Teoria dei numeri - Problema 7
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- čas přidán 3. 01. 2022
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Ineccepibile... mi associo
scarica di adrenalina pazzesca quando ho visto che non solo mi è venuto il problema ma ho anche trovato una risoluzione molto simile alla tua xD.
Bel video e problema molto carino!
Il mio ragionamento è stato questo... Sono partito dal fatto che (n-1) debba essere un quadrato perfetto (altrimenti non se ne esce) e quindi n deve essere scrivibile nella forma n=m^2 + 1. Fatto ciò ho sostituito (m^2+1) al posto di n nell'espressione e quindi (con le opportune semplificazioni) si ottiene l'espressione: m+8/m. Quindi i soli valori di m possibili sono quelli che rendono intera la frazione 8/m e cioè: 1, 2, 4 e 8. Perciò i possibili valori di n sono: 2, 5, 17 e 65.
Molto bello. Non mi erano mai stati sottoposti esercizi simili. Avevo individuato come impostare il ragionamento, partendo dal denominatore. Ma non avrei mai pensato a quella scomposizione del numeratore. Pensavo a delle matrici per distinguere quando N e D fossero pari o dispari, ma non avrebbe portato ad alcun risultato. La scomposizione che effettui somiglia molto a delle tecniche che si usano per gli integrali fratti, l'esercizio stesso richiama un po' la formula dell integrale dell arcseno (anche se lì è 1- x^2 sotto la radice).
Molto carino. Buon anno!
Pongo n-1=x al quadrato. Da cui n= x al quadrato +1. Sostituisco n. Al numeratore ho x al quadrato+8 e al denominatore x. Perciò x deve essere un divisore di 8. 1, 2, 4, 8. Dai qui n= 2, 5, 17, 65.
Anche a me è venuto spontaneo fare così, ma alla fine dei conti è esattamente la stessa soluzione proposta nel video, semplicemente con nomi diversi :)
Questo è il mio ragionamento prima di vedere il video, spero di non aver fatto errori dovuti alla tarda ora:
C.E. n=/=1
È necessario che al denominatore ci sia un intero positivo, dunque n-1 deve essere NECESSARIAMENTE un quadrato perfetto.
Il Ragionamento che ho fatto è considerare n=(m^2)+1 (ovviamente m lo considero solo per valori interi positivi, non avrebbe molto senso altrimenti), e ottengo (m^2 +8)/sqrt(m^2), che, semplifico come (m^2 +8)/m.
Posso semplificare ulteriormente come ([m^2]/m)+(8/m).
Elidendo trovo m+(8/m).
Il che mi fa trovare i valori di m che soddisfano la richiesta sono i sottomultipli di 8, ossia 1, 2, 4, 8.
Ricavo i valori di n, e trovo che i valori di n sono 2, 5, 17, 65.
Edit: sono fiero di me
Buonasera a tutti, sera prof. le faccio tantissimi auguri di buon anno a lei e alla sua famiglia, che sia un anno più sereno per tutti, like ed ora video, devo recuperare qualcosa ma recupero... ☺☺👋
Mi associo agli auguri e ai ringraziamenti. 👍
Grazie ragazzi, tanti auguri a voi
@@ValerioPattaro ho 48 anni, grazie anche per il "ragazzo" 😂😝😝
Elegante!
Bello!
Perfetta la risoluzione ed elegante ... io da informatico ho impostato un semplice programmino java con un ciclo passo 1 da 1 a un numero molto alto ... si calcola il risultato e le uniche soluzioni intere sono appunto n = 2, 5, 17, 65 ... ovviamente non è rigoroso ma su questi problemi numerici tendo sempre a far fare il lavoro sporco al PC :):) ...
Secondo me è un approccio pericoloso. Ci sono task che sono particolarmente inefficienti da far eseguire al computer quando un semplice ragionamento può portare ad una soluzione esatta, certa e con pochissimi calcoli. Ci sono casi in cui far calcolare direttamente il risultato alla macchina è l'unica soluzione, altri dove il ragionamento potrebbe far risparmiare minuti di lavoro al pc.
