애들은 몰라도 돼
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- čas přidán 13. 01. 2022
- #Shorts #수학 #함수 #미분 #프랙탈
Wierstrass Function는 최초의 프랙탈 중 하나로, 자기 유사성을 지닙니다. 곡선을 확대해도 직선에 가까워지지 않으며 임의의 두 점 사이에 단조성이 없습니다. Wierstrass Function의 하우스도르프 차원 D는 f=sum(a^n)cos(b^nπx)라고 정의할 때, 2+lna/lnb로 상계를 가지므로 2+lna/lnb라고 추측하나 아직 증명이 되지는 않았습니다.
연속과 미분가능성에 대해 제가 영상에 사용한 표현에 대해 불편함을 느끼시는 분들이 많으실 것이라 예상합니다. 연속성은 그래프가 이어져 있는 것을 의미하는 것이 아닌 극한값과 함숫값이 같음을 의미합니다. 그리고 미분 가능성은 첨점의 존재유무가 아닌 각 점에서의 미분계수의 존재성을 의미합니다.
굳이 이러한 표현을 사용한 이유에 대해 말씀드리면 “연속”이라는 용어는 물체의 운동을 설명하거나 끊어지지 않은 곡선을 표현하며 Newton 시대 이래로 사용되고 있었습니다. 하지만 19세기 초에 이르러 Bozano와 Cauchy의 연구에서 수학적에서의 연속성이 중요한 성질로 인식이 되었고 나아가 Weierstrass에 이르러 연속의 개념이 극한의 개념과 이어지게 됩니다. Weierstrass이전 까지 함수는 곡선과 접선에 관한 기하학적 직관으로 주로 접근하였으나 19세기 말에 '모든 점에서 연속이지만 어떤 점에서도 도함수가 존재하지 않는 함수'가 소개되며 실해석학의 개념이 보다 깊게 발전된 계기가 되었습니다.
이전에 수학자들도 이러한 직관적인 생각(연속인 함수는 기껏해야 어느 정도의 점을 제외하면 미분가능할 것이라 추측함)으로 함수에 대해 접근했다가 충격(모든 점에서 미분 불가능한 연속함수가 존재함)을 받고 새롭게 함수에 대한 연구의 필요성을 느낀 것을 여러분들도 한 번 느껴보셨으면 하는 마음에 일부로 현대에는 논란이 있는 표현을 사용해보았습니다.
예전부터 이 함수를 소개하고 싶었습니다. shorts로 해야할지 아니면 풀어해쳐서 다 설명할지 고민하며 반년을 묵혀두었는데 여러분들께 이런 제 마음이 조금은 전달되었으면 좋겠습니다. Wierstrass Function의 연속성은 증명하기 쉬우나 미분불가능성은 증명하기 매우 어렵습니다. 자세한 설명은 블로그를 참고해주세요.
Blog - rayc20.tistory.com/134
연속과 미분가능성에 대해 제가 영상에 사용한 표현에 대해 불편함을 느끼시는 분들이 많으실 것이라 예상합니다. 연속성은 그래프가 이어져 있는 것을 의미하는 것이 아닌 극한값과 함숫값이 같음을 의미합니다. 그리고 미분 가능성은 첨점의 존재유무가 아닌 각 점에서의 미분계수의 존재성을 의미합니다.
굳이 이러한 표현을 사용한 이유에 대해 말씀드리면 “연속”이라는 용어는 물체의 운동을 설명하거나 끊어지지 않은 곡선을 표현하며 Newton 시대 이래로 사용되고 있었습니다. 하지만 19세기 초에 이르러 Bozano와 Cauchy의 연구에서 수학적에서의 연속성이 중요한 성질로 인식이 되었고 나아가 Weierstrass에 이르러 연속의 개념이 극한의 개념과 이어지게 됩니다. Weierstrass이전 까지 함수는 곡선과 접선에 관한 기하학적 직관으로 주로 접근하였으나 19세기 말에 '모든 점에서 연속이지만 어떤 점에서도 도함수가 존재하지 않는 함수'가 소개되며 실해석학의 개념이 보다 깊게 발전된 계기가 되었습니다.
