Diese Aufgabe ist gar nicht mal so einfach
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- čas přidán 17. 04. 2024
- Ein Rohr ist zu einem Viertel mit Wasser gefüllt. Wie hoch steht das Wasser? Diese Aufgabe ist nicht so trivial, wie sie auf den ersten Blick vielleicht scheint.
Ihr könnt beim übernächsten Video mithelfen, indem ihr diese Umfrage zur Verteilung der Abiturnoten ausfüllt:
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Die in diesem Video gezeigte Aufgabe kam als Themenvorschlag in der DorFuchs Community Umfrage 2024:
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Danke, dass du meine Anfrage wirklich beantwortet hast ;D. Super erklärt und eine viel elegantere Lösung als die, die wir gefunden haben. Btw die Aufgabe stammt aus einer Altklausur in der Verfahrenstechnik. Wir haben uns wirklich sehr den Kopf darüber zerbrochen.
meine kommentare werden nicht gezeigt ...
@Dorfuchs
Ist ein wenig offtopic, aber bist du schon mal in der Uni durch eine Prüfung gefallen bzw. was war deine schlechteste Note?
Als ich das Thumbnail gesehen habe: "Ich habe mich das nie gefragt, aber jetzt brauche ich die Antwort"
meine kommentare werden nicht gezeigt
das ist mathe zusammengefasst 😂😄
@@LOV111VOL_ bist du ein bot?
Ja same😂
@@multiarray2320 ich hoffe nicht
Sobald ich das Thumbnail gesehen hatte, gingen bei mir die "Nicht elementar lösbar"-Alarmglocken an :D
Gerade von der Uni gekommen und während des Abendessens dies anzuschauen zum Entspannen. Solche Aufgaben können echt Spaß machen
"Das hängt davon ab, welchen Durchmesser dein Rohr hat." 😂
„Die Länge des Rohres ist völlig egal“
Seinen Doktor hat er in Mathematik gemacht und nicht in Biologie 🙂
@@quastador457Das macht es noch so viel besser 😂
Ich hab das Thumbnail gesehen, den Titel kurz überflogen und diesen als „diese Aufgabe ist ganz einfach“ gelesen. Also CZcams zu, Problem aufgeschrieben und versucht zu lösen. Als ich nach ner Stunde als einzigste Lösung einen nichtlineare Gleichung hatte, die ich nur numerisch hätte lösen können bin ich zu dem Video zurückgekommen, um mir die einfache Lösung anzuschauen, nur um festzustellen, dass ich nicht lesen kann.
Standard Abituraufgabe im hilfsmittelfreien Teil. Danke das du die Arbeit schon leakst :D
Als ich Abi gemacht habe, haben wir glaube ich keine einzige Aufgabe mit numerischen Lösungsverfahren gehabt 😅
In welchem Bundesland hast du Abi geschrieben?
ER HATS GETAN!! Pi = 3 !!!
8:51
Nein Pi ~ 3 meinte er
An ihm is wohl ein ingenieur verloren gegangen
@@bertkeusch4368 Du weißt doch, Pi und e kann man beide in etwa mit 3 annähern. Grüße vom Maschinenbauer :P
Numerische Approximation mit einer Approximation von Pi tuts auch. Alles andere ist overkill. Pi kann auch 0 sein hier und es würde immer noch gehen
@@atariks1475 PI = 3,14159265.....
Als nächstes das ganze dann als numerisch Integration mittels Runge-Kutta 3/8 in Google Sheets? 😂 Super video wieder, hat mich gleich ins Studium zurück versetzt!
Danke für deine coolen videos!
Uhhh mega spannend 😃👌🏼 danke für das Mega Video ❤️
Wunderschöne Aufgabe 🙌🙌
Ich finde diese Aufgabe hat ziemlich gut gezeigt, wofür Optimierung und das Newtonverfahren wichtig ist. Hat mein Optimierungs Prof in der ganzen Vorlesung nicht geschafft. Er hat immer einfach beispiele genommen, bei denen man das Optimum auch anders bestimmen konnte.
