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1-x²をtと置いてもよさそ

解けました〜😊 最後は微分しないで合成使いました。 解き応えあった😅

この問題難しい〜😅

なんでlogになったかわからない

すごいなるほど

再現性なくね？

奇数のカタカナが、キスウではなくキスーなのが好き。

おまじないをかけてw良い表現ですねw

オーダー的な

めっちゃベータ関数

与式 = ∫[-π, π]e^(sinx)/(e^(sinx) -e^(-sinx))dx ···① x=-u とおくと ① = ∫[-π, π]e^(-sinu)/(e^(-sinu) -e^(sinu))du 積分変数をxと書換えれば ① = ∫[-π, π]e^(-sinx)/(e^(-sinx) -e^(sinx))dx よって 2(与式) = ∫[-π, π]1dx = 2π ∴ 与式 = π

kpで暗算でした。

KPに引かれて善光寺参り

lim取る時は、後ろだけ取らずに一気に取って欲しい

式変形の経験さえあればそんなに難しくない

√の整数部分、少数部分を理解しているかが問われる問題でしょうか。出題者の意図は。

計算のみ。 f‘(x)=lim[h→0]{(f(x+h) -f(x))/a h} =lim[h→0](3x²+2(h+1)x+hx+h(h+1))/((x+h)√(x+h+1) +x√(x+1)) =(3x+2)/2√(x+1)

これは結構スラスラ解ける

I₁:=∫(x:0→2π)cos²θdθ は対称性から∫(x:0→2π)sin²θdθ と同じ値になるので、 2I₁=∫(x:0→2π)(sin²θ+cos²θ)dθ =∫(x:0→2π)dθ 　=2π　　　∴I₁=π （半角のほうが楽？） もう片方はそういうのないから半角の公式から部分積分するしかないのかも…

とりあえず積分漸化式 I_n=∫(積分区間0→π/2)sin^n xdxを部分積分で解かせる問題だったのかな？

与えられた積分をⅠとおき，sinとcosを逆にした積分をJとおいてⅠ＋JとⅠーJを計算してみた． 大してウマミはなかったが，少しは計算が楽かな　ww

半角変換と瞬間部分積分で瞬殺ですね

u=π -x とおくと 与式 = ∫[-π, π](cos²u+(π-u)²sin²u)du = ∫[-π, π](cos²u+(π²+u²)sin²u)du = ∫[-π, π](1+(π²+u²-1)sin²u)du = 2∫[0, π](1+(π²-1)sin²udu+u²sin²u)du = 2π+(π²-1)∫[0, π](1-cos2u)du+∫[0, π](u² -u²cos2u)du 第2項 = (π²-1)[u-sin2u/2][0, π] = π(π²-1) 第3項 = [u³/3 -u²sin2u/2 -ucos2u/2+usin2u/8][0, π] = π³/3 -π/2 よって 与式 = 2π+π(π²-1)+π³/3 -π/2 = 4π³/3+π/2

何かを間違えました💦

数検3級頑張るぞ！って言ってる自分 「え....???」

脳筋ワイ「展開して1個ずつしばきあげる」

数オリ簡単すぎって思ったら数検やった

置換して瞬間部分積分ですね。 t=logx とおくと x=e^t, t:[0, 1] 与式 = ∫[0, 1](1+t)²e^tdt = [(1+t)² -2(1+t)+2)e^t][0, 1] = [(1+t²)e^t][0, 1] = 2e -1

x⁴-1は親切

Focus Goldで見た、懐かしい

1次なら答えだけ出せば良いわけですね。 最速解法は、ルートの中の平方完成です。 2√(n²+4n)-√4(n²+5n/4) ＝2√{(n+2)²-4}-2√{(n+5/8)²-25/64} n→∞の前提では、-4や-25/64は微々たるものなので無いものとして考えてOKなのです。 そうすると、なんとルートを外すことができてしまいます。 n→∞よりルートの中も正として考えられますね。したがって、 ＝2(n+2)-2(n+5/8) ＝4-5/4 ＝11/4 n→∞でかつ答えだけで良い場合にできる近似の裏技です。ぜひ。

