LINEARE ABBILDUNG / Homomorphismus einfach erklärt! | Math Intuition
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- čas přidán 29. 06. 2024
- Viele viele Bilder zur Vorstellung des Homomorphismus' zwischen Vektorräumen.
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#Homomorphismus #Vektorraum #lineare #Abbildung
🎥 Video-Inhalte:
00:00 Intro
01:02 Was ist ein Vektorraum?
02:10 Vektoraddition & Skalarmultiplikation
03:12 Allgemeine Abbildungen zw. Vektorräumen
06:30 Lineare Abbildungen zw. Vektorräumen
08:08 Definition lineare Abbildung (Überblick)
09:04 Interpretation Eig 2 der Definition
12:14 Interpretation Eig 1 der Definition
15:08 Zusammenfassung Definition
15:32 Fazit Video & Ausblick
Vielen Dank. Tausende von Studenten werden dich anbeten für deine Videoreihen...
Freut mich, dass es dir so gut gefällt! :D Darf ich das zitieren? ;)
Math Intuition
Selbstverständlich ;)
Ach das hat der Prof. versucht uns zu erklären :D super Sache... Jetzt macht Studium wieder Spaß wenn man weiß um was es geht :D
Wie genial anschaulich kann man das Ganze erklären! Und warum kann meine hochbezahlte Prof'in das nicht? Vielen Dank für diese griffige Erklärung auch in all den anderen Videos!!!
ich schreibe ja echt selten kommentare, aber hier muss ich einfach: das ist wirklich ein seehr gutes video!! Dir gelingt es, dich in die reinzuversetzten, die Probleme mit mathe haben und erklärst abolut top! Weiter so
Das weiß ich sehr zu schätzen, vielen Dank! :-) Freut mich sehr, dass das Video so toll ankommt! Und Videowünsche immer her zu mir :D
Ich verstehe bis heute nicht warum Lehrer das nicht so erklären können, wie irgend ein dude im Internet. Danke vielmals
Super! Sehr gut erklärt und “abgebildet“(Zeichnungen). Ganz hervorragend, vielen Dank dafür.
Bin sehr begeistert! Nach Jörn Loviscach, nun endlich n weiterer Mathe Channel der anschaulich und ausgiebig erklärt, und dabei den Fokus auf das Verständnis legt. Da bist du sogar Jörn vorraus, da du mehr zeit für die Erklärungen nehmen kannst. Daumen hoch! Weiter so! Werd jetzt meine Zelte im mathelernzentrum abbrechen und mir stattdessen für den rest des Tages die restlichen deiner Vids reinziehen.
Beste Grüße und schönen Tag noch.
Wow, vielen Dank für dieses tolle Feedback :) Darf ich dich zitieren? ;)
Darfst du :)
hahaha genau das gleiche hab ich mir auch gedacht ^^ zu dem guten alten jörn eine super ergänzung !! ganz toll!
Sehr schöne Darstellungsweise, großartig gemacht :)
Dieser Kanal ist viel zu unterbewertet. Du hast meinen größten Respekt! Dankeschön!
Das hat mir viel geholfen. Vielen Dank!
noch nie so ne gute erklärung bekommen
Freut mich! Noch geilere Erklärungen gibts übrigens auf math-intuition.de ;)
Wo wäre ich denn in meinem Leben ohne diesen Kanal 🤔
Danke, dein Kommentar ehrt mich :)
Meiner Meinung nach bester Mathe Channel auf ganz CZcams. Durch dich habe ich das wirklich elementar verstanden und beweise nicht nur vor mich hin :)
Bestes Kommentar! ;)
Vielen Dank für das Video, hat mir echt geholfen.
Mega gut erklärt, mehr videos!! :D
Top erklärt👍
Je t'aime. Dickes Merci. Jetzt macht Mathe wieder Spaß xD
Sehr schönes Tutorial, zwar etwas langsam aber dafür sehr verständlich.
