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20:34 ∫[0→r]r/√(r²-x²)dxについて、円周率の定義はπ=円周/直径=4∫[0→r]√(1+{√(r²-x²)}'²)dx/2r=2∫[0→r]r/√(r²-x²)dx/rより、∫[0→r]r/√(r²-x²)dx=πr/2となって、上手くいきそうな気がしますが…。
確かに...。曲線の長さを積分で表すことは必要、ということでご勘弁を。
@@culculate-pi-200そもそも「長さ」を定義するのに基本的に積分を使うのでπを円周の長さとして定義する場合自然なのでは…？
この積分ってarcsinを使ってるので、うまく積分しないとarcsinの微分においてsinの微分を利用することになっちゃいそう
@@average334 収束することさえ示せれば定数でおいて良さそうな気がしますが。あとはrを消せた方がいいのか。上の式から、π=2∫[0→r]1/√(r²-x²)dxx=ruで置換して、(r>0)=2∫[0→1]1/√(1-u²)duより、πはrに影響されない。=2∫[0→1]{√(1-u²)+u²/√(1-u²)}du=2∫[0→1]√(1-u²)du-2[u√(1-u²)][0→1]+2∫[0→1]√(1-u²)du=4∫[0→1]√(1-u²)du0≦√(1-u²)≦1より収束するので、文字でおいて良い。
@@user-vx7ki9ul2o確かに。 lim[r→1-0]∫[0,r]1/√(1-x²) dxは上下に有界なのは明らかで、√(1-x²)≧0より単調増加だから収束するのは間違いない、だから定数として置くのはよさげですね。
概要欄にsin次郎いて草
sin次郎すこ
上手い！
sin次郎/cos次郎=炭治郎
@PUVOMA_fake？
すき
Sinをテイラー展開で定義する解決策は大学で勉強したけど、それ以降の直接的に解決する方法は初めて知ったわ。素晴らしい。良く見つけたな。
こんな素晴らしい動画、もっと伸びてくれよ....数学でCZcamsをやる難しさよ。。。
12:38 この話を数学的に厳密な説明ではないながらも小学校でならうのは壮絶な伏線回収みがあってすき
πを円周の長さとして定義したので、その「長さの定義」をどこかで使う必要があるということですね
私が高校生だった時に持っていた疑問を全部解決してくださり、ありがとうございました。理学部的にこういう細かなことを気にするのは私はいいと思います。
三角関数は微分方程式の一意な解として定義するのが好きです
私は、log x = ∫ dx/x から始めてsin x = { e^(ix) - e^(-ix) }/{ 2i } で定義するのが好き。
同じく!
三角関数の極限辺りの循環論法は定番ですね
分かりやすいし、面白いもっと伸びてほしい
ふざけ散らかす概要欄まじ好き
10:20 三角関数を使わない方法ももしかしたらあるのかもしれないが、そんなに簡単な方法ではないと思うのだ説主張するのに一番重要な部分を全力であいまいにしてくるの草
「学校数学」としては、円の面積がπr²であることは、扇形に刻んで並べて長方形に近づけるというお気持ちから得られる一種の「公理」だと認識すれば、循環から抜け出せます。小中高でひたすら普通公理とされないものを「公理」を乱立させているのですから、円の面積だけ目くじらを立てることもないかな〜と感じますね。
最後日本語おかしいですね、すみません。❌「公理」を乱立させている⭕️「公理」とすることで、「公理」を乱立させている
@@yhmvまったくもってそのとおりだとおもいます。
こんなにあきれるほど賢いずんだもんは前代未聞なのに「賢いボクは考えました。」の決めゼリフが一切出てこないのは逆に不自然な気も。
高木貞治先生の本に書かれていることですが、弧の長さが折線近似の上限で与えられることを使えば、x ≦ tan x を直ちに求めることができますねこの回答が一番鮮やかかつ簡潔だと思います
大学の教授っちが微積の授業で高校の教え方でsin x/xがx→0の時1になるのは循環論法だって3時間くらい永遠と講義してたなぁ…
神動画ありがとうございます。理系の大学1年ですがやはり数学は面白いですね。
ありがとうございます！
29:18 わざわざ分子分母をsで割っていますが、恒等式としてsinL(s)=sが成り立っているのでsがどんな値に近づこうがs/L(s)→1のはずです
循環論法を直接Sinxを別アプローチから導出して解決するの思い切ったわかりやすさがあって良い
つまり中学〜高校の数学教育ではsinh/h→1の証明において「弧の長さhよりtanhという長さの方が見た目的に長い」という非自明な証明を避けて代わりに「2sin(h/2)とhの比は1:1に近づく」という非自明かつ見た目的にはより妥当そうな事実を使って円の面積を求め、面積比較をしているけれどもその妥当そうな事実はsinh/h→1と自明に同値なので循環論法で証明になっていないという事ですね。実質的には、初等幾何で恐らくsinh/h→1だろうと推論した上で円の面積を求め、高校ではその推論(仮定)を復習しているだけとも言えるでしょうか。
本質的には、循環論法になっていないのでは？確かにπの値がいくらかは、sinの微分を求めるまで未定であるが、定数であることは既知であるので。
論理的には証明不可でも実験的には証明可能な例はありますからね。実際に作図して計測すればいいだけですから。数学というのは現在では論理的なものと解釈されてますが、そもそも歴史的には神秘主義であったり建築土木などに使う実学ですからね。たとえば円周が直径の３倍より少し長いという事実は円柱にロープ巻けばすぐに理解できますからね。
そもそもπを円の面積で定義してしまうのが良さそう。曲線の長さなんてちゃんと定義してないのに中学校でいきなり円周の長さからπが定義されるのが納得いかんかった
はえー、長さより面積の方が確実だと思う人もおるんやな
@@user-tw6ci9vb8fはえー、長さより面積の方が確実だと思わない人もおるんやな。面積の方が定義が楽そうなのに
@@user-dq3ht8st5h 一般化しやすいから、sinxも面積で定義する。正確には、x軸の正の部分と直線と上半円で囲まれた面積がx/2になるようなときの交点のy座標で定義する。あとはよくある通り。以下の「概要」の画像も参考にja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0
そんなことするんだったらもうτ使いなよ。πは直径と円周の関係で実用上の使用、τは半径と面積の関係で数学上の使用で使い分けられる。
@@user-REDACTED 直径と円周、半径と面積、の比はどちらもπですよ。τは半径と円周の比です。
10:24 数学は苦手なのですが自分なりに考えて見ました。分かりやすくするために第1象限の面積(π/4になってほしい)を考え、0から1までの範囲の積分を単に∫を付けて表します。dxとかも付けません。分かりずらいですが…。置換積分を用いますが、ちゃんと定義できて範囲もあってることは、確認したつもりです。つもりです。問題は、第1象限にある4分の1円の面積は、動画のとおりなのですが、ここでx=√(2t-t^2)として置換積分を考えます。これは∫(1-t)^2/√(2t-t^2)になります。分母の方を展開して、1と2t-t^2に分けます。つまり、∫1/√(2t-t^2)-∫(2t-t^2)/√(2t-t^2)というふうに書きます。これにt=1-kでそれぞれ個別に置換積分してあげると、∫1/√(2t-t^2)=∫1/√(1-k^2)∫(2t-t^2)/√(2t-t^2)=∫√(1-k^2)となります。ここでしたの式は元々の式と同じ形をしています。ですので、上の式がπ/2を示してあげたいです。ここでπ/2というのは第1象限上の単位円の弧の長さでしたので曲線の長さの公式より、1/√(1-x^2)のxが0から1までの積分だと言えます。つまりは、∫1/√(1-x^2)がπ/2なのです!!あとは移項して、∫1/√(1-x^2)=π/2を代入してあげると、ほしかった式が得られると思います……？。ﾏﾁｶﾞｯﾃﾀﾗｺﾞﾒﾝﾅｻｲ
追記∫√(1-x^2)=∫(1-x^2)/√(1-x^2)=∫(1/√(1-x^2)-∫x^2/√(1-x^2)ここで、引いてる方にx=√(1-t^2)を置換して、∫x^2/√(1-x^2)=∫(1-t^2)/√(1-t^2)=∫√(1-t^2)とした方が楽そうです
sinの微分はsinカーブのグラフを微分したらcosになるで完全に納得してた......