Ich hab selbst etwas rumprobiert um kam drauf, dass die Lösung für die Höhe h bei r = 1 die Lösung folgender Gleichung ist:
Integral sqrt(1-t²) dt von 0 bis x = pi/8
(weil die Fläche unter dem Graphen von sqrt(1-t²) genau ein Viertelkreis mit Fläche pi/4 ist und die gesuchte Höhe h genau diese Fläche halbiert (deswegen pi/8 auf der rechten Seite).
Das zu integrieren ist aber auch ne Sache für sich. Wolframalpha hat trotzdem die Lösung geliefert, wodurch die Gleichung sich umformt zu:
x*sqrt(1-x²)+sin^(-1)(x) = p/4
Edit: um auf h zu kommen, muss man noch 1- die Lösung dieser Gleichung rechnen.
Die Gleichung ist ebenfalls schwer zu lösen :)
Jo, so weit bin ich auch gekommen, aber diesen Term nach x aufzulösen ist einfach nicht möglich. GUt, dass der Fuchs auch nur eine Näherungslösung gefunden hat. ;D
🎶 doch ganz unbekannt ist das integral hier sicher nicht 🎶
Das Integral ist eine trig sub! Nicht schwer
Geht ja graphisch, In GeoGebra eingeben linker Teil minus rechter Teil, und Null-Stelle auf zoomen. 1-Null_Stelle=Ergebniss. Seltsamerweise ist x•√(1-x^2) die Fläche des eingeschriebenen Rechtecks im Viertelkreis, also x•f(x), und die Fläche des oberen Halb-Kreissegments ist = 1/2•[arcsin(x) - x•√(1-x^2)]. Das heißt aber auch, dass dieser arcsin(x)=oberer Kreissegment + x•f(x), also dieser Rechteck + ganzes Kreissegment!
Geht viel einfacher, ich habe mir auch nen halbkreis als Funktion definiert und dann mir eine gerade mit y=a als den stand des wassers vorgestellt. Dann muss man nur das integral für die differenz dieser funktionen in den grenzen des Schnittpunkts abhängig von a gleich pi/4 lösen.
Die Idee mit dem Winkel ist wirklich gut und hilfreich.
Meiner Meinung nach spricht aber nichts dagegen, das blaue Kreissegment als Kreissektor (mit Zentriwinkel 2phi) minus 2 rechtwinkelige Dreiecke zu berechnen. Das geht sehr elegant, denn der Sektor hat die Fläche phi und die Katheten des rw Dreiecks sind sin(phi) und cos(phi).
Mithilfe der Additionstheoreme kommt man schnell zu A = phi - 1/2*sin(2phi) = pi/4. Und somit wieder zur numerisch zu lösenden Gleichung.
Schönes Video am Tag des Känguruwettbewerbs! Auf das nächste Video mit den Abitur freue ich mich schon, ich schreibe dieses Jahr selber Abitur und gespannt darauf, wie die Statistiken da so sind.
Das heutige Video ging mit dem Newton-Verfahren ja wieder etwas um Oberstufenmathematik. Ich hätte einen Vorschlag für eine Aufgabe aus der Analysis, die ich mir im Unterricht mal ausgedacht und gelöst habe, aus der man auch ein Video machen könnte: Bestimme alle Funktionen, die gleich ihrer dritten Ableitung sind, also finde alle f: R->R mit f(x)=f'''(x). Im Gegensatz zu f(x) = f''''(x) ist das nicht so ganz einfach mit Sinus, Kosinus, e^x und e^(-x) zu lösen, in meiner Lösung braucht man komplexe Zahlen
Du hast soeben Differenzialgleichungen erfunden ^^
Das ist dann eher Uni-Mathe xD
@@explosiontime2023 Differenzialgleichungen dritter Ordnung wohlgemerkt. Das ist schon ordentlich
super video!
Geiles Video
Lieber DorFuchs und Zuschauer,
ich schaue gelegentlich deine Videos und würde gerne einmal verstehen, wie man solche Bedingungen selber findet. Hat jemand von euch einen Tipp?