Sehr anschaulich erklärt. Vielen Dank.
Sehr gerne! Freut mich, dass es dir gefallen hat :)
Richtig gut erklärt
dieses Video ist genial!
Auch wenn ich genau weiß was ein Homomorphismus ist, ist es trotzdem nochmal schön eine so tolle Veranschaulichung zu bekommen. Super gemacht (auch sehr symphatisch), für Mathestudenten ab dem 1. Semester sollte das super verständlich sein :)
Danke für deine Zeilen! Freut mich, dass es dir so gefällt :)
Wenn Jemand etwas gut macht darf man das ruhig loben ;)
Sehr schön erklärt
Wirklich klasse! Ich gehe zwar noch in die Schule, habe aber vor, Mathe zu studieren, und dank deiner unkomplizierten Erklärungsmethoden verstehe ich sogar schwierigere Themen wie diese. Weiter so!
wegen deshandys Ja krass, dass du da jetzt schon als Schüler "vorarbeitest" ;) Dann empfehle ich dir auch das eBook und den eMail Kurs: www.math-intuition.de/ebook-mathe-deutsch/
So kannst du mich auch mal per Mail anschreiben, wenn du fragen zum Studium oder so hast ;)
Math Intuition Danke :)
Ich habe es mir zwar runtergeladen, aber es wird nur angezeigt "Datei kann nicht geöffnet werden". Weißt du, woran das liegt? (Ich hab's mit dem Handy runtergeladen.)
wegen deshandys Du brauchst vermutlich am Handy ne App, um die PDF-Datei zu öffnen. Oder einfach am computer die Datei runterladen und öffnen, dann gehst auch ;)
Math Intuition Okay danke ;)
Super Erklärung! Frag mich warum man das in den VOs nicht so bringen kann :-)
Ehrenmann Danke so einfach erklärt, mathe für dummies schon fast
Danke, freut mich! Kennst du schon meine Lernplattform? Hier was zum Reinschnuppern: www.math-intuition.de/course/mathe-bootcamp
Danke!
Das video ist goldwert
Ich sage das nicht oft... aber ich LIEBE deine Arbeit!!! Danke für diese tollen Videos! :D
Danke, freut mich sehr :) Schau unbedingt auch bei meinen Videokursen vorbei, CZcams ist erst die Spitze des Eisbergs ;)
Super Video! :) Ich habe mal direkt ein Abo da gelassen. Für mich als Informatik Student sind deine Videos sehr sehenswert!
DJKroehnadus Hey, danke für das kommentar! Auch gut zu wissen, dass die Videos von Informatik-studenten auch gern gesehen werden ;)
Hast du dir schon das eBook und den eMail Kurs geholt? www.math-intuition.de/ebook-mathe-deutsch/
Darüber kannst du mir dann auch immer direkt per Mail schreiben. Und ich spam auch nicht, sondern helf da nur noch mehr - versprochen ;)
Math Intuition Gern geschehen. :) Danke für die Info. Habe mich für das Buch in die E-Mail Liste eingetragen. Die Mathematischen Formulierungen im Studium sind eine Hürde für mich und ich nehme jede Hilfe gerne an.
Auch die Informatiker müssen sich teilweise durch Themen der Mathematiker durcharbeiten.^^ Ohne Mathe kommt man im Infostudium nicht weit.
DJKroehnadus Nice, dann bist du ja jetzt hoffentlich bestens gewappnet ;)
Wäre Ana 1 für dich auch interessant? Ich sammle dafür gerade Themen, bei denen auch großer Video-Bedarf besteht. Wenn ja, dann immer her damit :)
Math Intuition Ja, Ana ist für mich auch interessant. Das habe ich im letzten Semester ausgelassen. Ich habe gehört, dass viele mit der Taylorreihe Probleme hatten. Vielleicht kannst Du ja dazu ein Video machen.
Ich küsse deine Augen. MEGA gut erklärt.
Danke !!!
