Separace proměnných a variace konstant | 1/12 Diferenciální rovnice | Matematika | Onlineschool.cz
Vložit
- čas přidán 17. 12. 2018
- Jak se diferenciální rovnice liší od rovnic, které jsme doposud řešili? Podíváme se na rovnice se separovatelnými proměnnými a variaci konstant.
Diferenciální rovnice jsou základním nástrojem matematické analýzy pro popis dějů měnících se v čase. Tyto rovnice popisují vztahy mezi neznámou funkcí a jejími derivacemi. Diferenciální rovnice se vyskytují ve mnoha vědeckých disciplínách a mají širokou škálu aplikací od fyziky a chemie po ekonomii a biologii.
Obecně řečeno, diferenciální rovnice popisují, jak se hodnota neznámé funkce mění v závislosti na její derivaci (nebo derivacích) a na hodnotách ostatních proměnných. Jsou to rovnice, které obsahují jak neznámou funkci, tak její derivace. Řešením diferenciální rovnice je nikoliv jedno či více čísel (tak jak to známe u klasických rovnic), ale funkce, která splňuje danou rovnici pro všechny hodnoty nezávislých proměnných.
Existuje mnoho různých typů diferenciálních rovnic, včetně lineárních, nelineárních, obyčejných a parciálních. Každý typ má specifické vlastnosti a metody řešení. V tomto textu se zaměříme na obyčejné diferenciální rovnice, které se zabývají funkcemi jedné proměnné.
Existují různé metody, které se používají k řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Dvě z nejběžnějších metod jsou separace proměnných a variace konstant.
Separace proměnných
Metoda separace proměnných se používá, když je možné rovnici rozdělit na dvě části, jednu obsahující neznámou funkci a její derivace a druhou obsahující pouze nezávislou proměnnou. Jinými slovy všechno co má y se přesune na jednu stranu rovnice a vše ostatní (čísla a x) na druhou stranu rovnice. Poté se tyto dvě části odděleně integrují a získá se obecné řešení rovnice.
Můžeme si všimnout, že při integraci vznikla integrační konstanta. To je pro řešení diferenciálních rovnic typické a tato integrační konstanta se stane číslem ve chvíli, kdy je zadaná počáteční podmínka. Počáteční podmínka je rovnice, která udává hodnotu hledané funkce v daném x.
Variace konstant
Metoda variace konstant je metoda používaná pro řešení lineárních diferenciálních rovnic. Při použití této metody se předpokládá, že řešení má specifickou formu. Tato forma říká, že rovnice má část vázanou v součinu s neznámou funkcí y (Px) a část je čistě proměnná x (Qx).
Řešení probíhá tak, že prvně řešíme tzv. homogenní rovnici, tedy že ignorujeme část Qx a vyřešíme rovnici pro tuto situaci. Řešení lze v této situaci najít separací proměnných. Toto řešení bude mít neznámou integrační konstantu C, o které předpokládáme, že není číselná, ale obsahuje neznámou funkci, kterou je do řešení potřeba doplnit. Proto ji budeme označovat jako Cx. Zde pozor, Cx derivujeme jako funkci, ne jako číslo.
S tímto řešením vstupujeme již do původní rovnice. Toto částečné řešení dosazujeme z y a zderivovanou formu dosadíme za y’. Tím získáme rovnici, která obsahuje pouze proměnné x a Cx. Rovnici znovu vyřešíme separací konstant. Výsledkem je pak hodnota Cx, kterou doplníme do tvaru řešení z prvního kroku.
Tyto dvě metody jsou základními nástroji pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Existuje mnoho dalších pokročilých metod, které se používají v závislosti na specifickém typu rovnice a podmínkách problému. Porozumění a ovládnutí těchto metod je klíčové pro práci s diferenciálními rovnicemi a jejich aplikace v různých oborech vědy a techniky.
Pokud si potřebuješ spočítat další příklady na diferenciální rovnice prvního řádu (separace proměnných, variace konstant, Y/X a další metody řešení) a homogenní diferenciální rovnice vyšších řádů s konstantními koecienty, tak sbírku řešených příkladů najdeš zde onlineschool.cz/videosbirky/d....
Pro procvičenní těžkých nehomogenních rovnic vyšší řádů a soustav diferenciláních rovnic řešených Eulerovou metodou mám pro tebe sbírku řešených přkladů zde onlineschool.cz/videosbirky/d...
Více videí z matiky najdeš na onlineschool.cz/matematika/di...
Registruj se k odběru, aby ti neuteklo žádné nové video! czcams.com/users/onlineschoo...
Můžeš sledovat mou tvorbu na Facebooku: / onlineschoolcz
Všechna videa z matematiky a dalších technických předmětů najdeš na onlineschool.cz
3:01 "za to céčko může být dosazeno mrtě čísel" :D
Dekuju, moc mi to pomohlo
To rád slyším :)
Diky za video rad sem si to zopakoval a zkuste tenhle prispevek brat jako podmet k dalsi praci ne jako kritiku.
1) Delate hodne podobnou chybu jako spousta ucitelu matematiky pri vyuce. Kdyz oni totiz neco vysvetluji, tak delaji vice kroku naraz, ale jen to reknou (v lepsim pripade), ale neukazi to vizualne (ano je to kvuli rychlosti to je jasne). Jenze to ze to vizualne vidim v tech vice krocich rozepsane, tak mam cas vstrebat informaci a hlavne to videt realne co se stalo po krocich hezky polopate (i kdyz to bude vlastne opakovani). Treba pripad s prenesenim 1/2 pred integral. Ano je to primitivni a jasne, ale kdo si neni uplne jisty, hrozne moc mu pomuze ze to nejdrive uvidi jeste pred tim, nez se to bude integrovat uz bez te konstanty. I v dalsich krocich, to bylo delane hromadne.
2) Zkuste pokud je to mozne take lepe psat znacku pro absolutni hodnotu a logartitmus (cas videa 11:30) to vazne jestli je to male "l" ci absolutni hodnota, pozna clovek az pri premysleni co ty 3 carky mohou znamenat, proc je tam absolutni hodnota "n" a neco divneho za tim. Jsou to drobnosti, ale verim, ze to posune vyuku timto zpusobem zase o level dal.
Tim ze pouzivate elektronickou tabuli, tak to zase kvituji, urcite je lepsi jak klasicka bila tabule s omezenym prostorem. Snad sem moc neurazil, ale jako podmet by se to i mohlo hodit. Mnoho zdaru pri dalsi praci.
Děkuji za podnětný komentář :)
To y ( zderivovane ) dostanu derivaci y. Nebo musim dosadit do derivace c *x- Cx/x^2 ?
Tady budeš muset být více konkrétní. O jákém čase se ve videu bavíme?
cením nerdy
Pokud dělím y, v průběhu úprav, tak bych u něj měl napsat podmínku a zjistit, zda to není řešení, ne?
Ano, máš pravdu. V těchto úvodních videích jsem se chtěl věnovat jen specifickým metodám řešení a podmínkám řešení v jiných, ale zatím jsem se k tomu nedostal...