Μαθήματα Ανάλυσης Γ' Λυκείου - 6. Αντίστροφη συνάρτηση
Vložit
- čas přidán 27. 09. 2017
- Φροντιστήριο Ιωσηφίδη - Βέροια, τηλ. 23310-20143, 6974-641-655
Μαθήματα ανάλυσης για τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου από τον μαθηματικό, Νίκο Ιωσηφίδη.
Μπορείτε να μου στέλνετε ερωτήσεις και απορίες για απάντηση.
e-mail: iossifid@yahoo.gr
fb: / nikos.iosifidis.754
Μάθημα υψηλού επιπέδου, εύγε !!!
Σ’ ευχαριστώ Iris Manta. Αν είσαι υποψήφια της Γ΄ Λυκείου να έχεις καλή επιτυχία στις Πανελλήνιες.
Κυριε Ιωσηφιδη συγχαρητηρια για την υπερπολιτιμη προσφορα σας.
Σας ευχαριστώ.
Πολύ βοηθητικό βίντεο 🙏 Δίνω φέτος από 4ο πεδίο, με βοήθησε πολύ στην επανάληψη για διαγώνισμα το βίντεο σας καθώς δεν είχα καταλάβει την αντίστροφη συνάρτηση
Χαίρομαι που βρήκες χρήσιμα τα μαθήματά μου. Να έχεις καλή επιτυχία στις εξετάσεις σου.
@@iossifid Σας ευχαριστώ πολύ 😊
Χαιρεται κυριε Ιωσηφιδη οσον αφορα το θεωρημα στο 54:50 δεν ισχυει οταν η f ειναι γνησιως φθινουσα? Ευχαριστω εκ των πρότερων
Ευχαριστώ για την επικοινωνία.
Το θεώρημα ισχύει μόνο για γν. αύξουσα συνάρτηση. Αν ίσχυε και για γν. φθίνουσα συνάρτηση, τότε θα διατυπώναμε το θεώρημα για γν. μονότονη συνάρτηση και όχι μόνο για γν. αύξουσα.
Παράδειγμα γν. φθίνουσας συνάρτησης: y=τετρ. ρίζα του (1-x). Έχει αντίστροφη την y=1-x^2 και έχουν κοινά σημεία που δεν βρίσκονται πάνω στην y=x
Χαίρετε κ Ιωσηφίση, μια απορία στο 32:37 δεν ισχύει οτι: ln(x/x-2)=lnIxI - lnIx-2I? Για κάθε xεfA). Ευχαριστώ πολύ!!
Σας ευχαριστώ για την επικοινωνία. Επειδή χ/(χ-2) είναι >0, μπορούμε να γράψουμε χ/(χ-2)=|χ/χ-2|=|χ|/|χ-2| και να εφαρμόσουμε την γνωστή ιδιότητα των λογαρίθμων για το κλάσμα |χ|/|χ-2|. Δηλ. είναι σωστό αυτό που γράψατε.
@@iossifid Σας ευχαριστώ!!! Πολύ επεξηγηματικός όπως πάντα!!:)
Eiste polu kalos kai voithate apisetuta sthn katanohsh twn basikwn ennoiwn twn mathimatikwn!Sas euxaristoume polu pou mas ta eksigeite ola analitika kai etsi mas dinete thn eukairia na thesoume gera themelia sto mathima sas!
Σας ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια. Χαίρομαι που σας είμαι χρήσιμος.
κ. Νίκο, στο διάστημα από 46:00 μέχρι 47:00 για να δείξετε ότι η f(x)=2+(x+2)^2 με x>2 ήταν "1-1" χρησιμοποιήσατε συνεπαγωγή που μας καλύπτει σύμφωνα με την θεωρία. Αν χρησιμοποιούσατε ισοδυναμίες, θα υπήρχε κάποιο πρόβλημα? Ευχαριστώ
Οι ισοδυναμίες είναι σωστές, δεν είναι όμως απαραίτητες. Πρόβλημα πάντως δεν υπάρχει.
@@iossifid ο.κ. σας ευχαριστώ πολύ κ. Νίκο
Καλησπέρα , όταν θέλω να βρω τα κοινά σημεία της f και της f^(-1) γιατί πρέπει να είναι γν.αυξουσα η f ώστε να χρησιμοποιήσω τις εξισώσεις f(x)=x ή f^(-1)(x)=x ; Αφού , και στην περίπτωση που είναι γν.φθίνουσα πάλι συμμετρικές δεν θα είναι ως προς την y=x , τα ίδια δεν θα ισχύουν ; Τι σχέση έχει η μονοτονία ;
Ευχαριστώ για την επικοινωνία.