Während du nur nebenbei Dinge (zB die Notation der Abbildungen ) erwähnt hast habe ich so viel verstanden 🤌😍
Danke, freut mich :)
Danke :D
Du Held
Ein Video über das Kongruenzgleichungssystem bzw. Chinesischer Restsatz wäre echt super!!!
des000bt Danke für den Hinweis, habe ich notiert ;)
Erstmals vielen Dank für dieses tolle Video. Deinen Kanal zu finden war echt eine Bereicherung!
Bei diesem Video habe ich noch eine kleine Frage. Du bist in deinen Erklärungen immer im R^2 Raum gewesen. Ein Vektorraum ist ja immer über nem Körper, also nicht fix R^2. Kann man sich dann das einfach vorstellen, dass zum Beispiel in R^3 dreidimensionale Körper auf einander abgebildet werden?
Ja genau! Der Körper beschreibt quasi eine Koordinatenachse im Vektorraum und damit woher die Einträge bei einem Vektor herkommen. Also ist Q^3 ganz ähnlich wie R^3, nur halt mit Elementen, die dort fehlen (irrationale Zahlen auf den Koordinatenachsen) im Vergleich zum R^3.
Für eine lineare Abbildung ist der Körper dann für die skalare wichtig, man darf Vektoren nur um Elemente aus dem Körper strecken/stauchen.
Sehr anschaulich erklärt u die Diskussion unten ist auch aufschlussreich. Wenn ich mir nun so einen Kurs "kaufe", finde ich dort auch Kommentare u Diskussionen zu den Videos? Mir würden nämlich Ungenauigkeiten oder Fehler nicht auffallen. Und mal schnell eben etwas nachlesen hilft ja auch nicht. Es wäre ja so, dass ich mal auf die Schnelle Chinesisch verstehen müsste.
Und die Autoren der Bücher sind ja sooo toll, dass ja jeder sein eigenes Chinesisch schreibt (u die Wenigsten erwähnen andere Schreibweisen für denselben mathematischen Ausdruck :-( ).
Ich hab enclich alle verstanden, vielen Dank! Können Sie bitte ein Video über Relationen, Äquivalenzrelationen,...hochladen? bitte bitte
Freut mich sehr, dass das Video geholfen hat! Ich komme dem Wunsch gerne nach und mache als nächste ein Video zu Äquivalenz- und Ordnungsrelationen. Sonst noch ein Wunsch? ;-)
Geiler Typ!!!!
Hallo, finde deine Videos genial. Die haben mir meine Augen leicht geöffnet als Erstsemester in LA1. Ist es in deinem Videokurs auch so anschaulich erklärt, oder werden mich mehr pure kalte Definitionen erwarten?
toge Ka Der Kurs ist noch VIEL geiler ;)
super
Super Erklärung. Nur eine Frage hätte ich jetzt: Was ist dann jetzt der Unterschied zwischen einer linearen Abbildung und einen Homomorphismus. Denn eine lineare Abbildung ist doch genau gleich definiert wie der Homomorphismus?
Stimmt, darauf bin ich gar nicht eingegangen!
Hier die Erklärung: Es gibt Homomorphismen nicht nur zwischen Vektorräumen, sondern auch zwischen Gruppen, Ringen, Algebren, Moduln, etc. ... Allerdings nennt man nur den Homomorphismus zwischen Vektorräumen eine lineare Abbildung.
Wenn es also nur um Vektorräume geht, sind die Begriffe tatsächlich identisch. Allgemeiner ist jedoch Homomorphismus.
Math Intuition
Vielen Dank für die Antwort
Danke für das super Video.
Ne frage ab 5:03 sagst du das die Bilder keine Vektorräume sind, aber heißt es nicht das die Bilder einer linearen Abbildung stets Untervektorräume des Zielvektorraumes sind???
