Structures algébriques 1 : L.C.I. et Groupes
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- čas přidán 28. 07. 2024
- Cette série de vidéos à pour but de faire une présentation du vocabulaire algébrique de licence (groupes, anneaux, corps, idéaux, quotients etc.)
On commence par les notions de bases : loi de composition interne et groupes
![[UT#76] Une introduction animée à la théorie des groupes !](http://i.ytimg.com/vi/LWGrvRTv30c/mqdefault.jpg)
Je suis en train de reprendre les cours en L1 de maths après plus de 15 ans sans avoir touché des maths (hors finance, économie). Dans les premiers chapitres portant sur les propriétés des nombres entiers, relatifs, rationnels et réels, plein de références aux structures algébriques et propriétés des ensembles. Cette vidéo est exactement ce qu'il me fallait pour me remettre à jour sans confusion, merci !
yesss, c'est la vidéo qu'il me fallait voir. Merci.
Depuis le temps que je tente d'avoir un début de compréhension des structures algébrique, c'est la seul vidéo qui me donne pas l'impression d’être stupide, Merci.
Cette série commence bien! Merci Gilles.
Merci c'est la video qu'il fallait que je regarde
Merci, c'est là que je me suis rendu compte que j'ai du louper un épisode dans le secondaire.
Merci pour vos cours je vous ecris de Mauritanie
Merci pour la vidéo, et particulièrement à vous Gilles. C'est le livre arithmétique et cryptologie qui m'a dirigé ici. Il est particulièrement bien rédigé et me permet d'aborder plus sereinement la possibilité d'un master en sécurité informatique.
merci beaucoup !
Encore merci pour vette vidéo...Let's go to tne next ones )
merci Prof!!!!
Bonne vidéo merci
Merci bcp Mr
merci beaucoup
Merci beaucoup
merci :)
très bon cours
Merci beaucoup pour cette chaîne je pense que tu vas être mon nouveau Yvan Monka maintenant que je suis a la fac
C'est exactement le but :-) Merci pour cette comparaison flatteuse :-)
Super !
merci
MERCI
Pour l'élément neutre de la composée, je pense qu'il ne sera pas le même à droite et à gauche si l'ensemble de départ est différent du celui d'arrivée.
Merci infiniment pour vos efforts.
vous avez complètement raison !
💜💛💚
Ca serait super de faire une video sur l'etude du groupe GL(2,R) avec le centre du groupe, la partie génératrice l'ordre etc ...
oui je suis bien d'accord mais j'essaye de faire d'abord le tour des sujets du programme de licence avant de m'attaquer au plus pointu ;-)
Bonjour , merci beaucoup pour cette vidéo très informative , je voulais vous poser une question , pour les conditions du groupe , est ce qu'on peut négliger la deuxième condition puisque on sait que la troisième déjà dépend d'elle ?
Je ne pense pas...
S'il vous plaît Mr. J'aimerais savoir si le périmètre du cercle est un vecteur
d'après la def que vous avez donné le produit scalaire n'est pas une opération ?
exactement !
Il manque la loi de composition interne pour la définition d'un groupe non ?
A partir de 14:25, Comme j'avais un manque de compréhension de ce qu'est le signe moins, j'ai tenté de dépatouiller le truc en séparant conceptuellement le signe " ─ " de l'opération de soustraction (ici " ─ " est un opérateur binaire) et le signe " - " de la négation d'un nombre (ici " - " est un opérateur unaire, ce qui fait toute la différence avec " ─ " qui est binaire) qui permet ainsi de signifier l'opposé de ce nombre et voilà, en me basant sur mes maigres connaissances en mathématiques, à quoi j'aboutie mais je ne sais pas vraiment si mon truc est valable ou pas :
Pr1 : Préliminaires à la notation explicite de l’opposé d’un nombre réel .
En se basant uniquement sur l'axiome qui dit que tout nombre réel admet un opposé, il faut remarquer que pour définir ce qu’est l’opposé d’un nombre réel x, on ne détermine pas explicitement ce qu’il est mais simplement quelle est la propriété qui permet de lui attribuer effectivement ce statut d’opposé de x dans R. En effet, d’après 'axiome de l'opposé, on a :
∀x,x∈R, ∃! x, x'∈R : x + x'=0 (x' est symétrique de x pour l’addition dans R).
L’opposé de x est donc noté ici de manière complètement arbitraire par la lettre x' qui en soit ne donne aucune indication sur ce que signifie vraiment x' (on ne connait ici la signification x' que par le biais de l’égalité x + x' = 0).
