![円周率の求め方って200通りあんねん](/img/default-banner.jpg)
- 22
- 357 947
円周率の求め方って200通りあんねん
Japan
Registrace 13. 07. 2023
円周率を200通りの方法で求めるチャンネルです。
トーナメントの数を数えて円周率を計算します【カタラン数】
トーナメントの数を数えて円周率を計算する方法を紹介します。トーナメントの数はカタラン数と呼ばれるものになるので、カタラン数についても少し話します。
【訂正】
16:56 : Tn+1 に2乗がついていません。正しくは 16^n / n^3 T_{n+1}^2 です。
17 /200 個目
・ウォリスの公式の動画
czcams.com/video/AF50s2sInNw/video.html
【目次】
00:00 - トーナメントの数え方
03:47 - トーナメントの数を求める
07:25 - TnとTn+1の関係
14:02 - 円周率への収束と計算
19:48 - 括弧の付け方 (カタラン数の例)
21:00 - 多角形の分割 (カタラン数の例)
23:27 - 格子点上の最短経路 (カタラン数の例)
25:38 - ランダムウォーク (カタラン数の例)
26:36 - 締め
・補足記事 (ランダムウォークなど)
oroshi.me/2024/07/catalan
・サンプルプログラム
github.com/daikon-oroshi/calculate_pi/blob/master/work/%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%83%A9%E3%83%B3%E6%95%B0/python.ipynb
【イラスト】
立ち絵 (坂本アヒル様)
【BGM】
無心になれる作業 (BGMer)
【音声】
VOICEVOX:ずんだもん
VOICEVOX:四国めたん
【口パク】
りぞりぷと
github.com/nakano000/Resolve_Script
この方法がいつ発見されたとするべきなのか悩ましいですが、
C_n = C_{n-1}C_0 + C_{n-2}C_2 +・・・+ C_0C_{n-1}
という形でカタラン数を導入したのは、ハンガリーの数学者Segnerのようです (1758年)。そして1838年にカタランが
C_n =2nCn /n+1
を示したようです。ウォリスの公式を適用するにはカタランが示した公式が必要なので、1838年に発見されたとします。
(以下を参照)
www.math.ucla.edu/~pak/papers/cathist4.pdf
【訂正】
16:56 : Tn+1 に2乗がついていません。正しくは 16^n / n^3 T_{n+1}^2 です。
17 /200 個目
・ウォリスの公式の動画
czcams.com/video/AF50s2sInNw/video.html
【目次】
00:00 - トーナメントの数え方
03:47 - トーナメントの数を求める
07:25 - TnとTn+1の関係
14:02 - 円周率への収束と計算
19:48 - 括弧の付け方 (カタラン数の例)
21:00 - 多角形の分割 (カタラン数の例)
23:27 - 格子点上の最短経路 (カタラン数の例)
25:38 - ランダムウォーク (カタラン数の例)
26:36 - 締め
・補足記事 (ランダムウォークなど)
oroshi.me/2024/07/catalan
・サンプルプログラム
github.com/daikon-oroshi/calculate_pi/blob/master/work/%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%83%A9%E3%83%B3%E6%95%B0/python.ipynb
【イラスト】
立ち絵 (坂本アヒル様)
【BGM】
無心になれる作業 (BGMer)
【音声】
VOICEVOX:ずんだもん
VOICEVOX:四国めたん
【口パク】
りぞりぷと
github.com/nakano000/Resolve_Script
この方法がいつ発見されたとするべきなのか悩ましいですが、
C_n = C_{n-1}C_0 + C_{n-2}C_2 +・・・+ C_0C_{n-1}
という形でカタラン数を導入したのは、ハンガリーの数学者Segnerのようです (1758年)。そして1838年にカタランが
C_n =2nCn /n+1
を示したようです。ウォリスの公式を適用するにはカタランが示した公式が必要なので、1838年に発見されたとします。
(以下を参照)
www.math.ucla.edu/~pak/papers/cathist4.pdf
zhlédnutí: 20 753
Video
【n!の近似】スターリングの公式を使って円周率を求めます (16/200)
zhlédnutí 2,8KPřed měsícem
n!の近似公式であるスターリングの公式には円周率が現れます。ということは円周率が求められるので、スターリングの公式を使って円周率を求めてみます。 この動画30分あんねん。15分のつもりやったのに。 16 /200 個目 【目次】 00:00 - イントロ 04:36 - 簡易版近似公式の証明 08:50 - ド・モアブルの近似公式 : step1 15:04 - ド・モアブルの近似公式 : step2 22:39 - スターリングの公式 25:54 - 円周率の計算 28:28 - 締め ・最後の計算の補足 oroshi.me/2024/07/stirling-pi ・ウォリスの公式の動画 czcams.com/video/AF50s2sInNw/video.html ・スターリングの著書 archive.org/details/bub_gb_71ZHAAAAYAAJ/page/n1...
