Dualraum - intuitiv erklärt! | Math Intuition
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- čas přidán 13. 02. 2015
- Vorstellung, Idee und Definition zum Dualraum ;)
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#Dualraum #Dualität #Vektorraum
Könntest du vielleicht noch ein Video machen, in welchem du genauer auf die duale Basis und duale Abbildungen eingehst? Oder wie das alles zusammenhängt? Irgendwie steig ich da noch nicht ganz durch...
Hallo Sarah, das ist für die meisten meiner Zuschauer vermutlich zu speziell. Dennoch vielen Dank für den Wunsch!
@@mathintuition also ich würde mich auch über ein Video dazu freuen, insbesondere wie man die duale Basis berechnet :)
Duale Basis wär der Hammer
Das würde mir auch sehr weiterhelfen! :)
Ja bitte 🙏🏻
Das mit den platonischen Körpern ist klasse :) , danke dafür.
Vorstellung um 40% erweitert! Danke dafür👍
Gern! Für noch mehr LA 1 Erklärungen, schau mal hier: www.math-intuition.de/course/lineare-algebra-1-intuition
Dieses Beispiel mit den platonischen Körpern ist ja der Wahnsinn! Jetzt versteh ich das mit Dualräumen auch viel besser und ich kann mir was dazu vorstellen :)) Aber das man aus einem Würfel einen Oktaeder machen kann, das ist unglaublich :D Wow danke für dieses sehr sehr coole Beispiel :)
Danke, fand das Video sehr eingänglich! Mein Lina Prof liebt Dualräume oder auch Doppeldualräume, dementsprechend werde ich mit Übungsaufgaben dieser Art bombardiert. :D
Ein absolut hilfreiches und gelungenes Video! Ich danke dir dafür.
Vielen Dank für die Erklärung. Habe den dualen Raum, denke ich, verstanden.
sehr nett und hilfreich. Bildliche Vorstellungen helfen echt dabei, sowelche Operationen nachzuvollziehen
Super Video. Danke vielmals!
Ich liebe deine mathevideos! das mannigfaltigkeiten- video hat mir soooo unfassbar bei der matheklausur geholfen - (Physikstudium- matheklausur 3. semester) danke danke danke! :)
Yeah, sau cool! Vielen Dank für dein Kommentar :)
Vielen Dank!
Absoluter Ehrenmann! Endlich verstehe ich das Thema mal :D
Nice hat sehr geholfen und Spaß gemacht danke :)
Super Video! Weiter so!
Danke, hat echt gut geholfen!
du bist ein heiliger ehren-mensch. 10000mal danke
Danke, so hat mich noch keiner genannt bisher ;) Noch mehr gibts übrigens auf math-intuition.de
Vielen Darm!
Wirklich ein super Video. Gibt es eventuell noch ein Video in Bezug auf topologische Dualräume? Dort bestehen sie dann ja aus stetig lineare Funktionale
92acco danke für die blumen! Ne, ich habe leider nur das video zu dualräumeb.
Danke!
Es ist schon eine Kunst, in den ersten 30 sec. dieses Videos 6 Mal die Worte "Vorstellung" und "vorstellen" unterzubringen.
Cool! Aber mEth-intuition ist was anderes! :-)
Das "triggert" mich auch jedes mal :D
Wir ballern uns halt den guten Stoff :D
Wie sieht denn ein Homomorphismus zwischen einem Vektorraum und einem Körper aus? Ich kenne nur homomorphismen zwischen Körpern oder zwischen Vektorräumen, oder betrachten wir K als K-VR?
In dem Fall ist K auch einfach K-VR, folgt sofort aus den Körpereigenschaften.
Ganz genau! Stimmt, das habe ich nicht dazu gesagt: Ein Körper K ist automatisch ein 1-dimensionaler K-Vektorraum.
1000Dank für dieses tolle Video. Spitzen Leistung wie immer :-)
Ich stelle mir das Konzept des DUAL Raumes folgenderemaßen vor (noch etwas einfacher):
Ausgangspunkt: ich befinde mich in einer 2dim Ebene (R² um genau zu sein).
Nun kann ich jeden beliebigen Punkt dieser Ebene mit Hilfe von 2 linear unabhängigen Vektoren beschreiben.
Anderesseits, und dass ist jetzt meine Vorstellung eines DUALraumes, kann ich jeden Punkt dieser Ebene auch als Schnitt von 2 Geraden beschreiben.
Stimmt meine Vorstellung? Oder verwechsle ich da was. Laut meiner Auffassung deines Videos sollte ich ja nicht ganz daneben liegen oder habe ich da was missverstanden? Bin mir eben nicht zu 100% sicher ob sich meine Vorstellung eines DUALraumes mit deiner deckt.
