Equazione diofantea risolta con l'ALGEBRA MODULARE
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- čas přidán 20. 10. 2022
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Complimenti. Quando studiai algebra all'università, le operazioni in modulo mi hanno sempre affascinato.
Mai studiato o sentito niente del genere . Per me una equazione con due incognite era indefinita. Grazie per aver parlato di questa branca della matematica sconosciuta ai più.
veramente ben spiegato ,spesso nei testi di teoria dei numeri non sono spiegate in modo chiaro,le ho viste applicate nella teoria dei codici,grazie
Non ricordo di aver mai studiato le equazioni diofantee (neanche ai corsi di matematica fatti alla facoltà di fisica). Molto interessante veramente!
Bello. Questa branca della matematica proprio non la conoscevo. Grazie due volte per questo video.
Mai visto niente del genere, credevo di non essere proprio una schiappa in matematica ma forse mi devo ricredere, grazie come sempre prof.
Adoro l'algebra
Ho imparato una cosa nuova
Grazie mille 🤗
Interessante, mi piacerebbe vedere qualche video di approfondimento sull'argomento.
Grazie Valerio sei sempre brillante e molto chiaro.. avevo sentito vagamente parlare di qst equazioni e finalmente ora conosco anche la tecnica risolutiva!
Davvero straordinari I segreti dell.'aritmetica
veramente interessante e affascinante
concordo...non si smette mai di imparare....poi con la chiarezza e linearità di queste spiegazioni/dimostrazioni tutto è molto chiaro e comprensibile. Bravo bravo bravo
Interessante! Sono stata insegnante di matematica ma di equazioni diofantee non ne ero al corrente. Grazie, non si smette mai d'imparare
Apprezzo la sua umiltà Signora ... esempi particolari di equazioni diofantee (o diofantine) sono il Teorema di pitagora (esprimibile come x^2 + y^ 2 = z^2) ed anche la generalizzazione che Fermat nel 1623 ne fece enunciando la sua congettura (della quale disse di avere una mirabile dimostrazione che però non poteva essere contenuta nei limitati margini del suo taccuino... ovviamente Fermat non aveva dimostrato un bel niente, aveva solamente eseguito una verifica empirica) , ovvero che x ^ n + y ^ n = z ^ n non ha soluzioni intere positive se n > 2, congettura dimostrata solamente, dopo varie false partenze, nel 1994 dal matematico inglese Sir Andrew J. Wiles
@@massimopescatori6514 visto che sei sull'argomento, ti aggiungo questa equazione diofantea:
z^(2n) - 4*u^n = v^2
con z ed u coprirmi e n > 2.
Se sei in grado di dimostrarne l'impossibilità o di trovare un controesempio e hai meno di 40 anni puoi sperare nella medaglia Fields...
Meraviglioso… Senza parole!
Ho trovato molto bello ed elegante il metodo da te illustrato che non conoscevo e come al solito ben spiegato.
Però comprendo anche l'obiezione di Gaetano Di Caprio sulla validità del metodo.
Infatti l'equazione: 6x ≡ 1 (mod 23) ha una sola soluzione perché 23 è primo.
Se non lo fosse potrebbe non avere soluzioni o averne più di una (correggimi se sbaglio).
A ingegneria io avevo studiato le equazioni di questo tipo risolvendole con un metodo
meno brillante ma più generale che qui spiego per chi è interessato applicandolo al caso in oggetto:
Prendo l'incognita col minore coefficiente e scrivo:
y = 1/23 - (29/23)x
Tolgo a y la parte intera di x (23/23) e definisco y' come:
y' = 1/23 - (6/23)x
Adesso ho l'equazione:
23y' = 1 - 6x
da cui ricavo:
x = 1/6 - (23/6)y'
Operando come sopra pongo:
x' = 1/6 - (5/6)y'
L'equazione diventa:
6x' = 1 - 5y'
e quindi:
y' = 1/5 - (6/5)x'
Pongo ora:
y" = 1/5 - x'/5
da cui ricavo finalmente:
x' = 1 - 5y"
Dando adesso ad y" un qualsiasi valore intero ottengo tutte le soluzioni.
