Число Пи: как найти его с точностью до 50 знака?
Vložit
- čas přidán 4. 12. 2021
- В этом видео будем выяснять, как найти число Пи с точностью до 50-ого знака после запятой, какие методы для этого используются, откуда берутся соответствующие формулы и насколько они эффективны. Будем использовать ряды и формулу Мэчина.
В этом видео получена формула Валлиса, которая здесь упоминалась: • Бесконечное произведен...
Здесь получаются формулы для арктангенсов без использования комплексных чисел: • Сумма ряда с арккотанг...
А здесь получена еще один ряд, позволяющий находить число Пи (формула Бэйли-Боруэйна-Плаффа): • Число Пи: вывод формул...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
![Как считали число пи? [Veritasium]](http://i.ytimg.com/vi/A3PL61fHzjs/mqdefault.jpg)
Я знал что ты однажды запишешь видео по этой теме. Спасибо большое!
и вот это время пришло... :)
очень интересно и понятно! прекрасная работа!
Спасибо за интересное видео по нахождению числа Пи.
Гениально!
Спасибо!
Большое спасибо! Вы пока 1ый человек, кто здесь на ютьюбе отправил донат! :)
@@Hmath странно, контент топ 🥇
Я думал что это за "Супер спасибо", а это коммент с донатиком
Теперь я больше знаю об комментах
а как такой донат отправить?….
раньше кнопка под каждым видео была. Теперь вроде в России она больше недоступна.
Я уже подумал, что это у меня экран грязный
не оценили мои художественные изыски? :)
А мне понравилось
@@Hmath Раз уж вы ответили, можно просьбу? Можно пару видосов про ряды Лорана с примерами
в ближайшее время уже не получится
Я вообще телефон помыла ахаха😅
Как всегда отличное видео!
Мне очень нравится способ через среднее арифметическо-геометрическое. С каждой итерацией точность верных цифр удваивается, существуют ещё более быстрые вариации. Необычный и довольно крутой метод, но нужно извлекать корни, что является весьма тяжелечной операцией.
надеюсь, дойду когда-нибудь до этого метода :) там довольно муторные и совсем не короткие выводы, чтобы как-то обосновать алгоритм с точки зрения математики :)
Данный метод (одна из его вариаций) так же позволяет эллиптические интегралы очень быстро вычислять. Давно ещё по работе искал эффективный инструмент позволяющий делать анимацию закритического поведения упругих стержней после потери устойчивости с ростом нагрузки. Тогда и проникся :)))
Симбиоз трудов Гаусса и Эйлера.
да, там сначала именно эллиптические интегралы этим методом вычисляют, а потом уже через них для пи нашли способ :)
Спасибо, попробую взять в оборот! У меня канал по программированию
Спасибо за интересный ролик! Несколько замечаний:
1) Я в школе считал через arcsin(1/2), про ряды Мечина не знал еще;
2) Считать через ряд Лейбница 1-1/3+1/5-1/7... _можно_. Для этого нужно применить какуюнить трансформацию. Например, для трансформации Эйлера нужно складывать конечные разности с весами (-1/2)^n. Для двадцати членов ряда имеем 3.14159(19);
3) Почему сразу дали скоростную формулу и не сказали про atan1/2+atan1/3?
4) Первым на основе матанализа π вычислил Ньютон через бином для квадратного корня, 16 знаков;
5) хорошо бы снять видео про вычисление π с квадратичной скоростью, видимо, через AGM. Модный метод, но для понимания темная лошадка.
ну нельзя же все в одном ролике рассказать :) пришлось выбирать, поэтому и про atan1/2+atan1/3 нет. AGM крутой метод, но там одним видео не обойтись никак будет, если подробно делать - там выводы муторные очень. Может дойду и до этого когда-нибудь. Сейчас точно нет смысла - 1.5 человека посмотрит такой материал, а для меня это будут недели работы.
@@non1684 не волнуйтесь, у меня много свободного времени.