【意外と応用が広い】ウォリスの公式を使って円周率を求めます (15/200個目)
zhlédnutí 1,5KPřed měsícem
ウォリスの公式証明したあと、それを使って円周率を求めます ウォリスがどうやってウォリスの公式を発見したのか、誰か教えて欲しい 15 /200 個目 【目次】 00:00 - イントロ 05:00 - ウォリスの公式の証明 13:03 - 円周率の計算 15:40 - 締め ・Arithmetica Infinitorum (ウォリスの著書) archive.org/details/ArithmeticaInfinitorum/page/n211/mode/2up ・サンプルプログラム github.com/daikon-oroshi/calculate_pi/blob/master/work/ウォリスの公式/python.ipynb 【イラスト】 立ち絵 (坂本アヒル様) 【BGM】 無心になれる作業 (BGMer) 【音声】 VOICEVOX:ずんだもん VOICEVOX:四国めた...
【公式の良さ】レーマー指標を使って円周率のarctan公式を比較する
zhlédnutí 1,2KPřed 2 měsíci
だんだんマニアックになってきた 【目次】 00:00 - イントロ 02:26 - おさらい 06:57 - レーマー指標 13:05 - レーマー指標が増える変形 18:12 - レーマー指標が減る変形 24:59 - 締め ・レーマーの論文 maa.org/sites/default/files/pdf/pubs/amm_supplements/Monthly_Reference_7.pdf ・補足記事 oroshi.me/2024/05/lehmer-measure-arctan ・サンプルプログラム github.com/daikon-oroshi/calculate_pi/blob/master/work/arctan公式/Lehmer指標/python.ipynb 【イラスト】 立ち絵 (坂本アヒル様) 【BGM】 無心になれる作業 (BGMer) 【音声】 VOICEV...
【1時間で20桁】オイラーの公式とオイラー変換で円周率を1時間で20桁求められるのか検証します (14/200個目)
zhlédnutí 3,2KPřed 3 měsíci
18世紀に活躍した数学者オイラーは、1時間で20桁目まで円周率を計算したと言われています。その方法を解説します。 いつにも増してマニアックな内容です。 14 /200 個目 ・マチンの公式の動画 czcams.com/video/gAjhNfIlInI/video.html ・オイラー変換に関する補足 oroshi.me/2024/04/euler-transform 【目次】 00:00 - イントロ 02:42 - オイラーの公式 07:11 - オイラー変換1: 差分演算子 09:37 - オイラー変換2: オイラー変換の証明 13:01 - オイラー変換3: arctanのオイラー変換 16:14 - 円周率の計算量 20:15 - 計算した感想 23:42 - 締め ・サンプルプログラム github.com/daikon-oroshi/calculate_pi/blob/...
【天文学者】マチンの公式を解説して、ついでに円周率を100桁計算します (13/200個目)
zhlédnutí 6KPřed 4 měsíci
マチンの公式は、天文学者ジョン・マチンによって発見された円周率の公式で、マチンの公式およびそれに類する公式は、円周率の桁数の更新に何度も使われてきました。この動画では、マチンの公式の証明、それを使った円周率の求め方、およびマチンの公式の見つけ方を解説します。 マチンの公式に関する話題は沢山あるので、あと5本ぐらいはこのネタで動画を出せると思います。 ※26:24で、オイラーは2時間で20桁求めたと述べていますが、正しくは1時間で20桁です。 13 /200 個目 【目次】 00:00 - マチンの公式概要 02:19 - 歴史的背景 05:08 - マチンの公式の証明 08:37 - arctanのテイラー展開 12:06 - 円周率の計算1 16:22 - 円周率の計算2 22:24 - マチンの公式の見つけ方 26:56 - 締め ・サンプルプログラム - 円周率の計算 gith...
