Après une bonne période de recherche, le changement de variable u=ln(x) puis multiplier le numérateur et dénominateur par e^(-u) permet de trouver le résultat. Je vais essayer de trouver une méthode faisable en terminale mais mes intégrations par partie restent pour le moment infructueuses
Je viens de regarder ta solution, elle est très jolie, je n'avais pas pensé a diviser par x ! J'aime beaucoup tes vidéos, tes intuitions sont très agréables à écouter (quand tu abordes le log itéré par exemple). Étant moi même en terminale, je suis très content de voir que d'autres gens aiment autant les maths que moi !
Ce que j'ai fait : je me précipite bien sûr sur le changement de variable u = lnx, x = e^u ultra naturel vu le lnx (qu'on aime pas trop) et les simples x, sans parler des bornes qui mènent directement à une intégrale entre 0 et 1. Ensuite on se retrouve essentiellement à intégrer (l'opposé de) 1-eᵘ / 1 + ueᵘ. La proximité du numérateur et dénominateur donne envie de chercher une primitive en v'/v (ln v) et on observe que la dérivée de ln(1+ueᵘ) est eᵘ + ueᵘ / 1+ueᵘ. On écrit 1-eᵘ comme 1 - eᵘ - ueᵘ + ueᵘ [technique du "+1 - 1"] et l'on sépare la fraction en deux, de façon justement à ce que l'un des deux termes vaille 1 et l'autre soit finalement - (eᵘ + ueᵘ) / (1 + ueᵘ). Bon et en bref il ne reste plus qu'à calculer avec cette primitive, et on tombe sur le résultat qui vaut -1 + ln(1+e) = ln(1+e^-1). (factoriser par e dans le ln et écrire -1 comme -ln(e)).
Il me semble avoir vu le changement de variable en Term perso, c'est dommage de ne pas le traiter pcq ici ca simplifie bien les calculs ! Tres jolie intégrale en tout cas ^^
@@MatherminaleAh oe dommage, après rien ne t'empêche de le faire, et puis je t'ai vu utiliser la propriété du roi, mais finalement la preuve provient d'un changement de variable.
J'ai trouvé une intégrale trigonométrique particulièrement Retord Trouver une primitive de (1-10tan(x)^2+5tan(x)^4)/(5tan(x)-10tan(x)^3+tan(x)^5) (Il est vivement conseillé de calculer au préalable cos(5x) et sin(5x) en fonction de cos(x) et sin(x))
Plus simple :à la place de factoriser par x, tu peux factoriser par x^2 ,tu obtiens en haut la dérivée du numérateur donc la primitive est évidente 😋
Après une bonne période de recherche, le changement de variable u=ln(x) puis multiplier le numérateur et dénominateur par e^(-u) permet de trouver le résultat.
Je vais essayer de trouver une méthode faisable en terminale mais mes intégrations par partie restent pour le moment infructueuses
Je viens de regarder ta solution, elle est très jolie, je n'avais pas pensé a diviser par x !
J'aime beaucoup tes vidéos, tes intuitions sont très agréables à écouter (quand tu abordes le log itéré par exemple).
Étant moi même en terminale, je suis très content de voir que d'autres gens aiment autant les maths que moi !
@@ThetaMaths Merci beaucoup, ça fait plaisir d'avoir des bons retours.
on peut faire un changement de variable t= 1/x pour pour retrouver u'/u
Ce que j'ai fait : je me précipite bien sûr sur le changement de variable u = lnx, x = e^u ultra naturel vu le lnx (qu'on aime pas trop) et les simples x, sans parler des bornes qui mènent directement à une intégrale entre 0 et 1.
Ensuite on se retrouve essentiellement à intégrer (l'opposé de) 1-eᵘ / 1 + ueᵘ. La proximité du numérateur et dénominateur donne envie de chercher une primitive en v'/v (ln v) et on observe que la dérivée de ln(1+ueᵘ) est eᵘ + ueᵘ / 1+ueᵘ.
On écrit 1-eᵘ comme 1 - eᵘ - ueᵘ + ueᵘ [technique du "+1 - 1"] et l'on sépare la fraction en deux, de façon justement à ce que l'un des deux termes vaille 1 et l'autre soit finalement - (eᵘ + ueᵘ) / (1 + ueᵘ).
Bon et en bref il ne reste plus qu'à calculer avec cette primitive, et on tombe sur le résultat qui vaut -1 + ln(1+e) = ln(1+e^-1).
(factoriser par e dans le ln et écrire -1 comme -ln(e)).
C'est par cette méthode que j'ai fait la première fois, mais j'ai voulu rester sur du programme (même si c'est souvent très rageant)
Il me semble avoir vu le changement de variable en Term perso, c'est dommage de ne pas le traiter pcq ici ca simplifie bien les calculs ! Tres jolie intégrale en tout cas ^^
Il n'est plus au programme malheureusement. Dommage car il simplifié pas mal les calculs.
@@MatherminaleAh oe dommage, après rien ne t'empêche de le faire, et puis je t'ai vu utiliser la propriété du roi, mais finalement la preuve provient d'un changement de variable.
@@romain6138 On très facilement la démonter sans changement de variable, j'en ferai d'ailleurs une vidéo.
@@Matherminale Ah ok je ne savais pas qu'il y avait d'autres démos, j'ai hâte de voir ça !
J'ai trouvé une intégrale trigonométrique particulièrement Retord
Trouver une primitive de (1-10tan(x)^2+5tan(x)^4)/(5tan(x)-10tan(x)^3+tan(x)^5)
(Il est vivement conseillé de calculer au préalable cos(5x) et sin(5x) en fonction de cos(x) et sin(x))
Ok, j'y réfléchis.
Je me répète un peu dans mes minias 😅
perso j'aime bien xd