Oraux X-ENS - 03 - Calcul d'une somme
Vložit
- čas přidán 6. 09. 2024
- Ce troisième oral de la série porte sur la calcul d'une somme de série. Le calcul fait intervenir des estimations asymptotiques assez fines, et le résultat fait intervenir la célèbre constante d'Euler-Mascheroni.
#maths #series #oraux #ens #polytechnique
bonne résolution mais probablement un peu trop compliquée par l'abus d'utilisation de o() alors que 'encadrement de ln(k)/k par les intégrales de ln(x)/x sur les intervalles entiers de part et d'autre de k facile les calculs et l'intégrale de ln(x)/x est 1/2.ln(x)^2 qui fait naturellement intervenir le terme -1/2.ln(n)^2 dans la premiere question.
je m'attendais à des maths j'ai commencé à danser avec giorgio by moroder
Hein?? Explique toi ma gueule
My name is Giovanni Giorgio but everybody calls me Giorgio.
De même
Moroderire
La décroissance de ln/n à partir de n>e peut se faire par étude de la fonction, niveau terminale (au lieu des dl niveau sup). Donc la convergence de la série est facile à voir d'entrée. Belle démonstration, claire et bien emmenée.
Ce n'est pas parce que ln/n decroit et tend vers 0 que la série converge. Par ex : 1/n décroît et tend vers 0 mais la série des 1/n diverge.
@@Nicolas-hz6th tu oublies le (-1)^n. C'est le critère des séries alternées: si u_n décroit vers 0, la série des (-1)^n u_n converge.
@@Nicolas-hz6th C'est une série alternée, dont le terme général (positif) est à partir d'un certain rang (n=4) décroissant et tend vers 0.Le théorème (dit des séries alternées) évoqué dans la vidéo dit qu'alors la série (alternée, donc) converge. La série harmonique dont vous parlez est à termes positifs, elle n'est pas alternée.
Yes les séries alternée prouvent rapidement la convergence, bien vu !
Superbe exercice !
Magnifique exercice, et très bien résolu. Bravo
Incroyable, J’ai tout compris , merci !
Eres Mateo Gómez del LFM?, soy el "Audi", como te va?
montrer la convergence peut se faire par le critère spécifique de convergence des séries alternées
Mouais. Je serai impressionné quand tu feras la même démonstration sur une feuille OCB.
Merci pour la vidéo.
la question 1 je pense est plus simple avec comparaison série intégrale.
Effectivement on peut présenter comme ça c'est peut être plus rapide !
Je viens d essayer. Ça donne l équivalent mais je ne comprends pas comment on obtient la convergence : la suite Un est alors encadrée par valeurs constantes différentes (du fait que les bornes du bas soient différentes des deux côtés de l encadrement). Qu est ce qui nous certifie que Un converge ?
@@winazu3814 si quelqu'un répond je veux bien aussi
@@winazu3814 La suite (u_n) est croissante (car ln(k)/k est positif) et majorée par ta borne supérieure.
Vous pouvez jeter un oeil à ce pdf qui le fait pour la série harmonique, des arguments similaires fonctionnent très bien ici.
minerve.ens-rennes.fr//images/S%c3%a9rie_harmonique.pdf
Superbe exercice
Vous auriez une référence de la difficulté de ce genre d'oral par rapport aux attendu de l'X en PSI svp?
J'aimerai connaître mon niveau global (ma prépa ne prépare pas l'X donc j'ai pas de référence)
Beau belle démonstration regarde avec extase
Très bel exercice !
Tel bel exercice !
Je n'ai pas fait le calcul mais je suis très surpris qu'on n'utilise pas le fait que ln(n)/n est la dérivée de 1/2ln(n)^2.
À moins qu'il y ait un piège...
la première question est liée à ça : l'intégrale de 1 à n de ln(x)/x vaut 1/2ln(n)^2 et est équivalente à sigma des ln(k)/k (i.e. la limite du rapport tend vers 1) Bien sur ca ne veut pas dire que la différence converge mais résoudre question 1 équivaut à le montrer;)
je ne sais pas si les fonctions f telles que
intégrale de a à l'infini de f' - somme pour a= ln(x)^2 est bien approximable (à partir de la "bien approximabilité" de x-‐->ln(x) , fait que l'auteur* de la video utilise dans la question 2)
Sinon, pour aller au-delà on peut tenter de généraliser comme suit : est ce que pour tout entier k, ln(x)^k est bien approximable ? et encore plus fort (mais ça m'étonnerait bcp ) est-ce que pour tout k entier >1 et tout f fonction derivable, f bien approximable implique f^k bien approximable ?