【1/2と√だけで?】ヴィエトの不思議な円周率公式 (11,12/200個目)
zhlédnutí 4,5KPřed 4 měsíci
※猫ミームは出てきません ヴィエトは1/2とルートのみで表される、不思議な円周率公式を発見しました。式の見た目だけでなく、無限積で円周率を表すという点も、当時の数学では新しい考えだったようです。 ヴィエトの方法は計算効率的にはアルキメデスの方法と同じです。しかも、アルキメデスの内接正多角形の公式から直接導くこともできます。 アルキメデスの方法 czcams.com/video/dnxdzQtfi0s/video.html 外接正多角形の公式からヴィエト風の公式を求めることもできますが、綺麗な形にはなりません。詳細は以下のリンク先に書いています。 外接正多角形の周からヴィエト風の公式を導く方法 oroshi.me/2024/03/viete-archimedes 12 /200 個目 ( 2) 【目次】 00:00 - イントロ 02:03 - ヴィエトの公式の証明 04:41 - ヴ...
【テイラー展開】円の面積をテイラー展開して円周率を求める (10/200個目)
zhlédnutí 9KPřed 5 měsíci
テイラー展開の|x| ≦ 1での収束について oroshi.me/2024/03/circle_area_taylor 前回の動画 czcams.com/video/LQbF8pK0Wvg/video.html 10 /200 個目 【目次】 00:00 - イントロ 01:25 - テイラー展開 05:55 - 円周率の計算 09:25 - 2つの方法の関係 11:01 - 締め ・サンプルプログラム github.com/daikon-oroshi/calculate_pi/blob/master/work/テイラー展開で円の面積を求める.ipynb 【イラスト】 立ち絵 (坂本アヒル様) 【BGM】 無心になれる作業 (BGMer) 【音声】 VOICEVOX:ずんだもん VOICEVOX:四国めたん 【口パク】 りぞりぷと github.com/nakano000/Resol...
【証明付き】テイラー展開と(逆)三角関数で円周率を求めます (9/200個目)
zhlédnutí 3,7KPřed 6 měsíci
arcsinのテイラー展開を使って円周率を求めます。テイラー展開ができると、円周率の計算手法の幅が広がります。 ついでにオイラーの公式も紹介します。 ・微分の動画 czcams.com/video/gfwL7vBi8VI/video.html ・積分の動画 czcams.com/video/QHj3JYIoevc/video.html ・sinの微分 czcams.com/video/PhHX_x8KOiE/video.html arcsin のテイラー展開の x=1 での収束が気になる方は、以下の記事を参考にしてください。 oroshi.me/2024/03/convergence_on_boundary#arcsin1 9 /200 個目 【目次】 00:00 - イントロ 03:14 - 微分のおさらい 05:42 - テイラー展開1:近似の繰り返し 09:32 - テイラー展...
【円周率の計算】円を挟むvs円で挟む、どっちがいいの?(アルキメデスvsクザーヌス)(8/200個目)
zhlédnutí 24KPřed 6 měsíci
・アルキメデスの方法 czcams.com/video/dnxdzQtfi0s/video.html ・クザーヌスの方法 czcams.com/video/_9r-0uB_oj8/video.html アルキメデスは、円を内接正多角形と外接正多角形で挟むことで円周率を求めました。一方クザーヌスは、正多角形を内接円と外接円で挟むことで円周率を求めました。これらのアイディアの違いはとても小さなものですが、どちらの方法がどのように優れているのでしょうか。それを調べてみます。 8 /200 個目 【目次】 00:00 - イントロ 01:07 - おさらい 03:54 - アルキメデス改 09:16 - 式変形 11:15 - 初期値 12:16 - まとめ ・サンプルプログラム github.com/daikon-oroshi/calculate_pi/blob/master/work/相...
相加平均と相乗平均で円周率が求まる【クザーヌスの方法】(7/200個目)
zhlédnutí 15KPřed 7 měsíci
相加平均と相乗平均を繰り返すと円周率が求まる、ということをクザーヌスは発見しました。そのアイディアは、円周率の数学史上最古の求め方である、アルキメデスの方法を逆転したものになっています。少しの方法の違いで見た目が全く異なる式が表れるのは面白いです。 ・アルキメデスの方法 czcams.com/video/dnxdzQtfi0s/video.html 7 /200 個目 【目次】 00:00 - イントロ 02:40 - 証明のアイディア 05:55 - 半径の長さの関係 10:10 - 不等式を示す 11:34 - 極限が円周率になること 13:39 - 収束の速さ 15:48 - 円周率を求める 17:58 - まとめ ・サンプルプログラム github.com/daikon-oroshi/calculate_pi/blob/master/work/相加平均と相乗平均で円周率を求め...