이전에 수학자들도 이러한 직관적인 생각(연속인 함수는 기껏해야 어느 정도의 점을 제외하면 미분가능할 것이라 추측함)으로 함수에 대해 접근했다가 충격(모든 점에서 미분 불가능한 연속함수가 존재함)을 받고 새롭게 함수에 대한 연구의 필요성을 느낀 것을 여러분들도 한 번 느껴보셨으면 하는 마음에 일부로 현대에는 논란이 있는 표현을 사용해보았습니다.
Wierstrass Function의 연속성은 증명하기 쉬우나 미분불가능성은 증명하기 매우 어렵습니다. 자세한 설명은 블로그를 참고해주세요.
rayc20.tistory.com/134
오옹 그렇군요 바이어슈트라스 함수는 교과서 중단원 마무리 뒷편 탐구하기 부분의 단골 주제였죠 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 흥미로운 영상 잘 보고 갑니당 :)
혹시 그래프가 이어져있는데 연속이 아닌경우가 존재하나요? 그런 연속의 정의를 쓰지않아도 이어져있는 함수는 연속이라고 생각했는데..
이어져있어도 연속이 아닌 반례(f(x)=(sin(1/x))가 있으며, 이어져있지 않아도 연속인(유리수에서 f(x)=x, 무리수에서 f(x)=0)반례도 있습니다. 나중에 차근차근 다뤄보도록 하겠습니다!
'Bolzano'
오 ! 대단한데
어떻게든 이해해볼려고 끙끙대고 있을때
신기하죠?, 참쉽죠? 이럴때 마다 갑자기 막 화가남ㅋㅋㅋㅋ
화가(밥로스) 남
@@zxcv225어떻게 공영방송의 오전 정보..
@@zxcv225
드립 미쳤다 ㅋㅋㅋㅋ
@@zxcv225펀치라인 국힙 97% 정리ㅋㅋ
아 드립 진짜 점심 나가서 먹을 거 같네...
※ 일반적으로 성립할 거 같은 함수의 성질들이 만족되지 않는 좀 이상한 함수들을 '병리적 함수'라고 합니다.
병×적 함수..
ㅋㅋㅋㅋㅋ 병이 있단 소리네 우리함수가 많이 아파요...
약간 맛이 간 함수
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋ 이름 ㅈㄴ웃기네
수학 유튜버의 난제
고등학생에게도 이해가 가도록 쉽게 설명하려고 용어를 쉽게 정의하는 순간 대학수학 전공자들이 지적함 -> 용어 그대로 설명하게되면 고등학생들은 이해 못함
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
애초에 함수열부터 설명해야는데 이에대한 언급은 숏츠 길이 특성상 설명불가 ㅋㅋㅋㅋ 연속, 미가 설명만 해도 시간 다감
n이 커질 수록 그래프 소름끼쳐서 닭살돋은거보셈;
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
평범한 주식그래프
의인화...
나만 그런 게 아니였다 ㅋㅋㅋㅋ
무한히 확대해도 부드럽지 않게 하려면 결국 무한을 써야하는군요.
미분을 잘 몰라서 그러는데
미분가능한 함수가 부드러운 함수면
f(x)=|x| 는 미분 안되는 거임?
@@후우꾸꾸우후오오후우 예. 정확히는 0에서만 미분이 안됩니다.
@@후우꾸꾸우후오오후우
결론부터 말하자면 x=0에서 미분이 안됩니다
부드럽다는 게 그냥 알기 쉽게 기하적으로 대충 표현한 건데 사실 직선인 일차함수도 미분이 되긴 하죠
@@user-ff1gu6hg3m 그럼 위에 식도 연속이지만 모든점에서 미분이 불가능한 식 아닌가요?
뾰족하게 이어져있으면 연속이 아닌건가..?