x³-6ax²+9a²x-4a=0 左辺をf(x)とする。f(x)が極大、極小をもつことが必要。 f‘(x)=3x²-12ax+9a² x= 2a±√(a²) = 2a±|a| a=0の時、f(x)は単調増加で不適。 よって、x=a, 3a (a≠0) 相違な3解を持つ条件は f(a)·f(3a)<0 f(a)·f(3a) = -16a²(a²-1) < 0 ∴a>1, a<-1

はさみうちの原理を使いました。

埼玉大学で全く同じ問題があったよね そっちは積分のあとπの近似値まで計算させてたけど。

lim[x→∞]x⁷/(x⁸ -(x+9)⁸) = lim[x→∞]{1/(1 -(1+9/x)⁸}/x 1/x=t とすると 与式 = lim[t→0]t/(1 -(1+9t)⁸) ···① f(t)=1 -(1+9t)⁸ として①の逆数を考えると f(0)=0 なので微分の定義から ①の逆数 = lim[t→0](f(t) -f(0))/(t -0)　= f‘(0) f‘(t)= -72(1+9t)⁷ から ①の逆数 = f‘(0) = -72 よって、与式 = -1/72

Wikipediaに正解が… 7月22日に出題してたら完璧でしたね！ ja.wikipedia.org/wiki/円周率が22/7より小さいことの証明

t=1/n とすると 与式 = lim[t→0](2√(1+4t) -√(4+5t))/t 分子を f(t) とすると f(0)=0 なので微分の定義から 与式 = lim[t→0](f(t) -0)/(t-0)) = f‘(0) f‘(t)=4/√(1+4t) -5/2·1/√(4+5t) ∴与式 = f‘(0) = 4 - 5/4 = 11/4

これは面白い‥。 22/7は古代バビロニア提唱の円周率の近似値。 答えが 22/7-π とか神秘的すぎます。 ちなみに日本では22/8がネイピア数の近似値であることから 7月22日から8月22日までは数学月間と言われているそうです。

なんのためのe？

P(x)=x^4-1とおくと x^4=P(x)+1 x^2010=(x^4)^502・x^2 ={P(x)+1}^502・x^2 ≡x^2(modP(x)) これが余り x=3を代入して求める値は9

x=tanθ とおくと 与式 = ∫[0, π/4]tan⁴θ(1-tanθ)⁴dθ ···① = ∫[0, π/4](tanθ -tan²θ)⁴dθ A[n] = ∫[0, π/4](tanθ)^ndθ とすると A[n] =1/(n-1) - A[n-2] ① = A[4] -4A[5]+6A[6] -4A[7]+A[8] A[4] = 1/3 -A[2] = 1/3 -1+π/4 = -2/3+π/4 A[5] = 1/4 -A[3] = 1/4-1/2+A[1] =1/2log2-1/4 A[6] = 1/5 -A[4] = 1/5+2/3 -π/4 = 13/15-π/4 A[7] = 1/6 -A[5] = 5/12 -1/2log2 A[8] = 1/7 -A[6] =1/7-13/15+π/4 　　= -76/105+π/4 よって 与式 = ① = 22/7-π

x＋1=t で置換しなくても行けるんですね

え？数検準一？数検も随分と難しくなりましたね。私の時は1番難しいのでも三角形の内心をベクトルで表せくらいのしか出てなかった。

1/2)f(x)<∫f(x)/(1+x^2)<f(x) ただしf(x)=x^4(1-x)^4。 0から1で1/2)(x^2+1)<1+x^2逆数とってf(x)掛けて積分

数検興味なかったけど準一でこれなんや 勿論これより難しいの多々あると思うけど

出たー！ 円周率近侍式！ 3958/1260<π<3959/1260 3.1415…<π<3.142…

一瞬東工大2023の問一かと思った

初手でx=3代入してもいけるか