Genau! Das Beispiel von 3:30 bis 5:30 und auch die kürzeren Beispiele danach bis 6:30 sind alles gerade KEINE Vektorraum-Homomorphismen (bzw. gleichbedeutend: keine linearen Abb.en). Erst danach kommen Beispiele für lineare Abb.en zwischen VRen. Und dann gilt natürlich, dass das Bild der Abbildung ein VR ist.
Siehe dazu auch die anderen Kommentare weiter unten.
Bitte mehr davon🤤
Als du bei 7:35 davon sprichst, dass "der Nullpunkt im Bild enthalten sein muss.", meinst du den Nullpunkt des R^3 stimmt's? Oder ist damit gemeint, dass das Bild einen Nullpunkt enthalten muss (dieser aber nicht unbedingt der Nullpunkt des Zielraums sein muss)? Damit stellt sich dann auch die Frage, ob eine Abblidung von R^2 nach R^3 auch homomorph ist, wenn sie jeden Punkt des R^2 auf beispielsweise den Punkt (1,1,1) abbildet. Dieser Punkt ist nicht der Nullpunkt des R^3... Vielen für deine Videos und Erklärweise!
Mit dem Nullpunkt meinte ich genau den Vektor (0,0,0) des R^3. Demzufolge wäre eine Abbildung, die jeden Punkt auf (1,1,1) abbildet KEIN Vektorraum-Homomorphismus, die Abbildung, die aber alles auf (0,0,0) schickt ist hingegen ein Homomorphismus.
Danke für die schnelle Antwort! Ich konnte mir inzwischen auch erklären, dass dies nicht möglich sein kann. Da, wenn zum Beispiel alles auf den Punkt (1, 1, 1) abgebildet wird ein Widerspruch erzeugt werden kann: Es muss nach der Definition gelten Phi(Lambda*x, Lambda*y) = Lambda*Phi(x, y). Dann würde aber für den Punkt P = (1, 1) und Lambda = 3 gelten: Phi(Lambda*P1, Lambda*P2) = (1, 1, 1) und gelten Lambda*Phi(P1, P2) = Lambda*(1, 1, 1) = (3, 3, 3)....
Ich wünschte, ich könnte das mehr als ein mal liken...
Wäre bei 4:54 phi-invers ein Diffeomorphismus?
super erklärt! so versteht man ganz einfach, was ein Homomorphismus in der Linalg ist. Wir haben aber diesen Begriff in Analysis eingeführt und mit der dortigen Def komme ich gar nicht klar :/ wir haben 2 nichtleere Mengen R1,R2, wo Funktionen +1(1 im Index): R1xR1-->R1 und +2(2 im Index): R2xR2-->R2 definiert ist. Nun bilden wir eine Funktion f:R1-->R2, x,y sind elemnt von R1. Die Funktion nennt man Homomorphismus wenn f(x+1y)[die 1 steht vor dem y als Index]= f(x) + 2f(y)[hier die 2 wieder als Index]. Weiters nennt mans Monomorphismus wenn f ein injektiver HM ist, Epimorphismus wenn f ein bijektiver HM ist und Isomorphismus wenn f ein bijektiver HM ist. Das wird anscheinend verwendet um Gruppeneigenschaften nachzuprüfen, ein kanonischer Homomorphismus kommt da auch noch vor, ich kann mir aber bei dem allen überhaupt nix vorstellen :/
Deine Definition aus der Analysis ist tatsächlich die gleiche wie bei mir, du kannst also deine Vorstellung behalten ;) Erklärung: Geh mal zu Minute 8:10 in meinem Video. Jetzt schreibe überall f anstelle von meines griechischen Buchstabens "Phi" und ersetze auch die Variablen v und u durch die Variablen x und y. Anschließend benutze ich die Eigenschaften 1. und 2. für folgende Rechnung: f(x+lambda*y) = f(x) + f(lambda*y) = f(x) + lambda*f(y) und das müsste die Zeile sein, die du mir beschreiben wolltest, oder?