@@non1684 😂😂😂😂от ты запутал, еще больше чем это видео
Интересно, 1/239 в формуле Кикуо Такано - это всего лишь совпадение с 1/239 в формуле Мэчина, или он в своих расчетах отталкивался от формулы Мэчина, или просто решил выбрать это число?
А с помощью функционального ряда Тейлора можно было вычислить?
Интересная деталь, аргументы комплексных чисел ведут себя как логарифмы
а значит аргумент можно выразить через логарифм ;)
@@Hmath Ну да, показательная форма в помощь. Но все эти свойства мы наблюдаем у самых обычных углов. Комплексные числа воистину гениальное творение.
11:55 Хотелось бы понять, как можно догадаться до такого представления
думаю, в современных условиях такие формулы, как и многие другие, ищутся на компах всякими переборами коэффициентов. Ведь понятно, что когда формула уже найдена, доказать её правильность строго значительно проще, чем когда неизвестно что вообще искать :)
Про такие формулы погуглите статью в википедии на англ.: "Machin-like formula", в ней еще и ссылки на источники есть, их можно поискать :)
Поистине π-атое видео. Кстати помимо сходящихся к π рядов или итерационных процессов, есть методы "цифра-за-цифрой", например, формула Беллара или формула Бэйли - Боруэйна - Плаффа, правда они дают двоичные или шестнадцатеричные цифры соответственно, но уже неплохо: захотел вычислить стомиллиардную цифру в дробной части π, вычислил.
да, тоже интересный материал :) может и сделаю как-нибудь... хотя там вывод (Формула Бэйли - Боруэйна - Плаффа) довольно нудный получается, а объяснение того, что из этой формулы можно найти отдельный знак числа пи, не вычисляя предыдущие - еще более муторное, к сожалению.
@@Hmath Ну да, результаты вышалгебры с матанализом вне университетского курса редко бывают с первого раза понятными и простыми.
тут не совсем в "простоте" дело, там как раз несколько рутинных интегралов нужно найти. Они фактически самые обычные, самыми типовыми методами решаются, но эти вычисления громоздкие и муторные - такое просто никто толком смотреть не будет. Так что с такими выводами обычно приходится тупо выкидывать эту часть и сразу ответ записывать, но в итоге повествование становится "рваным" каким-то :) Мне так тоже не особо нравится.
@@Hmath а в десятичной системе так никак нельзя?
не нашли такой формулы для пи в десятичной системе. Есть предположение, что её не существует. Но на самом деле вот этой вот формулой Бэйли - Боруэйна - Плаффа для 16-ричной системы и пользуются при проверке правильности нахождения числа пи. Т.е вот все рекорды с точностью пи, которые сейчас ставят, делают по следующей схеме: сначала 2мя разными способами (по разным формулам) получают пи с нужной точностью , а потом еще проверяют результат, находя несколько "последних" знаков по формуле Бэйли - Боруэйна - Плаффа (только, конечно, нужно сначала понять, какой именно из знаков в 16-тиричном представлении пи будет на нужном месте в 10-точном представлении, потом найти эти цифры, а потом перевести их в 10ный формат)
Насколько я знаю, похожий метод предложил Эйлер, используя арктангенс 1/6
Эйлер вроде использовал такое соотношение: arctg(1/2)+arctg(1/3)=pi/4
Если взять не одну пятую, а одну шестую (4arctg 1/6 +arctg 241/1921),то сходимость будет быстрее (24 знака на 15 членов ряда). От 1/239 не много пользы потому что 1/5 все равно тормозит процесс, а вот 241/1921- это почти 1/8.
если на то пошло, думаю, что правильнее будет посчитать суммарное количество арифметических операций. Для 1/6 меньше слагаемых складывать, чем для 1/5 (но если пытаться найти пи до 50 знака, разница будет всего в несколько слагаемых), но для 241/1921 явно больше, чем для 1/239.