【循環論法?】数Ⅲの教科書、sinの微分を求めるためにsinの微分が必要という説を解説します
zhlédnutí 164KPřed 7 měsíci
数Ⅲの教科書のsinの微分の求め方が循環論法になっている、という説がありますが、弧度法ってセクシーですよね。 sinの微分の求め方が循環論法になっているということは、sinの微分を求めるために、sinの微分を求めているということです。 このままではいけないと思います。だからこそ、sinの微分を求めないといけないと思っている。 【目次】 00:00 - イントロ 01:23 - 弧度法とは 04:06 - 教科書でのsinの微分の求め方 08:31 - なぜ循環論法なのか 12:38 - 円の面積を求める1 16:57 - 円の面積を求める2 21:20 - 円の面積を求める3 26:27 - 解決方法その1 28:02 - 解決方法その2 30:54 - 解決方法その3 32:07 - 解決方法その4 33:30 - まとめ ・微分の動画 czcams.com/video/gfwL7...
15分ちょっとでわかる積分【面積、微分の逆、曲線の長さ、体積】
zhlédnutí 1,4KPřed 7 měsíci
ギリギリ15分ちょっとに収まりました。 微分の動画 czcams.com/video/gfwL7vBi8VI/video.html 区分求積法で円周率を求める czcams.com/video/NJzZBLcJ-R4/video.html 【目次】 00:00 - イントロ 01:29 - 面積を求める 07:47 - 微分の逆 13:58 - 長さ、体積 16:03 - まとめ 【イラスト】 立ち絵 (坂本アヒル様) 【BGM】 無心になれる作業 (BGMer) 【音声】 VOICEVOX:ずんだもん VOICEVOX:四国めたん 【口パク】 りぞりぷと github.com/nakano000/Resolve_Script
15分ちょっとでわかる微分【接線、微小変化率、一次近似】
zhlédnutí 1,8KPřed 8 měsíci
詰め込みすぎたかも。 【目次】 00:00 - 微分で何ができるの? 01:21 - 微分って何? 02:11 - 接線 05:14 - 接線て役に立つの? 07:47 - 微小変化量 11:24 - 一次近似 14:27 - まとめと微分の公式 【イラスト】 立ち絵 (坂本アヒル様) 【BGM】 無心になれる作業 (BGMer) 【音声】 VOICEVOX:ずんだもん VOICEVOX:四国めたん 【口パク】 りぞりぷと github.com/nakano000/Resolve_Script
自然数を2つ選べば円周率が求まる説を検証してみた (6/200個目)
zhlédnutí 23KPřed 8 měsíci
一見関係なさそうですが、自然数を2つ選べば円周率を求めることができます。正確には自然数を2つ選び、それらが互いに素である確率を求めると、それが6/π^2に一致します。とても不思議です。 それが成り立つ理由と、実際にシミュレーションした結果を紹介します。 6 /200 個目 【目次】 00:00 - イントロ 01:41 - ランダムに選ぶとは 03:25 - 互いに素とは 06:43 - 互いに素である確率 11:11 - 円周率の計算 12:17 - まとめ ・補足記事 (厳密な証明を知りたい方向け) oroshi.me/2023/11/mutually_prime_pi ・サンプルプログラム github.com/daikon-oroshi/calculate_pi/blob/master/work/2つの自然数選べば円周率が求まる説.ipynb 【イラスト】 立ち絵 (坂本...
