Ускорение при криволинейном движении
Vložit
- čas přidán 7. 08. 2023
- В ролике вводится понятие о тангенциальном и нормальном ускорении, а потом из физических соображений находится локальная кривизна некоторых линий - траекторий движущихся точек.
Ключевые слова: тангенциальное ускорение, нормальное ускорение, парабола, циклоида.
Новосибирский Государственный Университет
Физический факультет НГУ
www.nsu.ru/
Коллеги, спасибо огромное за видео! Очень нужное, особенно в свете обновления кодификатора ЕГЭ
Бомбический видосик! Спасибо, господа.
Только добавить нужно - "движение без проскальзывания "... Далее , скорость в каждой точке можно рассмотреть как сумму скоростей поступательного и вращательного дв-я , а в верхней точке они равны ! Равны и ускорения просто по окружности и по циклоиде! Отсюда R = 4 r...
Спасибо автору ❤
Есть две системы отсчёта: связанная с центром колеса и связанная с землёй.
Нормальные ускорения в этих системах одинаковые, так как центр колеса не изменяет свою скорость (т.е. в принципе ускорения точек в этих системах одинаковые).
Скорость верхней точки колеса в с.о. земли = сумме скорости центра колеса и скорости в подв. с.о.
v' = v + v = 2v
Нормальное ускорение:
a_n = v²/r = v'² / r' = (2v)² / r'
Итого:
r' = 4r.
Наверное, 4 метра. Допустим, колесо движется со скоростью v = 1 м/с. Тогда можно сначала найти ускорение верхней точки в системе колеса, получится а = 1 м/с^2. А затем перейти в систему отсчета, сввязанную с землей. Скорость той же точки будет 2 м/с. А значит R = v^2/a = 4 м.
Получается так, ошибки не видно. Такой ответ противоречит привычной идее, что колесо как бы поворачивается вокруг точки контакта с дорогой
Что? Через ускорение? Ну да, круто, физично даже.
Интересный вопрос! Напрашивающийся первоначальный вариант ответа состоит в том, что мы всегда рассматриваем точку касания поверхности окружностью, катящейся без проскальзывания, как мгновенный центр вращения. В этом случае, казалось бы, радиус кривизны траектории движения верхней точки должен быть равен удвоенному исходному радиусу. Ан, нет! Оказывается, что для расчета мгновенных скоростей разных точек окружности, использование мгновенного центра вращения является правильным, а вот для определения радиуса кривизны их траекторий этот приём совершенно не подходит! Я раньше над этим не задумывался.
Аааа, во как. Интересно.
Любопытно ещё посмотреть как ведёт себя в таких ситуациях рывок - производная ускорения по времени.
этот радиус можно получить из формулы
An = V^2 / R.
Тк окружность движется с постоянной скоростью, значит нормальное ускорение An постоянно в любой точке траектории.
А вот скорость точки V относительно нового радиуса (обозначим V') будет равна
V0 + Vc, где V0 - прямолинейная скорость точки относительно центра движущейся окоужности, а Vc - постоянная скорость перемещения центра этой окружности и Vc = V0, а следовательно их сумма V0 + Vc = 2 * V0.
Итого:
An дано и постоянно
V' = V0 + Vc = 2 * V0.
Тогда радиус R' кривизны в верхней точке:
R' = (V0 + Vc)^2 / An =
= 4 * (V0^2 / An) =
= 4 * R0,
где R0 - радиус катящейся окружности.
Ответ: радиус кривизны циклоиды вверху в 4 раза больше радиуса окружности.
да, вижу, уже все объяснили и намного короче, чем я))
Там будет прямая линия, центр колеса и верхняя точка обода колеса движутся с одной и той же скоростью(по величине и направлению), так что радиус кривизны бесконечен
Ответ 4 метра, так как ускорение во всех исо здесь одинаковое, следовательно потому что относительно центра колеса скорость точки ровна v а относительно земли, или точки мгновенного вращения ровна 2v мы имеем иза квадрата скорости прирост в 4 раза радиуса.. ответ мой: 4 метра
Ответ к задачке:
Предположу, что 2 м (т.е. диаметр колеса) , т. к. в любой момент времени верхняя точка вращается вокруг точки касания колеса с поверхностью.