Un moyen de donner une valeur explicite à cet opposé de x serait de faire apparaître x lui-même dans l’écriture de cet opposé. Pour cela, il suffit de préfixé x avec un symbole signifiant « opposé de ». On peut alors choisir le symbole « − » (barre verticale plus courte que celle du symbole « ─ » dont on va parler plus bas en D2) afin d’obtenir −x. Techniquement, le fait de préfixer x avec « − » revient à appliquer à x une opération dite « opération unaire de négation» qui est effectuée par « − ». Le mot « unaire » à pour racine le mot « un » et signifie que l’opérateur « − » agit sur une seule valeur, celle qui lui succède pour produire l’opération unaire −x.
D1 : Définition 1
Notation explicite de l’opposé d’un nombre réel
D’après Pr1, on peut redéfinir explicitement l’opposé de tout nombre réel x en écrivant :
∀x, x∈R, ∃!x', x''∈R, tel qu'il est équivalent d'écrire x + x' = 0 ou x'= ─x (d'où x + (−x) =0).
Définition 2 (D2)
Définition de la soustraction
Élaborons un opérateur binaire « ─ » (dont la barre verticale plus allongée que celle du symbole « − ») auquel on donne la propriété suivante de soustraction de x par y (où x∈R et y∈R) définie par :
∀x, x∈R, ∀y, y∈R, x ─ y = x + (−y)
Ainsi toute soustraction, quelle qu’elle soit, est en faite une addition , il découle de cela que si l’on remplace x par 0 dans l’égalité ci-dessus, il vient alors d’après P1 :
0 ─ y = 0 + (−y) = (−y) = −y
Cette transformation de la soustraction en somme permet ici d’aboutir à −y
= 0 ─ y (il n’est par contre pas possible de retirer 0 devant 0 ─ y afin d’obtenir un hypothétique ─y parce que « ─ » est un opérateur » binaire et qu’à ce titre il produit une opération mettant en relation deux nombres), ainsi, si nous avions par exemple la somme x + (0 ─ y), il serait alors plus commode de l’écrire sous la forme x + (−y) voire même x ─ y. On remarque déjà dans ces derniers exemples qu’il y a une nette différence dans l’utilisation de « ─ » et de « − » que nous allons tout de suite préciser afin de pouvoir malgré tout, justifier quand même le fait d’utiliser indifféremment « ─ » ou « − » dans les calculs dans la suite du cours. Remarquons que théoriquement, on ne devrait pas pouvoir intervertir « ─ » et « − » et ce, du simple fait que l’un, « ─ » est un opérateur binaire et que l’autre, « − » est un opérateur unaire. Cependant « ─ » et « − » ne sont jamais placés à des endroits similaires dans une expression, ainsi même si par mégarde, on utilisait l’un à la place de l’autre, on pourrait facilement en reconnaître sa véritable identité juste d’après la place qu’il occupe sans même s’inquiéter véritablement de sa signification symbolique. D"après cette dernière remarque, on peut quand même octroyer le droit de confondre les deux symboles sans risque qu’il y ait une quelconque ambiguïté au niveau de leur signification profonde, cette dernière n’étant révélée que par la place occupée par chacun de ces symboles.
Ainsi, d’un point de strictement théorique fera les remarques suivantes (avec (a,b,c,d)∈R^4) :
« ─ » se trouve toujours à droite d’un nombre (ou d’une parenthèse fermante) et à gauche d’un autre un nombre (ou d’une parenthèse ouvrante), par exemples : a─b, (a+b)─c, a ─(b+c) ou encore (a+b) ─(c+d).
« − » ne peut jamais se trouver à des endroits se trouve « ─ », on le trouve donc :
À droite d’une parenthèse ouvrante et à gauche un nombre comme dans a + (−b) (si cette parenthèse ouvrante est en tout début d’un calcul, elle peut-être omise ainsi que la parenthèse fermante qui lui est associée, comme dans (−a) ─ b= −a ─ b.
À droite d’une parenthésé ouvrante et à gauche d’une autre parenthèse ouvrante :
(a + b) ─ (−( c ─ d)) (si la parenthèse ouvrante se trouve en tout début d’un calcul, elle peut-être omise comme dans le cas précédent ainsi que la parenthèse fermante qui lui est associée, par exemple dans (−( c ─ d)) + b=−( c ─ d) + b.