Ok il programmino. Ma mai fidarsi delle prime k prove... comunque anche il programmino può ispirarti la soluzione esatta
ancora un bell'esercizio i cui "travagli' risolutivi attestano quanto la scuola dovrebbe cominciare a insegnare la Matematica come una (la) disciplina teorica.... invero con un minimo di teoria saprei che:
a) solo i naturali quadrati hanno radici quadre naturali, ergo n-1=h^2, i.e. n=1+h^2 (certo un narurale n+7 non e' multiplo di un'irrazionale😁)
b) n+7=8+h^2 dovra" essere multiplo di h; con una minimalita' di cognizioni sul teorema QuozienteResto e sulla costruzione dell' ideale , si determinerebbe che cio' accade se e solo se h stesso e' un divisore di 8, ossia per h=1 2 4 8
Di qui si risalirebbe ai valori di n
Non ho ancora visto il video, ma dando un'occhiata il primo numero che potrei mettere è 5, dato che 5+7=12 e 5-1=4, sotto radice, quindi sarebbe 2, e la frazione verrebbe 12/2, perciò 6, che è un numero intero
Modifica: sono rimasta sorpresa dal fatto che le soluzioni fossero effettivamente solo 4, non avendo ancora fatto l'argomento a scuola devo rivedere il video un paio di volte per capire meglio, ma è una spiegazione veramente chiarissima e facile da capire :)
e vorrei sapere se c'è qualche sito online per poter fare operazioni del genere, mi è sembrata veramente interessante e vorrei esercitarmi. Grazie mille in anticipo!
In pratica la soluzione di una equazione con gli interi... non ha metodi che vanno bene per tutte le equazioni... serve un po' di inventiva e di esperienza... questa è la vera matematica. Non quella che spesso si fa al liceo... che comunque serve come base di partenza
Cavoli, io abituata a farli nello stesso modo non ho pensato a questo ragionamento. In pratica ho posto la frazione uguale ad m, elevato e moltiplicato per togliere il denominatore, portato tutto da una parte e risolto l’equazione di secondo grado in n, ponendo il Delta uguale ad un quadrato perfetto si arrivare a trovare tutte le soluzioni a ed m tali che (a-m)(a+m)=2^5, (dove a*m sarebbe il valore della radice del Delta), trovate queste si trovano anche gli n e si verifica funzionino. Però devo dire interessante vedere anche un modo direi molto più rapido, bello!
Magnifica dinostrazione
Radice di (n-1) deve essere maggiore di zero e intero perché n+7 è intero; n-1 deve essere un quadrato intero e posso costruirlo imponendo n=x²+1 con x intero positivo. Riscrivo la formula iniziale sostituendo n con il valore imposto e calcolando il divisore e ottengo (x²+1 + 7)/x cioè (x²+8)/x cioè x+8/x e siccome tutto deve essere intero positivo anche 8/x deve essere intero cioè x deve essere divisore di otto, quindi x = {2,4,8} ; alla fine siccome n=x²+1 allora n ={5,17,65}...
Ora guardo il video. (Buon anno nuovo - speriamo)
...visto il video😜
.... Già dimenticavo che anche 1 è divisore di 8 e quindi n ={2,5,17,65}
Complimenti
@@ValerioPattaro grazie
Si, avevo pensato anch'io a questo approccio. Secondo me è più semplice
Mi sta ancora uscendo il cervello dalle orecchie 😁 comunque alla fine ho capito , ottimo metodo , e l'unico che conosco , la teoria dei numeri è molto interessante ma complessa ✌
Perchè richiede più inventiva della matematica liceale, credo
N > 1
Non avevo idea di come iniziare poi ho dato una sbirciatina alla sua dimostrazione e quando ho sentito la frase del provo a trasformare n+7 in rapporto a... Li ho capito, peccato.
Bel problema comunque mannaggia ai numeri che sembrano da elementari
andando a sostituire con k^2=n-1 si otteneva (k^2+8)/k, separando la frazione k + 8/k, l'unica condizione per avere soluzioni è che k sia un divisore di 8 quindi otteniamo come soluzioni k=1,2,4,8,-1,-2,-4,-8. Per ricavare n basta sostituire questi k in k^2=n-1 e otteniamo che le soluzioni sono n=2,5,17,65
Un'altra strada simile è mediante una razionalizzazione.
Io ho risolto elevando la frazione al quadrato ed uguagliandola ad X^2, con X intero positivo
A questo punto abbiamo una equazione del secondo ordine in n ed un parametro X.
Risolvendo la quadratica per n la soluzione della quadratica ha ancora un temine sotto radice che è X^2-32.
Possiamo verificare i valori di X per cui la radice risulti un intero positivo con l'equazione X^2-32=a^2, con a intero positivo.
Riarrangiandola esce fuori il prodotto notevole (X+a)(X-a)=32, dato che sia X che a sono interi positivi la loro somma e la loro differenza sono interi positivo (se X>a).
Le possibili soluzioni a questa equazione si ricavano scomponendo 32 nel prodotto di due interi e sono:
X+a=32 ; X-a=1 => X=33/2 NON ACCETTABILE
X+a=16 ; X-a=2 => X=9
X+a=8 ; X-a=4 => X=6
sostituendo X nella equazione (n+7)^2=(n-1)*X^2 e risolvendo per n si ottengono i 4 valori di n che risolvono il problema
ammetto che questo metodo è alquanto più complicato XD
Io sono giunto alla medesima soluzione, per via diversa. Provo a sintetizzare, anche se sono in difficoltà utilizzando i caratteri di stampa.