【最小二乗法で精度up】サイコロを投げて円周率を求める② (4/200個目)
zhlédnutí 1,5KPřed 9 měsíci
【最小二乗法で精度up】サイコロを投げて円周率を求める② (4/200個目)
【奇数からπへ】マーダヴァによる円周率の求め方【西暦1400年のインド】(3/200個目)
zhlédnutí 2,4KPřed 9 měsíci
【奇数からπへ】マーダヴァによる円周率の求め方【西暦1400年のインド】(3/200個目)
【紀元前3世紀】アルキメデスによる数学史上最古の円周率の求め方【中学数学で理解できる?】(2/200個目)
zhlédnutí 1,8KPřed 11 měsíci
【紀元前3世紀】アルキメデスによる数学史上最古の円周率の求め方【中学数学で理解できる?】(2/200個目)
えっ?サイコロを投げて円周率を?①【確率論の大定理:中心極限定理】(1/200個目)
zhlédnutí 2,2KPřed rokem
えっ?サイコロを投げて円周率を?①【確率論の大定理:中心極限定理】(1/200個目)
友人がこの動画のおかげで助かったらしいので、聖地?巡礼に来ました
2:42 ここで逆トーナメント表思い出した
かみどうが😂なのに全然伸びてないの謎 youtubeのAIはごみw
200個までやったらどうなるんだろう
839の3乗根の求め方は、9×9×9=729、839-729=110、4×4×4=64。正方形の図では、839の2乗根の求め方は、20×20=400、439になり、48×8=384になる。839の3乗根の求め方は、9×9×9=729。開平法は(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 15^2=225、a=10、(10+b)^2=10^2+2×10×b+b^2、 {(1+1)×10+b}×b=225-10^2=125、b=5、225を開平すると15になります。戒律?開立法は(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3を利用すると求まる(擦るとも灯る) 19:03
3乗根は超越数というのは本当です!!!でもx^3-23=0という方程式の解ですね。超越数の定義が違うということでしょうか?真です。 5:31
3:09 ここカッコ良すぎる
Wallis積を拡張してみました。 k=0,12,3...... a1=1+x/(2*k+1) a2=1+x/(2*k+2) A(k)=a1/a2 P(x)=A(0)*A(1)*A(2)*........(無限積) とすると、P(1)=Wallis積は自明 レムニスケート周率=ω =2.62205755429.....とすると、 P(0)=1, P(1/2)=ω/2, P(1)=π/2, P(3/2)=3*π/(2*ω), P(2)=2 結局,Γ(x)=ガンマ関数として、 P(x)=sqrt(π)*Γ(1+x/2)/Γ((1+x)/2) となって、関数等式 P(x+2)=P(x)*(x+2)/(x+1) を満たします。 積分表示は P(x)=∫(1/sqrt(1-t^(2/x)))*dt 積分範囲 t:0→1 です。
チャンネル名の内容が面白そうすぎる
タイトルを見て危うく心停止するところだった。 「トーナメントでの試合の数」でなくて、 「トーナメント形状の場合の数」なのか。
17:17 式の前半部分のT{n+1}自身が2乗じゃないので2W{n}に一致しないのだ
本当だ。間違えてますね。T_{n+1}を2乗したのが正しい式です。
カタラン数に出てくるコンビネーションはnが大きいところでの振る舞いを鞍点法で近似できる 円周率の計算精度が多少向上するかも
微分を他人に教えていた時「hを限りなく0に近づける」を「hを0にする」と理解する人がいて、なかなか理解出来ない人がいました。 数学など理系科目も言語能力が関係して、クリアに見えて理解出来るのか、ぼやけて見えて理解が進まないのかの差が出て来るのか学習の進度に関係が有るのかなと思いました。
幽遊白書型トーナメント!
カタラン数をカタランとす
akitoやん
最近蘇ったやつやん
変な近づき方する感じがニュートン法っぽいなと思ったらニュートン法の特殊な場合として見なせるのか
罪な男sin次郎
高校3年生ですが1番好きな公式です!ちょっと前に証明を理解してみたんですが、長すぎて5時間ぐらいかかりました…wでも大学数学使いそうなのに高校数学で証明できるのにはすっごい感動しましたねー
私が大学生だった時に、理学部物理の統計物理の講義でこの公式を証明せよという課題があり、私は主さんの証明とガンマ関数を用いた証明を提出しました。15年前ですが、懐かしいですね。物理だと大抵n! ~ nlog(n)-nで済んでしまうのでそれでは不十分な点まで指摘してくださって嬉しかったです。
eの肩の-1/(12n)を、次のオーダーの-1/(12n) -1/(360n^3) までとったらどうかな
10倍で3桁みたいですよ
とあるアルゴリズムの本の円周率・ネイピア数・階乗の部分で紹介されていて式自体は知っていましたが、収束がここまで遅いのは初めて知りました。
すごくすごく分かりやすい。 昔のパソコン雑誌で円周率を求める企画だと、たいていこの公式を使っていましたね。
7:00のところがけっこう強引?なので、現代の教科書では直接 (sin θ)^n の積分(または(cos θ)^nの積分)をI_nとおいてウォリスの公式を証明しますが、唐突すぎるのが気持ち的に嫌ではありますw。 I_n = 2B((n+1)/2, 1/2) なので( B(a,b)はベータ関数)、I_nの漸化式はベータ関数の漸化式(というかガンマ関数との関係)の特別な場合とみなせば、唐突さが減って自然に思いつきそうな感じにはなりますが……(円だけでなく球やn次元球に関する積分も、みなガンマ関数・ベータ関数に帰着する)。 ところでウォリスの公式を変形すると { (n!)^2 / (2n)! }・2^(2n) ~ √(nπ)となり(「~」は比が1に近づくという意味)、この左辺は「2n回の硬貨投げで表がn回出る確率」の逆数です。
ずんだもんが解説側なの珍しいかも!