Можете проверить, что для того, чтобы достичь точности в 50 знаков по этой формуле, которую вы предложили, нужно будет взять в общем большее число слагаемых.
@@Hmath Согласен, если говорить об общем количестве операций сложения и умножения, и брать не равное количество слагаемых для 1/5 и 1/239, то с 1/239 по КПД будет работать выгоднее. Да, я имел в виду, что 1/6 требует меньшего количества слагаемых. Но как рассчитать этот баланс? Если ,например, взять 32arctg 1/42 + арктангенс какой-то супер навороченной дроби (пока не рассчитал), примерно равной 1/43, то процесс ведь пойдет явно быстрее. Хотя, дробь будет представлять из себя что-то очень длинное. Для восьми арктангенсов это уже десятизначные числа.
Я вот с этими знаниями полечу в прошлое и меня сожгут на костре с этими арктангенсами и мнимыми числами... И это я еще умолчу про гиперболический арктангенс...
А по вычислению константы 'e' есть подобные трюки?
для е^x есть разложение в ряд Маклорена: e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...
значит: e=1+1+1/2!+1/3!+... - этот ряд сходится достаточно быстро (первые 50 слагаемых дадут погрешность уже меньше, чем 10^(-50))
Другого ряда, который бы сходился еще быстрее что-то мне не попадалось.
Как вариант:
e = (1 + 1/n)^n, n → ∞
Как сравнить скорость сходимости 2 рядов?
если S - сумма ряда, Sn - сумма первых n членов ряда, то S=Sn+Rn, где Rn - остаток (т.е сумма ряда, начиная с (n+1)-ого члена ряда). Если ряд сходится, то lim Rn = 0 при n-> бесконечности.
Соответственно скорость сходимости того ряда выше, у которого Rn стремиться к нулю быстрее. Другими словами, если при любом n для одного ряда этот остаток меньше, чем для другого, тогда этот ряд явно сходится быстрее.
Я ж об этом и рассказываю в середине видео :) там где про погрешность. чем она меньше на каждом шаге, тем быстрее сходится ряд.
Сначала нужно отнести скорость сходимости к какомуто классу, а потом внутри класса сравнивать, так как между классами разница космическая.
Ряд лейбница 1-1/3+1/5... логарифмическая скорость, самая медленная;
Ряд Мичела atan½+atan⅓ - линейная скорость, число верных знаков растет линейно.
Есть еще квадратичная (кубическая) - число верных знаков удваивается (утраивается) с каждым шагом.
Формула Лейбница: π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...
Формула Эйлера: π^2/6 = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...
Формула Бэйли-Борвейна-Плаффа: π = SUM(k=0,inf)[(1/16^k) * (4/(8k+1) - 2/(8k+4) - 1/(8k+5) - 1/(8k+6))]
Формула Грегори-Лейбница: π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...
Кроме того, существуют бесконечные серии, алгоритмы Монте-Карло и другие методы, которые используются для вычисления числа π с различной точностью.
Метод Мачина: π = 4 [4 arctan(1/5) - arctan(1/239)]
Формула Рамануджана: 1/π = (2√2)/9801 SUM(k=0,inf)[(4k)!(1103+26390k)/((k!)^4 * 396^(4k))]
Ряд Чудновского: 1/π = SUM(k=0,inf)[(2^(10k))(k!)^4 / (42k+5)!(84k+16)(-640320)^(3k)]
Метод Брента-Саламандера: π = 16arctan(1/5) - 4arctan(1/239) - arctan(1/515)
Эти формулы и алгоритмы используются для вычисления значения числа π с определенной точностью. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки, и выбор метода зависит от конкретных потребностей.
Конечная формула для числа π не существует, потому что π - это бесконечная и непериодическая десятичная дробь. Однако, есть несколько известных формул и алгоритмов для вычисления π с заданной точностью.
Серия Нилакантха: π = 3 + 4/(234) - 4/(456) + 4/(678) - 4/(8910) + ...
