Merci pour cette belle vidéo. Ceci me ramène plusieurs décennies en arrière où je "bouffais" du calcul ... Aujourd'hui, après avoir comme vous avoir montré que 0
@@Tbop3 Mais oui... Plus généralement, si une suite Un est (à partir d'un certain rang), minorée par une suite Vn et majorée par une suit Wn qui convergent toutes les deux vers la même limite l, alors la suite Un converge vers l. 😀
Excellente vidéo! Par contre c'est stressant quand tu oublies des alpha ou des -1 dans les exposant, on sait pas si on a mal suivi ou si c'est toi qui a fait une erreur d'inattention. Heureusement tu les corriges après! Il y a une parenthèse fermée en trop à 13:06
Ce que j'ai fait c'est que à partir de l'approximation u(n+1)-u(n)=-(u(n)^3)/6, j'ai fait comme si (u) était une fonction y qui est solution de l'équation différentielle dy/dt=-(y^3)/6 et en résolvant on obtient le même résultat. C'est comme si la suite de base était l'approximation de la solution de cette equation différentielle par la méthode d'Euler, avec un dt=1. Du coup ça serait vraiment cool de pouvoir faire ça rigoureusement parceque ça se calcule plutôt vite
C'est archi malin !! Franchement je sais pas trop si on peut rendre ça rigoureux, mais au moins ça peut être un très bon moyen de deviner la solution / vérifier son calcul.
@@julesevrols2497 Qu'est ce que tu entends exactement par "à peu près équivalent" ? Et quand bien même on montrerait ton approximation, je vois difficilement comment conclure sans passer par une sommation de type Césaro ou similaire, comme fait dans la vidéo... N'hésite pas à me dire si je rate un truc
@@MathsEtoile Souvent c'est un équivalent a un coefficient prés. Mais oui l'idée est bien de sommer, puisque sommer c'est intégrer. On intègre le dy/y3. Dans cette technique en fait on voit juste mieux ce qu'on fait c'est la méthode de séparation de variable mais pour les suites.
@@julesevrols2497 Ok effectivement, on peut voir la partie "sommation de Césaro" comme juste "intégrer une constante". Mais bon ça demande toujours un peu de travail sur les suites (genre montrer ton approximation qui n'est pas complétement triviale, et utiliser Césaro pour sommer tout ça) mais ça reste un très bon moyen de voir les choses, merci beaucoup !
N'y a-t-il pas un problème lorsqu'on prend Un à une puissance négative puisqu'il est possible que Un soit égal à 0 ? (dans le cas où u0 serait égal à 0 et donc que Un serait la suite nulle par exemple)
On peut tout à fait sommer, mais comme les bornes de sommations sont variables (dépendent de n), on ne peut pas juste dire que les développements asymptotiques s'ajoutent... Il faut au moins utiliser un théorème de sommation, tel que le théorème de sommation des équivalents (ou bien Césaro, qui n'est qu'un cas particulier du théorème de sommation des équivalents)
Tu aurais un argument intuitif pour penser à calculer u_n^\alpha ? Je me souviens quand je passais mes oraux, ce genre d'exos, l'examinateur finissait toujours par te donner l'astuce de regarder u_n^\alpha (sauf si tu l'avais déjà vu).
Franchement non, cette astuce j'ai jamais vraiment compris la motivation derrière... Je vois bien qu'on essaye de faire apparaître un terme constant non nul pour faire du Césaro derrière, mais l'idée de mettre à une bonne puissance pour focer l'apparition de ce terme constant est assez obscure pour moi.
@@MathsEtoile en fait je pense que d'abord la méthode qui se dégageait était celle de l'équation différentielle (certains en parlent en commentaire) puis qu'en fait on s'est rendu compte qu'on était toujours amené à considérer la suite u_n mais élevée à une certaine puissance. On a perdu toute l'essence de cette démarche malheureusement. L'idée de l'équation différentielle me semble être la plus naturelle. De plus, le fait d'élever à une certaine puissance ne fonctionne pas à tous les coups : par exemple, donner un équivalent de la suite définie par la récurrence u(n+1)=u(n)+exp(-u(n)). La méthode de l'équation différentielle est concluante, pas celle de la puissance, car la suite à considérer n'est pas une puissance de la suite u(n). En tous cas, tu fais preuve d'une grande honnêteté intellectuelle en disant que tu ne sais pas. J'ai vu plusieurs personnes dire que "le truc magique" était d'élever à une puissance et faisaient comme si c'était évident.
Ce n'est absolument pas une astuce ! Le terme u_{n+1} - u_n est une dérivée discrète donc on s'attend à ce que u_{n+1} - u_n se "comporte" comme f'(u_n) (avec ici f = sin, mais ca marche dans plein d'autres cas, ce n'est pas une astuce). Le développement à l'ordre 3 donne (u_{n+1} - u_n)/u_n^3 ~ -1/6. Or le terme de gauche se "comporte" comme f'(u_n)/f(u_n)^3, qui est correspond à la dérivée de 1/f(u_n)^2 dont la version discrète est 1/u_{n+1}^2 - 1/u_n^2.
