Interpolationspolynom (Lagrange) berechnen | Einfach Erklärt + Vor-&Nachteile
Vložit
- čas přidán 17. 08. 2024
- Das Interpolationspolynom ist ein Polynom durch exakt vorgegebene Punkte, z.B. Messwerte. Wegen ihrer besonderen Eigenschaften bieten sich Polynome besonders als Ansatzfunktionen an. In diesem Video lernst du am Beispiel ein Interpolationspolynom nach Lagrange aufzustellen, sowie die Vor- und Nachteile dieser Rechnung.
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inhalt:
0:00 Was ist ein Interpolationspolynom?
0:45 Lagrangesche Darstellung
1:24 Beispiel + Erklärung
6:54 Zusammenfassung
8:13 Vor- und Nachteile des Lagrangeschen Interpolationspolynoms
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
MathePeter, der einzige Mathematiker dem ich das glaube wenn er sagt "einfach nur" :D
Dieses Video hat mir definitiv den Tag gerettet. Unfassbar gut erklärt. Absolut übersichtlich. Ich habe noch nie jemanden erlebt, der Mathe so gut erklären kann
Würde man in der Vorlesung auch nur 1 Minute dafür aufwenden ein Tafelbild wie am Ende zu zeigen und fix zu erklären, dann würde man sofort die Theorie verstehen. Ich verstehe es einfach nicht warum man immer nur Theorie macht und den Kauderwelsch kann man sich dann selbst zusammenbasteln. Einmal ein Beispiel, dann die Theorie und jeder hat es sofort verstanden. Danke dir
Danke von Herzen. Ich lerne auf eine Numerik Prüfung und das Video hat sehr geholfen
Ingenieurmathematik 1-3 im Saarland dank Dir durchgeballert :)
Mathe 4 steht in zwei Wochen an.
Danke für deine Videos
Schafft man das in 2 Wochen?... Ab Montag ist es soweit. Frage für `nen Freund.
Danke Danke Danke
Das hätte unser Dozent nie so simpel erklärt.
Informatikstudium ohne Mathepeter wäre unmöglich
Tolles Video, sehr verständlich und perfekte Ergänzung zum Lehrbuch, was viel zu kompliziert geschrieben ist. Danke!
Wow. Selten so eine gute Erklärung gesehen. Finde es richtig gut, dass du davon ausgehst, dass es Leute gibt, die die Zwischenschritte nicht einfach im Kopf haben. Konnte es so richtig gut nachvollziehen. Danke für deine Mühe
Gerade das Transferwissen mit dem Versuchsaufbau und den konstanten Messpunkten(auf der Zeitachse) war super. Das hilft richtig ein Gefühl dafür zu bekommen ! Dank dir :)
Wow! Ich weiß echt nicht wie mein Uni Prof es schafft so etwas soo unglaublich kompliziert und umständlich zu erklären...
Danke für die gute Erklärung!
Themen für die es ein Mathe-Peter Video gibt, sind die, bei denen ich mich in der Klausur regelrecht freue, wenn sie drankommen :)
Ich schaue ungern Tafel-/Whiteboard-Erklärvideos, weil die Qualität von Sprache und Schrift meist so niedrig ist. Nicht so hier: In deinen Videos zeigt sich, wie man das Potential richtig gut ausschöpfen kann, ergänzt von Einblendungen an passenden Stellen. Einfach perfekt! In der aktuellen Corona-Situation kann ich meinem Dozenten keine Fragen stellen, ich muss mir das Skript daher im Selbststudium aneignen. Die Videos eignen sich super als Grundlage, um die Theorie im Skript einordnen zu können. Vielen Dank dafür!
Auch hier ist der Mathebizeps am Start
Hab nächste Woche meinen letzten Versuch in der Numerik-Klausur. Du rettest mir, mit deinen Videos, gerade ganz schön den Arsch! :D Bester Mann!