この動画のサムネを作るために小泉構文って誕生したみたいだな。
いつも本当に勉強なっております! ただ一つご指摘したい箇所が。。 内角正多角形のA2Bを求める式で、A2B^2+(√4-A1B^2+2/A1B^2)A2B^2=4 の式の()内の分母A1B^2ではなく、A1Bになると思います。ずっと解けず悩んでおりましたがようやく間違えに気づくことが出来ました。
19:10 あたりですね。ご指摘ありがとうございます。
数学的な公式と計算機で精度良く計算するのはまた別の技術が必要なんですよね
アルキメデスによる円の面積の求め方は修正すれば正しいと言える。 まず、Tnの面積はわからなくて良い。 集合の包含関係よりSn≦S≦Tnと言える。 正n角形の面積の差Tn-SnにはTn-Sn<(外接多角形の周長)×(1-cos(π/n))という不等式が成り立っており、 外接多角形の周長が高々有限であることから、 n→∞とするとTn-Sn=0に収束することが分かるので、TnとSnは共にSに収束することが分かる。 すると、Snの収束先だけを問題とすることが出来る。 ここで一般に弧長は線分で近似した時の長さのsupと定義されることから、内接正多角形の周長はπに収束すると言える。 よって、S=S∞=πr^2としてよい。
> 弧長は線分で近似した時の長さのsupと定義されることから、内接正多角形の周長はπに収束すると言える。 この定義からは内接正多角形の周長の収束先が ≦ π であることしか従わないので、= π であることを何らかの方法で示す必要があります。
ほとんど必要のない議論をしてました、核は集合の包含関係です。 元のコメントより、S<Tnと言えます。 これは外接正多角形の周長が円周より長い事を動画25:10辺りを参照すると意味しています。 弧長の正確な定義を使うなら、 背理法を使い「内接正多角形の周長の収束先が内接多角形の周長のsupより真に小さい」を仮定する。(内接正多角形の周長は辺の数について狭義単調増加を使っている。) すると、内接正多角形の周長のsupより周長の長い内接"非正"n角形Aがとれる。内接正多角形の周長の収束先とAの周長の差をεとする。☆1 Aの一つの頂点と少なくとも一つ頂点が重なるように内接正m角形S_mを描く。 そのAとS_m両方の頂点をすべてつないで内接多角形B_mとすると、 B_mは集合として真にAとS_mを含み、AとS_mよりも真に周長が長い。☆2 S_nを相似拡大して円を内接するように外接正m角形をT_m取ると、 B_mの辺はすべて集合T_m\S_mに含まれる。 ここでmを十分大きくしたうえで、円の中心からT_mの頂点に向かって線を引き集合T_m\S_mを分割すると B_mの辺がどの様になっているか、次の二パターンに分かれる。 ①中心から引かれた線の内部の点から隣の中心から引かれた線の内部の点への線分で、T_mやS_mの各辺と平行 ②中心から引かれた線の内部の点から隣の中心から引かれた線の内部の点への折れ線(但し折れ目は一つ) ②のパターンはn個以下で、①のパターンはm-②のパターンの数となる。 S_mの辺の長さ<①の線分の長さ<T_mの辺の長さであり、 S_mの辺の長さ<②の折れ線の長さ<2*√(T_mの辺の長さ/2)^2+(1-cos(π/m)^2) さらに、T_m:S_mの相似比は1:cos(π/m)である。 よって、m→∞とした場合のB_mの周長の収束先はS_m,T_mの収束先と同じとなる。 つまり、任意のεに対し、十分大きなmをとればAの周長-S_mの周長<B_mの周長-S_mの周長<ε/2とできる。(☆2による) ☆1との矛盾が示せたので、内接正多角形の周長の収束先は”内接多角形の周長のsup”つまり2π*円の半径である。