А вот и не вращается, а движется прямолинейно параллельно земле.
Забавно, что Maplesoft заглючил при нахождении радиуса циклоиды, и предел R:=limit(dduga/dalpha,dx=0); у него равен нулю)))) где dalpha:=(arctan(tang)-arctan(subs(x=x+dx,tang))); а dduga:=(sqrt((y2-subs(x=x+dx,y2))^2+(x-(x+dx))^2)); ну и y2:=10+(10^2-(x/2)^2)^(1/2); (для радиуса = 10) Ручные наброски оказались и проще, и надёжнее )))
Ах, как же я ждал, чтобы в этом ролике разобрали мою любимую кинематическую задачу: точка движется по окружности из состояния покоя с с постоянным модулем ускорения. На какой угол она повернётся, когда достигнет своей максимальной скорости (равной, очевидно, sqrt(ar))?
У этой задачи есть прекрасное решение, которое позволяет её решить совсем без интегиирования, а ответ очень красив. Может быть, вы разберёте эту задачу, например, на математическом канале?
Такой ролик у нас уже есть: czcams.com/video/gR5xgx8x8ZY/video.html
В видео про маятник поучительно было бы ещё из вектора ускорения вычесть постоянный вектор g
В любой момент времени вершина окружности следует по траектории параллельной поверхности по которой катится окружность.
Если окружность катится по прямой, то и радиус будет бесконечным.
"радиус кривизны циклоиды в её верхней точке"
Андрей Иванович, Алексей Александрович, здравствуйте!
В дополнение к роликам о криволинейном ускорении и вращающемся седле есть такое наблюдение. Шарик по вогнутой сферической (неидеальной, конечно) поверхности катится со все нарастаюшей элиптичностью траектории. Как это можно простыми словами объяснить? Это несоответствие между скоростью проекцией силы реакции и радиусом?
Можно ли сформулировать условия “устойчивого“ движения при наличии потерь, или "скатывания по спирали"?
Наблюдение для размышления по теме. Замечал, что поверхность воды в стакане, стоящем на качающихся качелях, остается параллельной дну. Почему так получается?
Вода стремиться занять такое положение, чтобы еë поверхность была перпендикулярна вектору ускорения (это вполне очевидно. В противном случае, когда поверхность воды не перпендикулярна этому вектору, вода, что находиться выше по направлению сего вектора переместиться под силой этого ускорения)
@@alexkuznetsov4254 Это понятно. Но почему вектор ускорения перпендикулярен плоскости сиденья? Есть переменное ускорение качелей (то, что показано в данном ролике векторами) и вдобавок постоянное ускорение g. Сами по себе они в общем случае не перпендикулярны сиденью. Очевидно ли, что их сумма перпендикулярна?
вода слишком инертная и липкая, поэтому в моменты невесомости вода не вываливается из стакана.
@@nRADRUS Стакан наклоняется вместе с качелями. Если с такой же скоростью наклонять стакан просто держа в руке, поверхность воды успевает наклоняться относительно дна. А на качелях не наклоняется.
Если бы стакан был, условно говоря, размером с качели, то ситуация бы была ближе к "поворачиваем стакан в руке со скоростью качелей" и было бы чёрти что.
А так если стакан размером с сиденье, то его движение такое же как у сиденья, и перегрузки, которые испытывает вода в нём, такие же, как у сиденья. Если они в данный момент делают низ сиденья в таком-то направлении, оно в этом направлении отвисает от сиюмоментных перегрузок, то стакан в тех же услорвиях с теми же перегрузками будет ощущать низ в том же направлении.
