Не знаю как проще, но я решал так: Показываем что исходный треугольник равнобедренный, и соответственно AC=BC Строим треугольник равный исходному так, что его основанием будет DC (вершиной K вверх). угол BCK = 80-20 = 60, а так как BC=KC, то треугольник BCK равносторонний. Рисуем окружность радиусом R= BC=CK=BK=DK c центром в точке К. Отсюда искомый угол, являющийся смежным к BDC, который в свою очередь опирается на хорду BC будет равен половине центрального (BKC) угла , т.е. 60/2 =30 градусов.
Если не знаешь, что делать, не следует "впопыхах" строить равнобедренного треугольника и "пытаться" далее, следует тщательно продумать условия задачи и пытаться выяснить ее природу. (см. мой комментарий) )
Не советую никогда ничего строить. Лучше просто применить теорему синусов sinx/sin(x-20) = sin80/sin20. И сразу очевидно решение x=30, т.к. оно обращает уравнение в тождество: sin30*sin20=sin10*sin80. Ведь если учесть, что sin80=cos10 и sin30=1/2, то получается простая формула двойного угла: sin20=2*sin10*cos10. Автор просто не по-детски отжигал, когда решал это уравнение.
эта задача встречалась год назад у Прэша (MIndYourDecisions, но там все на английском), смотрю его канал с удовольствием. А Валере спасибо что знакомит русскоговорящую аудиторию с такими интересными вопросами
Не знаю, как остальным, но мне больше понравился первый способ, почему-то тригонометрический способ, который в этом случае не потребовал дополнительных построений, мне оказался понятнее. Но и остальные тоже оказались интересными.
При начале изучения тригонометрии, я два месяца пролежал в больнице (3 операции) после так и не смог догнать и разобраться в косинусах и синусах, а вот второй способ для меня самый понятный из всех, хотя сам бы не догадался, уже 30 лет как окончил школу.
третий способ самый красивый и простой, а первый уж очень заумный. И хотя в школе по геометрии была пятерка все-равно все эти формулы с синусами-косинусами двойного-тройного угла не любил.
еще есть 4 способ. 0. ABC равнобедренный углы при основании равны 1. отложить BK так чтоб BK = AB, и K принадлежит стороне AC, получим равнобедренный треугольник c углами 80, 80, 20 2. отложим KM = AM и M принадлежит стороне BC. легко посчитать что это равнобедренный треугольник (по постороению) с углом 60 при основании т.е. равнобедренный 3. отложим MX = AB и X принадлежит AС. угол XMC высчитывается как 20 град, т.е. получился равнобедренный треугольник а значит точки D и X - это одна и та же точка 4. треугольник BMD равнобедренный по построению, угол при вершине 160, при основании 10 5.1. угол ABD получается 80 - 10 = 70 5.2. угол MDC = 140 град (180 - 20 -20), значит угол BDC = 150град 6. хоть по 5.1 хоть по 5.2 получаем искомый угол = 30град
Спасибо, очень интересные способы. Первый позволит школьникам закрепить тригонометрические формулы, теорему синусов. Второй и третий развивает воображение при построении и учит смотреть на два шага вперёд. Тому, чего не хватает нашим управленцам: как имея нечто, получить то, что надо, обладая имеющимися ресурсами :)
Докажем, что BD с условием AB=CD проходит через центр описанной окружности ∆ABC. Опустим высоту CK на AB. Точка О - центр окружности лежит на CK. Проведем через О отрезок BD на CA и докажем, что CD=AB. Угол BOK = 20 град. Как половина центрального угла BOA = 40град. В ∆OCD угол COD=20 град. Как вертикальный углу BOK. Угол OCD= 10 град., угол ODC=150 град. OC=R. Тогда CD/sin20 =R/sin150=2R. Но в ∆ABC AB/sin20=2R, т.е. AB=CD. Угол BDA=180-150=30 град.
Как набрать МИЛЛИАРД ★ Геометрическая прогрессия на шахматной доске ★ Теория шести рукопожатий ★ czcams.com/video/UJHQ0CRmqT4/video.html Давайте вместе проведём эксперимент - наберём 1000000000 просмотров! Поделитесь этим видео czcams.com/video/UJHQ0CRmqT4/video.html со всеми своими знакомыми. Напишите им и предложите поучаствовать в этом эксперименте. Проверим вместе как работает геометрическая прогрессия. Напишите в комментариях свои прогнозы: получится или нет?