Endlich kurz, knackig aber gut verständlich erklärt. Tolles Video :)
Holy shit, dieses Video hat gerade ein super kompliziertes Thema super greifbar gemacht. Sehr gut strukturierter Vortrag. Oh man. Das sind ja wirklich viele Berechnungen. Ich hatte schon davon gehört, dass Lagrange-Interpolation recht rechenintensiv sei, aber wollte mich selbst davon vergewissern :D
Das ist so motivierend wie du das vorträgst. Mit so einer Power, richtig klasse. Mach weiter so
Deine Videos sind die besten Mathehilfe-Videos auf ganz YT!
Vielen Dank für die gute Erklärung! Als Bulgare konnte ich dich viel besser als meiner bulgarischen Lehrerin verstehen :)
Vielen Dank, viel besser erklärt als die Professorin
Danke für das Video! Ausführlich und hervorrragend erklärt. Sprachlich und visuell wirklich qualitativ hochwertig!
Kurz nur die Fakten gepackt und super gut erklärt 🥹 warum können das Professoren nicht
du bist mal wieder gold wert, danke!
Was bist du eigentlich für ein Ehrenmann! 👈
Hey, deine Videos sind echt gut und die Themen recht einfach erklärt. Aber weshalb redest du mit uns, wie mit Kindern?
Bin es aus meinen Hörsaal Übungen gewohnt mit hunderten Leuten gleichzeitig zu arbeiten. Es sollen einfach so viele Leute wie möglich das Thema beim ersten mal verstehen. Also einfach wegen Effizienz.
Das stört mich wirklich auch ein bisschen...
Du Kind
Danke für die Erklärung. Ohne dich hätte ich es nie verstanden :)
Unglaublich gut und veständlich erklärt!
Ich küss doch dein HERZ, danke dir
Wer ist dieser Daniel Jung?
Spaß beiseite, super erklärt. Gut auf den Punkt gebracht. Schlichtweg viel zu wenig Views und Abonnenten für die Qualität.
Grüße von der TU Braunschweig.
PS: Drückt mir die Daumen für die Numerik Prüfung morgen
Haha danke dir! Viel Erfolg, schreib mal wie es gelaufen ist :)
tolle videos und super hilfreich, um meinen mathekurs zu bestehen :D kann dieses vormat nur weiterempfehlen
vielen vielen Dank für deine gute Erklärung:).
mega geil, vielen dank warst ne große hilfe
Danke für des Video :) in der Mathe Vorlesung war ich komplett raus, aber is ja eigentlich gar net schwierig xD
Freut mich, dass du es so siehst!! :)
Erwähnenswert ist auch noch, dass man den Maßstab verändern kann. Wenn man in der Klausur die Punkte 1750, 1755 und 1760 hat kann man stattdessen Lagrange am Punkt 0,1 und 2 berechnen. Dadurch ist ein x dann 5 Jahre und bei -1750/5 ist das Jahr null
Heilige Makrele!!! Richtig gut erklärt!
Sehr gut, danke dir!
Wirklich sehr gut erklärt, vielen Dank :)
Super erklärt vielen Dank 👌
Sehr gutes Video!
Hallo MathePeter ich bin seit zwei Jahren ein Fan von deinen Videos, da du sehr gut erklären kannst und auch immer einfache Beispiele lieferst.
Zum Thema Interpolation, bin ich aktuell auf ein Problem gestoßen. Es geht um eine Interpolation mit zwei Variablen... sprich man hat gegebene Punkte [(x0,y0),z0], [(x1,y1),z1] usw...
jetzt ist die Aufgabe eine Interpolation zu finden für andere x und y werte. Dieses P(x,y) sollte mir dann eben werte für z liefern. Alles was ich dazu bisher im Internet gefunden habe war auf einem viel höheren Mathematischen Level und ich konnte dem nicht wirklich folgen. Vielleicht kennst du dich ja mit dem Thema auch aus und kannst es verständlich erklären :)
Viele Grüße aus Nürnberg
Hey Erik, damit hab ich mich auch noch nicht beschäftigt. Aber klingt interessant, ich schreibs mal mit auf die Liste. In 1-2 Monaten kommen aber wieder mehr Uni Themen. Mal schauen, was ich da noch angehe :)
Sehr geil!
