02. Séries numériques : Premiers exemples et série géométrique.
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- čas přidán 11. 09. 2024
- Dans ce deuxième volet consacré aux séries numériques, nous allons examiner nos premiers exemples de séries. Les exemples traités ici ont tous la particularité que leurs sommes partielles admettent une explicite sur laquelle on peut travailler pour établir de la convergence.
Nous traiterons également en détail le cas de la série géométrique, série importante qu'il faut absolument connaître.
Prérequis : connaître la définition d'une série numérique.
Merci très claires vos explications 😊
Bonsoir Mr. Votre cours est très bien fait, très bien expliqué. J’aurais suggéré de rédiger la définition et à chaque fois partir de cette rédaction là pour développer le reste. Je veux dire rédiger Serie an=lim(n-tend +infity) de Sn = (a0+a1+a2+....+an) en précisant que la série a le symbole somme et infinie, pourtant la suite des sommes partielle a le symbole somme et n.
NB: il n’est pas possible de rédiger les symboles ici mais bon j’espère que vous m’avez compris.
Merci pour votre cours
Merci infiniment 👍👍👍
Merci pour le cours :)
merci becoup
merci bcp pour cette vidéo
Merci 🙏🏾
Si la limite d'un suite géométrique est égale à zéro cela signifie t'il que la raison de cette suite est entre -1 et 1?
Bonjour,
Oui. Plus précisément, la raison est strictement comprise entre -1 et 1.
Bonjour, merci pour cette vidéo. J'ai tout de même une question concernant la notion de limite d'une série. Pour les séries géométriques, la formule de calcul des sommes partielles se démontre par sommation télescopique finie, linéaire, stable et régulière comme dans votre vidéo, en revanche est il vraiment licite d'en déduire par transitivité que cette formule est aussi valable en +l'infini, d'une part parce que +l'infini ne fait pas partie du domaine de définition de la série en question et d'autre part parce que étendre les résultats d'une somme finie, linéaire, régulière et stable à une super somme qui ne respecte plus ces propriétés n'est pas très rigoureux il me semble. Or, c'est bien la valeur de cette super somme qui définit par égalité stricte la limite d'une série, d'ou mon interrogation sur la notion de limite !! Dire et écrire qu'une limite est "égale à" me parait être fortement discutable, pourquoi ne pas s'être arrêter à dire et écrire que la "série tend vers", c'est quand même beaucoup plus clair, parce qu'en mettant un signe égal, on en déduit que S(+l'infini) serait strictement égal à une valeur finie, cela n'a pas de sens. Qu'en pensez vous ?
Bonjour,
Il faudrait que vous vous penchiez sur la définition de la limite d'une suite, car je crois que vous confondez limite et domaine de définition d'une application (ici l'application définie à l'aide de la somme géométrique).
@@math-sup Bonjour, merci de votre retour. Soit je me suis mal exprimé soit vous m'avez mal compris. Ce que j'essaie d'exprimer est qu'il n'y a aucune ambiguité à dire et écrire qu'une série "tends vers" quand sa variable "tends vers", on comprend cette expression de la même manière pour une série divergente ou une série convergente, dans les deux cas on comprend que la série ( ou l'application ) n'atteint jamais la valeur vers laquelle elle tend. En revanche, dire et écrire que la limite de la série est "égale à" amène à comprendre à tort que dans le cas d'une série convergente, cette série atteint sa limite or c'est faux, c'est une tendance, pas une égalité au sens stricte. D'ailleurs, et c'est pour cela que j'ai introduit la notion de domaine de définition, +l'infini n'appartient ni à N ni à R, on ne peut donner de valeur finie au sens de l'égalité stricte à une série ou à une application quand sa variable vaut +l'infini, c'est hors domaine de définition !! C'est avec ce genre de confusion ( une limite n'est pas seulement indépassable, elle est aussi et d'abord INATTEIGNABLE ) que l'on en déduit par exemple que 0.999.....=1 sans comprendre qu'il s'agit plus d'une équivalence entre deux conventions d'écriture mathématiques définissant la tendance en +l'infini de la série géométrique convergente qui décrit 0.999.....que d'une égalité au sens stricte. Bien à vous.
@@nykho53Ah oui, je comprend mieux ! Alors en effet, il ne faut pas confondre la série qui est une suite de sommes partielles avec sa limite. Certains auteurs utilisent deux notations distinctes mais proches pour les distinguer (par exemple une somme sans infini pour désigner la série et une somme avec le symbole infini pour désigner la limite). Pour ma part, j'ai fait le choix de ne pas distinguer les notations, j'en fait mention dans ma première vidéo sur le sujet (czcams.com/video/Gb93VWQCU7g/video.htmlsi=g76mvlnEY2WAOkq_&t=694). Je préviens le lecteur qu'il faut s'appuyer sur le contexte ou l'ajout de certains mots dans les explications pour faire la distinction. Ce choix est discutable, mais en ce qui me concerne, pleinement conscient et assumé. Mais peut-être est-ce un mauvais choix...
@@math-sup Effectivement, le système de notation est ambigu mais ce problème se règle facilement en désignant en amont ce de quoi on parle comme vous l'expliquez très bien.........mais ce n'est pas le seul problème dans cette histoire. La démonstration rigoureuse de la valeur d'une somme partielle se fait par sommation télescopique classique régulière, linéaire et stable, ce qui nous permet d'en extraire la formule de calcul d'une somme partielle au rang n, le problème c'est que pour le calcul de la limite, on étend la formule de calcul d'une somme partielle à une super sommation infinie qui ne respecte plus ces propriétés de régularité, stabilité et linéarité sans se demander si ce que l'on fait est vraiment rigoureux et/ou licite et pour couronner le tout on met un signe égal. Selon moi, on ne ne peut calculer la valeur de la série +l'infini, encore une fois c'est hors domaine de définition, de la même manière si une série est définie sur N, on ne peut calculer sa valeur en n=Pi, c'est hors domaine de définition !! La notion de limite est donc une notion très ambigue pour plein de bonnes raisons, c'est peut être commode mais en dehors de cela je ne comprends pas pourquoi on a inventé ce concept et encore moins pourquoi on l'utilise pour faire des calculs sans comprendre que c'est à minima très approximatif pour ne pas dire pas rigoureux du tout. Cordialement
@3Je comprends que vous accordez une grande importance aux notations qui sont pour vous un moyen de s'assurer de la plus grande rigueur possible. Ainsi, si je comprend bien, vous reprochez l'usage du symbole infini dans la sommation. De la même manière que l'on n'écrit pas u_\infini pour désigner la limite d'une suite (u_n)_{n\in N}. Cependant, un trop grand excès de rigueur a tendance à tuer la lisibilité et la concision.Il n'y a que dans des domaines très particuliers (comme dans la théorie de la démonstration par exemple), où une grande prudence est de mise. Pour ma part, je suis partisan d'un peu de souplesse, pourvu que l'on fasse les avertissements nécessaires en amont.