Отлично, спасибо! Именно эту задачу предложили моему внуку в Оксфорде, в школе. По второму методу решения я предлагаю подредактировать. Уж больно вычурно выглядит привлечение равностороннего треугольника, как бы ниоткуда, додуматься до этого непонятно как. Лучше начать дополнительное построение с равнобедренного треугольника ВСЕ, где сразу видно, что угол АСЕ равен 60 градусам. Это наводит на мысль достроить равносторонний треугольник и дальше так как у вас.
Геометрические способы больше понравились! Как-то нагляднее, красивее и проще! Но... До таких построений ещё додуматься нужно. Вывод - решать больше задач на построение и набираться опыта.
Можно немного проще. Внутри треугольника АВD поставить точку Е так, чтобы получить равнобедренную трапецию BCDE. Сразу получаем один правильный треугольник АВЕ и два равнобедренных треугольника АЕD и ВDE. Далее искомый угол равен 20+10=30 градусов. Как говорится, не прошло и пяти лет, как я смекнул - просто случайно увидел сегодня.
Все три способа понравились. Слушала и жалела, что пока не умею замедлять скорость изложения. На слух не успеваю следить за буквами называемых углов. Большое спасибо за видео!
4 способ был предложен ниже в комментариях, поэтому мой способ 5-ый. построим равный треугольнику ABC треугольник DCK на стороне DC. ∆BCK равносторонний, потому что BC=CK, а угол BCK= угол ACК - угол АСВ. угол ВСК= 60°. рассмотрим треугольник BKD, он равнобедренный, потому что BK=KD, угол KBD= угол KDB=70°. угол CBD=70-60=10. угол DBC + угол DCB = 20°+10°=30°=х. Ответ: х=30°
Проведём из вершины B зеркальный равнобедренный треугольник B A1 C равный равнобедренному A B C , вершина нового треугольника точка B. На противоположной стороне мы получим равносторонний треугольник. С D A1 . это видно по двум одинаковым сторонам и углу 60. Точка D вершина равностороннего , следовательно BD биссектриса и медиана зеркального равнобедренного треугольника. Следовательно становятся известны все углы. Если С B A1 = 20 , то биссектриса делит его пополам. СBD 10 ⇒ ABD 70 ⇒ находим искомый угол 180- (70+80)=30 Правильно?
Вероятно это розыгрыш: первый треугольник ( большой)все углы известны и одна сторона, по теореме синусов вычисляются все стороны. После этого в малом треугольнике имеем две стороны и угол между ними известны, находим по теореме косинусов третью сторону, три стороны и угол более чем достаточно для решения задачки.
Вы сначала реализуйте это всё сказанное вами карандашом на бумаге, доведите всю эту тригонометрию до конца, а потом, если терпения хватит доделать, уже и глумитесь. То, что вы сказали, есть не более чем "данных достаточно, чтобы решить."
Спасибо за лёгкое объяснение! Кстати. Не могли бы Вы решить такое уравнение: х³ - х = х! ? Я точно не знаю, можно ли решить это уравнение не методом подбора. Спасибо.
Все отлично! Предлагаю: угол Х = С+ДВС.Пересечение биссектрисы С с ВД - точка О. От т.С отложим СК=ОД, через т.К проведем || ВД отрезок ЕК(т.Е на ВС).∆ОДС=∆ЕКС.Угол ОСД=углуДЕС и= 1/2ВСД и = углуДВС,т.е. угол Х= ВСД+1/2ВСД=30°.Спасибо за тренировку!
У вас два треугольника с общей стороной, а соотношение других известно и равно 1. По теореме синусов сразу видно, что должно выполняться sinx/sin(x-20) = sin80/sin20. Решение очевидно: x=30. Это очевидно, если внимательно взглянуть на то, что тут написано: sin30*sin20=sin10*sin80. Ведь если учесть, что sin80=cos10 и sin30=1/2, то это простая формула двойного угла: sin20=2*sin10*cos10.
не кидайтесь тряпками, но я решал так, и ответ получился 50 гр.: С помощью параллельного переноса копирую сторону АВ в точку D и получаю параллелограмм (пусть будет ABDE). Тогда сторона BD будет диагональю для параллелограмма. Из теоремы, что биссектриса параллелограмма пересекает его диагональ под прямым углом, строю биссектрису. Получаю треугольник (пусть AOD). Тогда половина угла А будет 40 гр из за биссектрисы, угол О 90 градусов, остается только угол D, равный 50 гр
Есть еще через теорему косинусов, там нужно ее применить 3 раза: 1 раз для треугольника АВС и дважды для треугольника АВD. Именно так я сразу и начал решать. Правда одна проблема, там очень большие формулы будут, если не вычислять приблизительно косинусы углов, то ужас, что будет в конце. Если приблизительно, то мы получим как раз примерно 0.866 косинус искомого угла, но в принципе догадаться можно сразу. Конечно в классической геометрии так делать нежелательно
я видел такую задачу на одном англоязычном канале, но там в условии говорилось что надо решить не используя какие-либо тригонометрические формулы и тождества.
