УДИВИТЕЛЬНЫЙ математический прием (принцип Дирихле)
Vložit
- čas přidán 9. 06. 2024
- Математический прием, с помощью которого удается решать сложные и красивые задачи. Вместо беспомощного «Очевидно, что» берем на вооружение «по принципу Дирихле»
Мои курсы: market-135395111
VK: wildmathing
Задачник: topic-135395111_35874038
Донат: www.donationalerts.com/r/wild...
0:00 - Интро и условия
0:24 - Как это доказать?
1:05 - Принцип Дирихле
1:24 - Красивый сюжет
2:15 - Совпадение дней рождений
3:24 - Очевидно! Шах и мат
4:33 - Настоящая головоломка!
5:30 - Бонусная задача от Wild’а
5:45 - Анимация решает!
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
1. Докажите, что никакая прямая не может пересекать все три стороны треугольника.
2. Семь цветков растут в клумбе, имеющей форму правильного шестиугольника со стороной 1 метр. Найдутся ли среди них два цветка, удаленных друг от друга не более чем на 1 метр?
3. Докажите, что в Санкт-Петербурге найдется более 50 человек, которые родились в один год и один день.
4. Какое наибольшее число королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга?]
5а. В прямоугольнике 3×4 расположено семь точек. Найдутся ли среди них две, расстояние между которыми не превосходит √5?
5,. В прямоугольнике 3×4 расположено шесть точек. Найдутся ли среди них две, расстояние между которыми не превосходит √5?
БОНУС. В прямоугольнике 5×10 расположены 49 точек. Всегда ли среди них можно выбрать три, лежащие в круге единичного радиуса?
Если понравился разбор, обязательно посмотрите другие сочные ролики о математике и подпишитесь на канал - все самое интересное впереди!
БОЛЬШЕ НАСТОЯЩЕЙ МАТЕМАТИКИ
1. Геометрия: • #202. Геометрия - это ...
2. Самая красивая формула в математике: • #161. САМАЯ КРАСИВАЯ Ф...
3. Гипотеза Римана: • #170. ГИПОТЕЗА РИМАНА ...
4. Постижение числа π: • #182. Постижение числа...
5. Зачем нужна математика: • #200. ЗАЧЕМ НУЖНА МАТЕ...
#красота #математика #научпоп
Как вам (к)ролик, друзья? Поставьте лайк, и тогда в следующий раз сделаем еще один оборот по орбите математической эстетики!
А если прямая проходит через одну из вершин треугольника, считается, что она пересекает все три стороны? Если определить пересечение как наличие общей точки у стороны и секущей прямой, то считается, тогда Q.E.D. не Q.E.D.)
@@noavailablenamesatall Да, это надо было оговорить, что прямая, не проходящая через вершину.
@@noavailablenamesatall, совершенно верно! Поэтому к оригинальной формулировке добавил уточнение в левом нижнем углу (0:14)
@@michaelgolub2019 А можно переформулировать вопрос тем, что должно быть ровно 3 различные точки, принадлежащие и сторонам треугольника, и прямой. В моем примере с прохождением через вершину общих точек с треугольником 2, а не 3, так что я просто решил в мемной форме докопаться до строгости постановки вопроса)
@@WildMathing Ютуб обзор перекрыл, нечестно
Я, петербуржец, горд быть кроликом!
А когда белые ночи светло как днём или как вечер?
@@vozderzhaniye_21 белые ночи это не вечный день как все говорят, увы. Это просто когда и в 12 и в час ночи без часов не понять что уже ночь) а в 4-5 утра уже как когда в обычном городе 7-8
@@vozderzhaniye_21 просто ночь такая белая
вроде вокруг темно но все видно абсолютно четко как днем
У меня от питера мурашки под кожей с непривычки...
А где два остальных?
Шикарный ролик!
Из последних кажется самым мощным по всем фронтам: классная тема, количество информации в единицу времени и ну очень красивое оформление! Смотреть одно удовольствие!) Нужно больше, больше, чаще :D Очень круто!