Другими словами можно сказать, что ускорение минус g всегда направлено по направлению подвеса (потому что сиденье на нём отвисает), по этой же причине ускорение минус g перпендикулярно уровню воды, значит он перпендикулярен воде.
Закавыка задачи состоит в том, что так и тянет сказать 2м, т.к. в верхней точке радиус её поворота это диаметр колеса, т.е. 2м. Но это не совсем так, хоть и умозрительно это представить сложно. Скорость точки в ВМТ тоже будет вдвое выше, относительно поверхности. Так что в ВМТ точка движется по дуге 4R, а не 2R.
Что есть ВМТ?
@@nahumgromov5099 Верхняя Мёртвая Точка, не совсем применимо для данного примера, это так, больше жаргон.
удвоенная горизонтальная скорость х2 , но вертикальная скорость снижения остаётся от обычного колеса. R=x^2/y; поэтому числитель распухает в 4 раза относительно знаменателя. Конечно умозрительно сложно, лучше рисовать дуги и треугольники на бумаге.😵💫
точка в момент ее нахождения на самом верху описывает окружность относительно точки, которая в этот момент в самом низу соприкасается с землей (так как она в этот момент неподвижна, то все колесо крутится вокруг нее). Получается радиус циклоиды в верхней точке равен диаметру колеса, то есть 2м ?
Было бы неплохо, если бы рассказали, как происходит ускорение человечка в ролике Алана Бекера "Анимация против физики", когда он с помощью веревки и скатывания большого шара раскручивается до большой скорости на ветке дерева. Не пойму, как происходит увеличение скорости, ведь ускорение, придаваемое веревкой, всегда перпендикулярно скорости человечка, а значит, работа над ним не совершается и он не должен получать энергию и соответственно скорость. С другой стороны, человечек в начальный момент обладает определенным моментом импульса. Постепенно, радиус вращения уменьшается. Что при этом происходит с моментом импульса? Система человечка не замкнута, ветка и веревка является для человечка внешними телами. Веревка создаёт нулевой момент относительно центра вращения, а значит момент импульса человечка должен оставаться постоянным, но при этом при уменьшении радиуса вращения должна расти линейная скорость человечка. В пределе при уменьшении радиуса вращения до нуля скорость должна устремиться в бесконечность, но ведь такое невозможно, например, по тому же закону сохранения энергии.
Спасибо за видео и задание.У меня такой вопрос: Как определяется время спуска шарика по перевёрнутой циклоиде на заданном участке пути, т.е. не время полного движения, а на вольно взятом отрезке этого спуска? Нигде не могу найти способ этого решения... Кто откликнется,тому заранее благодарен!
Точка основания колеса является мгновенным центром вращения, и все точки вертикального диаметра движутся по окружностям с центром в этой точке. Значит верхняя точка движется в этот момент по дуге с радиусов R равным диаметру колеса d.
только для горизонтального движения там мгновенный центр вращения. поэтому ошибка.
@@nRADRUS да. я уже почитал комменты. Радует хоть что я далеко ни один так ошибся
4 м
Радиус будет 2.
Источник: построение в автокаде математически гигантского но практически миниатюрного участка циклоиды в 4° поворота образующего колеса
Перепроверьте. Возможно вы его просто вращали относительно точки касания, но не катили.
ну интересно однако
при повороте на 1* радиус стал 4.015
поворот именно колеса, строится колесо лежащее на линии, от отвесного радиуса откладываем радиус повернутый на нужный угол, находим +/- точку будущего касания на колесе и на "земле", поворачиваем колесо, соотносим точки касания, смотрим как сместилась отмеченная точка на самом верху, отражаем её по Y, дуга по трём точкам - смотрим свойства
Как я почитал комментарии, что исходя из скорости в различных системах отсчета связанных с осью колеса и поверхностью Земли, радиус кривизны равен 4 умножить на радиус колеса.
2 метра.
Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен
4rsint/2
соответственно стремится к бесконечности
Никогда не понимал эту тему. Почему ускорение направлено в центр окружности, если на тело действует сила стремящаяся выкинуть тело из окружности?