"Kanonisch" ist ein Synonym für "naheliegend", mehr nicht. Leider ist das ganze für Studenten oft gerade nicht so naheliegend, wie es sich einige Dozenten erhoffen ;)
Wie du schon schreibst, ist ein Mono- / Epi- / Iso-morphismus gerade ein Homomorphismus, der zusätzlich injektiv / surjektiv / bijektiv ist. Bijektiv bedeutet injektiv und surjektiv gleichzeitig. Zu diesen 3 Begriffen habe ich auch vor, bald ein Video zu machen.
Du kannst übrigens auch auch www.math-intuition.de gehen und mir über "Kontakt" eine Nachricht schreiben :-)
Math Intuition vielen dank für die schnelle und genaue antwort! :) die seite schau ich mir definitiv an, kann ich dich sonst noch fragen, wenn ich zu etwaigen Unklarheiten Fragen habe?
Ghruul Na klar, dafür bin ich da ;)
Ohne Frage hast du didaktisches Talent und machst jede Menge sehr gut! Ich kann sicherlich in dieser Hinsicht viel von dir lernen.
Doch was nützt die didaktisch ausgefeilteste Erklärung, wenn sie schlicht falsch ist?
In deinem Fazit heißt es, ein Vektorraum-Homomorphismus sei das gleiche wie eine Abbildung f zwischen zwei Vektorräumen V und W, deren Bild ein Vektorraum sei.
Natürlich gibt es viele Abbildungen zwischen Vektorräumen, die keine Homomorphismen sind, deren Bilder aber Vektorräume sind.
(Und warum willst du umständlich eine Vektorraum-Struktur auf dem Bild definieren durch f(v)+f(u):=f(v+u) (über das Wohldefiniertheits-Problem schweigst du dich leider ebenso aus wie über den fehlenden Nachweis, dass so eine Vektorraum-Struktur entsteht...), anstatt einfach die (damit übereinstimmende) von W geerbte Vektorraum-Struktur auf dem Bild zu nehmen?)
Hallo tobit1909, danke für die Anmerkung, du hast natürlich vollkommen Recht, dass ich an dieser Stelle versäumt habe zu sagen, dass diese Eigenschaft nur eine notwendige Bedingung für einen Homomorphismus ist, aber keine hinreichende. Oder zumindest, dass diese Vorstellung ein wenig ungenau ist. Das ist dann also wenigstens mit diesem Kommentar geschehen!
Für mich war es deshalb kein Problem, da diese Ungenauigkeit in der Praxis wohl kaum zu Fehlern führen wird (immerhin rechnet man so oder so immer die Definition nach und verwendet nicht meine Anschauung), aber anschaulich sehr hilfreich sein kann! Und jemanden wie dir, dem diese Lücken auffällt, brauche ich ja eh nicht mehr viel erklären ;)
+Math Intuition Kannst du das bitte nochmals kurz erklären? Warum ist diese Eigenschaft keine hinreichende Bedingung?
+MaryamMful Hallo MaryamMful, danke für deine (wichtige) Frage!
Der Punkt ist folgender:
Richtig ist: Wenn ich einen Vektorraum-Homomorphismus als Abbildung habe, dann bildet das Bild dieser Abbildung einen Vektorraum (VR). Das habe ich versucht im Video zu visualisieren. Wenn diese Bedingung also nicht erfüllt ist, dann handelt es sich also auch nicht um einen VR-Homomorphismus.
Jedoch könnte man nun auch denken, dass die Umkehrung dieser Aussage (Eine Abbildung deren Bild ein VR ist (und damit anschaulich auch wie ein VR aussieht), ist ein VR-Homomorphismus) wahr ist. Das ist jedoch rein formal FALSCH, denn:
Die Eigenschaft, dass das Bild ein VR ist, reicht noch nicht aus, um daraus zu folgern, dass ein VR-Homomorphismus vorliegt (sprich: dass die Definition eines solchen erfüllt ist).
