Limite d'une racine n-ième - Somme de k^2 - Convergence
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- čas přidán 14. 07. 2024
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Dans cette vidéo, je détaille le calcul d'une limite lorsque n tend vers l'infini d'une racine n-ième d'une somme classique de termes. Il s'agit de la somme des k^2. Cette somme est classique et son calcul requiert une démonstration par récurrence ou d'autres techniques de calcul de sommes.
Le calcul de la somme n'est pas détaillé ici car il peut se faire aisément à l'aide d'une récurrence par exemple. La transformation de la racine n-ème en exponentielle est ensuite réalisée afin de simplifier la suite numérique étudiée.
Il est ensuite important d'appliquer certaines propriétés algébriques du logarithme népérien qui permet de transformer le produit en somme. Je fais également appel à des propriétés de croissance comparées qui concernent la fonction logarithme (ln) afin de simplifier l'expression.
Le calcul de cette limite est très intéressant et requiert la mobilisation de beaucoup de connaissance du niveau terminale et potentiellement de la première année de classes préparatoires ( MPSI, PCSI, PTSI ou prépas intégrés et Universités).
merci toujours clair dans les explications
Merci Pierre 🙏🏼
Merci
Merci pour cette nouvelle vidéo :) Très limpide. HS mais quel est le logiciel de ta palette graphique ?
Goodnotes
Comment appliquer la technique pour manipuler cette fonction 😮par les racines 2
Pourquoi deux racines?
Très bonne vidéo, merci.
Personnellement j'avais eu l'idée d'utiliser n³/3 comme équivalent de la somme des carrés. Je ne connaissais pas la formule n×(n+1)×(2n+1)/6 (Honte à moi!), mais j'avais raisonné en encadrant l'intégrale de x² de 0 à n entre la somme des k² de 0 à (n-1) et la somme des k² de 1 à n. Malheureusement ce n'est pas très clair faute de pouvoir faire un dessin...
J'en avais du coup déduit que la fonction était équivalente à (n³/3)^(1/n) en l'infini. Cela aboutit au bon résultat, mais ce raisonnement est-il correct? Quoique pas aussi élégant que le vôtre, j'en conviens 😅
Votre raisonnement est correct! Et je vois très bien la technique de la transformation somme-intégrale. L’important est que ça fonctionne! Bravo!
Super, merci du retour. Et oui, c'est de la transformation somme-intégrale qu'il s'agit, j'avais oublié le nom de cette redoutable technique.