工学部出身としてはsinx/xのグラフ描いたらx→0で見た目sinx/x→1になってるから実用上1としたほうが自然だ〜ってざっくり思ってしまう
材力とかで出てくる「角度ｘ(rad)が微小であるときsin(x)≒xなのでsin(x)=xと見なす」のことですよね あとの計算が楽になるので使いやすいですが「そんなんでいいんか？」という腑に落ちない感もあり、理系とは立場の違いを感じる部分ですそろそろ中学数学、高校数学と並んで工学数学という分野も世間に浸透して欲しいところですが、CAEの発展で工学計算自体のニーズが下がってるのが気がかり
2sinx / π < sinx < x を認めるのなら、アルキメデスの方法とだいたい同じ方法でできて半径１の円oの面積をsとする。円oに内接する正2^n角形の面積をs-外接する正2^n角形のめんせきをs+とすると、面積への図形的考察で s+/2^n - s/2^n ＜（π/2^n)^2 s/2^n - s+/2^n ＞ (π/2^n)^2だとわかる。（動画中のやつ)ここで、θn = π/2^n とおく。s-/2^n = 内接2^n角形の三角形１ピース分 = 底辺×高さ÷2 = (2sinθn)×(cosθn)÷2 < (2θn)×1÷2 = π/２^nなので、s- ＜ π .一方で、外接多角形考えるとs+/2^n = 外接2^n角形の三角形１ピース分 = 2× 外接2^n角形の三角形１ピース分の半分 . /, | ＼= ２× / | | ＼ / | | ＼ 高さsinθn / | | ＼ ─────────── ` ←π/2^n [rad] 底辺1/cosθn= 2×1/(cosθn)×sinθn÷2= sinθn / √(1-sin^2θn)> 2×sinθn (∵ x 2×(2θn/π) > π/2^nなので、s+ ＞ πここからもしs > π だとしても π < (s-π)×NとなるNをとると,π^2 < (s-π)N = (s - s-)N + (s- - π)N < π^2 / 2^n × N < π^2で矛盾、s < πでも同様。
曲線の長さって要は無限分割した折れ線の長さってことでしょ？だったら扇をn等分にした弦のn倍が無限分割でhに収束することが言えるはず。それで弦の長さを余弦定理から求めると弦^2 = 2-2cos(h/n) = 4 sin^2(h/2n)弦 = 2 sin(h/2n)これが n×弦が h に収束するからlim 2n×sin(h/2n) = hここで x = h/2n とおくとlim sin(x)/x = 1が導かれる
こんなに頭いいずんだもんは初めて見た
解決法1は杉浦の解析入門ですね
このチャンネル絶対伸びる！！おもろいし、わかりやすい
度数法に不要な「半径1」を度数法の説明のときに言及して、弧度法に必要な「半径1」を弧度法の説明のときには言及しないというスタイル。
サムネと概要欄だけで高評価押せる。数学的に議論が不十分でも押せる。
極座標系を使えばsin x を使わないで円の面積が出せるけどそれは厳密に出そうとすると使えないのかな...
高校生の時に初めて知ったのは解決方法1でした三角不等式と曲線の長さの定義を使うやつが一番好きです。凸な曲線とそれに外接している折れ線では折れ線の方が長いことは、恐らく多くの人にとって直感的に成り立つことですが証明は少し大変ですね。
いいですか？？今必要とされるもの。sin xの微分です。sin xの微分が切実に求められているんです。ではどうやってsin xの微分を求めるのか？sin xの微分を求めるにはsin xの微分を求める必要があるのではないか？ワタクシはそう考えます！🦑
sin次郎構文
テイラー展開を使っていいならオイラーの公式も使っていいと思うんでexp(ix)=cos(x)+i*sin(x) …①両辺微分してd/dx(exp(ix))=d/dx(cos(x))+i*d/dx(sin(x)) …②②の左辺=i*exp(ix)①の両辺にiをかけてi*exp(ix)=i*cos(x)-sin(x) …③ということで、sinの微分は②③の虚部を比較してcos(x)と示せるついでにcosの微分も実部から求まる(-sin(x))
元々πの定義を「直径に対する周の長さの比」と定義したからこうなるのであって、「半径に対する円の面積」と定義すれば循環にならないはず。ただし、他のどの部分で循環になるのか、ラジアンどうすんの？とか色々あって考えるのやめました。😅
今までX軸と垂直に交わる線のy=0からy=yまでの長さはyの値と同じで、円もx軸と垂直に交わってるから孤の長さの値とyの値も同じで納得させてた。こんな緻密な証明だとは思わなかった。
考えたこともなかった……。数学は奥が深いなぁ。
今年一番笑えた動画。素晴らしい
sin次郎よりtan治郎の方が好きだな
32:26 赤い近似の折れ線
図形の面積を積分を用いて導出しようとしているのに、その正当性を同じ図形の面積を用いて示そうとするのがこの動画の循環の根本要因だと思う。 異なるアプローチからバウムクーヘン式の積分の正当性を示し、それを円周に適用することができれば円環が開かれる。それには積分という手法、この場合極座標系における積分に対する根本的な考察が必要になる。 線の長さで比較すると納得しやすいのはそれが円周率の定義だから。（ということで思考を終わらせることができるから） これは厳密な証明ではないが、バウムクーヘン式の積分の正当性を示す一つの例としてこんな例を考えた。例えば内接円の直径が2rの正四角形を考える。この場合周の長さは8rで面積は4r^2であり、この四角形の円周率（角周率？）はπ＝4と言える。ここで面積を半径rで微分すると8rになり周の長さと一致する。これは正n角形について成り立つ。例えば正三角形について、内接円の半径をrとして考えるとπ＝3√3となり正三角形の面積は周の長さの半径に対する積分であることが成立している。つまり、任意の正多角形について周の長さの積分が面積であるということができる。ここで、論理が飛躍するが、円はn→無限大とした時の正多角形とみなした場合これも円周2πrの半径rに関する積分πr^2で面積を表すことができる。円は無限角形とみなせるか？というのは僕は数学科ではないのでわからないが、少なくとも円筒座標系ではn回対称軸が任意のnに対して見つけられるはず。したがってこの方法でバウムクーヘン積分の正当性が円の面積を用いることなく示される。ちなみにこれは正多角形ではなくても、任意の多角形、例えば星型なんかにも適用できて、さまざまな図形の実質円周率を計算することができる。
大学１年ぐらいでたしか解決方法１を使って解決しました数学も物理も高校までの内容は全然厳密じゃないので、そういうの多かった気がします。
数学や物理はまだマシよ。高校化学は完全にデタラメなので。
扇形にはまってる二等辺三角形の底辺が0に収束ことを利用してもいけるか。弧の長さと底辺の長さの差を適当な関数にしてそして三平方の定理を利用する
9:40 20:25のいずれも、xをsinΘに置換するときに結局円周率がπであることを利用してる。sinの微分に関して循環論法というならこれも循環論法になる。「sinの微分を用いるためにsinの微分を用いている」という一見衝撃的な事実のように見せかけているが、結局「円周率がπである」ということを使っているだけ。そもそも弧度法を使ってる時点で「円周率＝π」が前提。
ことごとくダメな方法での計算過程が理解不明となった自分だから，結局は長さで計算する奴を理解すればいいのだ。。
進次郎論法で数学が解けるのか気になって見てしまった😵💧
数学なんて必要十分条件という名の「言い換え」の寄せ集めなんだから、全て進次郎論法ですよ
わかりやすい動画。ゆっくりでも良いから伸びていって欲しい。
素晴らしいビデオです。ありがとう
これsinの微分習った時に循環論法になってる気がして先生に聞いたけど教科書に載ってるんだから間違ってないって一蹴されたから気になってた。神動画
なぜ気づけたん？気づくの不可能だと思うけどなあ。なんかコメ残そうとしてちょっと嘘ついたでしょ？
@@user-mb1lh4yt4m え…逆にこんなことも気づかなかったんだ……()俺は気づかなかった
