AB/2n. Il se trouve que la somme de l'aire de ces rectangles quand n tend vers l'infini est AC*AB/2. En 3 dimensions : On va se positionner des conditions analogues à celui en 2 dimensions. On va prendre une pyramide ABCDE à base carrée ABCD avec le point E "au-dessus" de A. On va découper notre pyramide en tranches de hauteur égale, comme on l'avait fait avant. On va ensuite approximer chaque tranche par un parallélépipède rectangle dont la base est carrée. Pour 1 morceau : 1 pavé de hauteur AE et et longueur AB/2, donc de volume égal à AB²*AE/4 Pour 2 morceaux : 2 pavés de hauteur AE/2. Les longueurs sont AB/4 et 3AB/4, donc volume AE * AB² * (1² + 3²)/(2*4²) Pour 3 morceaux : 3 pavés de hauteur AE/3. Les longueurs sont AB/6, 3AB/6 et 5AB/6, donc volume AE * AB² * (1² + 3² + 5²)/(3*6²) Pour n morceaux : n pavés de hauteur AE/n. La longueur du pavé i est (2i-1)AB/(2n). Le volume total est : AE * AB² * (1² + 3² + ... + (2n-1)²)/(n * (2n)²) Il ne reste alors plus qu'à déterminer la limite de la suite u(n) = (1² + 3² + ... + (2n-1)²)/(n * (2n)²) quand n tend vers l'infini, si elle existe. Je vais juste admettre le résultat 1² + 3² + ... + (2n-1)² = n(2n-1)(2n+1)/3 (parce que le commentaire est déjà bien trop long pour ajouter la démonstration de ce résultat). u(n) = n(2n-1)(2n+1)/(3n * 4n²) u(n) = (4n²-1)/(3 * 4n²) u(n) = 4n²/(3 * 4n²) - 1/(3 * 4n²) u(n) = 1/3 - 1/(3 * 4n²) Il est maintenant évident que la limite de u(n) quand n tend vers l'infini est 1/3, d'où la division par 3 du volume. PS : de manière générale, en dimension 3, si on a une pointe (par exemple un cône), alors on peut effectuer un raisonnement similaire de découpage en tranches du solide et on trouve ainsi toujours base * hauteur / 3 PS 2 : de manière rigoureuse, il faudrait encadrer le volume de la pyramide par des constructions de volumes que l'on sait calculer et dont les limites sont identiques, ce qui conduit à une égalité avec le volume de la pyramide.
Pour la démonstration du volume, il suffit de découper en tranche la pyramide par un plan parallèle à la base, comme lorsqu'on coupe un gâteau : Chaque tranche a une surface de B*(z/h)² ou B est la surface de base et h la hauteur de la pyramide z est l'endroit ou l'on coupe le gâteau. le volume infinitésimal (dV) lorsque l'on fait varier z de dz est dV=B*(z/h)²dz ; et le volume (V) par intégration (somme des volumes infinitésimaux) est ∫B*(z/h)²dz pour z variant de 0 à h est donc V= B/h²∫ z²dz entre [0 et h] donc V=B/h² * h³/3 = Bh/3 Cette formule est valable pour tout volume pointu quelque soit la base (cercle , polygone...)
@@michelbernard9092 Mes très vieux souvenirs m'ont permis de faire le calcul du volume par intégration, et j'étais assez fier de moi, mais j'étais titillé par le (z/h)^2 de votre formule, que je ne comprenais pas. Mon esprit n'est plus aussi rapide que dans ma jeunesse, mais grâce à Mr Thalès, j'ai fini par trouver la lumière. 😉
@@philipperoche2577 Oui, Thalès qui donne une homothétie entre les différentes tranches du gâteau, mais je n'ai pas voulu trop détailler. Je pense que ceux vraiment intéressés, comme vous, on cherché pourquoi "la tranche" découpée en z a une surface de B* (z/h)^2 ; merci pour votre réponse et la justification.
la diagonale de la base = ✓(6^2 + 6^2) = 6✓2 la hauteur de la pyramide = ✓(8^2 - (3✓2)^2) = ✓46 l'aire de la base = 6^2 = 36 le volume = (36✓46)(1/3) = 12✓46
La faille de la représentation en 3 D ne dépend pas de votre cerveau mais des intentions que vous avez par rapport à la représentation en 3D (ces intentions bloquent) Bien amicalement
Iman, ce serait bien de (dé)montrer, dans une nouvelle vidéo, que le volume d'une pyramide à base carrée est (B * h) /3. Merci d'avance.
"On peut en mettre 3 fois moins", on pourrait le démontrer stp ?!
Et pour les terminales avec option maths, démonstration de la formule du volume d'une pyramide.
La méthode est intéressante à étudier et s'applique également au cône, à la sphère.
Calcul intégral : dV = S(z) . dz avec S(z)=[c*z/h]² , c: longueur du coté, h: hauteur (S(0)=0, S(h) = c²)
S(z) = c²z²/h²
dV = c²z²/h² . dz , on intègre sur z de 0 à h
V = c².[ h^3/(3*h²) - 0^3/(3*h²) ] = c² . h / 3
ça marche en effet aussi très bien avec le cône et la sphère, très pratique en électrostatique.