Lak Mathepeter du bist king
Danke von einem Maschinenbaustudenten im 4. Semester 😊
super erklärt danke dir
Danke Danke Danke!!! Deine Videos sind klasse, bitte mehr davon! Hermite und Newton Hermite Interpolation wären noch super cool.
Hab ich bereits!! War nur falsch beschriftet, danke dafür! Schau mal rein: czcams.com/video/4O5drXe5bOQ/video.html
Toll erklärt Danke :-)
dankeeeee❤
Danke, hat mir sehr geholfen :)
Danke Meister!
Danke!
Vielen Dank für die Erklärung ich habe es völlig verstanden :D
Läuft!
danke
Sehr gute Arbeit. Weiter so!!
Spitzen-Video. Die Lagrange-Polynome sind ja noch ohne multipliziertes y ?!
Genau, Die Basispolynome sind ohne die Funktionswerte. Das macht diese Art der Interpolation ja so attraktiv, wenn es mehrere Messreihen gibt, bei denen die x-Werte immer gleich sind und nur die gemessenen y-Werte variieren :)
@@MathePeter 👍 Danke:)
Du bist so abnormal krass...
Hi, ist jeder Faktor schon die Newtondarstellung, also lagrange ist die Multipl. Von gewünschten/erfoderlichen Newtondarstellung. Wenn ja, gibt es auch eine andere Newton-darstellung bzw wann wird sie gefragt?
Ja, die Interpolationspolynome von Newton und Lagrange sind gleich und sind eindeutig.
Hey sehr gutes Video, kannst evtl. noch ein Video zur Monomdarstellung hochladen:)
Hey, ich habe einen Graph vom Grad 3 mit 3 Nullstellen, dürfen jedoch nur 3 Stützpunkte wählen. Geht das denn überhaupt? Man kommt doch sonst nicht auf x^3 wenn man nur 3 Punkte hat oder?
So ein Zufall. Ich habe eine ähnliche Aufgabe. Wäre toll, wenn MaddePedda uns helfen könnte. #großeNot
Um ein Polynom vom Grad 3 eindeutig zu bestimmen, braucht man schon 4 Punkte. Wenn ich nur die 3 Nullstellen nehme, dann gibt es unendlich viele Polynome vom Grad 3, die da durch laufen. Vielleicht steckt ja in der Aufgabe noch etwas versteckt eine weitere Information. Oder du sollst nur irgendein Polynom vom Grad 3 bestimmen, dass durch die 3 Punkte hindurch läuft?
Danke, dass du dir Zeit nimmst, Pedda
👍👍👍
Sehr gutes Video. Bei mir kommt nur ein Problem aus. Wie muss ich vorgehen, wenn ich aus beispielsweise 5 Punkten eine Funktion 3. Grades aufstellen möchte? Alle 5 Punkte haben dazu auch noch unterschiedliche Argumente, sodass ich nicht eins einfach vernachlässigen könnte, da es in der Lagrange-Basis schon wegen eines anderen Punktes (bzw. x-Wertes) vertreten ist. Ich hoffe, mein Problem ist verständlich. Vielen Dank im Voraus.
Kannst du deine Aufgabe mal im Detail schildern?
@@MathePeter Gefragt ist nach dem Lagrange-Polynom dritten Grades zu den Punkten A(0|1), B(1|1), C(2|2), D(3|1) und E(4|1). Die Polynomfunktion wird dann noch in der allgemeinen Form ax³+bx²+cx+d verlangt, aber das ist eher nebensächlich. Ich weiß nur nicht, wie man aus 5 Punkten eine Funktion 3. Gerades mithilfe der Lagrange-Methode bestimmt.