@@user-mb1lh4yt4m 微分積分学が好きで独学でやってた時に当然円の面積も求めてたんですよね。当時はx^2+y^2=1を変形してそのまま積分する方法でやってました。そこでsinの微分が出てきた時は何も疑問は感じなかったです。その時は漠然と「sinの微分とcosの積分が分かれば円の面積が正確に求められるんだなぁ」という程度でした。その後授業で習った時に「あれ円の面積用いてsinの微分定義しちゃうの？」となり、先生に質問したという流れです。ですので微分→積分の順で習うと考えると気づくのは不可能だと思うのも無理はないと思います。自分がどんどん先の学習を進めてしまった稀有な存在なので疑問に思われたんだと思います。まぁ長々と説明しましたが、何かゼロから生み出した訳でも無い訳ですし、何か革命的な発想した訳でもないのでこれぐらい気づいてもおかしくないとは思います。
@@user-kg3vz2jy9m はい。仰る通り大学数学を高校3年の1学期頃から学んでおります。馬場敬之様著『スバラシク実力がつくと評判の微分積分 キャンパス・ゼミ』という本を主に用いて学んでいました。高校数学の復習から感覚的にも分かりやすく、かつ誤魔化しもなくε-δから重積分まで実演問題も交えながら学ぶことが出来ました。是非書店などで見つけたら手に取っていただきたいオススメの本です。定価は税込2618円です。
中学校の教育次第ではちゃんと「証明するためには高校で微積を習わないといけない」とかサラっと先生が言ってくるので、それが頭に残ってれば「うん？」とはなる箇所だと思うけどなまあ木主の話は確実にどこか誇張されてるだろうけど
口がふもふも動いててかわいい
アルキメデスによる円の面積の求め方は修正すれば正しいと言える。まず、Tnの面積はわからなくて良い。集合の包含関係よりSn≦S≦Tnと言える。正n角形の面積の差Tn-SnにはTn-Sn
> 弧長は線分で近似した時の長さのsupと定義されることから、内接正多角形の周長はπに収束すると言える。この定義からは内接正多角形の周長の収束先が ≦ π であることしか従わないので、= π であることを何らかの方法で示す必要があります。
ほとんど必要のない議論をしてました、核は集合の包含関係です。元のコメントより、S
丁寧な返信ありがとうございます。証明は正しいと思います。ただ、前半のこの部分が気になるのでコメントします。> これは外接正多角形の周長が円周より長い事を動画25:10辺りを参照すると意味しています。外接正多角形の周長が円周より長いことは |h| < |tan h| と (文脈的には) 同じ意味であり、これは非自明で、動画中では証明していません。(円の面積がπr^2であることを用いた "証明" はしていますが、これを使って円の面積を求めると循環論法になります。)循環論法を抜け出すには、円周の長さに何らかの方法で直接的に向き合う必要がある、というのがこの動画の主旨で、証明していただいたような、「内接正多角形の周長のsupがπである」を示すのも解決方法の一つです。
確かにマズい論法かも知れませんね。前のコメントの様な方法で示せる可能性はありますが…曲線の長さを取り扱う以上、線分近似か積分を持ってくる必要があるのかもしれません。
証明に穴を見つけたので補足します。①のパターンは並行と限りません。よって、長さを抑える不等式を書き直す必要があります。①のパターンの長さ
小泉Jr 恐るべし
ずんだの口の動きすごない？
25:11 鳥肌たったし、うわぁって声出てた
自分が持ってる教科書だと扇形の面積をせっかく弧度法があるんだからS=θr^2/2で表して、パイは出てこなかったな。たぶんそれなら動画の言う循環論法もおこらないよね？弧度法あるのに扇形の面積をπｒ^2＊（中心角/2π）で表してsinx/xの極限値求めようとする教科書もあるんだな
積分と極限の交換？？？ なんだろう、猛烈に嫌な予感がしてきた…
数学者も一周回って進次郎になってしまうことがあるということですね！
14:22 曲線の長さの定義は曲線上の点を取った折れ線によって近似した長さなので、直線の長さがπに収束することは定義から示せるのではないでしょうか？
曲線の長さの定義は "全ての折れ線近似の長さの上限" なので、上限に届いていることを示す必要があります。それが示せるならば、その方法で問題ありません。
数学は定義が大事でも、だいたい定義で挫折する。数学のできる人のほとんどが、定義は我慢しろ、本番から面白くなると考える。だから、数学は数学好きにしか刺さらない。
口の動き合ってんのすご
32:26 ここの部分について、多分円の内側に行く折れ線で近似するという言い方が引っ掛かる。どちらかと言うと、図で言う単調減少的な円弧の曲線の外側に、区分求積法的な帯を纏わせるイメージの方が近いかなと思いました。
昔見た好きな方法だと、単位円上に点Pを打ち(第1象限の場合で話を進める)点Pと中心Oを結んでできた径lと、x軸と円周の交点に出来た扇の弧はその中心角をθラジアンとすれば、θとなるそして、点Pからx軸に垂線をおろせばsinθを得るまた、垂線とx軸の交点からcosθも得、これにより半径cosθの扇を書くことが出来るlまで扇を書くことにすると、その弧はθ・cosθの大きさを持つここで大小関係としてθ・cosθ
「曲線の長さ」は良く定義されているでしょうか
17:58 これは2πrΔr≤バームクーヘンの面積≤2π(r+Δr)Δrの証明ができれば良くて、かなり自明に思えますけどうーん、普通の面積の定義では難しいのか。それが自明になるような、カバリエリの原理的なものを認めてしまってそれを面積の定義にする的な事はできるのかな。
16:57 バームクウヒェン「大きい扇型から小さい扇型を引いた形状の積分」は迂回手順すぎて「一番大きい扇型の面積」を直接求めた方が早そうと思ったのは、数学が苦手だった者の遠吠えなんだろうなあ。
これよく循環論法だって言われるけど、個人的には教科書の説明で論理的に何も問題ないと思うんだよな。だって曲線の長さって「曲線を折れ線で近似していったときにその極限が中継点の取り方によらず一致するときの、その値」のことなんだから。義務教育でならう円の面積の証明法もそれに準じているし、高校数学でも 33:10 「曲線の長さを定義するのに折れ線による近似ではなく直接積分を用いて定義する」って言ってるけど弧長積分って区分求積法で置き換えたら折れ線近似の極限だからね。そう考えると sin(h)/h が h→0 で1に収束するのはそもそもはさみうちで証明するようなことではなくて(円の弧長がちゃんと存在していて一意に定まることをみとめるなら)ほとんど定義から自明といっていいんじゃないのかな。
この動画もそうだけれど、よく円の面積を長方形で近似する説明が厳密ではない理由として「直線をギザギザの線で近似していっても長さが一致しない」みたいな説明がもちだされるけれど、あれは斜辺の中継点をむすんでいっているわけではないので若干の詭弁っぽさがあると思っている。義務教育時点では曲線の長さの定義自体がふんわりしているので、そういう屁理屈がつけこむ余地があるというのはまあ確かにそうなのだけれど、すでにある円弧(=先に定義されたほとんどいたるところなめらかな曲線)を後から結節点で細かく分割していくのと、斜辺に沿うように折れ線自体を後からどんどん変形させていった極限とでは話の順番が違うわけで。
おっしゃる通り、その方法でも循環論法にはなりませんが、曲線の長さを折れ線近似で定義するなら「すべての折れ線近似の長さの上限」とされるのが一般的なので、ある具体的な折れ線近似の極限が曲線の長さと一致するかは、定義からは非自明です。折れ線の各線分の長さが0になるようにとれば、極限が曲線の長さと一致することは示せますが、これも自明ではないと思います。
@@culculate-pi-200 ＞ある具体的な折れ線近似の極限が曲線の長さと一致するかは、定義からは非自明です。弧長積分が実質的に「曲線をΔxごとに折れ線近似して足し合わせていったものの極限」になっていることから、高校数学ではまさに具体的なひとつの折れ線近似の極限が曲線の長さそのものであるということを定義として言っちゃっているのでは？ という意図でした。まあ明示的に書かれていることでないといわれてしまえばそうかもしれないし、それも含めて証明に曖昧さが残るのはそうかもですが。
@@tasami6559 少し考えましたが、高校の教科書では区分求積法で面積が求められることを認めているはずなので、そうであれば等間隔での分割はOKということになります。それなら確かに、等間隔の折れ線近似の極限で曲線の長さが求まる、ということに説明がつくと思いました。
朧げながらこの動画の内容を朧げに理解できました
昔から循環になっている話はあったけど、いつか直されたと記憶していた。まだ火種がくすぶってるのですね。
