Тригонометрическое уравнение: cos(z)=2, а при чём тут формула Эйлера?
Vložit
- čas přidán 26. 11. 2019
- Из этого видео вы узнаете, может ли косинус быть равен 2, как решить тригонометрическое уравнение cos(x)=2, используя комплексные числа, как определить функции от комплексного переменного (sin x, cos x, e^x) через ряды Тейлора и получить известную форму Эйлера.
Следующая ступень на пути к просветлению - осознать физический смысл косинуса, равного 2 🙄
Пошел за грибами 🍄
Супер! Всё по полочкам от восьмого класча и до университетской скамьи. Спасибо!)
Шикарное видео, очень хорошо, что вы включили выведение формул, все стало понятно
У тебя очень хороший канал
Не останавливайся
спасибо! новые видео еще лучше :) посмотрите новогоднее! ;)
@@Hmath Искал интеграл Эйлера-Пуассона, ваше понравилось. Я студент первого курса и столкнулся с этим в выводе распределения Максвелла. Вот было мое удивление когда я не смог взять интеграл e^-x^2. Люблю такие моменты, сразу видишь насколько мало ты знаешь.
@@Hmath Еще осталось разобраться с повторными интегралами.
А вообще, возвращаясь к вашему каналу, на русском ютубе очень мало хорошего контента. В основном всплывают видео по теме ЕГЭ, что жутко надоедает и не дает разобраться в сути.
да, я сам ничего практически по математике на русском не смотрю. в русском ютьюбе что бы ни пытался искать по математике, все будет забито ЕГЭ :)
@@Hmath Вот я и рад что вы есть.
Отличное видео. Большое спасибо за вашу работу.
Как нас учили на военной кафедре, в военное время (как сейчас) косинус может достигать четырех и на действительной оси!
Это да, и черное можно называть белым (как сейчас)
Предполагаю, что фраза "косинус может достигать четырех" относилась к той части формулы, в которую входил косинус - именно эта часть и могла достигать четырех.
Считать военных недалёкими - заблуждение.
@@alexandergretskiy5595 Недалекий человек это ты. На военной кафедре военные знают что студенты считают их тупыми но молчат. Поэтому троллят студентов прикидываясь гвоздями а студенты не остаются в долгу. Хохм очень много и по ним и идет "соревнование". А дурь она у всех есть.
Запросто косинус может достигать четырёх на действительной оси для чисто мнимых аргументов. Синус, в свою очередь может достигать четырёх, если его мнимая часть равна половине пи.
@@FastStyx нет. В военное время косинус достигает 4 без всяких комплексных заморочек. просто на форсаже.
Отличное объяснение
Видео топ! Спасибо!
Thanks. Everything was nice.
Спасибо автору за формулу. Я немного с ней проигрался и вывел так сказать общую формулу для нахождения любого числа. Может кому-то пригодится.
cos(±i*ln(±√(х²-1)+х)+2πk)=х
Выводится это формула достаточно просто. Повторяем те же действия что и автор данного видео, но заменяем cos(z)=2 на cos(z)=x.
(e^(it)+e^(-it))/2=х
e^(it)+e^(-it)=2х |*е^(it)
e^(2it)-2xe^(it)+1=0
e^(2it)=k
k²+2k+1=0
K(1;2)=±1/2*√(4k²-4)+k
k(1;2)=±1/2√(4*(k²-1))+k
k(1;2)=±√(k²-1)+k
Дальнейшие шаги не вижу смысла расписывать так как с этим прекрасно справился автор.
в середине что-то х пропал :)
Да, во-первых, в середине пропал x, во-вторых, дискриминант может получиться и отрицательным и комплексным (в зависимости от x), а значит, аргумент может быть другим.
@@oleg.shnyrkov Второй пункт учтён. Посмотрим на формулу внимательно. Да я понимаю что я её плохо доказал, но ты сам можешь её через калькулятор проверить. Или даже построить график чтобы убедиться что она верна
сюда бы еще добавить визуализацию cos(z) в комплексных значениях, мне кажется забавнвя волнистая поверхность получилась бы
необычное видео
Еще можно было бы рассказать про математический смысл возведения в мнимую степень.
Экспонента от мнимого аргумента. exp(i*fi) - это поворот на комплексной плоскости на fi.
А в целом возведение z=exp(lnr+i*fi) в мнимую степень меняет местами реальную и комплексную компоненты.
А также показать, как устроен график cos(z), и где он достигает двух.
ради любопытства, а как вы представляете себе график функции комплексного аргумента?
Аргумент функции комплексное число - его значит откладываем на плоскости (2 оси), и значение функции - тоже комплексное число, чтобы его как-то изобразить, понадобится еще 2 оси. Т.е "график" такой функции будет в 4-х мерном пространстве.
@@Hmath по третьей оси можно откладывать отдельно модуль и фазу. в данном случае нас интересует модуль
ну т.е нужно изобразить 2 поверхности отдельно. Надеюсь, кстати, понятно, что |z|=2 и z=2 - это не одно и то же :) т.е если изобразить только поверхность соответствующую |cos z|, то точек, где |cos z| = 2 будет значительно больше, чем тех, где cos z =2
@@Hmath да, размерность первого множества скорее всего будет на 1 больше. спасибо за интересный момент))
Спасибо. А есть ли графическая интерпретация решения?