Вот так разборы олимпиадных тем становятся произведениями искусства!
Большое спасибо, Дмитрий! С нетерпением буду ждать и твоих роликов в Manim!
с математической точки зрения ролик абсолютной бессодержательный. больно смотреть, как такая подача растрачивается на что-то настолько пустое
Как же красиво !!!! Голос , анимация, математика!!! Смотрел как под гипнозом! Спасибо вам
Красивые по содержанию задачи достойны красивой формы! Спасибо вам, что посмотрели!
🤔 Про Перельмана: если имеется ввиду совпадение даты рождения с учётом и года, то ведь, чисто теоретически, могло произойти так, что в этот день того года родился один лишь Перельман. И всё. (Приезжих не учитываем). Да и вообще, в случае с днями рождения можно запихнуть всех кроликов в 1 домик (на одну дату рождения). Понимаю, что это не реально, но в теории же возможно)
Совершенно верно! Это был небольшой вопрос на понимание, и очень рад, что понимание есть!
@@WildMathing Фух, я уж было начал нервничать, что чего-то не понял и изо всех сил пытался понять почему же они обязаны найтись?
@@dalex641 ну, обычно нужно доказать, что хотя бы двое (ну, или 50, как в этом случае) родились в 1 день, без привязки к конкретной дате.
Согласен, статистически неверное решение. В условии нет данных о равномерном распределении дат и лет рождения. А с таким условием никакие кролики не нужны.
@@user-rx5tr5vk5l, где вы увидели неверное решение, если не секрет?
Это шедевр, особенно музыка! Спасибо вам
музыка реально огонь 🔥. а кто автор?
Только ради музыки смотрел
Сколько кроликов можно уместить в коммуналке?
Бесконечность
@@xston6372 Клетка Гильберта)
... сколько демонстрантов можно уместить в 1 автозаке?
Это восхитительно! Пожалуйста, продолжайте!
Есть статья и рассуждения, в которых говорится, что принцип Дирихле не выполняется в квантовом мире, т.к. в нём объект не локализуется в одном месте.
Как же всё таки это красиво оформлено и интересно подано! Вайлд, ты очень крут!
Невероятное качество видеороликов!👏🏻👏🏻👏🏻
Отличное качество контента, сразу подписался на канал. Спасибо!👍
ОГРОМНОЕ СПАСИБО ЗА ДИРИХЛЕ!!! ОЧЕНЬ КРАСИВЫЕ ЗАДАЧИ!!! Ждем еще красивых задач на эту тему.
Вам спасибо! Давно было пора разобрать эту тему: много красивых сюжетов!
Великолепная подача материала, спасибо!
Самое красивое видео, которое я видел за последние недели. Спасибо!
Очень интересное видео, лучшее из последних пожалуй. Спасибо
Ну конечно нравится!!! Продолжайте 😎
Видео становятся лучше и лучше с каждым днем!
Спасибо за ролик! Занимался на Ваших курсах, там была красивая задачка со сферой, в решение которой использовался принцип дирихле
Рад слышать вести от родных бойцов! Та задача с точками на сфере - моя любимейшая, так что она достойна отдельного видео!
Большое спасибо вам за ваши труды! Видео вышло замечательным. Сам буквально на днях проверял задачи из одной будущей олимпиады, и там была задача на этот принцип :)
Спасибо за добрый комментарий!
Обычно, принцип Дирихле используется подсознательно. Спасибо за интересное видео.
Вау, очень круто. Побольше бы подобных роликов
И кроликов)
Уже поступил, но продолжаю смотреть эти шедевры в твоём исполнении. GOAT 🐐🐐
После этого видео почувствовал, что мой скилл резко вырос и мышление изменилось. Простой и в то же время мощный принцип
Краткое решение первой задачи:
Сперва заметим, что треугольник задаёт единственную плоскость, в которой он лежит. Если прямая не лежит в этой плоскости, но она может максимум пересечься с ней в одной точке, которая никак не сможет стать точкой пересечения всех трёх сторон треугольника
Если прямая лежит в плоскости, то стороны треугольника и искомую прямую зададим уравнениями вида Ах+Ву+С=0. Искомая точка пересечения со всеми сторонами задаётся неоднородной СЛАУ на 3 уравнения (пересечение прямой с каждой из сторон) на 2 неизвестные (х,у). Как мы можем знать из самой первой лекции Дмитрия Андреевича Тимашёва по Высшей алгебре за первый семестр Мехмата, такое СЛУ несовместно, то есть не имеет решений. ч.т.д.