@@후우꾸꾸우후오오후우
와우.. 네 뾰족하게 이어져있는 건 첨점으로 미분 불가능한 점이 맞습니다
예전에 고등학교 수학선생님이 넌지시 모든 점에서 연속인데 미분불가능할수는 있을까요? 라고 던져주셔서 머리 쌈매다가 찾아봤었던 기억이 나네요. 와, 이걸 삼각함수를 이용한다고? 하면서 신기해 했었는데
이걸 머리 싸맨다면 고등학생이 맞긴 한가요..
@@user-on4hs3le3v 고딩이 당연히 알만한 내용이란건가요
@@라인드라입시수학수준.
설곽이라도 안할건데요 ...
“만져서 찔리면 미분불가능이다”
제 양심은 미분 불가능
???: 난 양심이 성감대지!
"따끔"
블랙넛이 최고 아웃풋이노
@@user-zy5tf2hu6t ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
오우 신기하네요.. 수2 하면서 궁금하진 않았지만 유익하네요!
너무 재밋어요 더 올려주세요!!!
제가 고등학교때 보고서용으로 조사해봐서 바로 맞췄습니다ㅎㅎ 프랙털 곡선 조사때문에 불교에도 관심이 깊어져서 윤리사상때 발표로도 써먹었죠
헐 어제 수2 평균변화율이랑 미분계수에대해서 배웠는데 이거보니까 이해가 더 잘되네요(?)
생각은 막연히 할 수 있겠지만 그걸 발견해냈다는 게 더 놀랍다.
미분가능 판단조건이 좌우미분계수의 일치성임
뾰족하다는 말은 좌우 미분계수가 다르다는 거니 딱히 특이한 상황은 아니나
함수 전체가 그러니 특이한걸로~
혹시 고딩때 내용 까먹은 분들을 위해 해설합니다
진짜 이런거 볼때마다 수학과 복전마렵다
머리로만 떠오르는 아이디어를 수식으로 써내려간 게 진짜 대단하다..
당연히 절댓값 함수라고 생각한 나는 갑자기 삼각함수가 나와서 당황했고 댓글에 들어와 알 수 없는 말들에 또 당황했다..
절댓값함수는 모든 점에서 미분 불가능하지 않고 첨점에서만 미분 불가능합니다
여기 주제는 모든 점에서 연속이나
모든 점에서 미분 불가능한 함수를 다루고 있습니다
등신 ㅋ 수학 접어라
저번에 유튜브 보다가 저런 함수 본거같은데 이름이 바이어슈트라스 함수였군요
이런 영상 올리시는분이나 이거를 다 이해하시는분이나 다 대학교 수학과 졸업하신분들인가요 ㄷㄷ하네요... 공대생1학년은 첨들어보는데
저도 공대 출신입니다
수학에 관심이 많다면 고등학생도 찾아볼 수 있는 내용입니다.
참...바이어슈트라스는 천재가맞음
다가키 곡선 등등 여러가지 바리에이션격되는 함수도있는데 이런것들도 다 전부 연속함수라는 조건을 갖췄지만 어느곳에서도 미분이 불가능
오 이 함수가나왔네요 ㅋ
이채널은 아무리 봐도 쉽지가 않네
마지막 참 쉽죠가 너무 열받음 ㅋㅋㅋ 이해 못했는데...
마치 제 주식 그래프를 보는 것 같네요
대단하시네
세특주제로 다뤗던 함수인데 다시봐도 무섭군요
브라우니안 운동의 sample path도 연속이지만 모든 점에서 미분불가능입니다
얘들은 몰라도 된다면서 어째서 중학생인 제 유튜브 알고리즘을 장악하신거죠
이게 어떻게되는거여… ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
간미연을 기억하십쇼
미분 가능이면 연속입니다
하지만 그 역이 항상참이라고 할수는없겠죠
최초의 프랙탈
개소름이다 진짜 신기한함수다😮
볼차노-바이어슈트라스 정리...
바이어슈트라스.. 아주 흥미로운 사람이구먼..