Première remarque à faire, avant même de commencer la période de préparation : « la dérivée de sin(x) étant entre 0 et 1, c'est évident que la suite converge. » Et là quelque soit la foirade inévitable qui s'en suivra, votre note remote de 5 points :)
Je vois pas le rapport entre le fait que la dérivée de la fonction sinus soit comprise en 0 et 1 sur [0;pi/2] et la convergence de la suite définie par récurrence. Vous pouvez développer ?
@@romaindautricourt4890 sur une suite récurrent x(n+1) = f(x(n)) tu vois géométriquement en traçant le graphe de la fonction f. Place x0 (ou xn) sur l'axe des X, monte jusqu'à rencontrer la courbe, puis repars horizontalement pour trouver x1 (ou xn+1) sur l'axe des y. Pour passer à x2 il faut reporter x1 de l'axe des y à celui des x. Pour ce faire trace la diagonale d'équation y=x, et tu repars de x1 horizontalement, tapes la diagonale et redescent sur l'axe des x. De là tu remontes vers la courbe, etc. Tu verras qu'en fait il n'y a pas besoin d'aller jusqu'aux axes sur les horizontales et les verticales, il suffit de rebondir entre la courbe de f et la diagonale. Et si f est plus plate que la diagonale la suite converge, soit en escalier (f croissante) soit en escargot (f décroissante). Le point limite est évidemment quand x=f(x). C'est à dire au croisement de la courbe et de la diagonale. Logique pour une limite L de suite xn+1=f(xn), on doit avoir L=f(L). De façon plus analytique, si |f'(x)| < K fixée, alors |x(n+2)-x(n+1)|
Un exercice qui déjà était connu en 1964 il n'a pas changé heureusement. Cela me rajeunit
Un grand classique effectivement ;)
Merci pour vos explications qui sont d'une grande clarté, votre chaîne est prometteuse continuez !
Et on attend la suite !
super vidéo ça m'aide pas mal pour voir des applications de mes cours d'analyse. Merci !
Merci pour cette belle vidéo.
Ceci me ramène plusieurs décennies en arrière où je "bouffais" du calcul ...
Aujourd'hui, après avoir comme vous avoir montré que 0
@@Tbop3 Mais oui... Plus généralement, si une suite Un est (à partir d'un certain rang), minorée par une suite Vn et majorée par une suit Wn qui convergent toutes les deux vers la même limite l, alors la suite Un converge vers l. 😀
Merci beaucoup j'attends avec impatience la suite
Excellente vidéo!
Par contre c'est stressant quand tu oublies des alpha ou des -1 dans les exposant, on sait pas si on a mal suivi ou si c'est toi qui a fait une erreur d'inattention. Heureusement tu les corriges après!
Il y a une parenthèse fermée en trop à 13:06
Ce que j'ai fait c'est que à partir de l'approximation u(n+1)-u(n)=-(u(n)^3)/6, j'ai fait comme si (u) était une fonction y qui est solution de l'équation différentielle dy/dt=-(y^3)/6 et en résolvant on obtient le même résultat. C'est comme si la suite de base était l'approximation de la solution de cette equation différentielle par la méthode d'Euler, avec un dt=1. Du coup ça serait vraiment cool de pouvoir faire ça rigoureusement parceque ça se calcule plutôt vite
C'est archi malin !! Franchement je sais pas trop si on peut rendre ça rigoureux, mais au moins ça peut être un très bon moyen de deviner la solution / vérifier son calcul.
@@MathsEtoile oui on peut faire ca rigoureusement il suffit de montrer que u(n+1)/un3 -un/un3 est un peu pres equivalent a 1/un+12 -1/un2
@@julesevrols2497 Qu'est ce que tu entends exactement par "à peu près équivalent" ?
Et quand bien même on montrerait ton approximation, je vois difficilement comment conclure sans passer par une sommation de type Césaro ou similaire, comme fait dans la vidéo... N'hésite pas à me dire si je rate un truc
@@MathsEtoile Souvent c'est un équivalent a un coefficient prés. Mais oui l'idée est bien de sommer, puisque sommer c'est intégrer. On intègre le dy/y3. Dans cette technique en fait on voit juste mieux ce qu'on fait c'est la méthode de séparation de variable mais pour les suites.
@@julesevrols2497 Ok effectivement, on peut voir la partie "sommation de Césaro" comme juste "intégrer une constante". Mais bon ça demande toujours un peu de travail sur les suites (genre montrer ton approximation qui n'est pas complétement triviale, et utiliser Césaro pour sommer tout ça) mais ça reste un très bon moyen de voir les choses, merci beaucoup !