Finde die Lösungswege, wie jetzt bei dieser Aufgabe immer beeindruckend!
hab mich ewig nicht mehr mit mathe beschäftigt, aber dieses video hat mich daran erinnert warum mir mathe damals in der schule doch manchmal spaß gemacht hat. zu meinem überraschen konnte ich alles gut mitverfolgen, musste aber paar mal pausieren :)
Respekt das du das seit knapp 12 Jahren machst danke dafür
Mich würde interessieren, ob es eine Lösungsformel gibt, die angibt wie hoch die Höhe h sein muss um a (aus {0
Ich bin zuerst ähnlich vorgegangen. Habe auch nach Winkel alpha gesucht, der sich aber oberhalb der Wasseroberfläche, nach unten geöffnet, befindet. Habe den Flächeninhalt des vom Wasser betroffenen Kreissegments bestimmt, indem ich einmal die Fläche des gleichschenkligem Dreiecks mit a = b = Radius, Winkel oben alpha und dem "Pizzastück" (alpha durch 360 mal die Fläche des Kreises) genommen habe, dann Pizzastückfläche - Dreiecksfläche = Kreissegmentfläche
Hat man die Fläche des Kreissegments dann mit 1/4 der Fläche des Kreises gleichgesetzt, kann man nach alpha umstellen.
Mit alpha kann man dann c vom Dreieck bestimmen, damit dann die Höhe des Dreiecks. Zieht man diese Höhe des Dreiecks vom Radius ab, ergibt sich der Wasserstand. So zumindest in der Theorie, hab das eher theoretisch überlegt, also keinen Wert um zu überprüfen, ob das alles Sinn ergibt. :D
Ach herrje, schön gemacht aber viel zu kompliziert. Ich gebe in Geogebra die Halbkreisformel y=√(1-x^2)-z ein. z natürlich, um das Rohr nach unten ziehen zu können 😊. Als Anfangs-z nehme ich erstmal 0.01, um Nullstellen zu bekommen. Dann integriere ich vom x-Wert der linken Nullstelle bis zum x-Wert der rechten Nullstelle. Anschließend "friemel" ich mir z so hin, dass das Integral pi/4 beträgt. Das ist bei 0.403973 der Fall. 1 minus dieser Wert ist dann meine Höhe, also 0.596027. Geogebra ist großartig und danke für diese nicht ganz triviale aber auch für einen Nichtmathematiker lösbare Aufgabe Dr. DorFuchs
Das schöne an Johanns Variante ist, dass man ohne jegliche Formeln zu kennen die Vorgehensweise nachvollziehen kann. Es ist doch deutlich befriedigender alles nötige hergeleitet zu sehen, anstatt Formeln zu verwenden die durchaus nicht jedem bekannt sind. (z.B. auch die allgemeine Tangentengleichung, welche sehr anschaulich erläutert wurde)
Trotzdem natürlich ein kluger Ansatz von Dir!
Wow, super Lösungsweg! 11:20 Ach, das Ziegenproblem... das hatte damals meine Lehrerin aus dem Leistungskurs Mathematik mir (und nur mir) auch mal gestellt gehabt, um mich quasi n bissl zu testen... Trotz erfolgreicher Teilnahme an Matheolympiaden und lauter Einsen im Leistungskurs Mathematik hatte ich dieses Problem nicht lösen können... Selbst später als Student der Mathematik fand ich keine Lösung. Elementargeometrie ist einfach absolut nicht meine Stärke, genauso wie Stochastik & Statistik...
Hab mir doch die ganze Zeit gedacht, das Ziegenproblem. Hat meinen inneren Monk sehr gefreut als du das am Ende erwähnt hast xD
Oho, hab im Master maschinenbau das Newton Verfahren kennen gelernt. Schön zu sehen wo es Anwendung finden und wie man das mit Excel macht !
Erst im master?
Das Newton Verfahren sollte einem eigentlich aus der Schule bekannt sein. 11. Klasse Grundkurs
Nur zur Info: GPT-4 konnte die Aufgabe mittels Zero-Shot prompt und einem Screenshot vom Videothumbnail lösen. 🤯
Die Aufgabe findet sich wahrscheinlich in den Trainingsdaten. Auch wenn ich sie beim fixen googeln nicht finden konnte. Aber der Frage wird schon oft jemand nachgegangen sein. Welchen Lösungsweg hat GPT-4 genommen?
Und man muss auch sagen: Die Lösung numerisch zu finden geht dann ja auch gut. Man darf sich nur nicht darauf versteifen, einen schönen Term als exakte Lösung zu finden...