Wie gut eine Vorstellung ist, hängt allein davon ab, wie sehr sie dir hilft, dir die Definition (und damit hoffentlich auch die Ideen) dahinter zu begreifen.
Du schreibst nun, dass du dir die Punkte/Vektoren eines Vektorraums nun auf zwei Weisen vorstellen kannst. Und eine Variante davon nennst du Dualraum. Dann wäre doch bei dir der Dualraum und der eigentliche Vektorraum identisch oder verstehe ich das falsch? Das wäre dann leider nicht richtig.
Im Video habe ich die Definition genommen und mir daraus eine Vorstellung gebaut (Dualraum = Menge von Abbildungen vom Ursprungsraum in seinen Körper). Als Ergebnis davon siehst du, wie sich V und V* unterscheiden: Obwohl Beide als Vektorraum interpretiert werden können, so sind es doch völlig verschiedene Dinge (laut Definition). Denn in V* steckt der ursprüngliche Raum V gewissermaßen "irgendwo drin". Insbesondere merkst du daran, dass V und V* in der Regel nicht gleich sind. Während die Elemente von V Vektoren sind, so sind die Elemente von V* komplette (lineare) Abbildungen von V nach K.
Wenn du eine Vorstellung erarbeitest, dann beginne also auch immer bei der Definition des Begriffs. Zeichne dir Bilder wenn möglich, mache dir einfache Beispiele und versuche das ganze zu interpretieren. Eine aus der Luft gegriffene Vorstellung bringt dir oft nicht viel. Du brauchst den Bezug zur Definition.
Ist dieser Punkt am Ende auf dem Würfel z.b. als Funktion f zuverstehen?
Meinst du den Punkt in der Mitte von jeder Seite des Würfels? Ne, damit wollte ich nur was zeigen.
Hallo, hast du auch Videos über Tensoren gemacht? Du erklärst alles andere so gut, dann Tensoren bestimmt auch ;)
Damit kann ich leider nicht dienen :/
@@mathintuition Noch nicht ;) ... ?
Neph1l1m999 leider auch langfristig nicht ;)
@@mathintuition boah , dass geht voll in die Magengrube ;) . Von dir erklärt , würde mir die Tensorrechnung bestimmt leichter fallen
Was ist in dem Zusammenhand der Annulator?
+Willi S. Wenn du weißt, dass die Elemente vom Dualraum V* eigentlich Abbildungen sind, dann kannst du natürlich auch untersuchen, wo diese Abbildungen auf Null abbilden.
Nimm nun eine Teilmenge S von dem ursprünglichen Vektorraum V. Der Annulator (oder auch Annihilator) sind dann genau die Elemente in V* (also die linearen Abbildungen von V nach K), die alle Elemente von S auf Null schicken (für die also S eine Teilmenge des Kerns ist).
+Math Intuition Vielen Dank, super verständlich erklärt!
Also ich hab nicht so richtig verstanden, was diese "dualen platonischen Körper" mit Dualräumen zu tun haben 😅 Ich entdecke da weit und breit nichts, das isomorph wäre zu Abbildungen zwischen im Allgemeinen verschiedenen Mengen
Pogchamp Video.
Ist also der Oktaeder der dem Würfel zugrunde liegende Körper und der Würfel der dem Oktaeder zugrunde liegende Körper?
Man könnte sagen: der duale platonische körper von oktaeder ist der würdel und ungekehrt.
Körper in der Algebra und Körper in der Geometrie sind was komplett Verschiedenes
Wenn ich dann (V*)* mir anschaue sind das Abbildungen der Form f: K -> K mit a -> f(a) ? wobei K der zugrund-liegende Körper von V ist?
Danke schonmal im vorraus :)
+Matthias Landes Hey Matthias,
nee so einfach dann leider nicht ;) Die Elemente von V* sind ja Abbildungen von V nach K. Wobei wir uns Elemente von V der Einfachheit halber als "Punkt" vorstellen.
V** geht jetzt einen Schritt weiter: Das sind dann Abbildungen von V* nach K. Und die Elemente von V* sind ja die uns bekannten Abbildungen von V nach K.
Also sind die Elemente von V** "Abbildungen, welche eine Abbildung als Argument bekommen, und diese auf einen Wert in K schicken".
Bsp: Sei V der R^2. Dann ist beispielsweise f(x,y) = x+y ein Element von V*. Und ein Element von V** ist beispielsweise die Abbildung, welche f auf die Zahl Null schickt.