Формула Шандрасекарана: π = (1/2) * sqrt(6 * SUM(k=0,inf)[1/(k^2+1)^2])
Метод Бэйли-Боруэйна-Плаффа-Харвей: π = SUM(k=0,inf)[(1/(16^k)) * (4/(8k+1) - 2/(8k+4) - 1/(8k+5) - 1/(8k+6))]
Формула Бруна: π/2 = SUM(k=0,inf)[(2/(4k+1) - 1/(4k+2) - 1/(4k+3) - 1/(4k+4))]
А правда что дифракция-это частный случай интерференции магнитного поля?
Кстати, метод древних с вписанными многоугольниками не так уж и плох. Хорошая сходимость, работает быстро.
d=0, p=2
цикл:
d=sqrt(2+d)
p=p*2/d
осталось только как-то найти квадратный корень :)
@@Hmath в AGM без корня никуда)
ага, но это я просто объясняю почему древним методом Архимеда сильно точно не удалось вычислить пи: квадратные корни на каждом шаге считать вручную хлопотно :)
а в AGM без корня никуда конечно :) но там 10 "итераций" дадут 1000 знаков числа пи :)
@@Hmath точно, сходимость медленнее чем у atan(1/5), а корни на каждом шаге нужно искать. Вот Лудольф 20 знаков и вычислял 20 лет)
Не точно указаны границы сходимости в разложении арктангенса. (Это - на отметке в области 7:30 мин.) То есть, икс не может быть равен: -1.
может. ситуация с x=-1 в смысле сходимости ничем не отличается от ситуации c x=1. один и тот же знакочередующийся ряд
Вот еще одна гениальная формула, самая "быстрая" формула в мире!!! Дарю...
x:=x+sin(x)
Число знаков с каждой итерацией утраивается!!
3+sin(3)+sin(3+sin(3)) уже дает штук 12 верных знаков.
ага, а еще быстрее просто загуглить значение пи - за одну "итерацию" почти 63 триллиона знаков можно получить :)
Комменты удаляют(
я тоже постоянно удивляюсь, куда пропадают комментарии.... я их не удаляю, а вижу, что кто-то ответил (висит уведомление об этом), а потом не могу найти этот комментарий. Думал, что может кто-то сначала пишет, а потом решает стереть свой коммент.
@@Hmath Вы ведь сами говорили, что даже 50 триллионов знаков - это приближенное значение, а формула - она точная)
@@Hmath меня еще удивляет когда у меня комментарий отображается, а если зайти и посмотреть разлогинившись - то его нет. Загадки ютуба
Machin получил 100 знаков в 1706г, вы показываете его формулу пользуясь комплексными числами и формулой Эйлера. Но Эйлер тогда был ещё младенцем.
Я к тому, что Machin получил свою формулу наверняка другими рассуждениями...
Соотношение для арктангенсов можно получить и без комплексных чисел, только более нудно и громоздко будет. Тригонометрические функции и формулы для них были же известны еще задолго до 1706года :)
@@Hmathда, именно. Machin сделал море рутины.
И я ошибся, Эйлер позже родился в 1707г
В итоге, какой самый быстрой способ найти число пи?
ну тут в видео только один рассмотрен. Универсального ответа нет. Он будет зависеть, я думаю, от многих параметров: от того, с какой точностью нужно найти, на каком компе это все осуществляется и т.п. Даже сейчас, когда новые рекорды ставят в вычислении пи, используют разные способы.
загуглить
и все = ... круг имеет конечный результат а расчеты нет)))
Может новая формула длины окружности сможет хоть как то помочь??? или это не имеет смысла?
Я знаю точную формулу числа пи:
4*(0,5!)²
проверяйте
Есть еще вот это видео про вычисление числа \pi czcams.com/video/A3PL61fHzjs/video.html&ab_channel=VertDider
Тут речь идет про другой подход, который применял Ньютон. Про Мэчина вообще не упоминается. Хорошо что я посмотрел видео с кана Hmath, иначе у меня было бы неверное представление.