Hierfür gibt es nämlich Gegenbeispiele. Das liegt anschaulich daran, dass das "gezeichnete" Bild zwar wie ein vektorraum aussehen kann, jedoch die einzelnen Pfeile (von Definitionsbereich zum Wertebereich) nicht so "schön geordnet" sind, wie es ein Homomorphismus (laut Definition) erfordert.
Und was meine ich mit "schön geordnet"? Das habe ich versucht, im Video mündlich darzustellen (Geraden werden auf "anschaulich naheliegende Weise" auf Geraden abgebildet, sodass auch die Bilder von Punkten, die "nahe beieinander liegen" auch im Bild "nahe beieinnader liegen").
Es geht also nicht nur darum, wie das (gezeichnete) Bild am Ende für sich allein aussieht, sondern für einen Homomorphismus zw. Vektorräumen muss man quasi "jeden Pfeil einzeln" unter die Lupe nehmen ;)
Vermutlich haben sich das die meisten Zuschauer eh schon so gedacht, jedoch darf man es eben nicht weglassen. Denn so stellt man es sich als Zuhörer vermutlich eh schon vor, jedoch muss dies ja nicht bei jeder Abbildung, deren Bild ein VR ist, der Fall sein.
Deshalb immer schön die Definition nachrechnen, ob es auch wirklich ein Homomorphismus ist ;)
+Math Intuition Jetzt hab ich es verstanden. Danke für die ausführliche Erklärung!
Was ist wenn man nicht mal die Definition versteht? Bringen da Bilder was?
ich liebe dich
Danke 😊 mehr davon gibts auf math-intuition.de , schau rein!
Anfangs war noch alles klar, dann bin ich aber leider ausgestiegen (trotz deiner wirklich perfekten Erklärung :-( Schande über mein Haupt).
Einen Abbildung F:R²->R³ kann ein Homomorphismus sein muss aber nicht -> das habe ich verstanden, dank deiner vielen Beispiele.
Was mir jetzt aber nicht wirklich klar ist. Welche Beispiel von deinen gezeigten sind Homomorphismen?
Ist das Beispiel (Ebene wird auf Gerade abgebildet ) bei 7:30 ein Homomorphismus?
Ist eine Abbildung welche die Ebene auf einen Punkt abgebildet ist auch ein Homomorphismus?
Ist eine Abbildung welche die Ebene auf ganz R³ abgebildet ist auch ein Homomorphismus?
Sollten alle Beispiele Homomorphismen sein, würde dass ja bedeuten dass die Dimensionen von Urbild und Bild nicht zwangsläufig übereinstimmen müssen, korrekt? D.h. Ebenen müssen nicht zwangsläufig auf Ebenen abgebildet werden um strukturerhaltend zu sein, korrekt?
Nur so am Rande:
Ist dann die Abbildung welche du bei ca 6:40 zeigst ein Isomorphismus? da das dann ja eine bijektive Abbildung wäre (oder doch nicht). (Mein Gedanke war: weil ja Bild und Urbild die selbe Dimension kann es eine bijektive Abbildung geben). -> Vielleicht könntest du eine Fortsetzung machen und folgende Begriffe erklären:
Endomorphismus
Isomorphismus
(Epimorphismus, Monomorphismus)
Automorphismus und was es sonst noch so alles gibt :-)
Habe bis jetzt noch niemanden kennengelernt der Mathe verständlicher erkären kann als du! -> Tausend Dank dafür
Danke für deine Fragen und das tolle Feedback! :)
Die Beispiele von 03:30 bis 06.30 sind alles keine Homomorphismen, da das Bild der Abbildung kein Vektorraum (VR) ist. Denn ein VR ist immer entweder nur der Nullpunkt (0-dim. VR) oder eine Gerade durch Null (1-dim. VR) oder eine Ebene durch Null (2-dim. VR) usw. Dass das Bild der Abb. kein VR ist, habe ich auch alternativ damit begründet, dass es bei diesen Beispielen immer Paare von Vektoren gibt, deren Summe nicht mehr in der Menge liegt (bildlich entspricht dies dem erwähnten Parallelogramm mit den Ecken 0, v , u und v+u). Die Menge ist also bezüglich einer Vektoraddition nicht abgeschlossen und damit kein VR.