Puisqu’ils n’opèrent jamais aux mêmes endroit, « ─ » et « − » peuvent être sans aucune ambiguïté confondu en tant que symbole mais attention, pas en tant que notion, c’est-à-dire que l’on peut aussi écrire « ─ » à la place de « − » et vice-versa car seule leur position dans une expression indique réellement de quel opérateur il s’agit vraiment et ceci sans aucune ambiguïté. En effet, en n’utilisant qu’un seul symbole ( « ─ » par exemple) dans une telle expression comme « ─ x+a ─ (d + 9) + (─y) ─ (─s + b) » par exemple, on sait immédiatement où l’on doit remplacer « ─ » par« − » afin d’en faire apparaître la forme plus rigoureuse qui se déclinera alors en l'expression suivante −x + a ─ (d + 9)+ (−y) ─ (−s + b).
Dans un but de simplification, on pourra alors n’ utilisé que « ─ » qui aura donc deux significations :
celle originelle de symbole de l’opérateur binaire de soustraction comme dans (x ─ y),
celle étendue d’indiquant l’opposé d’un nombre y comme dans (y'= ─y).
On a l’habitude de ne pas faire la différence entre le symbole de la soustraction, le signe moins « ─ » et le symbole de l’opposition, le signe négatif « − » en les notant tous deux qu’avec la seule écriture « - » que l’on appelle indifféremment « signe moins » ou « signe négatif » bien qu’il y ait une réelle différence identifiable par la position du symbole « ─ » dans une expression arithmétique.
Vous êtes vraiment génial. Merci pour l'explication, j'avoue avoir beaucoup appris.
svp une loi de composition interne ,c'est une application n'est ce pas ? est-elle vraiment une fonction?
une loi de composition interne est en effet toujours une application (donc c'est une fonction qui est définie partout).
Tout d'abord merci pour vos vidéos. L'élément neutre doit-il être unique ?
oui il est forcément unique, car si on en avait deux : e et e' alors que vaudrait e * e' ?
Oui bien sûr, j'avais eu déjà à démontrer l'unicité de e, en démontrant que e = e'. Si je me souviens bien : x * e' = e' * x (car e' est neutre) e * x * e' = e * e' * x e * x = e' * x (car e et e' sont neutres) e = e'.
Bonjour. Puisque la multiplication est composée par l'addition, existe-t-il une l.c.i. (a*b) qui compose l'addition, ou peut-on décomposer l'addition en cette l.c.i. uniquement, sans faire appel à + et x?
Alors là, je ne sais pas du tout :-)
@@MathsAdultes Merci de votre réponse. C'est beaucoup; je vais faire des recherches. (l'élément neutre de cette l.c.i. est indéfinissable; existerait-il un "non-nombre"?)
vous faite de bonne vidéo , mais essaiyer de fait des video sur les modules et extension des corps merci
Pour compléter mon commentaire précédent, la difficulté que pose le symbole "-" se retrouve en informatique, c'est une galère quand on doit concevoir un parser d'expressions, de distinguer entre la notion unaire d'opposé et la notion binaire de soustraction. Ce qui montre qu'une réforme serait bienvenue.
courage
salut c'est quoi la difference entre un magma et un monoïde ? Merci
pour qu'un magma soit un monoide il faut que la loi soit associative et qu'il y ait un élément neutre (pour un magma il y a zéro hypothèse).
Ok merci pour ta réponse.
Je chipote peut être mais au tout au début vous dites qu'une loi de composition est une fonction, pas forcément totale, à savoir que des couples de E pourraient ne pas avoir d'images. Dans un groupe, je pense que la loi doit être une fonction totale, n'est-ce pas ?
Peut être serait il bon de faire aussi quelques rappels de théorie des ensembles, sur ce qu'est une relation binaire fonctionnelle. J'ai beaucoup aimé votre remarque sur l'ambiguïté de la notation fractionnaire qui ne porte pas en elle-même l'ordre de l'opération.
dans un groupe oui mais la soustraction sur N n'est pas toujours définie et la division dans Q n'est définie que si le diviseur est non-nul...
Dans quel but définie on un groupe? Merci.
historiquement c'est Galois qui a introduit le mot car il étudiait certains regroupements des racines des polynômes (les groupes de Galois) et du coup la notion générale à gardé le nom.
@@MathsAdultes Merci,
le vocabulaire est peu intuitif.
Un jour, je comprendrais.
Pourquoi que ces structures là svp?
Tout ensemble a t il une lci? si oui en géométrie peut on trouver des ensembles ?
Il est très fréquent de munir les ensembles mathématiques d'une ou deux lci en effet.