Etwas klarer geworden? ;)
+Math Intuition ahh ja klar :) danke das war hilfreich
Subtitles in english?
Wunsch nach einem Video: Periodische Brüche!
Du bist Klasse!
So ist es, Bruder^^
Was habe ich geschäumt bei diesem Thema... und eigentlich wärs wirklich "intuitiv" ;)
Profs sind scheiss didakten
Kann das sein dass g(x) keine lineare Abbildung ist? Also g(x) ist kein Element des DUAL Raums!
+Harald Weillechner Stimmt, gut aufgepasst! Wenn ich es jetzt nochmal anschaue, ist das auch tatsächlich etwas didaktisch unschön im Video, weil ich nämlich f und g "doppelt verwende", obwohl ich etwas anderes meinte:
Ich wollte im Video bei den ganz konkreten f(x) und g(x) nur eine Aussage machen, nämlich: "Wie man Abbildungen addiert, kennst du schon von den Polynomen". Dafür waren die Beispiele f und g. Jedoch ist g natürlich keine lineare Abbildung.
Danach mache ich jedoch den unschönen Schritt, dass ich oben hinschreibe: "(f+g)(x) = f(x) + g(x)", welches ich direkt unter die Definition des Dualraums schreibe. Hier meinte ich nicht mehr die konkreten f und g von unten (Polynome), sondern hier waren es wieder "ganz allgemeine lineare Abbildungen".
Ich werde im Video einen Hinweis platzieren. Danke für den Tipp.
@@mathintuition Abgekürzt: An einer Stelle wird g(x) nur verwendet, um zu veranschaulichen: "Wie kann man Abbildungen addieren?" In jenem Beispiel ist g(x) tatsächlich eine quadratische Funktion, also nichtlinear.
sehr geil, hättest aber vielleicht noch paar bsp aufgaben rechnen können.
damit s richtig sitzt
duran ahmet Den Wunsch nehm ich mit auf! Danke für dein Feedback :-)
Was ich nicht verstehe, warum ist der Dualraum nicht einfach immer der VR selbst? Wenn V* der VR aller linearen Abbildungen von V nach K ist, dann ist es doch einfach die Menge aller Vektoren in V, und die können mit dem Skalarprodukt einfach von V nach K abbilden. Oder ist ein Dualraum nicht eindeutig definiert und man darf sich die linearen Abbildungen beliebig definieren? Ich habe es so verstanden dass alle möglichen linearen Abbildungen enthalten sein müssen, und das wären ja einfach alle Vektoren u aus V, nur als Abbildung f(v) = v*u, mit * als Skalarprodukt.. das finde ich so aber nirgendswo ausdrücklich bestätigt, gleichzeitig spricht jede Definition oder Erklärung dafür.
Tatsächlich gilt: Wenn V endliche Dimension hat, dann sind V und sein Dualraum V* isomorph (also - salopp gesagt - "identisch" bis auf ggf. verschiedene Notationen). Aber im unendlichen Fall gibt es durchaus sehr viele Unterschiede und das motiviert den Begriff Dualraum.
@@mathintuition Oh man, danke 😅 so ein Kommentar würde viele Erklärungen von Dualräumen klarer machen..
Mir ist der Bezug vom Ersten Bild mit den Orthogonalen Vektoren zu den Kotangentialräumen nicht klar geworden. Danach dann die Formale Definition eines Vektorraums und des Kotangentialraums erklärt, welche für sich schon fast selbsterklärend ist und dann ein Beispiel, das zugegebenermaßen ganz überraschend war. Im großen und ganzen hat es mir aber genau gar keine Intuition zu einem Dualraum gegeben... Irgendwie verfehlt das Video sein Thema an der Stelle.
Hast du mich gerade Aal genannt???
aaaaaaaaaahhhhh Danke
Du solltest Matheprofessor werden und die Didaktik der Hochschulmathematik reformieren. Das meine ich ernst!
Danke :) Ich weiß das zu schätzen, aber doch eher unwahrscheinlich ;) Kennst du schon meine anderen Videos und Artikel auf math-intuition.de ? Wenn nicht, schau mal vorbei :)
Mann, Mann, Mann. Da geht ja alles drunter und drüber. Und dann teilweise auch noch Bullshit dabei. Nach 5 Minuten wegdrücken, ist der einzige Ausweg. Danke trotzdem für die Bemühungen.
was genau findest du Bullshit? PS.: warum hast du eine Öffentliche Playlist mit Babyvideos?
4:45 oder V^V und du fragst dich was der Quatsch soll, weil du nichts findest bei Google... :D
Danke!