Великолепное видео от великолепного человека! Спасибо тебе огромное за такой шикарный контент!!!
Спасибо за добрые слова!
Вааа, самые приятные математические видео!)
Отличное видео ; ) мне нравится то , как вы преподносите материал )
Все для вас, все для вас!
@@WildMathing можно разбор бонуса?
@@kartohfell, вы можете найти решение в комментариях. Один из зрителей даже сделал ключевую иллюстрацию, она есть ссылочкой
Очень интересно, спасибо!
Это потрясающий ролик. Сам только начинаю разбираться в библиотеке manim и понимаю сколько труда вы в него вложили. Великолепно продуманный ролик, материал объяснен выше всех похвал. Ваш математический контент самый лучший в Ютубе. Спасибо огромное.
Большое спасибо за добрые слова!
Наконец добавили музыку на фон! Теперь всё просто идеально. Крутое видео
Вааау, последняя задача про 6 точек - лютейшая красота!!! И музыка топ)
Прекрасное видео, которое, правда, намного опережает мое соображение😊
На Междунар. мат. олимпиаде 1979 г. в Бухаресте задавали очень сложную задачу: на мат. конгресс собралось 1979 математиков из 6 стран, математики перенумерованы числами от 1 до 1979. Надо доказать, что найдутся 3 математика из одной и той же страны, номер одного из которых равен сумме номеров двух других, либо найдутся 2 математика из одной страны, номер одного из которых равен удвоенному номеру другого. Как вы уже догадались, эта задача решается последовательным применением принципа Дирихле. Оставляю док-во в кач. дом. упражнения. :-)
Понять, что она решается принципом Дирихле не сложно. Посчитать количество домиков - вот что требует смекалки. :-)
1979/6 = 329 с остатками. И эти остатки всё равно как бы не расположил будет +1 в один из клеток. 330 математиков по любому есть в одной из стран. А дальше хз как делать. Даже если постараться не брать специально такие цирфы. То половина таких цифр могут быть без парными, а для суммы только 2/3 могут быть чтобы не выходила сумма. 2/3*1/2 = 1/3.
Сравниваем 1/3 и 1/6, и да может быть ситуация что таких математиков нет
Очень приятная анимация и музыка на фоне. Спасибо! Принцип Дирихле по сути является аналогом или следствием метода от противного, очень занимательно
очень классная анимация, спасибо автору)
Очень крутое видео! Привет из КПИ)
Жаль, что ютуб сменил алгоритмы и теперь "старые" каналы рекомендуються меньше новых
Больше бы таких видео!
Дополнение к предыдущему видео, спасибо!
Как всегда сууупер!!!
Exceptional quality! I hope you didn’t miss the 3b1b math video contest.
Спасибо! Красивый ролик
Визуализация потрясающая, спасибо!
Все для вас!
Очень понравились!
Каждый ролик меня гипнотизируют анимации на пару с музыкой. Математика - это нереально красиво, и автор каждый раз это доказывает
Прекрасный видеоролик, последняя задача особенно! Так же хотел бы узнать, что за красивая музыка на фоне? Спасибо.
Рад, что понравилось! Музыка, к сожалению недоступна, для прослушивания: покупал лицензию на использование. Но она обязательно еще прозвучит в будущих роликах!
все как мы просили!
потрясающе во всех отношениях 💜
совсем не подозревала, что математику возможно так понятно преподнести, пока не попала сюда. посмею даже заявить, что вы сумели меня ей заинтересовать, а это вообще впервые. земной поклон вам за ваш труд!