Comme la deuxième generalisation doit etre fausse on peut s'amuser à tenter caractériser les fonctions qui la vérifient (mdr histoire de finir par tomber sur un résultat intéressant)
Je vais réfléchir à tout ça un peu mais pas longtemps, si qqun trouve avant (ce qui est probable) je serai content qu'il le partage lol
*Bravo et merci à l'auteur pour cet exercice et sa résolution claire et dynamique ainsi que pour la démarche générale et sa chaîne! 👍👍👍
Bravo.
Bonne video mec
Comment justifier rigoureusement la fin avec la somme partielle impaire?
Par le critère spécial des séries alternées, la série converge donc toutes les sous-suites de la suite de ses sommes partielles ont la même limite donc on peut se contenter d’en étudier une seule.
Salut,
On ne voit pas grande chose, utilise un tableau s'il te plaît ou essaie d'écrire plus gros.
Il faut aussi articuler un peu mieux, surtout quand tu donnes la définition su problème.
Bon courage pour la suite.
Saludos desde México.
Par ailleurs, est-ce que l'on retrouve cet exo dans "Les grands classiques des mathématiques"?
Pour la convergence,
u(n+1)-u(n)=
(ln(n+1)/(n+1))
- (1/2)*(ln(n+1/n)^2)
Chacun des termes de cette différence tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Donc u(n) converge.
Reste à trouver la limite.
yes !
la limite en 0 de la u(n+1)-u(n) n'implique pas la convergence de u(n) non?
Absolument pas un simple exemple: un=ln(n) alors un+1-un tend vers 0 mais un tend vers l'infini
@@Sai-hc6il
Si vous m'avez lu, vous avez vu que j'ai écrit CHACUN des deux termes tend vers 0, DONC leur différence tend vers 0.
Ce n'est pas le même cas de figure que l'exemple que vous donnez où log(n+1)-log(n) tend vers 0 ALORS QUE log(n+1) et log(n) tendent tous les deux vers l'infini quand n tend vers l'infini.
Nous ne parlons pas de la même chose.
@@wass9972
Vous avez raison, mais ce n'est pas ce que j'ai écrit.
Regardez le développement de l'expression.
salut je suis actuellement en première année de prépa et je me mate pas mal de tes vidéos sur les oraux de concours pour m'entrainer. Mais je me posais une question, notre prof nous a appris a faire nos développements asymptotiques toujours avec des petits o et je te vois souvent en faire avec des grand O sur certains exos. Il y a une raison particulière? est-ce utile ou bien le raisonnement est sensiblement le même? merci
57/n^2 + o(1/n^2) = O(1/n^2)
Est ce qu’on a envie de connaître le 57 ? non
avec le grand O tu gagnes pas mal de temps
Oui choisir un O peut simplifier considérablement certain arguments de convergence car une série de terme général en O(1/n²) converge ce qui est faut pour o(1/n), il faut donc prendre le reflexe de prendre des O par exemple ln(1+1/n)=1/n+O(1/n²) . Ce choix peut paraitre inutile au premier abord mais peut amener la convergence après simplifications
dommage que t'aies bcp ralenti les vidéos oraux c'est bien pour bcp de raisons je trouve
Super vidéo merci ! Question : sur un problème de CAPES qui demande de retrouver les propriétés d'un logarithme "quelconque", peut-on selon vous considérer comme admises les propriétés du logarithme néperien ln ?? à savoir ln(x^b) = b*ln(x) et cie
Oui car il s'avère (et c'est même un moyen de définir un log quelconque) que pour tout a>0, loga(x)=ln(x)/ln(a). Les propriétés du ln sont donc vraies pour ce log quelconque.
la somme converge mais pas absolument, a t'on le droit de permuter les termes de la serie ? (je crois pas)
Pourquoi ne pas utiliser le critère des séries alternées pour la convergence de la série ?
Pour "n" un entier naturel non nul, on pose a_n = ln(n) / n, il est clair que, par croissance comparée, a_n converge vers 0 lorsque n tends vers + l'infini et décroissante donc on peut conclure.