丁寧な返信ありがとうございます。証明は正しいと思います。 ただ、前半のこの部分が気になるのでコメントします。 > これは外接正多角形の周長が円周より長い事を動画25:10辺りを参照すると意味しています。 外接正多角形の周長が円周より長いことは |h| < |tan h| と (文脈的には) 同じ意味であり、これは非自明で、動画中では証明していません。(円の面積がπr^2であることを用いた "証明" はしていますが、これを使って円の面積を求めると循環論法になります。) 循環論法を抜け出すには、円周の長さに何らかの方法で直接的に向き合う必要がある、というのがこの動画の主旨で、証明していただいたような、「内接正多角形の周長のsupがπである」を示すのも解決方法の一つです。
確かにマズい論法かも知れませんね。前のコメントの様な方法で示せる可能性はありますが… 曲線の長さを取り扱う以上、線分近似か積分を持ってくる必要があるのかもしれません。
証明に穴を見つけたので補足します。 ①のパターンは並行と限りません。 よって、長さを抑える不等式を書き直す必要があります。 ①のパターンの長さ<√(T_mの辺の長さ)^2+(1-cos(π/n))^2 と言えて、まぁ結果は同じです笑
全然わからないけど認めることにします(笑) でもとても有意義な動画だと思う、大学の教科書になってもいい内容だと思うの。
これは素晴らしすぎる…!!! なかなか解説してる動画無かったから有り難いです…!!!
小学生の時はなぜ超越数が有理数のatanの多項式(たかだか2項)と等しいのか不思議に思ったものだ。
レーマーといえば、メルセンヌ数の計算機による素数判定に使われているリュカ=レーマーテストが浮かびますね。レーマーがリュカのテスト法を改良して2^257-1が素数でないことを確かめたとき、卓上計算機を毎日使って約1年かかったそうです(電子計算機ができるや、1分もかからずに終わった)。
需要しかないです。
おい、数学は上辺だけじゃねえぞ
そろばんの天才とコラボして何分で計算できるかチャレンジしてほしいな
循環論法を直接Sinxを別アプローチから導出して解決するの思い切ったわかりやすさがあって良い
マチンの公式は金田康正先生の本で紹介されていて、最初に覚えた円周率の公式です。 C言語やFORTRAN77の本でコードが紹介されていたり、最近ではPythonを用いたアルゴリズムの本でもマチンの公式のコードが紹介されているはず。今まではコードをそのまま書き写して計算させていましたが、この様な式がどの様に成立したのか勉強になりました。
すごいなあ…人間技とは到底思えない。
オイラーは言われた、「分子と分母は一つ所に集まり、かわいた数で現れよ」。このようになるのだ。
三周率、回転体、推測。
オイラには分かんない。
交代級数の収束改善もしくは、解析接続には、以下の公式が便利かと思います。二重シグマです。 C(n,k)=二項係数,b=1,s=1, n=0→∞ Σ[((-1)^n)*A(n)]= n=0→∞ (左のΣ), k=0→n(右のΣ) Σ[((1/(s+b))^(n+1))*Σ[C(n,k)*(b^(n-k))*((-1)^k)*A(k)]] たとえば, A(n)=1/(2*n+1)のとき,ライプニッツ級数の収束改善 A(n )=(1/(n+1))^zのとき,η(z)の全複素平面 zへの表示 ただし,リーマンゼータ ζ(z)として, η(z)=(1-2^(1-z))*ζ(z) です。
『なんでこんなことを…』って思っちゃうものなんですね。なんかちょっと安心したというか…😅
演算子と、このようにな~でもうわからない(笑)
凡人から見て天才としか思えない数学者たちは、耳が聞こえなくなったときに、これで、計算に集中できる、と思えるくらいの、がちの数学脳なんだろうなあと思う
「このようになり」がゲシュタルト崩壊しそう😢
円の面積なら 2πxdx で0からrまで積分するのが一番わかりやすいと思ってたけど、あやしかったのね。 結局、厳格な円の面積の証明って出来てないのかな? すみません。この程度です。
途中から、眠たくなって来たのだ❗
いいね!
ネットで検索すれば何百万桁でも出てきますよ。