豆ガキの口の動きが母音に合わせて変わるのすげえ
数強ずんだもんすき
なんて打てば出るかわからない記号がたくさんだ
逆正弦関数θ=arcsin(x)を取り、中心角の微小増減をδと置いて、arcsin(x)の微小変化量が高々εに留まるかどうかを検討するのではいかんのでしょうか。まともな教科書や参考書であれば、三角関数の極限を証明した上で微分係数を説明していますし、積分可能性を証明する上でも極限は必須ですから、より本質的であると考えます。それに三角関数は整関数ですから、極限と積分とが可換ですが、面積アプローチの場合、被積分関数が一様に項別級数展開できるかを検討する必要性があり、かえって使い勝手が悪い気がします。ところで、ε-δの内容ですが、δの主値を[π/2,-π/2]に置くと、三平方の定理から、arcsin(δ)が|1-cos(δ)|
イプシロンデルタでどうやるのかもう少し説明を。
@@listensilence3351 大改訂した回答です。θ=l/r (def) y/r=sinθ (def) y/r=sin(l/r) ⇄arcsin(y/r)=sin{arcsin(l/r)} ⇄arcsin(y/r)=l/r=θ上式から、円弧が単位円周の一部(r=1)である限り、逆正弦関数は円弧長と一致します。また、正弦関数と逆余弦関数の合成であるsin(arccosx)を用いても同様の結果になります。中心角θ(θ∈R)の微小増減について|θ-a|(∀a∈R)
追記です。実三角関数の周期を考えるのがめんどいし、この手法も循環論法に見えるかなという不安もあり、整関数(複素指数関数)のマクローリン展開(冪級数展開)を用いて、ε-Nで帰結させるという動画内の説明でも良いのかと考えました。しかし、折角乗りかかった船だったので、頑張ってみました。当初の方針から修正しまくっていますし、逆三角関数を使う手は長くなって、諦めかけていましたが、新たな気付きもあって結構楽しく考察できました。特に連分数表記を避けられるので、正割関数及び余割関数は重宝します。所詮は逆数だから使う必要ないとかよく言われますけど、式変形しやすいメリットがあると思いますよ。
(sin x)/x のx→0極限を求めるさいに面積ではさみうちをしないで扇形の孤の長さ(弧度法の定義から積分なしでxと言える)を内接三角形の高さ(定義よりsin x)で下から外接三角形で上から挟むとかで出来ないですかね？sin x < x < tan x1
勉強になりました
進次郎の公式 A=A は、Aを導き出すのにAを用いている為、循環論法である。
それはともかく、弧度法の近似値として1周44/7 で良かろう
16:57 ∬rdrdθ r:0→1,θ:0→2π重積分と考えれば解決しないかな？（高専卒の天下り的考え）学生時代、多重積分を使うことで積分の応用を簡単化できるのに感動したなぁ
同じこと思った
∬rdrdθ=∬dxdyを導くために(x,y)=(r cosθ, r sinθ)のヤコビアンがrになることを使うんだけど、ヤコビアンの導出で三角関数の微分が出てきて・・って感じで循環してそうな気がするけどどうなんだろう
こう言う動画つい見ちゃうんだけどさっぱりわかんないんだよなw
バズってワロタもうセクシーな人に足向けて眠れねえよなあ
おぼろげながら浮かんできたんだろうな
サムネに惹かれてやってきた
俺は恩師から、微分は定規一本あればできるって習ってから三角関数の微分では困ったことはなかった。。
動画中でちょいちょい何の断りも入れずに値としてゼロを取りうる未知数で除算してるところがあるの気になる
極限の多項式って収束するかわかるかどうかの前に分けていいんでしたっけ？
そんな耐熱レンガを作るのに耐熱レンガが必要みたいな……。
極座標で積分してS(r)=∫2πrdr=πr²ではダメでしょうか……
この動画のサムネを作るために小泉構文って誕生したみたいだな。
解決法1は、マクローリン展開自体にsinの微分が入っているのでダメだと思ったんですけど違いますか？sinをそのように定義するとしても、なぜそのように定義したのですかと聞かれたらどう答えますか？教えていただけるとありがたいです。
普通に定義したsinが右辺の冪級数に一致すること示すなら、マクローリン展開を使って示すのが自然で、そのときは微分が必要です。ただしこの場合は、右辺の冪級数をsinと定義する、と言っているだけなので微分は不要です。なぜこのような定義なのか、と言われると返答に困るので、動画ではジョークだと言っています。冪級数で定義したsinが普通の定義のsinと一致することを示すなら、以下の方法を取ります。それぞれの逆関数が一致することを示せば良いので、冪級数で定義したsinの逆関数が ∫_0^x 1/√(1-t^2)dt に一致することを示します (普通の定義のsinの逆関数は動画中の解決方法2で求めています)。そのためには1. 冪級数の収束半径を求める2. 収束半径内で和、差、積、微分が自由に可能であることを示す3. cosを冪級数で定義する (sinの冪級数の項別微分)4. sin^2 x+ cos^2 x= 1 を示す (オイラーの公式から直ちに従う)5. 逆関数の微分を求めるという手順でおそらく可能です。
@@culculate-pi-200なるほど。丁寧にありがとうございます！
どんなに分けても同じじゃない！細かいねあんたたち。
マクローリン展開を求めるのにsinxの微分が必要だと思うのだか
円を正多角形の延長として三平方の定理の定理使って証明するのはあり？
32:28 あれ？折れ線では曲線の長さは表せないって13:39で言ってたような？
最初の折れ線と言われている図形は曲線に対する折れ線ではないと思われます。曲線に対する折れ線はそれぞれの直線の端点が曲線上にあり、なおかつそれぞれの直線が一定程度小さいものを指すのが一般だと思います。そのため動画の言葉遣いは語弊を生んでも仕方ないかと思います。
円の面積なら 2πxdx で0からrまで積分するのが一番わかりやすいと思ってたけど、あやしかったのね。結局、厳格な円の面積の証明って出来てないのかな？すみません。この程度です。
4:26 ここ分子全体に和積を適用すれば上手くいく...上手くいかない？
罪な男sin次郎
極座標系で2重積分はダメなの？
14:14 こんな反例があるのか
![Is π^π^π^π an Integer? [English Subtitles]](http://i.ytimg.com/vi/TooFbrU-Wb4/mqdefault.jpg)
20:34 ∫[0→r]r/√(r²-x²)dxについて、
円周率の定義は
π=円周/直径
=4∫[0→r]√(1+{√(r²-x²)}'²)dx/2r
=2∫[0→r]r/√(r²-x²)dx/r
より、∫[0→r]r/√(r²-x²)dx=πr/2
となって、上手くいきそうな気がしますが…。
確かに...。曲線の長さを積分で表すことは必要、ということでご勘弁を。
@@culculate-pi-200そもそも「長さ」を定義するのに基本的に積分を使うのでπを円周の長さとして定義する場合自然なのでは…？
この積分ってarcsinを使ってるので、うまく積分しないとarcsinの微分においてsinの微分を利用することになっちゃいそう
@@average334 収束することさえ示せれば定数でおいて良さそうな気がしますが。あとはrを消せた方がいいのか。
上の式から、
π=2∫[0→r]1/√(r²-x²)dx
x=ruで置換して、(r>0)
=2∫[0→1]1/√(1-u²)du
より、πはrに影響されない。
=2∫[0→1]{√(1-u²)+u²/√(1-u²)}du
=2∫[0→1]√(1-u²)du-2[u√(1-u²)][0→1]+2∫[0→1]√(1-u²)du
=4∫[0→1]√(1-u²)du
0≦√(1-u²)≦1より収束するので、文字でおいて良い。
@@user-vx7ki9ul2o確かに。
lim[r→1-0]∫[0,r]1/√(1-x²) dxは上下に有界なのは明らかで、√(1-x²)≧0より単調増加だから収束するのは間違いない、だから定数として置くのはよさげですね。
概要欄にsin次郎いて草
sin次郎すこ
上手い！
sin次郎/cos次郎=炭治郎
@PUVOMA_fake？
すき
Sinをテイラー展開で定義する解決策は大学で勉強したけど、それ以降の直接的に解決する方法は初めて知ったわ。
素晴らしい。良く見つけたな。
こんな素晴らしい動画、もっと伸びてくれよ....