Разве пи не транцендентное число?
да, трансцендентное, а где-то утверждается обратное?
Пи - иррациональное число, что утверждалось в видео. Оно же и трансцендентное, т.е. не может быть выражено в радикалах или получено как корень полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами.
Иррациональность числа не отменяет его трансцендентности.
@@Hobbitangle верно, не может же быть рациональным трасцендентное число, но иррациональное то как раз может быть трансцендентным
Делаем вывод что всегда какой то азиат сделает лучше других в милион раз
Не комплексное а комплексное))
современная математика такая сложная потому что построена на десятичной форме счисления, если бы у человека было не 10 а 8 пальцев то математика была бы проще и считать было бы намного легче))))))))))))))))))))))) кстати, переход на другую систему счисления популяризуют американские художники-мультипликаторы и члены якудза, математикам стоит всерьез прислушаться к таким уважаемым институтам
система счисления ничего существенного не меняет
@@cascadia. чо??!! система счисления основа человеческой математики и вся эта система заточена под кривое число 10, даже дроби десятичные и априори иррациональные значит хрен их точно пересчитаешь
@@homer3045 не понимаю ваше " кривое число"
Все же при переходе в другую систему счисления все операции над числами остаются прежними и только запись самого числа меняется
@@cascadia. как раз операции счисления над числами и меняются, и самих видов операций возможно больше совершать
@@homer3045 приведите пример
Хаос Константы
ну, для вычисления окружности вселенной до атома хватит, а если посчитать объем? Это надо уже 37*3 = 111 знаков!
кстати, а не слабо доказать, что длина окружности меньше периметра описанного многоугольника? Причем внятного определения длины кривой до 18-го века не было!
Что бы рассчитать окружность вселенной с точностью до атома (зная диаметр с точностью до атома), достаточно 3.14
У Veritasium'а есть очень красивое видео про то, как Ньютон посчитал пи с помощью бинома: czcams.com/video/gMlf1ELvRzc/video.html
10:42 - небось Python-ом заморочился? Зря, это тормозило хорошо только своим набором библиотек. Зачастую писаных на Cях с Плюсами, чтоб не ждать дуодециллион лет.
Дарю. Вычисляет за полминуты 10 000 000 слагаемых.
#include
#include
#include
#include
#include
int main(int argn, char *args[]) try
{
if (argn < 2) throw std::invalid_argument("A number is need");
namespace mp = boost::multiprecision;
auto countNum = std::stoul(args[1]);
int sign = (countNum % 2) * 2 - 1;
mp::number sum = 0, one = 1;
for (auto n = (countNum - 1)*2 + 1; n != 1; n -= 2)
sum += one / n * sign,
sign = -sign;
sum += 1;
std::cout
я в Mathcad всё считал. Но в данном примере это не принципиально. Даже если в 1000000 раз быстрее на каком-то компе или какими-то "оптимальными" процедурами получится вычислить, то это будет ну не 10^39 лет, а 10^33 - это всё равно нереализуемо :) об этом был пример.
это у вас за полминуты :) а у меня может комп сильно слабее :)
@@Hmath, Вы, видимо, код не смотрели. Там внизу есть смайлик. Конечно, я это не вполне серьёзно. Чтобы с этого алгоритма был прок, его надо не в 500 раз ускорить, а в величину константы связи гравитационного взаимодействия😵💫 Просто сильно удивили полминуты на 20000 слагаемых. Это очень уж медленно.
Капец абракадабра. Зачем мне это в 37 лет...
Так это ПИ косвенно имеет отношение к длине окружности))))
почему???
Берем длину в 1000 см и сворачиваем в окружность и не получаем 1000 см)))) АХААА)))) почему??? что не так с вами))))
при сворачивании любого отрезка можно на 100% измерить радиус. это позволяет не использовать число пи как неточный интсрумент для расчетов))) может поэтому ракета взрываеться???? АХААА))))) даже если взять 500квадрилионов после запятой))))
короче еще учиться и учиться))))
а как быть если нужно одну окружность поместить в другую???? тогда ПИ точно тут не поможет и всегда будет зазор между ними..))))