@@user-qw6sh8dn5z Я не спорю, они не сложные, если иметь с ними дело постоянно, но так навскидку и не вспомнишь ничего, тем более их насколько я знаю давольно много
Вот таких как вы я заставляла на 1 курсе выучить тригонометрические формулы, иначе не смогли бы потом интегрировать тригонометрические функции.Стонали, плакали, но выучили. Зачет не ставила пока не выучат. А зачет не получишь, к сессии не допустят. На 2 курсе даже гордились, что они эти формулы знают, а на других потоках не знают, все формулы в интернете ищут. В университете придется и более сложные формулы выучить.
Еще одно решение, возможно неизвестное. Не видел задачу раньше, но вообще-то их множество, и у всех один девиз: ищи равносторонний треугольник. В данном случае я его не искал, он нашелся сам. Вот как это было. Пусть AB=CD=a, F - точка на стороне BC, такая что DF=DC=a. Тогда △CDF равнобедренный и ∠CFD=20°. Через точку B проводим прямую, параллельную DF и откладываем на ней внутри треугольника отрезок BH=a. Тогда ∠CBH=∠CFD=20°, поэтому ∠ABH = ∠ABC-∠CBH = 80°-20°=60°. Далее имеем BH=DF=a и BH ∥ DF, поэтому BFDH - параллелограмм. Отсюда DH ∥ BC, поэтому ∠HDA = ∠ACB = 20°. Кульминация событий: △ABH - равнобедренный (AB=BH=a) и угол между равными сторонами ABH равен 60°. Таким образом △ABH - ..., откуда AH=a, кроме того ∠HAB= 60°. Поэтому ∠HAD = ∠BAC-∠HAB=80°-60°=20°=∠HDA, следовательно △ADH - равнобедренный и DH=AH=a. Выходит, что BFDH - это на самом деле ромб, и его диагональ BD является бисектриссой угла ромба CBH. Таким образом ∠DBC=½∠CBH=10°. Наконец, ∠ADB=∠DBC+∠ACB=30°. А тригонометрически - это круто. У меня бы терпения не хватило бы и обязательно допустил бы ошибку.
@@user-dx8sv4ph4t Действительно есть некоторая взаимосвязь между всеми тремя способами (не считая тригонометрического). Но в остальных случаях равносторонний треугольник как-то навязчиво строится, а здесь возникает сам по себе. Мне этим и нравится.
@@think_logically_ Взаимосвязь только в том, что во всех случаях строится правильный треугольник. Ваш способ - вариация одного из них. Вы считаете, что построение тр-ка не очень естественно. При этом делаете не очень естесственное построение тр-ка CDF. Мне кажется более естесственно было-бы провести BH=a под углом 20° к BC - тем самым построив равнобочную трапецию BCDH с диагональю BD. Это вариация на ту же тему.
Когда то я думала что ещё не родился тот кто опередит меня по геометрии,тригонометрии и планиметрии, а теперь когда уже мне 74 года,так я уже думаю что родились уже очень много стратегов которые-то опередив меня идут дальше!
Есть ещё один способ. Построить равносторонний треугольник на стороне АВ внутри искомого треугольника. Все стороны равны АВ. Далее из вершины равностороннего треугольника достроить до точки D. Получаем несколько равносторонних треугольников. Из них можно найти искомый угол.
есть еще один способ без дополнительных построений-находим по теореме синусов значения АС из треугольника АВС и АД, как разность АС и АД выраженные через АД,по теореме косинусов находим ВД , из треугольника АВД ,и из того же треугольника,находим искомый угол ,теорема косинусов.
Ничего не понимаю в ходе ваших мыслей,но восхищаюсь,что есть такие мыслители. Отдыхаю на вашем канале от злободневных тем. Это как "песенный хит" на полузнакомом языке. Хотя учась в школе любила " пошевелить мозгами" над задачами. Спасибо ,всё интересно !
Во втором методе когда узнаем , что треугольник BCD=BDE, сразу узнаем углы BDC и BDE (360-60)/2=150, а дальше находим искомый угол BDA 180-150=30. Интересная задачка!!!)