Тут такая проблема: чтобы представить комплексное число, нам нужна двумерная плоскость. Значения функции также комплексные. То есть для того, что бы графически интерпретировать график функции, нам нужно 4-мерное пространство
Вот определили мы косинус и сунус на поле комплексных чисел, а геометрический смысл есть у них какой-нибудь? Может их свойства связаны с геометрией пространства?
Как научиться также красиво писать мышкой? 😍
Ах, если бы я знал. Хороший способ: писать не мышкой. Им я и пользуюсь ;)
❤❤❤
Пожалуйста, ответьте на вопрос. Какой смысл имеет возведение числа в степень с комплексным показателем? Какую пользу это приносит?
Практически везде в физике это используется. От электричества до квантовой механики.
Почему пишет "видео не доступно"?
12:53 чему будет равен аргумент если допустим e^iz < 0 ???
Был бы pi + 2pi*k
Вот как я решал:
cos(z) = 2
cos(z) = (e^(iz)+e^(-iz))/2 = 2
Домножим на 2:
e^(iz)+e^(-iz) = 4
Домножим на e^(iz):
e^(-iz)×e^(iz) = e^(iz-iz) = 1
(e^(iz))²+1 = 4e^(iz)
Получаем квадратное уравнение:
(e^(iz))²-4e^(iz)+1 = 0
Находим два корня по дискриминанту:
e^(iz) = 2±√3
Логарифмируем:
iz = ln(2±√3)
Домножаем на -i и получаем:
z = -i•ln(2±√3)
Надеюсь, кому-то будет интересно
Спасибо
iz*(-i)=z*(-i^(2)), а не z
@@chghswwldp2862 z*(-i^2) = z*(-(-1)) = z
Да уж. Эх... Ни когда не понимал.
Сначала я нашёл синус ± i*sqrt(3)
Далее тождество
e^(iφ)= 2 ± i*i*sqrt(3)
e^(iφ) = 2 ± sqrt(3)
iφ = ln(2 ± sqrt(3)) + 2iπn, n c Z
φ = -i*ln(2 ± sqrt(3)) + 2πn
φ = i*ln(2 ± sqrt(3)) + 2πn
Косинус от комплексного числа. Это же безумие) хотя...
Автор, Вы случайно не потомок Андрея Петровича?
какого Андрея Петровича?
@@Hmath Андрей Петрович Киселёв математик советский)
нет, не потомок
Значения ln[2+sqrt(3)]=1,317 и ln[2-sqrt(3)]=-1,317 равны по модулю, но отличаются знаком - это просто совпадение или тут есть какой-нито глубинный смысл?
наверно, глубинный смысл в том, что 1/(2+sqrt(3)) = 2-sqrt(3) :)
Когда разность квадратов в логарифме равно 1 то +- можно из него вытащить: ln(a +- b) = -+ln(a - b), при а^2 - b^2 = 1
А давайте решим уравнение |x| = -1 (минус один). Начнём с того, что любой школьник, сдающий ЕГЭ скажет что тут ошибка, и модуль может быть только неотрицательным... И тут я скажу, что недавно придумали новые числа, модуль которых есть отрицательное число, тогда как-будто понятно, x = ± j (где j новая хитрая единица). Так вот интересная задача, найти квадрат этой самой хитрой единицы. То есть, если |x| = -1, найти x^2 = ? А что, по аналогии, ведь для параболы же придумали мнимую единицу x^2 = -1, x = ±i
чего тут думать. Как в школе учили: x=+-arccos(2)+2пn
комплЕксных
кОмплесные
ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число
@@Hmath с большим уважением как к математику, но уточните пожалуйста ещё раз)
(ссылка битая)
@xleoxjeffx Ко́мпле́ксные чи́сла
под каждым видео это странное франкофильство с ударением :) И главное, все прекрасно знают, что в русском языке есть общеупотребляемое слово с ударением на первый слог и только узкий кружочек математиков очень любит отделять себя, используя французское ударение.
@@Hmath а, то есть там два ударения? то есть не так уже и однозначно, да?
кружок настолько узкий, что третий раз в жизни слышу ко́мплексные числа, вместо компле́ксные. наверное у нас кафедра французской математики
несомненно :) Можно, кстати, даже какую-нибудь перекличку уже организовать. Интересно, где географически базируются любители ударений на Е :) Есть ведь еще и физики и вообще все остальные люди, которые используют слово "комплексный" с ударением на О - явно всех их больше, чем одна кафедра :)
Ну начнём с того, что школьники, сдающие ЕГЭ не должны говорить об ошибке в уравнении, так как левая и правая часть могут быть в уравнении любыми, их дело его решить. Даже, казалось бы такое абсурдное 1=2, x=? Кто решит?
Да, из логарифма можно плюс минус вытащить, сопряженные комплексные в ответе куда симпатичнее 😊
Клёво вам, математикам! Упёрлись в нерешаемую проблему? Ха, ща мы мнимую единицу и комплексное поле добавим, и всё норм! А чо такова?)
Потом упрёмся в повороты 3Д, ага, вот вам кватернионы и октанионы! Замечательно! Студенты пляшут и машут? Нет? Ой, а чо такова?)
в математике много такого, когда для решения сложных проблем создаётся мощная теория