Спасибо за добрые слова!
Мой поклон и вам!
Можно было бы про функцию ламберта видео снять. Очень удобно для показательно-полиномиальных уравнений.
отличные задачи. оригинальный формат
Видео безумно красивые
невероятно красиво!!!
Приятно, что удалось донести красоту задач!
Очень интересное и красивое видео! Не могу не отметить, что домики для кроликов гораздо лучше клеток, как указано в более использованной формулировке принципа Дирихле)) Необычные задачи и раньше не подумала б, что их можно решить с помощью такого простого факта. Параллельно прохожу курс Райгородского о современной комбинаторике на corsera и это видео идеальное дополнение. Спасибо Вам огромное!
Видео сделано с заботой о кроликах! Спасибо Вам!
Лайк за красивую графику.
Визуализация на уровне!
Шедеврально, дамы и господа математики!
Музыка классная, вроде фигню решаешь, а таким гордым себя чувствуешь!
Спасибо за классное видео! В англоязычной литературе этот принцип еще называется Pigeonhole principle. Интересно, почему этот принцип принято формулировать с помощью кроликов, а не голубей?
Замечательные кролики!!!
Решение бонуса: да. Разделим прямоугольник на 50 ед. квадратов. Отметим все улы квадратов пустыми точками. Их будет 66 (точек в 1 ряду и в 1 колонке больше длины ряда и колонки на 1). Пусть сверху слева будут жить 2 точки (на очень малом расстоянии), тогда ни снизу, ни справа, не по диагонали не живёт ни одной точки в районе следующей пустой точки, след. 2 точки уничтожают четыре места (при этом заселять другие точки надо не на сами пустые места, а немного рядом). 6 точек потребляют 2 ряда. Рядов 11. 11/2=5,5. Последний (11ый) ряд тоже заселяют 6 точек. 5×6=30
30+6=36, поэтому если точек более 36, то существует единичная окр., которая содержит 3 точки
Спасибо за интерес! Рассуждения хорошие! Есть маленький промах с диагональной клеткой, который влечет результат «Если точек более 36, то три из них обязательно будут в единичном круге». Нарисовал контрпример: 38 точек располагаем в центрах окружностей (по две в каждом центре), и тогда, увы, круга не найдется: sun9-77.userapi.com/impg/7JM6bDFnFx4tVtYT8iAEu5YcSDN3FDX_WrH9Yw/mGv9o1oBvNU.jpg?size=1917x1184&quality=95&sign=d01188ae837d263e86ee11481d56515f&type=album
@@WildMathing эти окружности не могут касаться, иначе через точку косания пройдё окружность, соединяющая 2 пары точек. Так, например у вашей картинки не должно быть правой нижней точки. Но я согласен, что можно и больше 36 точек. Кстати, я понял как решить это принципом Дирехле (спасибо Вам за это). Расписывать не буду, но всё же интересно: есть ли способ расставить максимально много точек, так, чтобы не было 3-х лежащих в ед. окружности?
@@user-vv8mz9vu6i , полностью согласен! Этот мой промах можно устранить, сдвинув правую нижнюю окружность на 0,0001 единиц выше. Любопытно, что эта картинка все еще не дает ответ для 40 (или 49) точек
@@WildMathing теоретический максимум- 44 точки. Доказательство: разобьём прямоугольник на единичные квадратики (их 50) представим окружности в виде квадратов сходной площади (примерно 3,14, но пока что 3). У нас есть 6 пар точек (условно) на верху, 6 внизу, и по 1 сбоку (то есть всего максимум 14 пар точек около края), каждая крайняя пара точка (кроме 4 угловых, то есть только 10 пар) занимает половину от нашего квадрата (остальная уходит под прямоугольник, а угловые занимают четверть площади) и того 10/2+4/4=6. 6 квадратов по 3 (площадь) занимают 18 единичных квадратиков из 50 имеющихся, остаётся 32. 32/3=10(ост. 2) пар точек. Всего 10+14=24 пар. Теперь вспомним те 0.14 площади которыми мы пренебребрегли ранее. 0.14×(10+6)=2,24. Но у нас в остатке только 2, поэтому у нас минимум 23 пары. Теперь вернёмся к окружностям: так как они не могут идеально прилегать друг к другу, то у нас и того меньше чем 23, то есть 22 пары. 22×2=44 точки - максимум в теории
Видео всё посмотрел уже на x50, понравилось
Очень красивые анимации) сложно такие делать? Много времени уходит?