Pourquoi est-ce si facile à comprendre lorsque vous expliquez ? J'aurais vraiment aimé avoir un professeur de mathématiques comme vous.
est-ce possible pour vous de faire la démonstration de la formule du volume de la pyramide?
Je pensais à la même chose !
Pourquoi démontrer des formules déjà démontrées qu’il faut connaître ? La terre tourne autour du soleil faut il encore le démontrer ou c’est bon vous le savez et l’admettez?
@@chris31934 quelle agressivité monsieur. Je ne connais plus cette démonstration, j'aime bien l'approche de cette chaîne et je pensais que ça pourrait intéresser quelques personnes ici. Si ma question ne vous convient pas vous pouvez aussi simplement l'ignorer. Ou alors vous qui semblez tout savoir, peut-être pourriez vous faire cette démonstration ?
@@florentgrenier7330 de quelle agressivité avez vous été victime ?
@@florentgrenier7330 de quelle agressivité avez vous été victime? Le but de la vidéo est de trouver le volume du prisme non de démontrer comment calculer on en est arrivé il y a des années à la formule qu’on a tous appris à l’école . On utilise pi depuis des siècles sans avoir à démontrer comment il a été trouvé.
pour visualiser mieux le relief, on peut donner un diamètre non nul aux traits et faire jouer la perspective sur ce diamètre
Ouaiiiiii!!!!!! J'en sais plus que toi, incroyable 😂.
Ancien dessinateur industriel, avant l'arrivée de CAO (Conception Assistée par Ordinateur) nous faisions à la main toutes les "perspectives" comme tu dis.
Et nous faisions aussi de la "géométrie descriptive" (développée par le mathématicien Gaspard Monge, un pote à toi) pour déterminer les intersections de volumes.
Alors là, je suis plus calé.... 😂😂😂
Excellent MERCI
Belle vidéo. Tu es vraiment fâché avec la perspective et les pointillés dans le parallélépipède 😜
Merci beaucoup incroyable vous êtes très fort❤❤❤❤
Un prof de math qui a du mal avec la perspective... Je me sens moins seule étant prof de math avancé avec des difficultés en calcul mental 😂😂😂
Je n’ai aucune faille et pourtant je suis géologue… 🙃😋
On comprend mieux d'où vient la décadence de l'éducation.
😅@@warlikka7571
Merci pour votre explication ❤❤😊
Bonjour! Merci pour ce petit exo rafraichissant!
Mais au fait, comme plusieurs personnes l'ont dit, pourquoi la pyramide c'est trois fois moins que tout le pavé ?? 😉
Christophe.
Je pense qu'il y a une distance 8 notée sur la pyramide n'est pas la même que le côté 8 notée sur le pavé droit mais c'est la hauteur.
Pour la formule de la diagonale d'un carré, ça se retrouve rapidement avec Pythagore : c² = 2a² donc, comme ce sont des longueurs, donc des nombres positifs ou nuls, c = a sqrt(2).
Tu rend le compliqué aussi simple pour les étudiants . Bravo
D'où il faut connaître la formule de la diagonale par coeur? C'est juste pythagore, on la calcule en 10sec.
d=sq(6²+6²) = sq(2x6²) = 6 sq(2)
Et c'est même encore plus simple de la laisser en sq(72) vu qu'on va l'éléver au carré après pour trouver la hauteur -> 72/4 = 18
Bonjour, pourquoi une pyramide, c'est 3 fois moins que tout le pavé ? 2:06
Il me semble qu'il l'a démontré y a un certain temps dans une autre vidéo, mais laquelle ? Je sais pas...
Ce que je vais dire n'a pas valeur de démonstration rigoureuse.
En 2 dimensions :
On va prendre un triangle ABC rectangle en A et on le découpe en plein de trapèzes de hauteur égale et dont les coupes sont parallèles à AB. On va approximer tous les trapèzes par des rectangles et dont le côté non colinéaire passe par le milieu. Ainsi, si on ne découpait pas le triangle, on aurait un rectangle de longueur AC et de largeur AB/2.
En découpant le triangle en 2 morceaux, on se retrouve avec un rectangle de longueurs AC/2 et AB/4 et un autre de longueur AC/2 et 3AB/4.
En le découpant en 3 morceaux, on a des rectangles de : AC/3 * AB/6, AC/3 * 3AB/6 et AC/3 * 5AB/6.
Ainsi, si on découpe en n morceaux, on se retrouve avec n rectangle, dont le rectangle i est de taille AC/n * (2i-1)AB/2n.
Il se trouve que la somme de l'aire de ces rectangles quand n tend vers l'infini est AC*AB/2.
En 3 dimensions :
On va se positionner des conditions analogues à celui en 2 dimensions. On va prendre une pyramide ABCDE à base carrée ABCD avec le point E "au-dessus" de A. On va découper notre pyramide en tranches de hauteur égale, comme on l'avait fait avant. On va ensuite approximer chaque tranche par un parallélépipède rectangle dont la base est carrée.