Αποδεικνύεται ότι στην περίπτωση που η f είναι γν. αύξουσα, τότε η εξίσωση f(x) = (f^-1)(x) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση f(x) = x. Αν η f είναι γν. φθίνουσα αυτό δεν ισχύει. Για λεπτομέρειες δες στο περιοδικό ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχος 2, της ΕΜΕ Ημαθίας, στη σελ. 39 το άρθρο του Δημήτρη Γεωργακίλα που αναλύει το θέμα αυτό με κάθε λεπτομέρεια.
Η διεύθυνση του περιοδικού αυτού είναι
www.emeimathias.gr/magazine-apollonios/
Καλησπερα σαςκαι πολλα συγχαρητηρια κυριε Ιωσηφιδη .Θα ηθελα να σας ερωτησω σε ποια διαλεξή σας αναφερεστε στην ευρεση αντιστροφου συναρτησεως οπως αυτης του 36.29΄' λεπτου??
Σας ευχαριστώ για την επικοινωνία και τα καλά σας λόγια.
Το μόνο βίντεο στο οποίο αναφέρομαι στην αντίστροφη μιας συνάρτησης είναι αυτό κάτω από το οποίο σας απαντώ.
Να σας ρωτησω κατι ; οταν περνουμε περιορισμους για το y για πιο λογο κανουμε ελεγχω με τα χ αυτο δεν κατακαβαινω .ευχαριστω
Ευχαριστώ για την επικοινωνία. Δεν κατάλαβα το ερώτημά σου. Γράψε μου σε παρακαλώ το λεπτό του βίντεο που θέλεις να εξηγήσω.
Νίκος Ιωσηφίδης - Μαθηματικά online για παραδειγμα εχουμε μια συναρτηση f(x)=τετραγωνικη ριζα του χ-1 με πεδιο ορισμου της συναρτησεις το [1 ,+απειρο) για την ευρεση αντιστροφης λυνω την εξισωση y=f(x) ως προς χ .και περνω περιορισμο για το y που πρεπει να ειναι μεγαλυτερο ισο του μηδεν .ΑΛΛΑ ΓΙΑ ΠΙΟ ΛΟΓΟ ΜΕΤΑ ΛΕΩ ΓΙΑ y μεγαλυτερο ισο του μηδεν πρεπει και το χ ναι ειναι μεγαλυτερο ισο του 1 και μετα καταληγω σε κατι που ισχυει για πιο λογο το κανουμε αυτο;
@@spyrossarakanidis9162 Οι περιορισμοί γίνονται για δύο λόγους.
Πρώτα πρέπει η εξίσωση ως προς x να έχει λύση και κατόπιν η λύση αυτή πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισμού της f.
Επίσης όταν λύνουμε εξισώσεις πρέπει να χρησιμοποιούμε ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ. Αν υψώσουμε τα μέλη μιας εξίσωσης στο τετράγωνο, η νέα εξίσωση δεν είναι ισοδύναμη με την αρχική. Για να είναι ισοδύναμες χρειάζεται ο περιορισμός ότι τα δύο μέλη που υψώνουμε στο τετράγωνο πρέπει να είναι ομόσημα.
Στο μάθημά μου εξηγώ σε κάθε περίπτωση την αναγκαιότητα των περιορισμών.
Νίκος Ιωσηφίδης - Μαθηματικά online μπορειται να εξηγησετε την διαφορα ισοδυναμιας και συνεπαγωγης
@@spyrossarakanidis9162 Σου στέλνω τη σχετική εργασία μου.
users.sch.gr/mipapagr/images/iosifidis_01_swsti_xrisi_twn_symvolwn.pdf
Να σας ρωτήσω.
Πως μπορεί να τέμνονται σε αλα σημεία που δεν βρίσκονται πάνω στη διχοτομο.
Μπορείτε να μου εξηγήσετε λίγο αυτό.
Ευχαριστώ πολύ εκ των προτέρων
Ευχαριστώ για την επικοινωνία.