数学でCZcamsをやる難しさよ。。。
12:38 この話を数学的に厳密な説明ではないながらも小学校でならうのは壮絶な伏線回収みがあってすき
πを円周の長さとして定義したので、その「長さの定義」をどこかで使う必要があるということですね
私が高校生だった時に持っていた疑問を全部解決してくださり、ありがとうございました。理学部的にこういう細かなことを気にするのは私はいいと思います。
三角関数は微分方程式の一意な解として定義するのが好きです
私は、log x = ∫ dx/x から始めて
sin x = { e^(ix) - e^(-ix) }/{ 2i } で定義するのが好き。
同じく!
三角関数の極限辺りの循環論法は定番ですね
分かりやすいし、面白い
もっと伸びてほしい
ふざけ散らかす概要欄まじ好き
10:20 三角関数を使わない方法ももしかしたらあるのかもしれないが、そんなに簡単な方法ではないと思うのだ
説主張するのに一番重要な部分を全力であいまいにしてくるの草
「学校数学」としては、円の面積がπr²であることは、扇形に刻んで並べて長方形に近づけるというお気持ちから得られる一種の「公理」だと認識すれば、循環から抜け出せます。
小中高でひたすら普通公理とされないものを「公理」を乱立させているのですから、円の面積だけ目くじらを立てることもないかな〜と感じますね。
最後日本語おかしいですね、すみません。
❌「公理」を乱立させている
⭕️「公理」とすることで、「公理」を乱立させている
@@yhmv
まったくもってそのとおりだとおもいます。
こんなにあきれるほど賢いずんだもんは前代未聞なのに「賢いボクは考えました。」の決めゼリフが一切出てこないのは逆に不自然な気も。
高木貞治先生の本に書かれていることですが、
弧の長さが折線近似の上限で与えられることを使えば、
x ≦ tan x を直ちに求めることができますね
この回答が一番鮮やかかつ簡潔だと思います
大学の教授っちが微積の授業で高校の教え方でsin x/xがx→0の時1になるのは循環論法だって3時間くらい永遠と講義してたなぁ…
神動画ありがとうございます。理系の大学1年ですがやはり数学は面白いですね。
ありがとうございます！
29:18
わざわざ分子分母をsで割っていますが、
恒等式としてsinL(s)=sが成り立っているので
sがどんな値に近づこうがs/L(s)→1のはずです
循環論法を直接Sinxを別アプローチから導出して解決するの思い切ったわかりやすさがあって良い
つまり中学〜高校の数学教育では
sinh/h→1の証明において
「弧の長さhよりtanhという長さの方が見た目的に長い」という非自明な証明を避けて
代わりに「2sin(h/2)とhの比は1:1に近づく」という非自明かつ見た目的にはより妥当そうな事実を使って円の面積を求め、面積比較をしているけれども
その妥当そうな事実はsinh/h→1と自明に同値なので循環論法で証明になっていないという事ですね。
実質的には、初等幾何で恐らくsinh/h→1だろうと推論した上で円の面積を求め、高校ではその推論(仮定)を復習しているだけとも言えるでしょうか。
本質的には、循環論法になっていないのでは？
確かにπの値がいくらかは、sinの微分を求めるまで未定であるが、定数であることは既知であるので。
論理的には証明不可でも実験的には証明可能な例はありますからね。実際に作図して計測すればいいだけですから。数学というのは現在では論理的なものと解釈されてますが、そもそも歴史的には神秘主義であったり建築土木などに使う実学ですからね。たとえば円周が直径の３倍より少し長いという事実は円柱にロープ巻けばすぐに理解できますからね。
そもそもπを円の面積で定義してしまうのが良さそう。曲線の長さなんてちゃんと定義してないのに中学校でいきなり円周の長さからπが定義されるのが納得いかんかった
はえー、長さより面積の方が確実だと思う人もおるんやな
@@user-tw6ci9vb8fはえー、長さより面積の方が確実だと思わない人もおるんやな。面積の方が定義が楽そうなのに
@@user-dq3ht8st5h 一般化しやすいから、sinxも面積で定義する。正確には、x軸の正の部分と直線と上半円で囲まれた面積がx/2になるようなときの交点のy座標で定義する。あとはよくある通り。
以下の「概要」の画像も参考に
ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0
そんなことするんだったらもうτ使いなよ。
πは直径と円周の関係で実用上の使用、τは半径と面積の関係で数学上の使用で使い分けられる。
@@user-REDACTED 直径と円周、半径と面積、の比はどちらもπですよ。
τは半径と円周の比です。
10:24 数学は苦手なのですが自分なりに考えて見ました。
分かりやすくするために第1象限の面積(π/4になってほしい)を考え、0から1までの範囲の積分を単に∫を付けて表します。dxとかも付けません。分かりずらいですが…。置換積分を用いますが、ちゃんと定義できて範囲もあってることは、確認したつもりです。つもりです。
問題は、第1象限にある4分の1円の面積は、動画のとおりなのですが、ここでx=√(2t-t^2)として置換積分を考えます。
これは
∫(1-t)^2/√(2t-t^2)になります。
分母の方を展開して、1と2t-t^2に分けます。つまり、
∫1/√(2t-t^2)-∫(2t-t^2)/√(2t-t^2)
というふうに書きます。
これにt=1-kでそれぞれ個別に置換積分してあげると、
∫1/√(2t-t^2)=∫1/√(1-k^2)
∫(2t-t^2)/√(2t-t^2)=∫√(1-k^2)
となります。
ここでしたの式は元々の式と同じ形をしています。ですので、上の式がπ/2を示してあげたいです。
ここでπ/2というのは第1象限上の単位円の弧の長さでしたので曲線の長さの公式より、
1/√(1-x^2)のxが0から1までの積分だと言えます。つまりは、
∫1/√(1-x^2)がπ/2なのです!!