Die Aufgabe ist wahrscheinlich falsch gestellt. Setz doch mal deine Punkte in die Gleichung y=ax³+bx²+cx+d ein und versuch nach a, b, c und d aufzulösen. Du hast 5 Gleichungen und 4 Unbekannte. Mit der letzten verbleibenden Gleichung ergibt sich ein Widerspruch. Das ginge nur auf, wenn eine der Gleichungen linear abhängig von den anderen wäre. Zeichne dir aber einfach mal die Punkte in ein Koordinatensystem ein. Dann siehst du direkt, dass es kein Polynom vom Grad 3 geben kann, auf dem diese 5 Punkte liegen.
@@MathePeter Vielen Dank, ich werde es versuchen. Dass da keine kubische Funktion rauskommen kann, dachte ich mir schon fast. Jedoch habe ich mehr an mir als an der Aufgabenstellung gezweifelt. ^^
stark da
Moin Super Video! Aber als Matheanfänger kann ich ganz am ende nicht nachvollziehen woher die x³ -x²-x+3 Gleichung kommt :D also wie wird das ganze ding da zusammengerechnet das das rauskommt?
Das ist nur ausmultipliziert. Zugegeben sehr lästig, aber auch nicht wirklich notwendig. Ich wollte es nur zusammenfassen, damit du es schnell die Richtigkeit mit einem Programm überprüfen kannst :)
Ehrenmann
Ehrenmann!!
Hey Peter,
Wie funktioniert die Interpolation im dreidimensionalen Raum?😅
Keine Ahnung, hab ich noch nicht gemacht 😂
was ist wenn ich nur 3 Stützpunkte habe, erstellt man dann immer noch 3 brüche oder verkürzt sich dann auf 2 ?
Das verkürzt sich dann auf 2. Anzahl Brüche = Anzahl Stützstellen - 1, weil ja genau der x-Wert mit dem gleiche Index, wie das Basispolynom, rausgelassen wird.
Ich habe mit Hilfe deines Videos versucht eine Aufgabe zu lösen bei der ich ein Polynom zweiten Grades ermitteln soll von dem ich jeweils vier x- und y-Werte gegeben habe. Ferner ist noch angegeben, dass einer der y-Werte falsch ist und ich diesen herausfinden, berichtigen und das Polynom angeben soll. Da du am Ende deines Videos erwähnst, dass die y-Werte nicht so essentiell für die eigtl. Aufstellung des Polynoms sind habe ich die Rechnung aufgestellt und eine Kurve erhalten bei der die Kurve aber durch alle Werte verläuft auch durch den angeblich falschen. Gibt es noch zusätzliche Bedingungen die man bei beachten muss oder ist für meine Aufgabenstellung das Lagrangeverfahren eher ungeeignet?
Für ein Polynom vom Grad 2 brauchst du genau 3 Punkte, um es eindeutig zu bestimmen. Sofern keine weiteren Informationen gegeben sind, wüsste ich nicht, wie man einen der Werte als "falsch" einordnen kann. Was ist das Kriterium für "falsch"?
@@MathePeter Danke dir für deine schnelle Antwort. Meine Aufgabe lautet wie folgt:
Ein Polynom zweiten Grades p(x) wird an den Stellen x0 = -2, x1 =-1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 2 ausgewertet. Als Funktionswerte yi = p(xi) werden ermittelt: y0 = 10, y1 = 3, y2 = 0, y3 = 2, y4 = 6.
Später wird bekannt, dass durch einen Bedienungsfehler nur vier dieser Funktionswerte korrekt sind, d.h., genau einer der y-Werte ist falsch.
Bestimmen Sie diesen falschen Wert und ersetzen Sie ihn durch den richtigen. Geben Sie außerdem das Polynom p(x) an.
Ich habe es mit dem Lagrange verfahren probiert weil du am Ende vom Video erwähnt hast, dass die y-Werte bei der Berechnung nicht entscheidend sind, sondern nur die x-Werte. Daher dachte ich dass ich das Polynom berechne, dann alle y-Werte einsetze und so den falschen Wert finde. Meine Kurve geht jedoch durch alle Punkte, ich habe mir den Graf ausgeplottet und die Stützstellen überprüft.