Δεν μπορούμε να κάνουμε απόδειξη ότι οι f και f^-1 τέμνονται μόνο επάνω στη διχοτόμο. Για τον λόγο αυτό προσπαθούμε να βρούμε παραδείγματα όπου οι f και f^-1 τέμνονται και σε άλλα σημεία ή μόνο σε άλλα σημεία. Αυτό γίνεται και υπάρχουν παραδείγματα σε πολλά βιβλία.
Επειδή δεν μπορώ να γράψω σύμβολα ή να κάνω σχήματα στο CZcams, αν έχετε mail ή messenger στείλτε το για να σας στείλω ένα δικό μου παράδειγμα.
Να σας ρωτησω κατι αν εχουμε μια συναρτηση f(x)=(|x| -2) εις την 4/5 (τεσσερα πεμπτα το πεδιο ορισμου τηςf ειναι το R η πρεπει. Να παρω περιορισμο;
Η δύναμη α^(4/5) ορίστηκε για α≥0. Επομένως χρειάζεται ο περιορισμός |x|-2≥0
Αν η ίδια δύναμη ήταν γραμμένη ως ρίζα, δηλ. 5η ρίζα του (|x|-2)^4 δεν θα χρειάζονταν περιορισμός, αφού (|x|-2)^4≥0 για κάθε x Ε R.
Νίκος Ιωσηφίδης - Μαθηματικά online αρα χρειαζεται περιορισμος δηλαδη δεν μπορω να το κανω ριζα χωρις περιορισμο με αλλα λογια κυριε Νικο
@@spyrossarakanidis9162 Σωστά.
Νίκος Ιωσηφίδης - Μαθηματικά online επισης στην ανισωση |x|
Καλησπέρα κε Ιωσηφίδη, καταρχάς, συγχαρητήρια για τη δουλειά σας. Παρακολουθώντας το άνωθεν βίντεο. στο σημείο 59:29 αναφερόμενος σ'ένα θεώρημα που δεν έχει το σχολικό βιβλίο, αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε και η αντίστροφή της συνάρτηση, είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο μάλιστα είδος μονοτονίας. Η συνάρτηση που δίνετε είναι γνησίως αύξουσα αλλά και αντίστροφή της, είναι γνησίως αύξουσα. Δεν έχει σημασία που είναι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης ένωση διαστημάτων. Δεν γνωρίζω θεώρημα που θέτει τον περιορισμό το A και το f(A) να είναι υποχρεωτικά διάστημα και όχι ένωση διαστημάτων. Κάνω λάθος; Ως εκ τούτου, δεν αντιλαμβάνομαι τον ισχυρισμό σας στο συγκεκριμένο σημείο. Θα μπορούσατε να το εξηγήσετε; Ευχαριστώ.
Ευχαριστώ για την επικοινωνία.
Για να πούμε ότι μια συνάρτηση f:A→R είναι άρτια πρέπει να πούμε ότι:
α) για κάθε x του Α πρέπει και το -x να ανήκει στο Α
β) για κάθε x του Α πρέπει να ισχύει f(-x)=f(x)
Δηλ. ο ορισμός της άρτιας συνάρτησης απαιτεί να ισχύουν δύο προϋποθέσεις, από τις οποίες η μια αφορά το πεδίο ορισμού της f
Έρχομαι τώρα στο ερώτημά σου
Για να πούμε ότι η συνάρτηση f είναι γν. αύξουσα στο υποσύνολο Δ του πεδίου ορισμού της f πρέπει να ισχύουν δύο προϋποθέσεις
α) το Δ να είναι διάστημα
β) για κάθε x1, x2 του Δ με x1
@@iossifid Καλησπέρα και πάλι κε Ιωσηφήδη. Αυτά που γράφετε είναι πλήρως κατανοητά και δεν διαφωνούμε ούτε ως προς τις προυποθέσεις των συμμετριών, ούτε ως προς τις προυποθέσεις της μονοτονίας! Η ερώτησή μου όμως παραμένει. Είναι ή δεν είναι ορθό το θεώρημα που αναφέρεται στο ίδιο μονοτονίας συνάρτησης και αντίστροφής της; Ας μην σταθούμε αμιγώς στο εν λόγω σχολικό βιβλίο. Η ουσία κατ'εμέ, είναι και στην ορθότητα του θεωρήματος! Το αναφέρω αυτό, διότι το σχολικό έχει και άλλα σφάλαματα όπως λόγου χάρη, στην Κυρτότητα. Κανονικά, θα έπρεπε να λέει γνησίως κυρτή για μία συνάρτηση που η f' είναι γνησίως αύξουσα, όχι απλώς κυρτή. Δεν ξέρω αν συμφωνείτε; Ουσιαστικά, με ενδιαφέρει η αυστηρή ορθότητα των προτάσεων και των θεωρημάτων, όχι οι συμβάσεις που έχουμε κατά καιρούς κάνει. Ευχαριστώ a priori για την απάντησή σας!