Je ne suis pas sûr de comprendre le sens de votre deuxième question, mais si elle consiste à savoir si on a une lci sur l'ensemble des points du plan ou de l'espace alors la réponse est "presque" car en assimilant un point A au vecteur OA (où O est l'origine du plan ou de l'espace) alors on a l'addition des vecteurs...
@@MathsAdultes Merci de votre réponse.
Mrc bcq bcq bcq
like !
Bonjour. Désolé de ne rejoindre la "classe" que très tardivement.
Je ne comprends pas pourquoi la loi "x" (multiplication) est présentée comme étant commutative. Ça dépend quand-même de l'ensemble sur lequel on travaille, non? La multiplication de matrices (par exemple) n'est pas commutative.
Présenté comme ça l'est dans l'exercice, on pourrait penser que la multiplication est une loi qui est toujours commutative.
Ou alors, je fais erreur?
Merci d'avance pour la réponse.
Et merci pour vos vidéos.
vous avez raison la loi x n'est pas toujours commutative.
merci d'abord pour votre effort pourquoi vous avez écrit puissance sur N et pas sur tous les autres ensembles
c'est plus dur à définir sur les réels, car le nombre et l'exposant peuvent être réels...
merci
4:24 c'est seulement vrai si on travaille sur N mais vous ne l'avez pas mentionné
Bonjour,
Dans les premières minutes de la vidéo vous montrez la non associativité de la soustraction.. Je pense que vous mettez là le doigt sur une difficulté majeure pour les jeunes enfants... J'ai eu un mal fou à faire comprendre à mon fils la convention... En fait je pense qu'il faudrait une réforme de l'enseignement des maths sur ce point. On devrait interdire la soustraction comme opération binaire ... Introduire d'abord la notion d'opposé et n'écrire que des additions comme vous le faites si justement où la soustraction est unaire. Auriez-vous un poids pousser une telle réforme, si du moins vous l'approuvez?
Sauf que dans la vraie vie, le "moins" apparait naturellement... Donc l'interdire arbitrairement me semble difficile...
Bonsoir, quelle différence y-a-t-il entre une fonction et une application svp? Merci!
Une application est définie sur tout l'ensemble de départ.
Une LCI est une application et pas une fonction , une opération n'est pas forcément une lci , la division revient à faire une multiplication d'un élement avec l'inverse d'un autre élément
Sauf que toutes les applications sont des fonctions par définition (mais toutes les fonctions ne sont pas forcément des applications)
@@adrien7933 La nuance entre les deux est une chimère. Ca vient de Bourbaki mais en dehors de la France personne ne fait de distinction comme ça. Au contraire, une application serait plutôt plus généraliste.
@@neuroleptik121 Merci de la précision, je ne savais pas (étant encore jeune apprenti des maths), d’ailleurs saurais-tu pour qu’elle raison la distinction est faite en France et pas ailleurs?
@@adrien7933 Il vient de te le dire, ça vient du collectif Bourbaki
@@Regimeducamp Il faut distinguer l’origine et la raison, en effet, répondre à une question qui commence par « pourquoi » ce n’est pas la même chose que de répondre à une question qui commence par « d’où vient… ». Je connais Bourbaki et la réforme des maths modernes, mais cela ne répond pas à la question « Pourquoi avoir introduit le concept d’application? »
T
O
Je ne suis pas d'accord pour la puissance. 1^x = e^xln(1)=e^0=1 .
ok mais tu mettrais quoi à la place ?
P
10:24 - "ben la soustraction vous savez bien que c'est faux : 2 moins 3, 3 moins 2, c'est pas pareil"
À mon avis Tu ne peux pas* d'un côté définir la Soustraction uniquement en termes d'Addition de Relatifs, puis affirmer qu'elle n'est pas Commutative, puisque : 2 + (-3) = (-3) + 2.
De toute façon je considère que l'on n'est plus// dans le cas de la Soustraction lorsque l'on la Définit STRICTEMENT ISOMORPHE à L'ADDITION DES RELATIFS.
Pour moi, la Soustraction est justement NON-COMMUTATIVE alors que L'ADDITION DES RELATIFS l'est.
De ce fait, la Convention de Calcul de la Soustraction n'est pas, pour : a - b - c = d, a + (-b) + (-c), mais SEULEMENT : (((a) - b) - c) = d.
* ce, même en sachant qu'on la trouve couramment définie ainsi
h
Tu sais que t'as grandi quand tu passes de Yvan Monka à maths adultes