Ja genau. Ist eine schöne Idee von dir, allerdings macht ein Interpolation genau das: Es geht durch alle Punkte hindurch. Eine Möglichkeit wäre zu je drei der fünf Punkte das Interpolationspolynom aufzustellen. Wenn ich grad keinen Denkfehler hab, dann sollten alle Polynome übereinstimmen, in denen der "falsche" Punkt nicht enthalten ist. Aber es gibt sicherlich auch noch einfachere Ideen.
@@MathePeter Danke dir für den Tipp, damit hat es geklappt. Ich konnte die falsche Koordinate herausfinden und die Funktion aufstellen. War zwar etwas stumpfsinnig über trial & error die richtigen Werte zu ermitteln und immer wieder andere Kombinationen zu versuchen aber immerhin hat es geklappt und sich der Aufwand gelohnt.
Das freut mich! Wenn du von einer schnelleren Methode erfährst, die Aufgabe zu lösen, dann sag gern noch mal Bescheid :)
was ist wenn mehrere bzw weniger punkte gegeben sind? suche ich mir bei zuvielen punkten 4 aus oder rechne ich mit allen punkten ?
Immer mit allen Punkten rechnen, die gegeben sind. Denn das Polynom soll ja durch jeden dieser Punkte durch gehen am Ende.
Ist der maximale Grad der Interpolation n-1 Datenpunkte?
Ja genau, mit n Datenpunkten bekommst du ein Polynom vom Grad n-1.
1:22
kannst du mit Gedankenkraft schreiben?
Das lernt man im Mathestudium xD
gutes video :)
Kann man dich als Nachhilfelehrer engagieren? :D
Sympathischer geht ja eigentlich gar nicht! Danke dir :)
Haha vielen Dank!! Grundsätzlich ja, bin nur zur Zeit wieder viel mit Videos beschäftigt :)
Wieso hast du bei L0 L1 L2 L3 das "von x" "(x)" weggelassen ?
Für die Übersicht. So wie man auch bei Funktionen f statt f(x) oder y statt y(x) schreibt.
Was würde denn passieren, wenn ich in einer Lagrangebasis im Nenner eine 0 hätte?
Das geht nicht. Denn würde es zu einem x-Wert mehrere y-Werte geben, wäre es keine Funktion mehr.
Du machst Daniel Jung schon Konkurrenz🤔
Komm in die Gruppe! Porsche Newton S!
Hitzigerweise 🤣🤣🤣 Grüße aus Cottbus
Hahaha Hitziger!! 😂
wie rechnet man denn bitte den rest??
Um ein Restglied zu bestimmen, müsste erst mal eine Funktion gegeben sein. Keine Funktion, kein Rest.
Una explicacion clarisima del polinomio de Lagrange. Y eso que no entiendo un pedo de aleman 🤣
5:35 okay also steht da -1/8 und nicht -2/8 oder täuschen mich meine Augen da? :"D
-1/8 hahaha
Hab gleiches T-Shirt. Von H&M
Hab mir damals gleich 20 Stück geholt, trage die immer noch 😂
@@MathePeter In meinem Semester bist du unser Held. Von unserem Dialog hier erzähle ich denen gleich weiter!
@@bm-ub6zc liebe Grüße 😄
Numerik kann kommen!
Hat dir schonmal jemand gesagt dass du von der Seite sehr stark Magnus Carlsen ähnelst? 🤣
Haha ja tatsächlich. Ich antworte immer, dass ich gern nicht nur so aussehen, sondern auch gern so spielen können würde 🤣
Nicht -7x^2 ??
Du kannst immer direkt überprüfen, ob die Lösung stimmt, indem du die gegebenen Stützstellen für x einsetzt und die zugehörigen y-Wert rausbekommst.
Warum verlangt das mein Dozent 😂
Er hat noch große Pläne mit euch 😁