Рад, что понравилось!
Программируемая анимация требует времени, но для такой замечательной аудитории грех не постараться!
Отличное видео. Просто о сложном
Мой вариант решения бонуса:
нужно разместить 24 правильных шестиугольника со стороной 1 по принципу: 7 вертикальных столбцов высотой по 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3. Если центр каждого шестиугольника рассматривать как центр единичной окружности, тогда этими 24 кругами можно гарантированно покрыть прямоугольник со сторонами 3*sqrt(3)>5 на 10. Тогда, в самом худшем случае, если во всех окружностях лежит по 2 точки, что в сумме даёт 48 точек. Следовательно, в какой бы из окружностей не лежала 49-я, она будет третей.
Спасибо, что принял вызов!
Один из зрителей сделал иллюстрацию: pasteboard.co/PAsPGymtzFxg.png
Мoй пoдхoд к решенью задачи oтличается oт вашегo. Пoэтoму я прoверял ваш пoдхoд и утвердился, чтo не пoлучается кoректнo пoместит в этих шестиугoлниках 2 тoчки, чтo-бы не былo дефинирoванoй трoицы. Свoй пoдхoд рoзoблачим в oтделнoй вкладке.
Еще добавляю. Пoрoбуйте для себя пoместить две тoчки в каждoм вашем шестиугoлнике. И пoсле тoгo через просвечивающую бумагу с единичним кругoм всегда oбнаружите какие-нибудь три тoчки внутри этoгo круга. Клянусь!
Видео просто шикарное!
Кто-нибудь может дать название песни, что на фоне? Это же просто шедевр
Мне материться хочется от восторга! Но не буду. Спасибо за ещё один интересный урок для учеников.
Спасибо, отличный ролик! Вот такое и называется "Советское качество"!
Поговаривают, что советские второклассники изучали этот принцип
Спасибо за фидбек, приятно! Ну а ГОСТ в изготовлении видео - превыше всего!
@@Misha-775 100%, но скорее всего это первоклассники
@@polegch8053 новорождённые
Для 1 задачи нужно уточнение, что прамая не прозодит через вершину треугольника. Ибо можно провести через вершину и тогда мы перескли 3 стороны
Чудесно!
Этот приём меня научил мой препод по дискретной математике
Контрпример к задаче 1: Медиана AM треугольника ABC пересекает стороны AB и AC в точке A, и сторону BC в точке M
Любая прямая, проходящая через вершину и пересекающая противолежащую сторону так может, зачем медиана? Речь, видимо, о прямых, не проходящих через вершины.
@@user-vu6hn4ul2i это просто контрпример, что бывают такие прямые. Не надо находить все такие прямые, одной достаточно. Тем более в условии не сказано что через вершины нельзя проводить.
@@awrRoman25 надо доказать для любых прямых, а не только тех что через вершину проходят
супер, нам на лекции по матану упоминали этого Дирихле
Нужно больше -золота- задач!
Хорошее видео. Хочется узнать, в какой программе делается такая анимация и инфографика. Я бы делал на флэш, но как потом сконвертировать это в видео? Надо искать конвертер. Может, кто знает такой подходящий swf -> видео?
Спасибо!
Анимация сделана с помощью библиотеки для Python: github.com/3b1b/manim
Но при желании похожего качества можно добиться в After Effects и других видеоредакторах. А с конвертерами сейчас проблем нет, можно управиться даже онлайн: convertio.co/ru/swf-mp4/
@@WildMathing Спасибо, но если во флэш будет action script, то не поможет. С экрана надо будет захватывать.