Потому что никаких сил "стремящаяся выкинуть тело из окружности" нет. Всё ровно наоборот. Тело хочет двигаться равномерно и прямолинейно по своей геодезической линии в 4х-мерном пространстве-времени. Но оказывается что есть что-то (в данном случае упругая твёрдая связь с центром окружности) что меняет направление движения тела. Вот эта сила и приводит к ускорению в направлении центра окружности. Второй закон нашего дорогого Ньютона, однако.
@@user-nx7ut7xq5x в ускоренной СО гравитационные поля таковы, что геодезическая кривая, время замедленно (что доказано, и поэтому подтверждает правильность рассмотрения). Тело прижимается гравитацией, а опора к телу прижимаются упругой связью с центром. Разумеется гравитация стремиться выкинуть тело из окружности. И ускорение свободного падения Же принято направлять куда? Вниз! Так и ускорение свободного падения из окружности можно направить наружу, традиционное направление для гравитационных ускорений, так сказать.
@@user-nx7ut7xq5x но почему это называется ускорением? Если тело движется равномерно по окружности, откуда ускорение? Ускорение - это быстрота изменения скорости. У нас меняется только вектор. Разве не будет правильно говорить центростремительная сила?
@@ivan._._ меняется вектор скорости, да, его изменение - ускорение (лучше термина для производной вектора скорости не придумали).
На тело движущееся по окружности действует центростремительная сила, да.
@@user-nx7ut7xq5x в таком случае как обьяснить разрыв упругой связи при увеличении скорости движения тела по окружности? Центробежные силы миф или реальность))
Меня давно мучает парадокс.
V=амега* R
a=V*V/R
Тогда a=амега*амега*R
И вуаля фокус-покус!
Из последнего значит, что при увеличении радиуса центробежное ускорение растет, а в пределе бесконечно при прямолинейном движении.
А при равномерном движение по элипсу - возникает ли ускорение в каой либо точке?
2:40 ну это нормаль в плоскости. в 3д ещё появится бинормаль! хмм, бинормаль наверное можно определить через векторное произведение двух скоростей в дельта-окрестности...
Надо уточнить определение ускорения.Ускорение это измененение скорости по велечине или по направлению или и то идругое.Если по направлению, то применять слово "ускорение" не уместно. Источником движения с ускорением является сила.Если она меняет свое напрвление, то тело движется по вектору силы.Вектора скорости и ускорения напр8авлены вдоль вектора силы и ускорение нужно вычислять на минимальном отрезке, который условно можно считать прямым.Определение центростремительного ускорения без движения к центру это неправильно. КУДА ДВИЖЕМСЯ ТУДА И УСКОРЯЕМСЯ.Вычисления вектора центростремительного ускорения при нулевом отрезке времени то же абсурд. При нулевом отрезке времени нет никакого ускорения, так как скорость не меняется и поэтому прохождения этого вектора через центр окружности невозможно.
разложите по осям - получите упрощённые определения, если так удобнее.
как ни раскладывай ,а вектор ускорения не пройдет через центр если есть движение и течение времени. При нулевом отрезке времени -- покой.@@userbill3236
Спасибо, интересный ролик, еще бы про силы рассказали, центробежные и центростремительные.
А кривизна циклоиды наверняка равна нулю в верхней точке, поскольку при приближении с двух сторон перпендикуляров к кривой в пределе будут пересекаться где то на бесконечности. На участке прохождения верхней точки, она скорее не поворачивается вокруг диаметра, а как бы протаскивается.....но в любом случае больше 2 метров.
Задача: Планета движется вокруг звезды. Аномальный сдвиг перигелия составляет 43" за сто лет. Найти тангенциальное и нормальное ускорение вызывающее этот аномальный сдвиг. Кто решит, тот будет удивлён результату.
Изложение очень качественное. Если бы нас так учили в школе, то половина выпускников школы стали бы Ньютонами.