@@christosloizos6899 Κάθε θεώρημα αποδεικνύεται με βάση τους ισχύοντες ορισμούς, τα αξιώματα και θεωρήματα που έχουν ήδη αποδειχθεί.
Οι ορισμοί δεν είναι ταυτόσημοι για όλους τους συγγραφείς. Η διαφορά στους ορισμούς μπορεί οδηγήσει σε διαφορετικά συμπεράσματα στα διάφορα θεωρήματα.
Για να μιλήσουμε για την ορθότητα ή όχι ενός θεωρήματος, πρέπει να συμφωνήσουμε σε κάποια βάση, δηλ. ποιοι θα είναι οι ορισμοί και ποια τα αξιώματα στα οποία θα στηριχτούμε. Και στα μεν αξιώματα όλοι σχεδόν οι συγγραφείς συμφωνούν, όμως υπάρχουν μερικές φορές διαφορές στους ορισμούς. Αυτές οι διαφορές δημιουργούν τις διαφωνίες.
Σε ότι αφορά τώρα το συγκεκριμένο θεώρημα:
Επαναλαμβάνω ότι το θεώρημα ισχύει σύμφωνα με το προηγούμενο σχολικό βιβλίο (εξαιτίας του οποίου παρέμεινε η ΛΑΘΟΣ πεποίθηση ότι η αντίστροφη μιας γν. μονότονης συνάρτησης είναι πάντοτε γν. μονότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας).
Το δικό σας σχολικό βιβλίο (και φυσικά όλα τα βοηθήματα που το ακολουθούν πιστά) δίνει τον ορισμό της μονοτονίας ΜΟΝΟ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Αν λοιπόν το πεδίο ορισμού της αντίστροφης δεν είναι διάστημα, ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΟΜΙΛΟΥΜΕ ΓΙΑ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ.
Σαν ερώτημα τύπου Σ - Λ ΚΡΙΝΕΤΑΙ ΑΣΑΦΕΣ, επειδή δεν προσδιορίζει αν το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι διάστημα ή όχι. Αν το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι διάστημα, το θεώρημα ισχύει. Αν δεν είναι διάστημα, ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΝΟΗΜΑ Η ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ (ούτε σωστό ούτε λάθος).
Για άλλους συγγραφείς που δίνουν τον ορισμό μονοτονίας του σχολικού βιβλίου πριν το 2000, το θεώρημα ισχύει.
Για σας όμως (και για μας τους δασκάλους σας) η βάση είναι το σχολικό βιβλίο και σύμφωνα μ’ αυτό ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ.
Καλησπέρα συγχαρητήρια για την πολύ καλή δουλειά! Μπορείτε να γράψετε τον σύνδεσμο για το βίντεο με την απόδειξη της 1προς1;
Είναι ακριβώς το προηγούμενο βίντεο στη διεύθυνση czcams.com/video/iqbBYZqBhAg/video.html
Ευχαριστώ πολύ!
κυριε νικο ειμαι πρωτοετης στο χημικο απο υγειας με σωζετε πραγματικα σας ευχαριστω απειρα
Χαίρομαι που τα μαθήματά μου σε βοηθούν. Εύχομαι κάθε επιτυχία στις σπουδές σου.
@@iossifid σας ευχαριστω πολυ!
τα εξηγεί καλύτερα από τον τωρινό μου καθηγητή, τον λάτρεψα :)
Χαίρομαι που σου είμαι χρήσιμος. Να έχεις καλή επιτυχία στις Πανελλήνιες
@@iossifid ευχαριστώ πολύ :)
Στο 6:20 γιατί στην αντίστροφη συνάρτηση της f λέτε ότι από f-1:f(Α)->R και όχι f(A)->A; Αφού οι τιμές του f(A) καταλήγουν μόνο σε τιμές του υποσυνόλου Α.