@@DorFuchs Könnte mir vorstellen, dass die Augabe nicht direkt aus den Trainingsdaten wiedergegeben wurde. Immerhin habe ich auch das Thumbnail als Prompt eingegeben, was ein mehrstufiges "Reasoning" suggeriert. Ein paar Formeln wie z.B. die Kreissegmentfläche, kommen ohne Herleitung daher (kann es aber dann auf Nachfrage herleiten).
Unten habe ich den Code gepostet, den ChatGPT nach dem Aufschreiben des Lösungsweges ausführt um mittels scipy die Nullstelle numerisch zu finden (der Code folgt der Lösungswegslogik). Ehrlich gesagt verstehe ich den Weg beim zweiten Durchlesen nicht mehr genau. Es setzt die Fläche des vom Wasser eingeschlossenen Segments direkt mit dem Viertel der Gesamtfläche gleich: logisch, aber den gewählten Ausdruck dafür kann ich mir gerade nicht direkt begreiflich machen.
Dein Lösungsweg ist zwar länger, aber mir auch schlüssiger.
GPT-4:
from scipy.optimize import fsolve
import math
# Given radius
r = 1 # radius in meters
# Define the equation to solve for h
def equation(h):
# Calculate theta using the cos inverse function
theta = 2 * math.acos((r - h) / r)le
# Area of the circular segment
area = (r**2 / 2) * (theta - math.sin(theta))
# Volume of water is 1/4 of the volume of the cylinder
volume_water = (math.pi * r**2) / 4
# The equation we want to solve is area - volume_water
return (area - volume_water)
# Initial guess for h
h_initial_guess = r / 2
# Use fsolve to find the root of the equation
h_solution = fsolve(equation, h_initial_guess)
h_solution[0] # result: 0.5960272467004827
Ich habe eine kreisrunde Wiese mit dem Radius R. Da meine Ziege nur ein Viertel der Wiese abgrasen soll, binde ich sie am Wiesenrand mit einer Leine der Länge L fest. Wie lange ist die Leine?
Ich habe mir über eine Woche hinweg hin und wieder Gedanken gemacht und letztendlich eine Funktion herausbekommen die h beschreibt. Jetzt schau ich das Video und bin umso gespannter
Ok ich habe es anders gemacht als DorFuchs aber bin auf dasselbe Ergebnis gekommen. Wobei ich seine Lösung niemals so hinbekommen hätte 😂
Schönes Video. Wie Mathematrick, aber mit anspruchsvolleren Aufgaben.
Du bist einer der weniger Channel, bei denen ich gerne an den Umfragen teilnehme.
ich habe mal etwas nachgedacht zu dieser Aufgabe.
Wie du sagst ist nur der Kreis wichtig. Also die blaue Fläche im Verhältnis zum Kreis.
Da das ganze symmetrisch ist, ist sogar nur der Halbkreis links oder rechts wichtig. h wird sich nicht ändern.
Wenn man das ganze um 90° umlegt hat man die Kreisfunktion f(x)
Fläche Halbkreis = Integral (f(x)) von -r bis +r
Fläche Blauer Teil = Integral (f(x)) von -r bis (-r+h)
Und damit folgt nach der Aufgabe:
Integral (f(x)) von -r bis +r = 4* Integral (f(x)) von -r bis (-r+h)
Wenn man das nach h umstellt hat man doch die Lösung ohne numerische Verfahren.
Oder habe ich hier einen Denkfehler?
Diese Gleichung kannst du halt nicht so einfach nach h umstellen.
Genau so wenig, wie du x+sin(x)=Pi/2 nach x umstellen kannst.
Der Physiker setzt bei 5:31 einfach alpha=sin(alpha) und kommt auf alpha=pi/4
Man kann einen rubiks cube als 2D Modell darstellen. Es währe schon interessant wie man mathematisch auf die züge kommt um das ding nach schema F zu lösen oder so ähnlich. falls das möglich ist.
Ich glaub bei deiner Abi-Bauchgefühl Umfrage werden viele Leute, die die Umfrage bearbeiten nah dran liegen. Wenn man dich verfolgt, ist man ja mit hoher Wahrscheinlichkeit mathematisch versiert, sodass man zum Beispiel auch die Antwort auf die letzte Frage kennt (ohne nachzuschauen, aber ist so eine typische Trickfrage), ebenso wie die Abiturstatistiken. Ohne die jetzt nachgeschaut zu haben, hat man die natürlich schon grob im Kopf
Meinst du die Fußball-Frage? Ich meine, berechnet zu haben, dass bei etwa 50% aller 23-köpfigen Mannschaften mindestens ein Paar/Duo der Spieler am gleichen Tag Geburtstag haben (P(X≥1)). Für P(X=1) habe ich etwa 33% herausbekommen.