1) n+7 deve essere un multiplo di rad(n-1), ossia
n+7=k*rad(n-1) per qualche k intero
2) Dunque trovo i valori di n soluzione dell’equazione irrazionale precedente, per qualche k intero positivo. Elevando al quadrato a dx e sx dopo alcune semplificazioni si giunge all’equazione di secondo grado in n
n^2+(14-k^2)n+49+k^2=0
3) Risolvendo con la formula e semplificando, le soluzioni sono (scusate l’orribile notazione)
n=(k^2-14 +- k*rad(k^2-32))/2 (**)
4) Cerchiamo quali valori interi di k consentono di determinare valori interi di n.
Ovviamente rad(k^2-32) deve essere intero (k è intero, e se rad(k^2-32) non lo fosse, il numeratore della (**) non potrebbe essere intero, e dunque neppure i valori di n dati dalla espressione)
5) Se rad(k^2-32) deve essere intero, allora k^2-32 è un quadrato perfetto.
6) Esaminando i primi valori di k, osservo che questo avviene se k=6 (6^2-32=4) e se k=9 (9^2-32=49)
7) Ho osservato che se k=10,11,12,13,14, 15, 16,17 l’espressione k^2-32 non è un quadrato perfetto, e per i successivi? Osservo che la condizione k^2-32=h^2 (per qualche h) equivale a k^2-h^2=32 (per qualche h), ma i quadrati dei numeri, crescendo, hanno distanza tra loro crescente, e già 17^2-16^2=289-256=33 che è maggiore di 32.
Per nessun k>17 si ha k^2-32 quadrato perfetto. Dunque gli unici valori di k per cui n dato da (**) è intero sono k=6 o k=9
8) Sostituendo k=6 in (**) si ottiene n=17 oppure n=5
Sostituendo k= 9 in (**) si ottiene k=2 oppure k=9
9) Per scrupolo, una verifica diretta mi ha confermato la validità delle 4 soluzioni.
Poi ho osservato il tuo video, e la soluzione proposta, certamente più elegante. Mi dispiace aver reso il racconto faticoso e forse illeggibile, ma in verità, questa volta, me la sono cavata in 10 minuti circa. Ho impiegato 20 minuti per scrivere il procedimento....
Ancora grazie per il quesito stimolante, anche per chi non sa nulla di teoria dei numeri e dunque procede con strumenti matematici raccattati qua e là.
Grazie per la condivisione
Grazie per il tuo sforzo di scriverlo il procedimento
Ogni volta rimango allibito alla maestria che c'è dietro
Ragionandoci si vede che il risultato è n=2^k+1 per k=0,2,4,6. infatti il risultato della radice al denominatore in quel caso è pari a 2^(k/2) che è sempre un numero intero positivo.
Al numeratore abbiamo 2^k+1+7=2^k+8=2^k+2^3.
Svolgendo la divisione abbiamo
(2^k)/(2^(k/2))+(2^3)/(2^(k/2)).
Il primo addendo è sempre uguale a 2^(k/2) che è sempre intero fintantoché k è un numero pari, il secondo addendo invece è numero intero solo se k oltre ad essere pari è tale da essere maggiore o uguale a 2*3 cioè 6 per l'appunto.
Chiaramente però mi mancava tutto un pezzo di ragionamento per poter escludere i k non multipli di 2...:(
Tecnicamente il denominatore NON deve essere per forza intero.
Ad esempio 10 / 2.5 = 4
il risultato è intero nonostante abbiamo un denominatore con la virgola.
Bisognerebbe dimostrare che la radice di un intero non può mai dividere il denominatore in un numero intero di parti
Ma un numero intero diviso un irrazionale è irrazionale.
@@ValerioPattaro
ma un razionale non intero come ad esempio 2,5 oppure 13,125 può dividere tranquillamente un intero (13,125*8=105)
...effettivamente una radice non può mai essere razionale senza essere un quadrato perfetto e si può dimostrare ma bisognerebbe controllare (almeno una piccola citazione) secondo me
Di norma e regola le condizioni di esistenza sono queste: √(n-1)>0. Quindi n-1>0→n>1. Dato che il denominatore sta sotto una radice ad indice pari. Se avessi detto √(n-1)≠0 avrei sbagliato perché in questo caso sarebbero accettabili anche i numeri negativi, se invece avessi detto √(n-1)≥0 avrei incluso anche il valore nocivo che annulla il denominatore, quindi doppia attenzione in questi casi.
Questo ragionamento non è corretto perché:
1) La condizione di esistenza deve essere imposta ponendo solo l'argomento della radice maggiore di zero e non anche la stessa radice, dato che per definizione la radice non restituisce valore negativi
2) l'insieme di definizione in questo caso sono gli interi positivi e non i reali quindi al più il campo di esistenza è n=/=1
Il mio ragionamento è:
Se il risultato della frazione dev'essere un intero positivo allora il numeratore dev'essere per forza multiplo del denominatore.