Ну если знать одну теорему, что в равнобедренном треугольнике отрезок делящий сторону так, что одна часть равняется основанию этого треугольника, то этот отрезок является биссектрисой, соответственно получается 80/2, дальше уже рассматриваем внутренний треугольник , где два угла известно и находим третий
4 способ: 1) построим равнобедр ABE (AB=BE и E на стороне AC), угол ABE=20, а угол AEB=80. 2) построим равнобедр BEF (F на стороне BC и BE=EF) при этом угол EBF 60, поэтому EBF равностор. И AB=BE=EF=BF, углы BFE=BEF=60. 3) построим равнобедр EFG (EF=FG, G на стороне АС) . Тут угол FEC=40, тогда углы EFG=100 и EGF=40, поэтому угол GFC=20. Тогда треугольник GFC тоже равнобедр и BG=FG... =AB, тогда точки D и G совпадают. В этом случае треугольник BFG тоже равнобедр и угол BFG=160 и угол BGF=10. Тогда угол BGA или BDA=40-10=30 ОТВЕТ. 30
a = 80 * (PI/180) b = 20 * (PI/180) x = atan (sin(a)*sin(b)/(-sin(b)+sin(a)*cos(b))) * (180/PI) Ответ : x = 30 deg формула справедлива для любых углов, в отличие от ролика, где решение только для частного случая Если интересно, могу рассказать как решать такие задачки
Если уж на то пошло, то тут на много больше решений, чем показанные 3. Я, например, придумал три с половиной других решения. В двух из них я тоже строил равносторонний треугольник, но на базе стороны АВ.
Все три способа классные! Признаться, я сам решил только первым способом. До дополнительных построений 2-го и 3-го способов сам никогда бы не додумался. Интересно, много ли у нас гениев от геометрии?
Второй треугольник где угол С=20 то A и B равны 80 градусам.Теперь чтобы легче было нужно дорисовать треугольник и выйдет 90 градусов,а этот треугольник который мы нарисовали угол B равен 10 градусам.теперь во втором треугольнике 180-x=180-10+20 где 180-x=150 значит x=30 P.S я учусь в 7 классе и синусов и косинусов я не знаю
В тригонометрическом решении, с момента 4:02 уже ничего такого не надо было делать, а просто сказать, что если косинусы равны, то и аргументы равны с точностью до +/- (ибо косинус - чётная функция). И далее написать: Х-50 = +/- (Х-10). Со знаком "+" имеем нонсенс, а со знаком "-" имеем разумную вещь: Х-50 = - Х+10 Х = 30
Все-таки предлагаю следующую задачу: Дан четырехугольник АВСД. Угол С= 120 градусов. Диагональ АС лелит угол С пополам. Угол ВАД=30 градусов. Длина диагонали АС=2010. Найти периметр треугольника ВСД. Решить только с помощью геометрии!
На основе этого геометрического построения уже несколько задач есть. Дорисуйте девятисторонний равносторонний с равными углами многоугольник, и сразу удивитесь простоте решения. На канале GetAClass было… 🙂
Нормальные методы, осталось только красивые решения с координатной сеткой продумать (необязательно прямоугольные координаты). Дикцию только чётче, особенно в моменты размышлений - синуш, кошинус )))
Вы сейчас не показали как решается эта задача А отчитались что умеете решать эту задачу как будто перед учителем у доски ЕСЛИ НЕ ПОНЯЛИ ЧТО Я НАПИСАЛ ТО ПРОЧТИТЕ ТРИ РАЗА И НАДЕЮСЬ СЛЕДУЮЩИЙ РАЗ ВЫ СВОЙ ТАЛАНТЛИВЫЙ МОЗГ ПРИМЕНИТЕ БЛАГОСКЛОННО
Еще один способ - если в чертеже второго способа продлить отрезок BD, линия будет биссектрисой не только угла BCE, но и угла CDE, попутно получаем вертикальный угол в 30 градусов к искомому. А мы знаем, что вертикальные углы равны.
Нужна помощь умных комментаторов. Многочлен 4x^4-16x^3-36x^2-36x+9 имеет 2 действительных и 2 комплексных корня, пытался его разложить на 2 квадратичных множителя через неопределённые коэффициенты и не получилось. Может кто подскажет, как разложить?
Щтурман, место! (имелось ввиду место самолета) Кричал командир по интеркому. Штурман: - Ща. И на полях появишись странные геометрические построения от лазера
Как любил говорить мой учитель математики, Пиастро Иосиф Исаакович, "решить одну задачу десятью способами -- это тренировка, а десять задач одним способом -- это дрессировка".
Если треугольник АВС вписать в окружность, а из точки С прямую, равную АВ опустить, на окружность, поставить точку Е, и, соединив точки В и Е, получим два окой
Было бы любопытнее убрать из Дано BAD = 80. Интереснее сначала доказать что треугольник BAD равнобедренный и после посчитать эти углы))) А так любопытная задачка. Самое то под кофе с утра.