N'y a-t-il pas un problème lorsqu'on prend Un à une puissance négative puisqu'il est possible que Un soit égal à 0 ? (dans le cas où u0 serait égal à 0 et donc que Un serait la suite nulle par exemple)
Si u0 != 0 on remarque que un != 0 pour tout n
donc il suffit de faire une disjonction de cas, mais c'est quand même utile de le préciser
Le 2e résultat n'est il pas une amélioration de la règle de Raabe-Duhamel, car elle donne la constante devant l'équivalent?
Super video merci !
Merci beaucoup pour votre travail, cependant pourquoi utiliser Cesarò et ne pas sommer simplement les deux parties de l'égalité ?
On peut tout à fait sommer, mais comme les bornes de sommations sont variables (dépendent de n), on ne peut pas juste dire que les développements asymptotiques s'ajoutent... Il faut au moins utiliser un théorème de sommation, tel que le théorème de sommation des équivalents (ou bien Césaro, qui n'est qu'un cas particulier du théorème de sommation des équivalents)
bravo
Trop belle ta voix !
Bientôt la chaîne secondaire d'asmr tqt ;)
@@MathsEtoile 😊
Nice video. But what about if u_0=0.
Tu aurais un argument intuitif pour penser à calculer u_n^\alpha ? Je me souviens quand je passais mes oraux, ce genre d'exos, l'examinateur finissait toujours par te donner l'astuce de regarder u_n^\alpha (sauf si tu l'avais déjà vu).
Franchement non, cette astuce j'ai jamais vraiment compris la motivation derrière... Je vois bien qu'on essaye de faire apparaître un terme constant non nul pour faire du Césaro derrière, mais l'idée de mettre à une bonne puissance pour focer l'apparition de ce terme constant est assez obscure pour moi.
@@MathsEtoile en fait je pense que d'abord la méthode qui se dégageait était celle de l'équation différentielle (certains en parlent en commentaire) puis qu'en fait on s'est rendu compte qu'on était toujours amené à considérer la suite u_n mais élevée à une certaine puissance. On a perdu toute l'essence de cette démarche malheureusement. L'idée de l'équation différentielle me semble être la plus naturelle. De plus, le fait d'élever à une certaine puissance ne fonctionne pas à tous les coups : par exemple, donner un équivalent de la suite définie par la récurrence u(n+1)=u(n)+exp(-u(n)). La méthode de l'équation différentielle est concluante, pas celle de la puissance, car la suite à considérer n'est pas une puissance de la suite u(n).
En tous cas, tu fais preuve d'une grande honnêteté intellectuelle en disant que tu ne sais pas. J'ai vu plusieurs personnes dire que "le truc magique" était d'élever à une puissance et faisaient comme si c'était évident.
Ce n'est absolument pas une astuce ! Le terme u_{n+1} - u_n est une dérivée discrète donc on s'attend à ce que u_{n+1} - u_n se "comporte" comme f'(u_n) (avec ici f = sin, mais ca marche dans plein d'autres cas, ce n'est pas une astuce). Le développement à l'ordre 3 donne (u_{n+1} - u_n)/u_n^3 ~ -1/6. Or le terme de gauche se "comporte" comme f'(u_n)/f(u_n)^3, qui est correspond à la dérivée de 1/f(u_n)^2 dont la version discrète est 1/u_{n+1}^2 - 1/u_n^2.
sinon on fait Un=sin(Un-1)
Première remarque à faire, avant même de commencer la période de préparation : « la dérivée de sin(x) étant entre 0 et 1, c'est évident que la suite converge. » Et là quelque soit la foirade inévitable qui s'en suivra, votre note remote de 5 points :)
Je vois pas le rapport entre le fait que la dérivée de la fonction sinus soit comprise en 0 et 1 sur [0;pi/2] et la convergence de la suite définie par récurrence. Vous pouvez développer ?
@@romaindautricourt4890 sur une suite récurrent x(n+1) = f(x(n)) tu vois géométriquement en traçant le graphe de la fonction f. Place x0 (ou xn) sur l'axe des X, monte jusqu'à rencontrer la courbe, puis repars horizontalement pour trouver x1 (ou xn+1) sur l'axe des y. Pour passer à x2 il faut reporter x1 de l'axe des y à celui des x. Pour ce faire trace la diagonale d'équation y=x, et tu repars de x1 horizontalement, tapes la diagonale et redescent sur l'axe des x. De là tu remontes vers la courbe, etc. Tu verras qu'en fait il n'y a pas besoin d'aller jusqu'aux axes sur les horizontales et les verticales, il suffit de rebondir entre la courbe de f et la diagonale. Et si f est plus plate que la diagonale la suite converge, soit en escalier (f croissante) soit en escargot (f décroissante). Le point limite est évidemment quand x=f(x). C'est à dire au croisement de la courbe et de la diagonale. Logique pour une limite L de suite xn+1=f(xn), on doit avoir L=f(L). De façon plus analytique, si |f'(x)| < K fixée, alors |x(n+2)-x(n+1)|
En fait on peut juste dire que le sinus est une contraction et appliquer le théorème du point fixe non ?
@@martincuq2411 Exactement.