Ab 06.35 folgen dann 3 Beispiele für Abb.en, die Homom.en sind, da das Bild nun ein VR ist. (Genau genommen ist dies lediglich eine notwendige Voraussetzungen an einen Homom., denn ich habe ja gar nicht gesagt, wie meine Abb.vorschrift genau aussieht, anhand derer ich nachrechnen kann, ob die Def. eines Homom. erfüllt ist. Wen das verwirrt, der möge diese Klammer ignorieren).
Deine Vermutung zu 6:40 (Isom. oder nicht?) ist beinahe richtig. Es wäre ein Isom. gewesen, wenn das Bild der Abb., welches eine Ebene darstellt, bereits der gesamte Wertebereich wäre. Aber leider ist der Wertebereich der R^3 und damit ist die Abb. nicht surjektiv. Jedoch ist sie injektiv, weil kein Punkt rechts "mehrfach" getroffen wurde (vgl. mein Video zu inj./surj.). Injektive Abbildungen sind anschaulich immer solche "Einbettungen" wie in 6:40.
Generell muss jeder Isomorphismus eine Homom. zw. VRen mit gleicher Dimension sein (also Def.bereich und Wertebereich "gleich groß"). Im Video ist dies nicht der Fall, da ich Abb.en von R^2 nach R^3 betrachte.
Ich mache dazu aber gerne noch weitere Videos und kläre auch die anderen genannten Begriffe ;)
Und für jeden Homomorphismus gilt, dass die Dimension des Bildes höchstens genauso groß ist, wie die Dim. des Start-VRs. Damit kann eine Abb. von R^2 auf R^3, deren gesamtes Bild der R^3 ist, kein Homomorphismus sein. Dies liegt daran, dass ein Homomorphismus genau Geraden auf Geraden und Ebenen auf Ebenen abbildet (mal drüber nachdenken!).
Math Intuition
Hallo, wow danke für deine ausführliche Hilfe. Langsam glaube ich alles etwas besser zu verstehen. Daher auch gleich eine Frage zum letzten Satz:
Sollte dieser nicht so lauten:
Dies liegt daran, dass ein Homomorphismus genau Geraden auf Geraden (oder Punkten) und Ebenen auf Ebenen (oder Geraden oder Punkten) abbildet (mal drüber nachdenken!). -> du hast ja selbst geschrieben: "die Dimension des Bildes höchstens genauso groß ist". Höchstens bedeutet dann aber auch dass die Dim auch kleiner sein kann.
hari01071983
Ganz genau! ;) Ich sehe, du hast es richtig verstanden! Mein Satz oben war etwas salopp formuliert und könnte für Verwirrung sorgen.
Folgende gedankliche Eselsbrücke könnte helfen: Eine Gerade ist im Prinzip auch nur eine Ebene mit "Breite=0", ebenso ist der Punkt eine "Ebene mit Länge=0 und Breite=0" bzw. eine "Gerade mit Länge=0". Dann stimmt es wieder zu sagen: Ebenen gehen auf Ebenen und Geraden gehen auf Geraden ;)
Math Intuition
Danke nochmal für deine Hilfe, super erklärt.
Bitte mache weiter so und niemals vergessen -> Beispiele, Beispiele, Beispiele -> Es können eigentlich nie zuviele sein, sondern eher zu wenig.
Wichtig ist auch (wenn möglich) Beispiele unterschiedlichen Typs -> sonst bekommt man einen zu eingeschränkten Blick auf die Dinge.