Ad es. per y" = 0 si ha x' = 1, y' = -1 e finalmente x = 4, y = -5 che è la prima soluzione da te trovata.
Sempre interessantissimi i tuoi video. Non sapevo che esistesse una branca della matematica come l'algebra modulare, anche se ho spesso utilizzato l'operatore MOD in informatica. Anche oggi, grazie a te, ho imparato qualcosa...
Idem
Grazie Valerio, i tuoi video offrono spunti sempre molto stimolanti. Da docente della secondaria di primo grado ti propongo alcune "semplificazioni" per proporla in una classe terza:
- cercare la prima soluzione;
- provare con 29x+24y=11 così nella spiegazione del metodo generale ho una corrispondenza col modulo 24 delle ore con cui gli alunni posso avere maggiore familiarità;
- ragionare sulle unità dei numeri (nel tuo esempio ho pensato alla tabellina del 9 e del 3 e alla differenza di un'unità perché il risultato è 1, quindi ho ragionato 9•4=36 e 3•5=15 quindi ho provato come prima soluzione x=4 e y=-5.
Nel caso del modulo 24 però c'è l'11 come risultato. Ti chiedo se un approccio per tentativi secondo te può andare come introduzione ad un apprendimento per scoperta guidata che porti alla generalizzazione del metodo.
Grazie
Certo
Incredibile!!! C’è tanto da imparare!
Anche io... mai visto questo modo di risolvere le equazioni! Si impara sempre, sempre! Grazie!
Argomenti molto interessanti. Per la cronaca le classi di resti modulo k si studiano negli esami di "Algebra". Ovviamente ci sono anche corsi specifici di aritmetica modulare che spesso è messa nel programma di "Teoria dei numeri". Ciao e chapeau come sempre!
Grazie Silvia. A fisica non si facevano, le ho studiate per conto mio.
Giusto, io le ho fatte al corso di Algebra 1 in matematica.
Interessante, grazie! 👍
Grazie professor Pattaro! Io mi sono riscritta all'università a 35 anni, quindi dopo tanti anni da quando avevo iniziato. E di conseguenza moltissime cose non le ricordavo più. E i tuoi video mi stanno aiutando molto, perché spieghi le cose in modo chiaro e preciso, riuscendo anche a renderle più semplici. Invece molti professori a volte fanno il contrario, sicuramente senza volerlo, ma riescono a rendere le cose ancora più complicate di quello che sono, facendoti passare la voglia di provare a comprenderle, perché pensi di non riuscirci. La matematica è così bella e affascinante, ma indubbiamente complicata, e avere la capacità di spiegarla in modo semplice, trasmettendone anche gli aspetti più interessanti, è un dono che non tutti gli insegnanti hanno. Quindi davvero complimenti. E grazie!
Grazie a te
Davvero elegante Valerio ! Ottimo video.
In certi casi, può essere relativamente spedito anche questo approccio.
x e y hanno certamente diversa parità, quindi esistono due interi α e β tali che:
29·(α-β-1)+23·(α+β)=1.
Sciogliendo le parentesi, si ottiene:
26·α - 3·β = 15.
Da quest'ultima equazione si trae subito:
α= 3·k,
perciò:
β = 26·k-5
e infine:
x = α-β-1 = -23·k+4,
y = α+β = 29·k-5.
Meraviglia!! Cosa si puó con l" astrazione!
A 71 anni ho imparato qualcosa di nuovo. Grazie.
Era dalla seconda superiore che non sentivo parlare di moduli. Splendido ripasso (dopo taaaaaaaaaaanti anni), grazie!
Bellissimo, grazie!