War da wohl ein Trick versteckt? Wir sehen es im nächsten Video! :-)
Machen alle die sich für diese Videos interessieren eigentlich etwas mit Mathe in ihrem Beruf? Mir macht es unheimlich Spaß und ich verstehe solche Sachen auf Anhieb zum Glück. Stehe jetzt aber vor der Wahl meines Studiums und tue mir echt schwer. Finde im Leben ist die Gesundheit das wichtigste und möchte daher Medizin studieren. Gleichzeitig macht mir Mathe so Spaß, schaue mir lieber solche Videos an als irgendwas anderes. Hat hier jemand einen ähnlichen Struggle durchgemacht?
Ich hatte 1/sqrt(2) als Lösung 🥲.
Wegen Zylindervolumen=πhr^2 sei r1 der Radius des gesamten Zylinders, also V_Zyl=πh(r1)^2.
Das Volumen des Wassers habe ich dann als halben Zylinder mit Radius r2=h angenommen, also V_Wasser=1/2πh(r2)^2.
Einsetzen in die gegebene Formel ergäbe dann also 1/2πh(r2)^2=1/4πh(r1)^2
-> (r2)^2=1/2(r1)^2
-> r2=r1/sqrt(2) bzw r2=1/sqrt(2) für r1=1
Kann es sein, dass jedes mal wenn man so einen Schnitt durch den Kreis macht, dass da immer eine algebraisch unlösbare Gleichung rauskommt?
Hatte gestern das gleiche Problem mit einer Gerade mx+t, die den Kreis von Radius t in 2 Teile teilt. Ich wollte zu jedem m ein Verhältnis der Flächen aufstellen aber bin auch auf eine solche Gleichung gekommen...
Wann kommt der Mathe Song zum Newton Verfahren 😂
380. Aufruf!
Ich bin mal innerhalb der ersten Stunde dabei!
"Die Länge des Rohres ist völlig egal" Tja, wenn die Frauen das nur genauso sehen würden...
Da bin ich ja beruhigt, dass ich nicht als einziger zur Tabellenkalkulation gegriffen habe 😇
ich habs per integral gemacht :)
Ich hätte es wahrscheinlich mit Integralrechnung gemacht. Wäre wahrscheinlich komplizierter
Nee mit Geogebra viel einfacher siehe mein Kommentar) and don't blame me, er benutzt auch Excel als Hilfsmittel 😊
Mathematisch komplizierter aber schneller zu lösen.
Ich fänd die Lösung ohne numerische Näherung, also mit der irrationalen genaueren Lösung
😮
😀
Muss die Lösung nicht noch durch 2 geteilt werden? Die Höhe liegt bei 59,6% der halben Röhre. Aber im Bezug zur ganzen Röhre lägen 59,6% ja schon über der Hälfte der Röhre.
Mit Radius 1 hat die Röhre Höhe 2.
@@DorFuchs Was ja bedeuten würde das ein Viertel von 2 die Lösung wäre? Weil das Wasser nur ein Viertel hoch steht vom Durchmesser?
@@DirkKuepper So kann man da nicht drauf schließen. Also wenn du die eine Höhendifferenz von 5 cm unten im Rohrquerschnitt betrachtest, passt nicht so viel rein wie bei 5cm Höhendifferenz in der Mitte des Rohrquerschnitts
@@DirkKuepper Das war auch ganz kurz anfangs der Gedanke, aber schnell wieder weg, weil: Es ist gefragt wie hoch das Wasser bei einem Viertel des Kreises steht, nicht bei einem Viertel der Höhe des Rohres.
Naja die Lösung liegt bei 0.596... bei einem Radius von 1 bzw. Durchmesser von 2 was 29.8% der Gesamthöhe entspricht, also ja, für Prozentwert muss noch durch 2 geteilt werden.