Πολύ καλή παρατήρηση και σ’ ευχαριστώ. Όταν είδα για 1η φορά το βίντεο, αυτό που σκέφτηκα ήταν ότι στο σημείο αυτό χρειάζεται μια επιπλέον επεξήγηση που μου δίνεις την ευκαιρία να την κάνω τώρα.
Να ξεκαθαρίσω πρώτα ότι το σύνολο αφίξεως μιας συνάρτησης f: A→R δεν είναι το ίδιο με το σύνολο τιμών f(A) της συνάρτησης. Το σύνολο τιμών είναι το σύνολο όλων των εικόνων της συνάρτησης, δεν περιέχει ΚΑΝΕΝΑ άλλο στοιχείο και είναι μοναδικό.
Το σύνολο αφίξεως είναι ένα ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ σύνολο μέσα στο οποίο βρίσκονται όλες οι εικόνες της συνάρτησης. Αυτό σίγουρα περιέχει όλες τις τιμές της συνάρτησης, δηλ. περιέχει όλες τις τιμές του f(A), αλλά μπορεί να περιέχει και άλλες τιμές.
Το σύνολο αφίξεως δεν είναι μοναδικό. Αν Β είναι ένα σύνολο αφίξεως (όπως είναι και το σύνολο τιμών), κάθε υπερσύνολο του Β είναι επίσης σύνολο αφίξεως.
Στην απάντησή του ερωτήματός σου τώρα:
Όλες οι εικόνες της αντίστροφης βρίσκονται μέσα στο Α (αυτό είναι το σύνολο τιμών της αντίστροφης), αλλά βρίσκονται και μέσα στο υπερσύνολό του R. Το σχολικό βιβλίο θέλει το σύνολο αφίξεως μιας συνάρτησης να είναι πάντοτε το R (έτσι όρισε τις συναρτήσεις, από ένα υποσύνολο Α του R στο R). Γι αυτό, αντί να πούμε ότι σύνολο αφίξεως της αντίστροφης είναι το Α (που είναι σωστό και πολλά βιβλία έτσι το λένε), μπορούμε (για να είμαστε σύμφωνοι με το σχολικό βιβλίο) να πούμε ότι το σύνολο αφίξεως είναι το υπερσύνολό του R.
@@iossifid Σας ευχαριστώ πολύ!
Καλησπέρα κύριε Νίκο....στο 16.40 το σύνολο τιμών της αντίστροφης δεν είναι το [0,5]?......επίσης αν μια συνάρτηση είναι αντίστροφη είναι και 1-1 (δηλαδή το αντίστροφο)
Σας ευχαριστώ για την επικοινωνία.
Το σύνολο τιμών της αντίστροφης είναι το πεδίο ορισμού της f δηλ. το [0, 5] και η αντίστροφή μιας συνάρτησης είναι πάντοτε 1:1
@@iossifid επομένως το θα έπρεπε να γραφτεί [1,11]----->[0,5] ?
@@chrisdiego547 Για το σχολικό βιβλίο σύνολο αφίξεως είναι πάντοτε το R. Δηλ. όλες οι συναρτήσεις είναι της μορφής f: A-->R.
Ο συμβολισμός f: A-->B δεν σημαίνει ότι το Β είναι το σύνολο τιμών, αλλά το σύνολο αφίξεως. Το σχολικό βιβλίο ΔΕΝ χρησιμοποιεί αυτόν τον συμβολισμό.
Το σύνολο τιμών είναι το f(A)
Δες σχετικά από το 1ο μου βντεομάθημα (Πεδίο ορισμού συνάρτησης) το πρώτο 1,5 λεπτό.
@@iossifid ααα εντάξει καταλαβα σας ευχαριστώ πολύ!
Καλησπέρα ,τελικά κάνατε βίντεο για την χρηση συμβολων?
Ευχαριστώ για την επικοινωνία
Δεν έχω κάνει βίντεο για τη σωστή χρήση των συμβόλων. Έχω κάνει όμως μια εργασία με τον ίδιο τίτλο που είναι αναρτημένη στη διεύθυνση
users.sch.gr/mipapagr/images/iosifidis_01_swsti_xrisi_twn_symvolwn.pdf
Νίκος Ιωσηφίδης - Μαθηματικά online ευχαριστώ πολύ!!
Στην αρχή έχετε κάνει ένα λάθος στα σύνολα για να ορίζεται η αντίστροφη πρέπει η συνάρτηση να είναι 1-1 και δεν γίνεται για διαφορετικά χ να έχεις το ίδιο y .πχ f(x)=x στο τετράγωνο με χ1=1 και χ2=-1 έχουν την ίδιο εικόνα συνεπώς να μην είναι 1-1 άρα και να μην ορίζεται η αντίστροφη .