здраствуйте Валерий Волков! можете решать эту задачу: Медиана AD треугольника ABC перпендикулярна биссектрисе BE и пересекается в точке F. Известно, что площадь треугольника DEF равна 5. Найдите площадь треугольника АВС?
Не знаю как проще, но я решал так:
Показываем что исходный треугольник равнобедренный, и соответственно AC=BC
Строим треугольник равный исходному так, что его основанием будет DC (вершиной K вверх).
угол BCK = 80-20 = 60, а так как BC=KC, то треугольник BCK равносторонний. Рисуем окружность радиусом R= BC=CK=BK=DK c центром в точке К. Отсюда искомый угол, являющийся смежным к BDC, который в свою очередь опирается на хорду BC будет равен половине центрального (BKC) угла , т.е. 60/2 =30 градусов.
Блестящее решение. Пояснение. Угол (тупой), опирающийся на хорду BC = (360 - 60)/2 = 150. Отсюда находим искомых угол (дополнительный к тому углу): x = 180 - 150 = 130 (гр.).
Одиозный дед ещё учил, что в подобных задачах, если не знаешь, что делать, строй равносторонний треугольник.
Если не знаешь, что делать, не следует "впопыхах" строить равнобедренного треугольника и "пытаться" далее, следует тщательно продумать условия задачи и пытаться выяснить ее природу. (см. мой комментарий) )
@@Progressor1027 де
Не советую никогда ничего строить. Лучше просто применить теорему синусов sinx/sin(x-20) = sin80/sin20. И сразу очевидно решение x=30, т.к. оно обращает уравнение в тождество: sin30*sin20=sin10*sin80. Ведь если учесть, что sin80=cos10 и sin30=1/2, то получается простая формула двойного угла: sin20=2*sin10*cos10. Автор просто не по-детски отжигал, когда решал это уравнение.
Не знаешь хода - ходи с бубей!
эта задача встречалась год назад у Прэша (MIndYourDecisions, но там все на английском), смотрю его канал с удовольствием. А Валере спасибо что знакомит русскоговорящую аудиторию с такими интересными вопросами
Ооо это тоже жиза)))
Вариант 2,5 ! Если CBD=10 гр (из варианта 2), то угол BDC=150, тогда угол BDA= 30. Самый простой способ. Мне лайк!
это если бы был дан угол СВD, так получается слишком просто, как задачка для 7 класса
@@newwt77 CBD = 10 (180-80-80)/2
Конечно второй способ лучший, он же, почти третий. Задача решается без знания тригонометрических формул.
Не знаю, как остальным, но мне больше понравился первый способ, почему-то тригонометрический способ, который в этом случае не потребовал дополнительных построений, мне оказался понятнее. Но и остальные тоже оказались интересными.
При начале изучения тригонометрии, я два месяца пролежал в больнице (3 операции) после так и не смог догнать и разобраться в косинусах и синусах, а вот второй способ для меня самый понятный из всех, хотя сам бы не догадался, уже 30 лет как окончил школу.
третий способ самый красивый и простой, а первый уж очень заумный. И хотя в школе по геометрии была пятерка все-равно все эти формулы с синусами-косинусами двойного-тройного угла не любил.
Синусы двойного угла и им подобные мы проходим по алгебре
@@riko__1337 в каком классе будет этот ужас?
@@Neukend 10
Первый самый универсальный способ
@@Neukend все, в 10 не пойдёшь? 😅
еще есть 4 способ.
0. ABC равнобедренный углы при основании равны
1. отложить BK так чтоб BK = AB, и K принадлежит стороне AC, получим равнобедренный треугольник c углами 80, 80, 20
2. отложим KM = AM и M принадлежит стороне BC. легко посчитать что это равнобедренный треугольник (по постороению) с углом 60 при основании т.е. равнобедренный
3. отложим MX = AB и X принадлежит AС. угол XMC высчитывается как 20 град, т.е. получился равнобедренный треугольник а значит точки D и X - это одна и та же точка
4. треугольник BMD равнобедренный по построению, угол при вершине 160, при основании 10
5.1. угол ABD получается 80 - 10 = 70
5.2. угол MDC = 140 град (180 - 20 -20), значит угол BDC = 150град
6. хоть по 5.1 хоть по 5.2 получаем искомый угол = 30град
Осилила 3 вариант . Ура! Хотя в школе геометрию обожала, была твёрдая "5". Прошло больше 30 лет после школы, пришлось напрягаться
Решил через построения прямоугольных треугольников и тригонометрию: arccot( (0.5*cot(10)-cos(10)) / (0.5 + sin(10)) ) + 10 = 30
Отличное видео!!!