실해석학개론 배우는
지나가는 수교과생..
와 헤드앤 숄더!
프랙탈 떠올리시면 더 쉽죠
바이어 슈트라스 함수가 최초의 프랙탈 중 하나죠
쁘렠땈이요?
@@user-tg8xe5xb5i zzzzzzzzㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
근데 뭐가 더쉽다는거임? 미분가능성 연속성 얘기하는데
@@user-hb4ub1fy1m 저 그래프의 미분불가능을 의심하는 사람들은 보통 구간을 짧게하면 연속인부분이 나오지 않을까?? 라는 생각을 하니까 구간을 아무리 짧게 잡기를 연속해도 같은구조가 무한히 나온다는 현상을 프렉탈이라는 흔히 알려진 구조에 빗대어 설명하면 이해하기 쉬워질수도 있죠
푸리에 급수 아니면 그런 함수는 도저히 상상할 수도 없네요
작년에 pma 공부한거 새록새록 생각나네ㅋㅋ
바이어슈트라스 치환법으로 알고 있는 사람이 나왔네요
전에 이런 함수가 있나 궁금해서 검색해봤다가 위키백과에서 찾자마자 바로 뛰쳐나온 기억이 있는 함수..
고딩은 이해못하는게 정상이죵??😅😅
바이어슈트라스 치환법 만든 그분인가유
삼각함수를 쓸거 같긴 했는데 급수를 쓸줄은 몰랐네요
소름이 쫘악
연속과 미분가능성의 차이, 잘 보았습니다
그렇다면 과연 매끄럽지만(smoothness) 모든 점에서 미분 불가능한 연속함수는 있을까요? 있다면 뭔지 궁금합니다!
매끄럽다는게 뭔가요?
보통 smooth의 정의가 infinitely differentiable (C^\infty)하기 때문에 그런 함수는 없습니다.
매끄럽다는 것 자체가 미분 가능하다는 거 아닝가요
ㅇㅈ
y^3=x
x에 대해 미분하면
x=0에서 무한대로 발산하기 때문에 못함
"카리나는 신이다"
프렉탈을 보는 느낌이네요
☢️ 쩔어!!
천재다
프랙탈과 관계가 있을까요?
영상 초반: 그런게 있음?
영상 중반: 어...?
영상 말기: ㅅㅂ 왜 있어?
프랙탈...?
푸리에급수로 정의된 (*같은) 함수군요!
재밌네
프랙탈 같은 모양이면 되나요?
뭔가 웨이브폼이랑 비슷하게 생겼네유
그,, 선생님,, 수2 공부중인 학생인데,, 평균값정리에 대해서 한 번만 다뤄주실 수 있을까요..?
교과서봐
정석 5단원에 있어 읽어봐
프랙탈의 신비... 이산수학이 아니어도 가능하군요
프렉탈 구조를 만드는게 중요할듯?
앙리 푸앵카레가 이 함수를 굉장히 싫어합니다.
브금 제목 뭔가요
Ray 수학님 항상 좋은 정보 주시느냐 감사합니다.
혹시 그래프 그리시는 툴 이름 알 수 있을까요?
공부용으로 쓰고 싶은데 그쪽은 문외한이라 문의드립니다.
Geogebra 사용하고 있습니다^^
이게 그 프랙탈인가...
저것 말고 미분 가능이지만 리만적분 불가능인것도 있고 유리수는 불연속 무리수는 연속도 있고 별별거 다있습니다
f(x)=1[x in Q] + (-1)1[x not in Q]
미분가능하면 적분도 가능합니다. 미분가능한 함수의 도함수가 리만적분 불가능한걸 말씀하신건가요? 볼테라 함수 디리클레 함수 말씀하시는거같네요
@@user-fq7uh3wq1f 졸면서 쓰느라 저따구로 썼네여 ㅎ
중3인데요... 조용히 지나갈게요.........
바이어슈트라스 함수네요. topological manifold기초 할 때 morse function을 만들 수 없다면 어떤 일이 일어나는지 알아보는 반례에서도 비슷한 아이디어를 주죠.