Tu as raison mais attention, la question est de calculer la somme et pas uniquement de montrer la convergence de la série
@@arnaudpantoufle9404 Ah ok, mais avant de calculer une somme, je pense qu'il faut toujours montrer que ça converge au cas où.
@@adrien138 si dans l'énoncé la somme s'écrit avec un infini cela implique que la série converge je ne pense pas qu'il soit utile de le redémontrer
Excellent.
Merciii !
bonjour, je n'ai pas compris l'argument du lien suite serie. ln(n+1)-ln(n) converge vers 0, mais ln(n) diverge. Quelqu'un aurait il l'explication s'il vous plait ?
La *somme* des ln(n+1) - ln(n) diverge
je vcis pas en quoi les DL permettraient de montrer que ln(n)/n décroit
Cet exercice est-il dans la série de livres "Oraux X-ENS" de Francine, Gianella ? Si oui, lequel?
Il me semble qu'il est dans le livre 3 des nouvelles éditions, dans la partie sur les séries numériques, mais je ne suis pas sûr à 100%, si quelqu'un veut bien vérifier ...
Ptdr Gianella c est mon prof je savais même pas qu il avait écrit des livres
C'est dans le Tome 1 d'Analyse, exo 3.32
@@winazu3814 t ds quelle prepa
@@winazu3814 ces livres sont une mines à travailler d'urgence! c'est l'outil de bases des candidats à l'agrégation de maths.
Pq prendre la somme partiel jusqu'à 2N à N c bon?
juste pour éviter floor(N/2), c'est bien aussi
Qu'est-ce que ça veut dire l'O qui apparait à 2:45? D'où l'égalité 1/n + O(1/n^2) = ln(1 + 1/n)?
Merci
fr.wikipedia.org/wiki/Comparaison_asymptotique je te suggère cette article, dans la catégorie domination.
En gros ça veut dire "se comporte pareil au voisinage de l'infini). Par exemple, ln(1 + 1/n) se comporte comme 1/n + quelque chose qui ressemble à 1/n² quand n devient très grand.
disons que pour la première question j'aurais utilisé la comparaison avec une intégrale Log(x)/x ayant une primitive facile
le problème est que cette comparaison te donne que u(n) est bornée mais pas de convergence
Est il présent dans les grands classiques ??
comparaison serie-integrale sinon pour la preuve de convergence nan ?!
magnifique
on connait pas o(1), est ce qu il tend vers 0 quand n tend vers l infini
Oui, la notation o(1) désigne une suite qui tend vers 0
Bonjour, à 2'20'' tu factorises -0.5(ln((n+1)^2)-ln((n^2))) en le transformant via l'identité remarquable a^2-b^2=(a+b)(a-b), je pense que c'est une erreur non ? En fait cela aurait été vrai si le carré portait sur le ln mais le carré porte sur n et n+1. En d'autre terme, ln(a^2)-ln(b^2) est différent de (ln(a))^2-(ln(b))^2, pour le premier on ne peut pas factoriser via l'identité remarquable mais pour le deuxième oui. Merci pour le retour
Bonjour Benjamin, le carré porte sur le ln il me semble.
Le carré est bien à l'extérieur du log, donc tout va bien !
@@MathsEtoile je suis rassuré ouf. Dans la démonstration, pourquoi ne pas avoir mis le carré au dessus du "n" du log ? Comme ça plus de confusion possible.
@@benjaminblanchard5764 Oui c'est pas bête, j'essaierai à l'avenir d'utiliser cette convention plutôt, ça évite les confusions
Facile en somme !
Moi je retourne voir des vidéos de p'tits chats qui font les cons......😅
😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂
4 1 ...... 1 4
Les valeurs de n commencent à 1 nonobstant
"Nonobstant"
@@elcosto2227 t'as un problème avec la langue française morey ?
Ayaa les prépas qui passent des concours où ils comprennent rien pour finir ingésclave chez Nestlé
@@micheltanguy4901 nan mais c'est un terme qui est utilisé sur un certain endroit d'internet.
Le but c'était de le faire reconnaître ça sans dire exactement(pour que ceux qui en font pas parti ne le reconnaissent pas, peut etre que tu connais)
Pareil pour l'autre lorsqu'il dit "ingesclave" ca sort du même endroit.
@@mandarinesalee7120 "ingesclave"