Если бы ученики ещё слушали...
Да нормально учили. Просто слушать не хотели, а теперь отмазки лепят типа что-то не так было. Чтобы стать "ньютоном" надо до таких выводов вообще самостоятельно допирать мозгом. Это не так сложно
@@sanchesseli В советской школе учили неплохо, а про нынешнюю ничего не скажу, потому что не знаю.
@@sanchesseli я сменил три школы из-за переездов. В двух учительницы были злобными бабушками, которые откровенно отыгрывались на учениках за свои личные проблемы. В последней школе учительница была доброй, но больше половины занятий мы слушали смешные истории из ее семейной жизни с мужем, а не физику.
В 25 лет я уже сам захотел ее изучать, заново сдал ЕГЭ и ушёл учиться в вечерку одного известного физмата.
Так что подтверждаю - учителя с таким подходом и любовью к природе, как Андрей и Алексей, способны подарить стране много сильных инженеров и выдающихся учёных.
Ну допустим 4R. Но какой практический смысл имеет радиус кривизны траектории? Эти расчёты вообще можно подтвердить прямым измерением? Радиус нужен чтобы вычислить ускорение, а чтобы вычислить радиус пришлось считать ускорение...
Про практический смысл говорить не буду, но насчёт прямого измерения - можно прикладывать разные окружности в этой точке, какие-то будут мельче и внутри траектории (около этой точки), какие-то - крупенее и вокруг траектории. Радиус, когда мы из одной ситуациии к другой переходим - это наш радиус кривизны.
2 метра радиус кривизны в вопросе
А куда направлено ускорение при движении точки по эллипсу?
к одному из фокусов наверное
уже ответили - радиус кривизны равен диаметру колеса
А что про ускорение ускорения?
Есть и такое. Если сила, приводящая в движение тело, сама изменяется со временем линейно, то будет ускорение ускорения. А если нелинейно, то возможно ускорение ускорения (любое число раз) ускорения.
А что про ускорение ускорение (ускорение) ускорения? до бесконечности. думаете я шучу? не! в кинематике остановки\трогания это очень важно.
@@nRADRUS , так и я не шучу. Получается не тронутся, не остановиться! Нужно бесконечное ускорение.
Математика в студию, что там с пределами бесконечных, суммами рядов!
Не, ну я специально в комменты зашел чтобы увидеть кто циклоиду точки рассчитал 😂
Что же всё таки такое притяжение?
R -> ∞
Если колесо пустить по воображаемой точке то очевидно 4r
Что-то подсказывает, что в верхней точке циклоиды радиус будет бесконечным.
Два метра
У циклоиды нет радиусов. Это кривая, которая непрерывно меняет кривизну. А если мы рассмотрим производную в верхней точке, то получим прямую.
вырезать шарик 10см, нарисовать циклоиду, измерить радиус, увеличить в 10 раз.
Радиус равен бесконечности, так как в пределе движение точки прямолинейно
а хотите крамолу? в точке - нету кривизны! ;)
получается и электрон не может лететь по дуге, потому что он точечный.
Авторы уже полностью перешли на околошкольные образовательные темы. Это резко снизило интерес к этому сайту. Попросим авторов не опускать тематическую планку столь низко, и хотя бы половину или четверть своих видео посвящать более продвинутым и интересным экспериментам и явлениям!
Судя по разным ответам в комментах на один вопрос, тема сложная.
описание канала прочитайте ещё раз.
Здесь рассматриваются вопросы элементарной физики и несложных экспериментов.
Судя по стилистике канала, целевая аудитория - старшие школьники и зеленые студенты.
Вроде даже сами авторы где-то говорили, что не ожидали внимания к своим видео от уже состоявшихся инженеров и физиков. Но это лишь характеризует качество объяснений авторов и оригинальность многих вопросов, которые здесь рассматривают.
Если хочется что-то сложнее - всегда можно посмотреть Гервидса и его опыты.