Спасибо, очень интересные способы. Первый позволит школьникам закрепить тригонометрические формулы, теорему синусов. Второй и третий развивает воображение при построении и учит смотреть на два шага вперёд. Тому, чего не хватает нашим управленцам: как имея нечто, получить то, что надо, обладая имеющимися ресурсами :)
7:40 можно ещё быстрее и проще - с вершины В опустить полную высоту треугольника BCE и сразу получить искомый угол 30 градусов (это половина 60-ти)
5:40 - x не может быть больше 180 градусов, x=30. в радианы переводить не имеет смысла, только для формализма
Второй способ - просто сказка👍👍👍🤩
Спасибо за три разных способа решения.
Докажем, что BD с условием AB=CD проходит через центр описанной окружности ∆ABC. Опустим высоту CK на AB. Точка О - центр окружности лежит на CK. Проведем через О отрезок BD на CA и докажем, что CD=AB. Угол BOK = 20 град. Как половина центрального угла BOA = 40град. В ∆OCD угол COD=20 град. Как вертикальный углу BOK. Угол OCD= 10 град., угол ODC=150 град. OC=R. Тогда CD/sin20 =R/sin150=2R. Но в ∆ABC AB/sin20=2R, т.е. AB=CD. Угол BDA=180-150=30 град.
Геометрия - отличная тренировка для мозга
Ну, да, если иметь ее в виду в качестве приложения к логике. )
Так говорите, как будто это какое-то хобби
@@user-cn3jl1ww9p почему бы и нет?
@@zadacha-kz9954 ну это как минимум обязательный предмет в школе
@@user-cn3jl1ww9p и далеко не лишний!
Задача была в журнале "Математика в школе" где-то в конце 80-х годов)
М-да. Надо же, какая длительная история у этой фабрикации! )))
Спасибо Вам и одиозному деду! Всегда есть чему поучиться.
Задача по своему характеру не вирусная, а тригонометрическая.
Как набрать МИЛЛИАРД ★ Геометрическая прогрессия на шахматной доске ★ Теория шести рукопожатий ★ czcams.com/video/UJHQ0CRmqT4/video.html
Давайте вместе проведём эксперимент - наберём 1000000000 просмотров! Поделитесь этим видео czcams.com/video/UJHQ0CRmqT4/video.html со всеми
своими знакомыми. Напишите им и предложите поучаствовать в этом эксперименте. Проверим вместе как работает геометрическая прогрессия.
Напишите в комментариях свои прогнозы: получится или нет?
сумма двух внешних углов равна 150 или внешний уголь =150 ; Сколько будет внутренний угол? вот и ваш ответ.
Отлично, спасибо! Именно эту задачу предложили моему внуку в Оксфорде, в школе. По второму методу решения я предлагаю подредактировать. Уж больно вычурно выглядит привлечение равностороннего треугольника, как бы ниоткуда, додуматься до этого непонятно как. Лучше начать дополнительное построение с равнобедренного треугольника ВСЕ, где сразу видно, что угол АСЕ равен 60 градусам. Это наводит на мысль достроить равносторонний треугольник и дальше так как у вас.
Геометрические способы больше понравились! Как-то нагляднее, красивее и проще! Но... До таких построений ещё додуматься нужно. Вывод - решать больше задач на построение и набираться опыта.
Можно немного проще. Внутри треугольника АВD поставить точку Е так, чтобы получить равнобедренную трапецию BCDE. Сразу получаем один правильный треугольник АВЕ и два равнобедренных треугольника АЕD и ВDE. Далее искомый угол равен 20+10=30 градусов. Как говорится, не прошло и пяти лет, как я смекнул - просто случайно увидел сегодня.
На этой задаче очевидны преимущества тригонометрии.
Классные ответы !
Второй и третий - наглядные способы, поэтому и понравились больше, спасибо.
Все три способа понравились. Слушала и жалела, что пока не умею замедлять скорость изложения. На слух не успеваю следить за буквами называемых углов. Большое спасибо за видео!
Нажмите в правом верхнем углу три точки и там выберите из меню скорость воспроизведения.
4 способ был предложен ниже в комментариях, поэтому мой способ 5-ый.
построим равный треугольнику ABC треугольник DCK на стороне DC. ∆BCK равносторонний, потому что BC=CK, а угол BCK= угол ACК - угол АСВ. угол ВСК= 60°.
рассмотрим треугольник BKD, он равнобедренный, потому что BK=KD, угол KBD= угол KDB=70°. угол CBD=70-60=10. угол DBC + угол DCB = 20°+10°=30°=х.