あとは移項して、
∫1/√(1-x^2)=π/2を代入してあげると、ほしかった式が得られると思います……？。ﾏﾁｶﾞｯﾃﾀﾗｺﾞﾒﾝﾅｻｲ
追記
∫√(1-x^2)
=∫(1-x^2)/√(1-x^2)
=∫(1/√(1-x^2)-∫x^2/√(1-x^2)
ここで、引いてる方にx=√(1-t^2)を置換して、
∫x^2/√(1-x^2)
=∫(1-t^2)/√(1-t^2)
=∫√(1-t^2)
とした方が楽そうです
sinの微分はsinカーブのグラフを微分したらcosになるで完全に納得してた......
工学部出身としては
sinx/xのグラフ描いたらx→0で見た目sinx/x→1になってるから実用上1としたほうが自然だ〜ってざっくり思ってしまう
材力とかで出てくる「角度ｘ(rad)が微小であるときsin(x)≒xなのでsin(x)=xと見なす」のことですよね
あとの計算が楽になるので使いやすいですが「そんなんでいいんか？」という腑に落ちない感もあり、理系とは立場の違いを感じる部分です
そろそろ中学数学、高校数学と並んで工学数学という分野も世間に浸透して欲しいところですが、CAEの発展で工学計算自体のニーズが下がってるのが気がかり
2sinx / π < sinx < x を認めるのなら、アルキメデスの方法とだいたい同じ方法でできて
半径１の円oの面積をsとする。
円oに内接する正2^n角形の面積をs-
外接する正2^n角形のめんせきをs+
とすると、面積への図形的考察で
s+/2^n - s/2^n ＜（π/2^n)^2
s/2^n - s+/2^n ＞ (π/2^n)^2
だとわかる。（動画中のやつ)
ここで、θn = π/2^n とおく。
s-/2^n = 内接2^n角形の三角形１ピース分
= 底辺×高さ÷2
= (2sinθn)×(cosθn)÷2
< (2θn)×1÷2 = π/２^n
なので、s- ＜ π .
一方で、外接多角形考えると
s+/2^n = 外接2^n角形の三角形１ピース分
= 2× 外接2^n角形の三角形１ピース分の半分
.
/, | ＼
= ２× / | | ＼
/ | | ＼ 高さsinθn
/ | | ＼
─────────── ` ←π/2^n [rad]
底辺1/cosθn
= 2×1/(cosθn)×sinθn÷2
= sinθn / √(1-sin^2θn)
> 2×sinθn (∵ x 2×(2θn/π) > π/2^n
なので、s+ ＞ π
ここからもしs > π だとしても π < (s-π)×N
となるNをとると,
π^2 < (s-π)N = (s - s-)N + (s- - π)N
< π^2 / 2^n × N < π^2
で矛盾、s < πでも同様。
曲線の長さって要は無限分割した折れ線の長さってことでしょ？
だったら扇をn等分にした弦のn倍が無限分割でhに収束することが言えるはず。それで弦の長さを余弦定理から求めると
弦^2 = 2-2cos(h/n) = 4 sin^2(h/2n)
弦 = 2 sin(h/2n)
これが n×弦が h に収束するから
lim 2n×sin(h/2n) = h
ここで x = h/2n とおくと
lim sin(x)/x = 1
が導かれる
こんなに頭いいずんだもんは初めて見た
解決法1は杉浦の解析入門ですね
このチャンネル絶対伸びる！！
おもろいし、わかりやすい
度数法に不要な「半径1」を度数法の説明のときに言及して、
弧度法に必要な「半径1」を弧度法の説明のときには言及しないというスタイル。
サムネと概要欄だけで高評価押せる。
数学的に議論が不十分でも押せる。
極座標系を使えばsin x を使わないで円の面積が出せるけどそれは厳密に出そうとすると使えないのかな...
高校生の時に初めて知ったのは解決方法1でした
三角不等式と曲線の長さの定義を使うやつが一番好きです。凸な曲線とそれに外接している折れ線では折れ線の方が長いことは、恐らく多くの人にとって直感的に成り立つことですが証明は少し大変ですね。
いいですか？？今必要とされるもの。sin xの微分です。sin xの微分が切実に求められているんです。ではどうやってsin xの微分を求めるのか？sin xの微分を求めるにはsin xの微分を求める必要があるのではないか？ワタクシはそう考えます！🦑
sin次郎構文
テイラー展開を使っていいならオイラーの公式も使っていいと思うんで
exp(ix)=cos(x)+i*sin(x) …①
両辺微分して
d/dx(exp(ix))=d/dx(cos(x))+i*d/dx(sin(x)) …②
②の左辺=i*exp(ix)
①の両辺にiをかけて
i*exp(ix)=i*cos(x)-sin(x) …③
ということで、sinの微分は②③の虚部を比較してcos(x)と示せる
ついでにcosの微分も実部から求まる(-sin(x))
元々πの定義を「直径に対する周の長さの比」と定義したからこうなるのであって、「半径に対する円の面積」と定義すれば循環にならないはず。
ただし、他のどの部分で循環になるのか、ラジアンどうすんの？とか色々あって考えるのやめました。😅
今までX軸と垂直に交わる線のy=0からy=yまでの長さはyの値と同じで、円もx軸と垂直に交わってるから孤の長さの値とyの値も同じで納得させてた。こんな緻密な証明だとは思わなかった。
考えたこともなかった……。数学は奥が深いなぁ。
今年一番笑えた動画。素晴らしい
sin次郎よりtan治郎の方が好きだな
32:26 赤い近似の折れ線
図形の面積を積分を用いて導出しようとしているのに、その正当性を同じ図形の面積を用いて示そうとするのがこの動画の循環の根本要因だと思う。
異なるアプローチからバウムクーヘン式の積分の正当性を示し、それを円周に適用することができれば円環が開かれる。それには積分という手法、この場合極座標系における積分に対する根本的な考察が必要になる。
線の長さで比較すると納得しやすいのはそれが円周率の定義だから。（ということで思考を終わらせることができるから）
これは厳密な証明ではないが、バウムクーヘン式の積分の正当性を示す一つの例としてこんな例を考えた。例えば内接円の直径が2rの正四角形を考える。この場合周の長さは8rで面積は4r^2であり、この四角形の円周率（角周率？）はπ＝4と言える。ここで面積を半径rで微分すると8rになり周の長さと一致する。これは正n角形について成り立つ。例えば正三角形について、内接円の半径をrとして考えるとπ＝3√3となり正三角形の面積は周の長さの半径に対する積分であることが成立している。つまり、任意の正多角形について周の長さの積分が面積であるということができる。ここで、論理が飛躍するが、円はn→無限大とした時の正多角形とみなした場合これも円周2πrの半径rに関する積分πr^2で面積を表すことができる。円は無限角形とみなせるか？というのは僕は数学科ではないのでわからないが、少なくとも円筒座標系ではn回対称軸が任意のnに対して見つけられるはず。したがってこの方法でバウムクーヘン積分の正当性が円の面積を用いることなく示される。
ちなみにこれは正多角形ではなくても、任意の多角形、例えば星型なんかにも適用できて、さまざまな図形の実質円周率を計算することができる。
大学１年ぐらいでたしか解決方法１を使って解決しました
数学も物理も高校までの内容は全然厳密じゃないので、そういうの多かった気がします。
数学や物理はまだマシよ。高校化学は完全にデタラメなので。
扇形にはまってる二等辺三角形の底辺が0に収束ことを利用してもいけるか。弧の長さと底辺の長さの差を適当な関数にして
そして三平方の定理を利用する
9:40 20:25のいずれも、xをsinΘに置換するときに結局円周率がπであることを利用してる。sinの微分に関して循環論法というならこれも循環論法になる。
「sinの微分を用いるためにsinの微分を用いている」という一見衝撃的な事実のように見せかけているが、結局「円周率がπである」ということを使っているだけ。そもそも弧度法を使ってる時点で「円周率＝π」が前提。