Вспомнил, что есть биб-ка Image Magic с интерфейсами ко многим программам, но её ещё надо осваивать...
Не все конечно, но зачастую гениальное просто.
Будь проще, задача : н- мерное, искривлённые пространство, при каком условии прямая пересечёт всё стороны куба?)
врятли ответите ,но что вы думаете о комбинаторной оптимизации и задачах в ней?было бы интересно от вас послушать о данном разделе математики
Тема интересная! Может быть, и до нее доберемся!
Ну вот, другое дело: правильная реакция на критику.
Вышел вразумительный ролик.
Успехов.
все понял, но очень интересно
Вот такая версия мне по душе!
А сколько роликов будет про кроликов?)
Три стороны треугольника прямая не может пересекать, а линии трёх сторон может если проходит через сторону и противоположную вершину!
О господи, это прекрасно. Давно не смотрел Wild Mathing, ютуб решил подкинуть заново. Я очень удивился росту качества анимации, подачи и музыке. Это должно быть в Лувре!!!
*если не ошибаюсь, по определению треугольник это фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Из чего напрямую следует решение первой задачи.*
Не совсем. Определение, конечно, верное, но из того, что три вершины не лежат на одной прямой еще не следует, что не найдется три точки на сторонах, лежащие на одной прямой
Спасибо. Казалось бы, тема лёгкая, и в ней нечего понимать, а что в задаче следует применять принцип Дирихле, зачастую сразу непонятно. И на олимпиадах она время от времени мелькает.
Засечательный кролик! То есть ролик :-)
Тут без Маши из предыдущего ролика не обойтись!
А где купить лицензию на эту музыку ?
Вторая задача сформулирована некорректно, клумба то имеет форму правильно шестиугольника со стороной в метр, но о взаиморасполажении цветков ничего не сказано, они могут расти в пучке, тогда они все на расстоянии менее метра
Для того, чтобы расположить точку в задаче, где их шесть, дальше чем на две клетки, то-есть в фигуре с площадью больше 2, а таких фигур при любом расположении не найдётся больше пяти, так как общая площадь 12, и по-этому обязательно найдутся две точки расстояние между которыми меньше чем корень из пяти , это верно? Этого достаточно, чтобы считать, что ты ответил на вопрос?
Сама идея хорошая! Надо только устранить маленький пробел. Если рассмотреть прямоугольник формата 10×0,1, то площадь у него единичка, но при этом мы можем расположить две точки, удаленные друг от друга более чем на 10
А почему прямая не может пересечь все стороны треугольника?
В бонусной задаче у меня ответ, что выполняется условие при 48 и более точках, правильно?
Что это такое? Можно я сотру себе память и посмотрю этот шедевр снова?
А если в первой задаче линия делит кролика пополам? То есть проходит через вершину?
В задаче 2 надо ещё показать, почему в таком треугольнике максимальное расстояние 1
Совершенно верно! По поводу единичной стороны вопрос звучит в момент 1:57. Дальнейшее - дело нехитрое
В первой задаче не считается, если прямая пересечётся в том месте где соединяются стороны? Тогда в этом случае, она будет пересекать только одну сторону?
Да, ты правильно это подмечаешь!
Не знаю как вы решаете но в любом случае я ищу максимально возможное дальнее растояние срели точек
Супер
Какой красивый приём! Жалко только, что запоминать многие математические приёмы (любые) довольно сложно(
К счастью, запоминать и не нужно! На принцип Дирихле достаточно порешать задачки самостоятельно, и тогда прием станет родным
Так как вершина треугольника принадлежит двум сторонам треугольника то прямая проходящая через данную точку - вершину, пересекая противоположную сторону треугольника в любой точке будет пересекать все три стороны треугольника
Да, есть такое дело! В момент 0:14 было уточнение, но понимаю, что малозаметное
Если провести прямую через вершину и сторону противоположную этой вершине то прямая пересекает три стороны
Возможно касается, а не пересекает.. Надо уточнить по определению, что значит пересекает