Ευχαριστώ για την επικοινωνία. Δεν κατάλαβα σε ποιο ακριβώς σημείο αναφέρεστε. Γράψτε μου σας παρακαλώ το λεπτό του βίντεο όπου βρίσκεται η διαφωνία σας.
Νίκος Ιωσηφίδης - Μαθηματικά online 2:65
Στα πρώτα 3 λεπτά
Νίκος Ιωσηφίδης - Μαθηματικά online εκεί που λέτε δυο διαφορετικά στοιχεία του α δεν μας εμποδίζει να έχουν την ίδια εικόνα στα πρώτα 3 λεπτά .ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ ΓΙΑ ΝΑ ΟΡΙΖΕΤΑΙ Η ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΠΡΕΠΕΙ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΑΣ ΝΑ ΕΙΝΑΙ 1-1 πχ στην f(x)=x στο τετράγωνο δεν ορίζεται η αντίστροφη διότι η συνάρτηση μας δεν είναι 1-1
@@user-qx2gj4df2t Στα πρώτα λεπτά του video μιλώ για αντιστοιχίες. Οι συναρτήσεις είναι ειδικές περιπτώσεις αντιστοιχιών. Οι αντιστοιχίες έχουν πάντοτε αντίστροφες αντιστοιχίες, ενώ οι συναρτήσεις δεν έχουν πάντοτε αντίστροφες συναρτήσεις.
Όταν η συνάρτηση είναι κλαδική;;;;
Π.χ. f(x)=|x-1|
Η συγκεκριμένη f(x)=|x-1| δεν είναι 1-1 αφού f(0)=f(2) και δεν έχει αντίστροφη.
Στην περίπτωση που μια κλαδική είναι 1-1, για ευκολία ας πούμε με δύο τύπους σε δύο διαστήματα Δ1 και Δ2, πρέπει να αποδείξουμε ότι σε κάθε διάστημα του πεδίου ορισμού της ισχύει x1≠x2 συνεπάγεται f(x1) ≠f(x2) και μετά να αποδείξουμε ότι αν x1 ανήκει στο Δ1 και x ανήκει στο Δ2, πάλι ισχύει f(x1) ≠f(x2) οπότε η f είναι 1-1 και έχει αντίστροφη.
Πρέπει να βρεθούν τα f(Δ1) και f(Δ2) οπότε το Π.Ο της αντίστροφης είναι το f(Δ1)Uf(Δ2) και θα έχει δύο τύπους, έναν για το f(Δ1) και έναν για το f(Δ2).
Νίκος Ιωσηφίδης - Μαθηματικά online στην f(x)=εφ2χ μπορω να παω να λυσω εξισωση συν2χ=συνπ/2 αρα χ=κπ +π/4 η να πω αφου εφχ=0 εαν και μονο εαν χ=κπ +π/2 αρα θα πρεπει 2χ διαφορο του κπ + π/2 αρα χ διαφορο του κπ/2 +π/4 ειναι και τα διο σωστα ετσι απαντηστε μου σας παρακαλω!!
@@paparasnikos2657 Σας ευχαριστώ για την επικοινωνία.
Δεν κατάλαβα το ερώτημά σας. Γράψτε μου σας παρακαλώ αναλυτικά το ερώτημα και στείλτε το με mail στο iossifid@yahoo.gr και θα σας απαντήσω.
Εγώ την αντίστροφη έκανα Σαράντα χρόνια να την καταλάβω είδα Σαράντα φορές το βίντεο διαβασα Σαράντα μέρες πήρα Σαράντα ντεπον και όταν προσπάθησα να την εξηγήσω στον γιόγκα μου έτρεμα μήπως το μπερδέψω το καημένο το παιδάκι έχω βγάλει και Πολυτεχνείο. Δεν έχω συναντήσει τίποτα πιο δύσκολο.......
Σας ευχαριστώ για την επικοινωνία.
Θεωρώ, όπως και πολλοί συνάδελφοι, ότι η αντίστροφη συνάρτηση είναι το δυσκολότερο κεφάλαιο στην ύλη της Γ΄ Λυκείου. Έτσι, δικαιολογημένα δυσκολευτήκατε στο κεφάλαιο αυτό.