Ответ: х=30°
Проведём из вершины B зеркальный равнобедренный треугольник B A1 C равный равнобедренному A B C , вершина нового треугольника точка B. На противоположной стороне мы получим равносторонний треугольник. С D A1 . это видно по двум одинаковым сторонам и углу 60. Точка D вершина равностороннего , следовательно BD биссектриса и медиана зеркального равнобедренного треугольника. Следовательно становятся известны все углы. Если С B A1 = 20 , то биссектриса делит его пополам.
СBD 10 ⇒ ABD 70 ⇒ находим искомый угол 180- (70+80)=30 Правильно?
Вероятно это розыгрыш: первый треугольник ( большой)все углы известны и одна сторона, по теореме синусов вычисляются все стороны. После этого в малом треугольнике имеем две стороны и угол между ними известны, находим по теореме косинусов третью сторону, три стороны и угол более чем достаточно для решения задачки.
Вы сначала реализуйте это всё сказанное вами карандашом на бумаге, доведите всю эту тригонометрию до конца, а потом, если терпения хватит доделать, уже и глумитесь. То, что вы сказали, есть не более чем "данных достаточно, чтобы решить."
Не известна сторона. Известно лишь, что ав=дс
Супер, спасибо!
Спасибо за лёгкое объяснение! Кстати. Не могли бы Вы решить такое уравнение: х³ - х = х! ? Я точно не знаю, можно ли решить это уравнение не методом подбора. Спасибо.
x! или просто x ?
@@nikitas3729, в ответе там х! (икс факториал)
@@goodman8044, там ответ х = 5
X^3/X - 1 = (x-1)! ( X-1)(x+1)=(x-1)! X+1=(x-2)! Очевидно 3 делится на х-2. из этого следует что х = 5.
@@s0bakev1ch тогда обе части делим на x(x-1) => x+1=(x-2)! И здесь уже можно находить подбором. В первом комменте я допустил ошибку
Спасибо! Второй способ очень понравился!
Люблю тригонометрию. Всегда любила. В школе вечером хорошо изучала условие задач, утром просто записывала решение. Оно как то само приходило ночью.
Все отлично! Предлагаю: угол Х = С+ДВС.Пересечение биссектрисы С с
ВД - точка О. От т.С отложим СК=ОД, через т.К проведем || ВД отрезок ЕК(т.Е на ВС).∆ОДС=∆ЕКС.Угол ОСД=углуДЕС и= 1/2ВСД и = углуДВС,т.е. угол Х= ВСД+1/2ВСД=30°.Спасибо за тренировку!
У вас два треугольника с общей стороной, а соотношение других известно и равно 1. По теореме синусов сразу видно, что должно выполняться sinx/sin(x-20) = sin80/sin20. Решение очевидно: x=30. Это очевидно, если внимательно взглянуть на то, что тут написано: sin30*sin20=sin10*sin80. Ведь если учесть, что sin80=cos10 и sin30=1/2, то это простая формула двойного угла: sin20=2*sin10*cos10.
не кидайтесь тряпками, но я решал так, и ответ получился 50 гр.: С помощью параллельного переноса копирую сторону АВ в точку D и получаю параллелограмм (пусть будет ABDE). Тогда сторона BD будет диагональю для параллелограмма. Из теоремы, что биссектриса параллелограмма пересекает его диагональ под прямым углом, строю биссектрису. Получаю треугольник (пусть AOD). Тогда половина угла А будет 40 гр из за биссектрисы, угол О 90 градусов, остается только угол D, равный 50 гр
Есть еще через теорему косинусов, там нужно ее применить 3 раза: 1 раз для треугольника АВС и дважды для треугольника АВD. Именно так я сразу и начал решать. Правда одна проблема, там очень большие формулы будут, если не вычислять приблизительно косинусы углов, то ужас, что будет в конце. Если приблизительно, то мы получим как раз примерно 0.866 косинус искомого угла, но в принципе догадаться можно сразу. Конечно в классической геометрии так делать нежелательно
я видел такую задачу на одном англоязычном канале, но там в условии говорилось что надо решить не используя какие-либо тригонометрические формулы и тождества.
Очень интересно, что в комментариях есть ещё пару способов решения. Спасибо всем.
1 способ какой-то адской сложности, ну не понимаю я эту тригонометрию, а остальные 2 и 3 способы давольно понятны и легки, спасибо за объяснение)
Формулы синусов и косинусов несложные
@@user-qw6sh8dn5z Я не спорю, они не сложные, если иметь с ними дело постоянно, но так навскидку и не вспомнишь ничего, тем более их насколько я знаю давольно много
Да какой же адски сложный способ?! Всего лишь тригонометрия! Освойте её, и вам многие задачи покажутся простыми. Очень советую.