Spettacolo
I numeri relativi! È dalle medie che non li sento nominare così, grazie.
l ho rivisto in un secondo momento e ti dico : ammazza quanto sei bravo
Mi ha sbloccato un ricordo.
Grazie professore.
TOP. Bravo nulla che dire......
Bel video. Un'unica osservazione, aggiungerei due parole sul fatto che 4 + 23k sia l'"unica" soluzione dell'equazione 6x congruente ad 1 modulo 23, resta altrimenti il dubbio che possano esserci altre soluzioni oltre a quelle trovate. Almeno così mi sembra. Saluti.
Argomento che mi appassiona molto. Da modesto ricercatore indipendente, ho utilizzato diffusamente l'aritmetica modulare per definire una peculiare proprietà della tetrazione intera; ho deciso di chiamarla costanza della "velocità di congruenza", che già dal nome... Complimenti per la chiarezza espositiva, nuovo iscritto!
Grazie. Anche tu sei uno youtuber famoso. Ti conosco.
Stupendo. Avevo già sentito parlare della matematica modulare, se non ricordo male con riferimento ad Alan Turing, noto matematico cui si deve la risoluzione del sistema Enigma, metodo di criptazione usato dai tedeschi nella II guerra mondiale. È un tipo di calcolo molto, molto interessante, presenta dei risvolti straordinari, ricorda un poco I numeri immaginari e le tecniche basate sulle radici usate con quest'ultimi per la suddivisione dell'angolo giro, se non ricordo male, altro argomento affascinante e, sembra fortemente interconnesso con una geometria di tipo appunto circolare. Non ricordo molto bene l'argomento ma penso che lei sappia focalizzare bene ciò di cui parlo. Un saluto.
Metodo tanto intuitivo quanto geniale
pur avendo studiato al liceo(tanti anni fa)non ricordo, ma sono affascinata.grazie.(ho un figlio matematico..e l'ho avvisato di questo mio interesse!) la seguiro'.
A volte è dura tenere il passo con i figli ☺️☺️
Bel ripasso per me, che ho studiato queste cose molti anni fa
Illuminante !
Molto interessante. Semplice da capire e coome sempre mmolto ben spiegato. Grazie!
L'aritmetica modulare è usata anche per calcolare per esempio le potenze di i poiché
iᵐ=iⁿ↔m≡n mod 4
E vale anche per altre potenze purché
z=exp(iπ ʳ/ₛ) in quel caso
zᵐ=zⁿ ↔m≡n mod 2s.
Quindi, sostanzialmente, per convertire un'equazione qualsiasi in un'equazione modulare bisogna dividere tutti i termini per lo stesso numero e prendere in considerazione i resti che sono i nuovi coefficienti nell'equazione modulare. Importante è che se moltiplichiamo poi entrambi i membri della nuova equazione, per la stessa quantità, i risultati li dobbiamo dividere di nuovo per il modulo e considerare di nuovo i resti, ok :P
Il video ha il pregio di incuriosire e stimolare all'approfondimento, però ti preferisco di gran lunga quando tratti di argomenti che conosci bene. Ad esempio: perché affermi che non esistono metodi standard per le equazioni diofantee? Per le equazioni lineari (come quella che hai mostrato nel video) il metodo standard esiste e si basa sul MCD dei due coefficienti calcolato usando la divisione euclidea. Sì tratta di nozioni DI BASE di teoria dei numeri. Il metodo che hai usato tu, oltre a essere più lungo e contorto, non assicura che quelle che hai trovato siano TUTTE le soluzioni. O meglio non è ovvio che lo siano. Detto ciò nulla da eccepire sulla "godibilità" del video
Conosco il metodo del MCD, ho studiato le eq diofantee sui libri di Damantino della collana U Math.
Ma questo metodo mi piace di più.
Sei Troppo bravo a spiegare.....grazie
Fantastico. Anche io ho imparato qualcosa di nuovo!
Fantastico
Molto interessante grazie
Top !