о чём это вообще? во что вы там заворачиваетесь, что никак не получается завернуться?
@@Hmath тогда поясните всем одекватным, почему отрезок 1000 см имеет другой размер если его свернуть в окружность))) АХААА)))))
откуда я могу знать, почему у вас отрезок имеет другой размер? Видимо сморщился от холода.
@@Hmath не так))) откуда я знаю почему у Вас длина имеет другой результат)))) та пофиг))) математики пусть спорят) у нас по новой формуле все норм работает)))
не знаю о чем речь. У меня длина имеет тот же результат. Я ни с какими математиками не спорю об этом. Вы сейчас сами с собой разговариваете только на одному вам понятном языке
в школе я выучил до 46 знака от безделья на уроке геометрии. Дебильная гопническая школа в пролетарском районе. Чему она может научить? На уроке играл в карты и занимался ерундой. К доске вызывали когда приезжала в школу проверка, а так никогда.
какое-то тяжелое у вас детство: в школе карты, а в вузе обедами не кормили и заставляли интегралы решать пока спичка горит :)
@@Hmath Так совок. В нем и ВУЗ был гопнический. Меня поразила нищета. Обеденный перерыв 1 час 10 мин но поесть нельзя. Или уходишь с половины лекции или без обеда. Более того, половина студентов в столовой просто ели много хлеба с тарелкой супа. Хлеба можно было часто набрать бесплатно.
Я сам виноват-не туда сунулся. И да, речь о столовой в главном здании МГУ, 1980 год. Ректор Логунов тогда был. Речь не идет о гуманитарных факультетах -это для блатных.
Ну то что стало с российской наукой -мы и сами видим. И ни капли не жалко.
я думал, что гопники - изобретение 90х, а в ссср были только пионеры :)
на самом деле в 2000-х в вузах было абсолютно так же, еще и штукатурка с потолка отваливалась и дыры в стенах были, и обед не съешь, приходилось хотдоги у ларька на улице есть в -20. Так что стабильность!
@@Hmath Вот. Анекдот. Выпускника мехмата спрашивают -пригодились ли ему интегралы. Один раз было. Уронил я гайку в мотор своих жигулей, но согнув в интеграл кусок проволоки гайку вытащил.
А так прикладной пользы от такой математики нет. Мое бестолковое дите после физтеха на питонах нейросети программирует -там ничего кроме байесовских вероятностей и не нужно, почти как с интегралом из проволоки. Времена меняются и математика тоже.
@@barackobama2910 Я через производные вычислял какой длины пленку можно запихнуть в аудиокассету чтоб максимально долго играла :) Всё. А 4 млн знаков Пи использовал как генератор случайных чисел чтобы понять что такое 50/50 :)
Количество подписчиков, просмотров говорит само за себя - обратная пропорциональность ума и ширины круга зрителей работает.
у ютьюба на самом деле своё видение: он может продвигать какой-нибудь откровенный трэш и не давать расти хорошим каналам (и это я только про математические каналы говорю)
0:43 уже тут в записи видно 271, а е примерно равно 2.71828182845904523536028 (сам запомнил) и 4999999
2:50 не диаметр, а радиус будет единица
нет, диаметр. пи определяется как отношение длины окружности к её диаметру. Если диаметр равен единице, то длина окружности равна пи
@@HmathИзвиняюсь, тупанул. Почему-то послышалось по площадь
Самое сложное в том что число не даёт возможность высчитать диаметр правильно
легко: длину окружности разделить на пи и получится диаметр правильно.
Что там трудно? Берешь калькулятор и вперёд)))
Аффтар, объясни не как, а зачем???
те, кому нужно объяснять зачем, всё равно не смотрят мои видео.