Pour 1 morceau : 1 pavé de hauteur AE et et longueur AB/2, donc de volume égal à AB²*AE/4
Pour 2 morceaux : 2 pavés de hauteur AE/2. Les longueurs sont AB/4 et 3AB/4, donc volume AE * AB² * (1² + 3²)/(2*4²)
Pour 3 morceaux : 3 pavés de hauteur AE/3. Les longueurs sont AB/6, 3AB/6 et 5AB/6, donc volume AE * AB² * (1² + 3² + 5²)/(3*6²)
Pour n morceaux : n pavés de hauteur AE/n. La longueur du pavé i est (2i-1)AB/(2n). Le volume total est : AE * AB² * (1² + 3² + ... + (2n-1)²)/(n * (2n)²)
Il ne reste alors plus qu'à déterminer la limite de la suite u(n) = (1² + 3² + ... + (2n-1)²)/(n * (2n)²) quand n tend vers l'infini, si elle existe.
Je vais juste admettre le résultat 1² + 3² + ... + (2n-1)² = n(2n-1)(2n+1)/3 (parce que le commentaire est déjà bien trop long pour ajouter la démonstration de ce résultat).
u(n) = n(2n-1)(2n+1)/(3n * 4n²)
u(n) = (4n²-1)/(3 * 4n²)
u(n) = 4n²/(3 * 4n²) - 1/(3 * 4n²)
u(n) = 1/3 - 1/(3 * 4n²)
Il est maintenant évident que la limite de u(n) quand n tend vers l'infini est 1/3, d'où la division par 3 du volume.
PS : de manière générale, en dimension 3, si on a une pointe (par exemple un cône), alors on peut effectuer un raisonnement similaire de découpage en tranches du solide et on trouve ainsi toujours base * hauteur / 3
PS 2 : de manière rigoureuse, il faudrait encadrer le volume de la pyramide par des constructions de volumes que l'on sait calculer et dont les limites sont identiques, ce qui conduit à une égalité avec le volume de la pyramide.
Pour la démonstration du volume, il suffit de découper en tranche
la pyramide par un plan parallèle à la base, comme lorsqu'on coupe
un gâteau :
Chaque tranche a une surface de B*(z/h)² ou B est la surface de base
et h la hauteur de la pyramide z est l'endroit ou l'on coupe le gâteau.
le volume infinitésimal (dV) lorsque l'on fait varier z de dz est
dV=B*(z/h)²dz ; et le volume (V) par intégration (somme des volumes infinitésimaux) est
∫B*(z/h)²dz pour z variant de 0 à h est donc V= B/h²∫ z²dz entre [0 et h]
donc V=B/h² * h³/3 = Bh/3
Cette formule est valable pour tout volume pointu quelque soit la base (cercle , polygone...)
@@michelbernard9092 Mes très vieux souvenirs m'ont permis de faire le calcul du volume par intégration, et j'étais assez fier de moi, mais j'étais titillé par le (z/h)^2 de votre formule, que je ne comprenais pas. Mon esprit n'est plus aussi rapide que dans ma jeunesse, mais grâce à Mr Thalès, j'ai fini par trouver la lumière. 😉
@@philipperoche2577 Oui, Thalès qui donne une homothétie entre les différentes tranches du gâteau, mais je n'ai pas voulu trop détailler. Je pense que ceux vraiment intéressés, comme vous, on cherché pourquoi "la tranche" découpée en z a une surface de B* (z/h)^2 ; merci pour votre réponse et la justification.
Wei j'adore 😊
Les pointillés aleatoires sur les 2 formes apres 😂
environ 81.38 mais en admettant que les unités des bases soient des cm ca serait cool d'expliquer en quelle unité s'exprime le résultat...
c'est quoi le toutaplu ?
Les pointillés du parallélépipède sont également un peu hasardeux😂
C’est bien sûr un plaisir de vous suivre😊
Oui, j'avais même pas remarqué !
Je pense qu'il nous trolle !
❤ je vous remercie
Avec plaisir 😊
Ok merci beaucoup
D'où est tombé le chiffre 3? Pourquoi avoir divisé par 3?
Merci pour cette explication me,m est moi je pense que il n est pas juste, c est a proximité,merci
la diagonale de la base = ✓(6^2 + 6^2) = 6✓2
la hauteur de la pyramide = ✓(8^2 - (3✓2)^2) = ✓46
l'aire de la base = 6^2 = 36
le volume = (36✓46)(1/3) = 12✓46
C'est malin je bossais sur un TP de maths ou on cherchais a optimiser le volume maximale d'une pyramide cet aprem.
ah bha ok j avais la bonne methode alors - je m attendais a etre parti sur une solution plus longue qu attedue - mais non :)
Il faut que tu parle moins vite et que tu articules plus
Vraimen,t avec trop de manière aussi 😮😂
Comment calculer le volume d'un être humain, animal?
Vous avez 5 minutes.
Il faut demander à Archimède.
La faille de la représentation en 3 D ne dépend pas de votre cerveau mais des intentions que vous avez par rapport à la représentation en 3D (ces intentions bloquent) Bien amicalement
I solved it mentally