Anhand deiner Erklärung wird eigentlich der Homomorphismus auf Vektorräume erklärt. Sogar noch eingeschränkter: nur auf Vektorräume über dem Körper R (der reellen Zahlen).( -> es gibt ja auch noch andere Vektorräume leider fallen mir keine ein -> dazu habe ich noch zuwenig das Gefühl für die Materie)
Weiters gibt es jetzt aber auch noch zusätzlich zu den von dir erklärten
- Vektorraumhomomorphismen
folgende (mir nur namentlich bekannte Homomorphismen):
- Gruppenhomomorphismen
- Ringhomomorphismen
- Modulhomomorphismen
... (vielleicht gibt es noch mehr, leider bin ich keine Mathegenie :-( und weiß daher nicht ob es sonst noch was gibt)
D.h. in deinem jetzigen Video würde ich alles lassen wie es ist, nur würde ich mir gerne noch weitere Bespiele von anderem Typus wünschen.
Bitte nicht mein Kommentar nicht falsch verstehen, ist halt nur eine Anregung für Verbesserungen.
(deine Arbeit ist perfekt und soll durch mein Kommentar auf keinem Fall geschmälert werden.) -> 1000 Dank
7:18 Du sagst, entscheidend sei, dass das Bild der Abbildung ein Vektorraum ist. Dann sei die Abbildung ein Homomorphismus. Das ist jedoch falsch! Es ist dafür, dass die Abbildung ein Vektorraum-Homomorphismus ist, notwendig, dass das Bild der Abbildung ein Vektorraum ist. Jedoch ist es nicht hinreichend. Betrachte zum Beispiel f:R->R mit f(x):=x^3. Das Bild der Abbildung ist ein Vektorraum (nämlich R), dennoch ist f kein Vektorraum-Homomorphismus.
Absolut richtig. Das habe ich bereits in einigen Kommentaren unten korrigiert. Ich gehe in dem Video nur auf die notwendige Bedingung ein, nicht auf die hinreichende.
In meinem Skript steht:
Eine Abbildung h: G -> G heißt Homomorphismus, wenn h(x*y) = h(x) * h(y)Für alle x,y Element von G
Warum ist das eine andere Definition als bei dir. Verstehe ich nicht
Deine Definition ist die eines Gruppenhomomorphismus! Eine Gruppe hat nur eine Operation (das Sternchen in deiner definition). Ein Vektorraum hat zwei Operationen. Und in meinem video ging es nur um den vektorraumhomomorphismus!
Math Intuition ich bin dir sehr dankbar. Wäre es möglich mit dir Kontakt über Kik, Insta oder ähnliches zu haben ?
Ilja Richter gern geschehen! Geh mal auf meine website, hol dir das bootcamp (kostenlos) und meld dich einfach per mail. Was ist denn kik?
Was für ein Studiumsgebiet ist das? Mathematik oder Physik?
Mathe, doch ich vermute, dass Physiker sich damit auch beschäftigen müssen.
Math Intuition Ich studiere Informatik und da wird das in Mathe I auch benötigt. Danke für das Video :)
Yeah, schön dass es auch dir hilft! Und danke fürs Kommentar, sowas freut mich immer :)
Puff
mein Kopf tut weh....
Um die Uhrzeit wär das bei mir wohl genauso ;) Zum Glück kann man Videos mehrfach anschauen, nicht so wie in der Vorlesung.
Das ist mit Abstand die dämlichste Einführung des Begriffs Homomorphismus, die ich in meiner fast 50-jährigen Beschäftigung mit Mathematik gesehen habe.
Lieber Herr Neuman, ich bin immer offen für konstruktive Kritik. Doch ihr Kommentar gehört leider aus mehrfachen Gründen nicht dazu:
1. Sie beschreiben nicht, was sie kritisieren.
2. Sie erklären nicht, was wie verbessert werden könnte.
3. Sie sehen Ihre Weltsicht als die absolute und nicht als eine Perspektive.
4. Und am wichtigsten: Sie wahren dabei nicht den nötigen Respekt.
Da hätte ich von mindestens fast 50 Jahren Lebenserfahrung mehr erwartet.