ことごとくダメな方法での計算過程が理解不明となった自分だから，結局は長さで計算する奴を理解すればいいのだ。。
進次郎論法で数学が解けるのか気になって見てしまった😵💧
数学なんて必要十分条件という名の「言い換え」の寄せ集めなんだから、全て進次郎論法ですよ
わかりやすい動画。
ゆっくりでも良いから伸びていって欲しい。
素晴らしいビデオです。ありがとう
これsinの微分習った時に循環論法になってる気がして先生に聞いたけど教科書に載ってるんだから間違ってないって一蹴されたから気になってた。神動画
なぜ気づけたん？気づくの不可能だと思うけどなあ。なんかコメ残そうとしてちょっと嘘ついたでしょ？
@@user-mb1lh4yt4m え…逆にこんなことも気づかなかったんだ……()
俺は気づかなかった
@@user-mb1lh4yt4m 微分積分学が好きで独学でやってた時に当然円の面積も求めてたんですよね。当時はx^2+y^2=1を変形してそのまま積分する方法でやってました。
そこでsinの微分が出てきた時は何も疑問は感じなかったです。その時は漠然と「sinの微分とcosの積分が分かれば円の面積が正確に求められるんだなぁ」という程度でした。
その後授業で習った時に「あれ円の面積用いてsinの微分定義しちゃうの？」となり、先生に質問したという流れです。
ですので微分→積分の順で習うと考えると気づくのは不可能だと思うのも無理はないと思います。自分がどんどん先の学習を進めてしまった稀有な存在なので疑問に思われたんだと思います。
まぁ長々と説明しましたが、何かゼロから生み出した訳でも無い訳ですし、何か革命的な発想した訳でもないのでこれぐらい気づいてもおかしくないとは思います。
@@user-kg3vz2jy9m はい。仰る通り大学数学を高校3年の1学期頃から学んでおります。馬場敬之様著『スバラシク実力がつくと評判の微分積分 キャンパス・ゼミ』という本を主に用いて学んでいました。
高校数学の復習から感覚的にも分かりやすく、かつ誤魔化しもなくε-δから重積分まで実演問題も交えながら学ぶことが出来ました。
是非書店などで見つけたら手に取っていただきたいオススメの本です。
定価は税込2618円です。
中学校の教育次第ではちゃんと「証明するためには高校で微積を習わないといけない」とかサラっと先生が言ってくるので、それが頭に残ってれば「うん？」とはなる箇所だと思うけどな
まあ木主の話は確実にどこか誇張されてるだろうけど
口がふもふも動いててかわいい
アルキメデスによる円の面積の求め方は修正すれば正しいと言える。
まず、Tnの面積はわからなくて良い。
集合の包含関係よりSn≦S≦Tnと言える。
正n角形の面積の差Tn-SnにはTn-Sn
> 弧長は線分で近似した時の長さのsupと定義されることから、内接正多角形の周長はπに収束すると言える。
この定義からは内接正多角形の周長の収束先が ≦ π であることしか従わないので、= π であることを何らかの方法で示す必要があります。
ほとんど必要のない議論をしてました、核は集合の包含関係です。
元のコメントより、S
丁寧な返信ありがとうございます。証明は正しいと思います。
ただ、前半のこの部分が気になるのでコメントします。
> これは外接正多角形の周長が円周より長い事を動画25:10辺りを参照すると意味しています。
外接正多角形の周長が円周より長いことは |h| < |tan h| と (文脈的には) 同じ意味であり、これは非自明で、動画中では証明していません。(円の面積がπr^2であることを用いた "証明" はしていますが、これを使って円の面積を求めると循環論法になります。)
循環論法を抜け出すには、円周の長さに何らかの方法で直接的に向き合う必要がある、というのがこの動画の主旨で、証明していただいたような、「内接正多角形の周長のsupがπである」を示すのも解決方法の一つです。
確かにマズい論法かも知れませんね。前のコメントの様な方法で示せる可能性はありますが…
曲線の長さを取り扱う以上、線分近似か積分を持ってくる必要があるのかもしれません。
証明に穴を見つけたので補足します。
①のパターンは並行と限りません。
よって、長さを抑える不等式を書き直す必要があります。
①のパターンの長さ
小泉Jr 恐るべし
ずんだの口の動きすごない？
25:11 鳥肌たったし、うわぁって声出てた
自分が持ってる教科書だと扇形の面積をせっかく弧度法があるんだからS=θr^2/2で表して、パイは出てこなかったな。たぶんそれなら動画の言う循環論法もおこらないよね？
弧度法あるのに扇形の面積をπｒ^2＊（中心角/2π）で表してsinx/xの極限値求めようとする教科書もあるんだな
積分と極限の交換？？？ なんだろう、猛烈に嫌な予感がしてきた…
数学者も一周回って進次郎になってしまうことがあるということですね！
14:22 曲線の長さの定義は曲線上の点を取った折れ線によって近似した長さなので、直線の長さがπに収束することは定義から示せるのではないでしょうか？
曲線の長さの定義は "全ての折れ線近似の長さの上限" なので、上限に届いていることを示す必要があります。それが示せるならば、その方法で問題ありません。
数学は定義が大事
でも、だいたい定義で挫折する。
数学のできる人のほとんどが、定義は我慢しろ、本番から面白くなると考える。
だから、数学は数学好きにしか刺さらない。
口の動き合ってんのすご
32:26 ここの部分について、多分円の内側に行く折れ線で近似するという言い方が引っ掛かる。
どちらかと言うと、図で言う単調減少的な円弧の曲線の外側に、区分求積法的な帯を纏わせるイメージの方が近いかなと思いました。
昔見た好きな方法だと、単位円上に点Pを打ち(第1象限の場合で話を進める)点Pと中心Oを結んでできた径lと、x軸と円周の交点に出来た扇の弧はその中心角をθラジアンとすれば、θとなる
そして、点Pからx軸に垂線をおろせばsinθを得る
また、垂線とx軸の交点からcosθも得、これにより半径cosθの扇を書くことが出来る
lまで扇を書くことにすると、その弧はθ・cosθの大きさを持つ
ここで大小関係として
θ・cosθ
「曲線の長さ」は良く定義されているでしょうか
17:58 これは2πrΔr≤バームクーヘンの面積≤2π(r+Δr)Δrの証明ができれば良くて、かなり自明に思えますけど
うーん、普通の面積の定義では難しいのか。
それが自明になるような、カバリエリの原理的なものを認めてしまってそれを面積の定義にする的な事はできるのかな。
16:57 バームクウヒェン
「大きい扇型から小さい扇型を引いた形状の積分」は迂回手順すぎて「一番大きい扇型の面積」を直接求めた方が早そうと思ったのは、数学が苦手だった者の遠吠えなんだろうなあ。
これよく循環論法だって言われるけど、個人的には教科書の説明で論理的に何も問題ないと思うんだよな。
だって曲線の長さって「曲線を折れ線で近似していったときにその極限が中継点の取り方によらず一致するときの、その値」のことなんだから。
義務教育でならう円の面積の証明法もそれに準じているし、高校数学でも 33:10 「曲線の長さを定義するのに折れ線による近似ではなく直接積分を用いて定義する」って言ってるけど弧長積分って区分求積法で置き換えたら折れ線近似の極限だからね。そう考えると sin(h)/h が h→0 で1に収束するのはそもそもはさみうちで証明するようなことではなくて(円の弧長がちゃんと存在していて一意に定まることをみとめるなら)ほとんど定義から自明といっていいんじゃないのかな。
この動画もそうだけれど、よく円の面積を長方形で近似する説明が厳密ではない理由として「直線をギザギザの線で近似していっても長さが一致しない」みたいな説明がもちだされるけれど、あれは斜辺の中継点をむすんでいっているわけではないので若干の詭弁っぽさがあると思っている。