Ist die Höhe des Wassers im Zylinder (oder Kreis, wenn man es aus 2 Dimensionen betrachtet) nicht auch davon abhängig, wo sich das Wasser befindet? Was ich damit meine, ist, dass je mehr man am Umfang des Kreises ist, desto weniger Wasser wird benötigt, während je mehr das Wasser in der Mitte des Kreises ist, desto mehr Wasser wird benötigt.
Ich hoffe meine Frage ist verständlich^^'
Welche realistische Möglichkeit gibt es, das Wasser im Rohr so einzufüllen, dass es die Rohrwandung von innen in gleichmäßiger Dicke bedeckt, ohne das Rohr ganz voll zu machen?
@@alteriusnonsit6124Das Rohr in eine Zentrifuge einbauen😂
@@marie-juhanna1281:) habe ich auch schon überlegt, aber das liefert nicht das nötige Ergebnis! :)
Wenn der Radius: 1 beträgt und das Wasser 1/4 voll ist, dann ist die höhe doch 0,5 also die Hälfte des Radius.
Und jetzt bitte als integral über dh mit Grenzen 0 und h
7:14 und 7:15 sehen echt wild aus
Yepp, du wurdest schon im Kindergarten mit Aufgaben dieser Art vertraut gemacht?
Bin enttäuscht darüber, dass kein Volumen ausgerechnet wurde
Meine Enttäuschung war mit Händen zu greifen, als ein Mathematikdoktor eine numerische statt einer analytischen Lösung wählt.
Ich verstehe nicht wieso die höhe des Wassers nicht einfach r geteilt durch 2 ist
2mal BLAU entspricht Gelb
Warum hattest du auf dem Thumbnail ein grünes T-Shirt an?
?!
Man könnte versuchen, das sin(x) durch die Reihenentwicklung ersetzen...
Hab ich versucht das geht auch nicht
Die länge deines Rohres ist nicht egal!
Doch, kürzt sich raus.
@@JacobSeifert woosh
Schneid deine Haare ab oder mach dir eine Haartransplation, weil das sieht fürchterlich aus!!
Dir auch viel Liebe
Na hören Sie mal, das ist aber sehr unfreundlich!
Ich bin mir sicher, dass der Johann sich dieses Sachverhalts durchaus bewusst ist, er hat ja schon mal ein paar Witze darüber gemacht.
Ich mag Ihre Art nicht, anderen vorschreiben zu wollen, wie sie auszusehen haben. Wenn es Ihnen nicht gefällt, dann können Sie das von mir aus gerne schreiben, aber so ist das an der Grenze zur Beleidigung. Solch frevelhaftes Verhalten sehe ich nur Ungern in den sonst so freundlichen Kommentaren.
Hochachtungsvoll, R.T.
das sieht nach einer iterativen berechnung aus:
1 vdu5:for a=0 to 14:gcola:print a;:next a:vdu1:gcol 8
10 print "dorfuchs-diese aufgabe ist gar nicht mal so einfach"
20 r=1:sw=r/100:w=sw:fa=.25 :goto 50
30 a1=w*pi/180/2:a2=sin(rad(w/2))*cos(rad(w/2))
40 dgu1=a1-a2:dgu2=pi*fa:dg=dgu1-dgu2:return
50 gosub 30
60 w1=w:dg1=dg:w=w+sw:w2=w:gosub 30:if dg1*dg>0 then 60
70 w=(w1+w2)/2:gosub 30:if dg1*dg>0 then w1=w else w2=w
80 if abs(dg)>1E-10 then 70 else print "der gesuchte winkel=";w
100 w2=270-w/2:w1=270+w/2
110 x1=r*cos(rad(w1)):y1=r*sin(rad(w1))
120 x2=r*cos(rad(w2)):y2=r*sin(rad(w2))
140 mass=5E2/r:goto 160
150 xbu=(x+r)*mass:ybu=(y+r)*mass:return
160 x=x1:y=y1:gosub 150:xb1=xbu:yb1=ybu:x=x2:y=y2:gosub 150:xb2=xbu:yb2=ybu
170 line xb1,yb1,xb2,yb2:x=0:y=0:gosub 150:gcol8:circle xbu,ybu,r*mass
8 9 10 11 12 13 1dorfuchs-di
ese aufgabe ist gar nicht mal so einfach
der gesuchte winkel=132.346459
>
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