결론 : 비트코인차트는 미분도 불가능하다
참 쉽네요
주식 차트처럼 보여요.
급수 없이는 못만들까요?
우와.. 모든점이 뾰족점이라니
교과서 에 블랑망제함수가 있던데 그건 뭔가요?
그것도 모든점에서 연속이지만 미분불가한 병리적함수입니다 그래프 개형이 푸딩처럼 생겨서 푸딩을 뜻하는 블랑망제로 이름 붙여져 있습니다
프랙탈 구조인가요??
f(x)=1 (x가 유리수)
f(x)=0 (x가 무리수)
그건 모든 점에서 불연속
fx={ y=1 (단 x는 유리수)
y=-1 (단 x는 무리수)
이 함수도 연속인데 미분불가능 한건가요?
불연속인듯하네요
이차함수 눞혀놓는건 안되나요?
저 그래프 모양에서 헤드앤숄더 abc 임펄스 데칼 박스 다보이네 ㅋㅋ
바이어슈트라스 함수가 무엇인가요?
씨발 나와있잖아
.....확률과정 해보면 저런 함수가 기본이고...저걸 해결하기 위해서 그 유명한 이토의 렘마가 태어났쥐....
연속이고 뾰족점 없는데 미분 불가능한 함수도 있습니다
프렉탈 구조..??..???.
그거 기억나네
만델브로트인가?
ㅅㅂ 처음엔 뭔개소린가 했는데
수2를 배우니까 게시자님이 대단한거같아
극한을 계산할 줄 아는 사람은 많지만 이해하고 있는 사람은 손에 꼽는다. 내가 이해 못한건 전혀 이상한 일이 아니었다.
바이어슈트라스쨩……. ㅠ
혹시 y = |x| 함수는 직각으로 꺽여있는데도 미분이 가능한가요
절댓값 함수는 x=0에서만 미분 불가능입니다.
물리학과 졸업생입니다
디렉델타함수인가? 점근 함수인가?
이랬는데 에라이
절대값이 있는 함수는 어떨까요? 첨점이 존재하는데..
첨점이 잇으면 연속이지만 미분가능함수일까요?
y=|x|
여기서 말하는 함수는 '모든 점'에서 미분 불가능한 함수 / 댓글에서도 가장 많이 나왔다는 절댓값 함수는 x=0에서만 미분 불능
ž도 비슷한 예인거 같은데 수식적으로 이해는 가는데 직관적으로 감이 안옴. 이게 왜 미분불가지? 하고
어른도 몰라도 될 것 같은데요
난 가우스 말하는줄 알았는데 가우스는 정수아닌데 에서는 연속이고 미분가능 하구나
수학 전공하면 굶어 죽는다는데 ㄹㅇㅋㅋ
볼차노 바이어 슈트라스,, 2학년 통곡의벽 해석학의 정립자
이거 풀어주세요
1부터 100까지
이런식으로
1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) . . .
그대신 한번 더한 수는 +1회씩 안더하기
1 + 2 + (1+3) + (2+4) +
(3+5) + (1+2+4+6) +
(5+7)이런식으로 해서 100까지 더한 수를 어떠한 식으로 표현해줄수 있나요?
극한으로 아무거나 보내보다보면 얼추 병리적인 함수들이 나온다
왜 저걸 생각 못했지?
존나 뾰족해서 몬한다는거죠...?
등차 수열이 모든 점에서 미분 불가에다 연속이 아니지
저 분이 없었다면 해석학 책 반은 줄었을텐데 ㅠ
해석학이라는 게 있긴 했을까
@@엑스비디오 아! 그랬을 수도 있겠네요
절댓값 함수면 가능하지 않나요?
절댓값 함수는 x=0에서만 미분불가능입니다.
여기서 다루는 함수는 모든 점에서 미분불가능한 함수입니다.
이거 무슨 옛날에 블랑망제 함수? 이런거 있었던거같은디..아닌감