義務教育時点では曲線の長さの定義自体がふんわりしているので、そういう屁理屈がつけこむ余地があるというのはまあ確かにそうなのだけれど、すでにある円弧(=先に定義されたほとんどいたるところなめらかな曲線)を後から結節点で細かく分割していくのと、斜辺に沿うように折れ線自体を後からどんどん変形させていった極限とでは話の順番が違うわけで。
おっしゃる通り、その方法でも循環論法にはなりませんが、
曲線の長さを折れ線近似で定義するなら「すべての折れ線近似の長さの上限」とされるのが一般的なので、ある具体的な折れ線近似の極限が曲線の長さと一致するかは、定義からは非自明です。
折れ線の各線分の長さが0になるようにとれば、極限が曲線の長さと一致することは示せますが、これも自明ではないと思います。
@@culculate-pi-200 ＞ある具体的な折れ線近似の極限が曲線の長さと一致するかは、定義からは非自明です。
弧長積分が実質的に「曲線をΔxごとに折れ線近似して足し合わせていったものの極限」になっていることから、高校数学ではまさに具体的なひとつの折れ線近似の極限が曲線の長さそのものであるということを定義として言っちゃっているのでは？ という意図でした。
まあ明示的に書かれていることでないといわれてしまえばそうかもしれないし、それも含めて証明に曖昧さが残るのはそうかもですが。
@@tasami6559 少し考えましたが、高校の教科書では区分求積法で面積が求められることを認めているはずなので、そうであれば等間隔での分割はOKということになります。それなら確かに、等間隔の折れ線近似の極限で曲線の長さが求まる、ということに説明がつくと思いました。
朧げながらこの動画の内容を朧げに理解できました
昔から循環になっている話はあったけど、いつか直されたと記憶していた。まだ火種がくすぶってるのですね。
豆ガキの口の動きが母音に合わせて変わるのすげえ
数強ずんだもんすき
なんて打てば出るかわからない記号がたくさんだ
逆正弦関数θ=arcsin(x)を取り、中心角の微小増減をδと置いて、arcsin(x)の微小変化量が高々εに留まるかどうかを検討するのではいかんのでしょうか。まともな教科書や参考書であれば、三角関数の極限を証明した上で微分係数を説明していますし、積分可能性を証明する上でも極限は必須ですから、より本質的であると考えます。それに三角関数は整関数ですから、極限と積分とが可換ですが、面積アプローチの場合、被積分関数が一様に項別級数展開できるかを検討する必要性があり、かえって使い勝手が悪い気がします。
ところで、ε-δの内容ですが、δの主値を[π/2,-π/2]に置くと、三平方の定理から、arcsin(δ)が|1-cos(δ)|
イプシロンデルタでどうやるのかもう少し説明を。
@@listensilence3351
大改訂した回答です。
θ=l/r (def)
y/r=sinθ (def)
y/r=sin(l/r)
⇄arcsin(y/r)=sin{arcsin(l/r)}
⇄arcsin(y/r)=l/r=θ
上式から、円弧が単位円周の一部(r=1)である限り、逆正弦関数は円弧長と一致します。また、正弦関数と逆余弦関数の合成であるsin(arccosx)を用いても同様の結果になります。
中心角θ(θ∈R)の微小増減について
|θ-a|(∀a∈R)
追記です。
実三角関数の周期を考えるのがめんどいし、この手法も循環論法に見えるかなという不安もあり、整関数(複素指数関数)のマクローリン展開(冪級数展開)を用いて、ε-Nで帰結させるという動画内の説明でも良いのかと考えました。しかし、折角乗りかかった船だったので、頑張ってみました。
当初の方針から修正しまくっていますし、逆三角関数を使う手は長くなって、諦めかけていましたが、新たな気付きもあって結構楽しく考察できました。特に連分数表記を避けられるので、正割関数及び余割関数は重宝します。所詮は逆数だから使う必要ないとかよく言われますけど、式変形しやすいメリットがあると思いますよ。
(sin x)/x のx→0極限を求めるさいに面積ではさみうちをしないで扇形の孤の長さ(弧度法の定義から積分なしでxと言える)を内接三角形の高さ(定義よりsin x)で下から
外接三角形で上から挟むとかで出来ないですかね？
sin x < x < tan x
1
勉強になりました
進次郎の公式 A=A は、Aを導き出すのにAを用いている為、循環論法である。
それはともかく、弧度法の近似値として1周44/7 で良かろう
16:57 ∬rdrdθ r:0→1,θ:0→2π
重積分と考えれば解決しないかな？（高専卒の天下り的考え）
学生時代、多重積分を使うことで積分の応用を簡単化できるのに感動したなぁ
同じこと思った
∬rdrdθ=∬dxdyを導くために(x,y)=(r cosθ, r sinθ)のヤコビアンがrになることを使うんだけど、ヤコビアンの導出で三角関数の微分が出てきて・・って感じで循環してそうな気がするけどどうなんだろう
こう言う動画つい見ちゃうんだけどさっぱりわかんないんだよなw
バズってワロタ
もうセクシーな人に足向けて眠れねえよなあ
おぼろげながら浮かんできたんだろうな
サムネに惹かれてやってきた
俺は恩師から、微分は定規一本あればできるって習ってから三角関数の微分では困ったことはなかった。。
動画中でちょいちょい何の断りも入れずに値としてゼロを取りうる未知数で除算してるところがあるの気になる
極限の多項式って収束するかわかるかどうかの前に分けていいんでしたっけ？
そんな耐熱レンガを作るのに耐熱レンガが必要みたいな……。
極座標で積分して
S(r)=∫2πrdr=πr²
ではダメでしょうか……
この動画のサムネを作るために小泉構文って誕生したみたいだな。
解決法1は、マクローリン展開自体にsinの微分が入っているのでダメだと思ったんですけど違いますか？sinをそのように定義するとしても、なぜそのように定義したのですかと聞かれたらどう答えますか？教えていただけるとありがたいです。
普通に定義したsinが右辺の冪級数に一致すること示すなら、マクローリン展開を使って示すのが自然で、そのときは微分が必要です。ただしこの場合は、右辺の冪級数をsinと定義する、と言っているだけなので微分は不要です。
なぜこのような定義なのか、と言われると返答に困るので、動画ではジョークだと言っています。
冪級数で定義したsinが普通の定義のsinと一致することを示すなら、以下の方法を取ります。
それぞれの逆関数が一致することを示せば良いので、冪級数で定義したsinの逆関数が ∫_0^x 1/√(1-t^2)dt に一致することを示します (普通の定義のsinの逆関数は動画中の解決方法2で求めています)。そのためには
1. 冪級数の収束半径を求める
2. 収束半径内で和、差、積、微分が自由に可能であることを示す
3. cosを冪級数で定義する (sinの冪級数の項別微分)
4. sin^2 x+ cos^2 x= 1 を示す (オイラーの公式から直ちに従う)
5. 逆関数の微分を求める
という手順でおそらく可能です。
@@culculate-pi-200なるほど。丁寧にありがとうございます！
どんなに分けても同じじゃない！細かいねあんたたち。
マクローリン展開を求めるのにsinxの微分が必要だと思うのだか
円を正多角形の延長として三平方の定理の定理使って証明するのはあり？
32:28 あれ？折れ線では曲線の長さは表せないって13:39で言ってたような？
最初の折れ線と言われている図形は曲線に対する折れ線ではないと思われます。
曲線に対する折れ線はそれぞれの直線の端点が曲線上にあり、なおかつそれぞれの直線が一定程度小さいものを指すのが一般だと思います。
そのため動画の言葉遣いは語弊を生んでも仕方ないかと思います。
円の面積なら 2πxdx で0からrまで積分するのが一番わかりやすいと思ってたけど、あやしかったのね。
結局、厳格な円の面積の証明って出来てないのかな？
すみません。この程度です。
4:26 ここ分子全体に和積を適用すれば上手くいく...上手くいかない？
罪な男sin次郎
極座標系で2重積分はダメなの？
14:14 こんな反例があるのか