Quindi n+7=Rad(n-1)*X , con X >0, e tale condizione è anche sufficiente perché sto moltiplicando per una quantità positiva che non cambia il segno quindi numeratore e denominatore saranno concordi.
Ora vediamo il video.
E niente ho notato che ho solo peggiorato il problema e incasinato i calcoli, però si potrebbe rappresentare graficamente il tutto XD
guarda io ho iniziato il ragionamento come te e portando avanti il ragionamento si arriva alla stessa soluzione del video.
Impostando l'uguaglianza come hai fatto tu puoi elevare ambo i membri al quadrato, ti trovi una equazione del secondo ordine in n.
A questo punto la soluzione della quadratica ha ancora un temine sotto radice che è X^2-32.
Possiamo verificare i valori di X per cui questo termine sotto radice risulti un intero positivo con l'equazione X^2-32=a^2, con a intero positivo.
Riarrangiandola esce fuori il prodotto notevole (X+a)(X-a)=32, dato che sia X che a sono interi positivi la loro somma e la loro differenza sono interi positivo (se X>a).
Le possibili soluzioni a questa equazione si ricavano scomponendo 32 nel prodotto di due interi e sono:
X+a=32 ; X-a=1 => X=33/2 NON ACCETTABILE
X+a=16 ; X-a=2 => X=9
X+a=8 ; X-a=4 => X=6
sostituendo X nella equazione (n+7)^2=(n-1)*X^2 e risolvendo si ottengono i 4 valori di n che risolvono il problema
3:40 Se proprio vogliamo guardare il pelo nell'uovo... l'affermazione "se pur avessi un tempo infinito lo impiegherei a far altro" che è una battuta non male, non è corretta matematicamente. Infatti potrei dedicare un minuto l'anno ( degli infiniti anni a disposizione ) a provare se un quadrato perfetto porta ad una soluzione... ;)
L'albergo di Hilbert
@@ValerioPattaro non sapevo che si chiamasse così... complimenti per i suoi video, ci fanno ragionare senza sapere nulla di Hilbert ( sapevo solo che è stato un grande matematico ). Grazie!
Volevo dire che il tuo ragionamento è simile a quelli fatti dal grande matematico, complimenti.
Prova a cercare l'albergo di Hilbert sul web
@@ValerioPattaro ho capito benissimo quello che lei voleva dire. Non ero ironico. Cercherò l'albergo di hilbert che non conoscevo. Grazie di nuovo, gentilissimo
Ho sbagliato a scrivere il testo, al denominatore sul mio foglio ho scritto radice di n+1….. accidenti, comunque nel mio caso trovo solo n=3, n=8 e n=35.
Resta confermata la regola che se sbagli un problema il 50% delle volte l’errore lo commetti nel copiare il testo!
Allora, premetto che non seguo il suo canale e che questo vidieo mi é semplicemente capitato tra le racomandazioni, e inoltre sto scrivendo questo commento prima di aver visto la soluzione fornita dal video. Il mio raggionamento é stato il seguente: Sia Y=√(n-1) e sia esso la radice di un quadrato perfetto ; ne ricaviamo che n-1=Y². Scriviamo il numeratore in funzione di Y e la frazione diventa (Y²+8)/Y. Scompongo la frazione e semplifico ottenendo Y + (8/Y). Y é un intero positivo per definizione , quindi la somma sarà un intero positivo se 8/Y é un intero positivo ergo se Y é un divisore di 8. I divisori di 8 sono 1,2,4 e 8. Quindi valori di n che rendono la frazione un intero sono i valori di n che mi danno come risultato uno dei divisori di 8 nell'equazione Y=√(n-1) e sono quinidi 2 , 5 ,17 e 65. Spero sia corretto.
Il suo canale sembra interessante. ( per una volta le raccomandazioni YT hanno funzionato a dovere ), Complimenti per i contenuti.
Modofica post video : Beh, la soluzione é identica se non considermiamo il fatto che ho cambiato la variabile e ho fatto 1000 giri di parole in più ahahahahahah
Complimenti
Perchè, se un caffè + una brioche costano 3,20 € e il caffè costa 2 € + della brioche, il costo della brioche è di 1,10 € e non 1,20 €. Ti ringrazio.
se il caffè costa 2€ più della brioche
e la brioche costa 1,10€
il costo totale è 1,10 + (1,10+2) = 1,10+ 3,10 = 4,20€
4,20€ non è quel che chiede la domanda.
La Brioche costa 0,60€ e il caffé costa 2,60€
... cimentarmi... ?... mi ci vorrebbero altre 7 vite solo per capire di che stiamo parlando
😂😂👍