Una vita da appassionato di matematica e non ho mai sentito parlare di queste cose, neanche in analisi1 o analisi2. Grazie per la chiarezza e per la passione e la competenza. Mi iscrivo subito al tuo canale.
Io di solito risolvo questo tipo di equazione senza usare l'aritmetica modulare ma con un procedimento iterativo. Comunque ho trovato il video molto interessante ♡.
Grazie mille
GRAZIE
Che bello questo video!!!! Grazie come sempre!! Avrei una domanda... ma se k è negativo, funziona tutto lo stesso? A me non torna... cosa sbaglio?? Un saluto!!!
Ho provato con k=-1.
Viene x=-19 e y=24.
Sostituendo si ottiene -551+552=1 che è corretto.
Mi hai fatto preoccupare 😂😂😂
@@ValerioPattaro grazie... facevo io un errore banale nella sostituzione...
Spieghi meglio del mio prof di Università
Anche 4, può essere 100 (mod 24). Praticamente non considero 96 in quanto quadruplo di 24. I multipli di 24 sono {24; 48; 72; 96; 120...240...}
29-23 6 6x4 24. Segue ,4 e 5
La potenza dell'Insieme Quoziente!
Sbaglio o questo è anche il teorema di Bezout?
E' proprio vero che non tutto quello che fa parte della matematica è gradevole.
Gradevole o sgradevole?
Non capisco hai scritto 9 congruo a 57 (mod 24) ma sto studiando che dovresti scriver che 57 è congruo a 9 mod 24 ovvero 9 è il resto della divisione di 54 : 24 o sbaglio?
Come si potrebbe graficamente rappresentate l equazione, o meglio è possibile farlo? È una funzione?
È una funzione da N in N.
Sul piano cartesiano si rappresenta con punti isolati e allineati.
Ogni punto cade in un punto di intersezione della griglia delle unità del piano cartesiano.
@@ValerioPattaro molte grazie
23
assegno ad una icognita un valore a mia scelta e calcolo l'altro valore.
Ma deve venire intero
@@ValerioPattaro Perché ?
Dio! fantea
Quando dico che 1+1=0 è possibile mi prendono per pazzo, ma se operiamo in un campo (è davvero un campo?) di modulo 2, allora l’espressione è vera.
1+1=0 mod 2 👍
Ma sei meraviglioso. Capirai io calcolavo x con l inverso moltiplicativo, ci mettevo due anni per calcolarla. Hai fatto altri video sull aritmetica modulare? Che ne so il piccolo teorema di Fermat o il teorema cinese dei resti..
Diofanto, se spostiamo l'accento sembra un'imprecazione blasfema detta da Maurizio Costanzo.
Alla fine del pippone resta un’equazione con due incognito quindi i indefinita, che poi la si esprima in funzione di ‘k’ non cambia la sostanza, mah….
Ma non direi proprio! Per qualsiasi k, hai la soluzione dell'equazione. Sono infiniti, è vero, ma praticamente x e y espressi in quel modo non sono più incognite, ma una ben determinata coppia di numeri. Devi solo fare la fatica di scegliere un valore di k, e hai risolto (se fosse un problema di tipo fisico, sarebbero poi le condizioni che definiscono il contorno, a permettere di scegliere quella più opportuna, ma la regina delle scienze non ammette limiti alla sua potenza)
@@ozz9777 ok hai bypassato una equazione indefinita introducendo una incognita supplementare il cui valore e un insieme indefinito di numeri. Tutto chiaro….
Aritmetica normale?
Cos'è l'aritmetica normale?
🤔 dannato zero 😂
Come viaggiare nella storia con la matematica. Fantastico grazie
io l'avrei risolta con un altro metodo
posso chiedere una curiosita?? spero mi risponderai..
le soluzioni della diofantea e della congruenza lineare, sono le stesse??
L'operazione di modulo è appunto il resto della divisione tra dividendo (57) e divisore (24) ... 57 mod 24 = 9