Вот таких как вы я заставляла на 1 курсе выучить тригонометрические формулы, иначе не смогли бы потом интегрировать тригонометрические функции.Стонали, плакали, но выучили. Зачет не ставила пока не выучат. А зачет не получишь, к сессии не допустят. На 2 курсе даже гордились, что они эти формулы знают, а на других потоках не знают, все формулы в интернете ищут. В университете придется и более сложные формулы выучить.
@@irinavolkova3544
Как меня? Вы меня с кем-то перепутали. Я - ваша коллега, тоже первый и второй курс математика. В техникуме.
Тригонометрическое решение не особо понял
А последние 2 понятные что и зачем делаем
Толково!
Еще одно решение, возможно неизвестное. Не видел задачу раньше, но вообще-то их множество, и у всех один девиз: ищи равносторонний треугольник. В данном случае я его не искал, он нашелся сам. Вот как это было.
Пусть AB=CD=a, F - точка на стороне BC, такая что DF=DC=a. Тогда △CDF равнобедренный и ∠CFD=20°. Через точку B проводим прямую, параллельную DF и откладываем на ней внутри треугольника отрезок BH=a. Тогда ∠CBH=∠CFD=20°, поэтому ∠ABH = ∠ABC-∠CBH = 80°-20°=60°. Далее имеем BH=DF=a и BH ∥ DF, поэтому BFDH - параллелограмм. Отсюда DH ∥ BC, поэтому ∠HDA = ∠ACB = 20°. Кульминация событий: △ABH - равнобедренный (AB=BH=a) и угол между равными сторонами ABH равен 60°. Таким образом △ABH - ..., откуда AH=a, кроме того ∠HAB= 60°. Поэтому ∠HAD = ∠BAC-∠HAB=80°-60°=20°=∠HDA, следовательно △ADH - равнобедренный и DH=AH=a. Выходит, что BFDH - это на самом деле ромб, и его диагональ BD является бисектриссой угла ромба CBH. Таким образом ∠DBC=½∠CBH=10°. Наконец, ∠ADB=∠DBC+∠ACB=30°.
А тригонометрически - это круто. У меня бы терпения не хватило бы и обязательно допустил бы ошибку.
Ошибка сразу: DF > DC=a.
@@user-dx8sv4ph4t На моем чертеже вершины были обозначены по-другому. Сейчас исправил. Спасибо, что обратили на это внимание.
@@think_logically_ Это более заковыристый выриант способа, при котором на AB строиться равносторонний теугольник ( ABH в ваших обозначениях).
@@user-dx8sv4ph4t Действительно есть некоторая взаимосвязь между всеми тремя способами (не считая тригонометрического). Но в остальных случаях равносторонний треугольник как-то навязчиво строится, а здесь возникает сам по себе. Мне этим и нравится.
@@think_logically_ Взаимосвязь только в том, что во всех случаях строится правильный треугольник. Ваш способ - вариация одного из них.
Вы считаете, что построение тр-ка не очень естественно. При этом делаете не очень естесственное построение тр-ка CDF. Мне кажется более естесственно было-бы провести BH=a под углом 20° к BC - тем самым построив равнобочную трапецию BCDH с диагональю BD. Это вариация на ту же тему.
Спасибо!
Когда то я думала что ещё не родился тот кто опередит меня по геометрии,тригонометрии и планиметрии, а теперь когда уже мне 74 года,так я уже думаю что родились уже очень много стратегов которые-то опередив меня идут дальше!
Есть ещё один способ. Построить равносторонний треугольник на стороне АВ внутри искомого треугольника. Все стороны равны АВ.
Далее из вершины равностороннего треугольника достроить до точки D.
Получаем несколько равносторонних треугольников. Из них можно найти искомый угол.
есть еще один способ без дополнительных построений-находим по теореме синусов значения АС из треугольника АВС и АД, как разность АС и АД выраженные через АД,по теореме косинусов находим ВД , из треугольника АВД ,и из того же треугольника,находим искомый угол ,теорема косинусов.
Красиво, а я утонул в т. косинусов)))
Почему CBD = x-20? На каком основании вы пришли к такому выводу/? CBD = 360-20-(180-x) Как вы решили сходу , что у вас CBD сразу стало равно x-20?
Ничего не понимаю в ходе ваших мыслей,но восхищаюсь,что есть такие мыслители. Отдыхаю на вашем канале от злободневных тем. Это как "песенный хит" на полузнакомом языке. Хотя учась в школе любила " пошевелить мозгами" над задачами. Спасибо ,всё интересно !
Во втором методе когда узнаем , что треугольник BCD=BDE, сразу узнаем углы BDC и BDE (360-60)/2=150, а дальше находим искомый угол BDA 180-150=30. Интересная задачка!!!)
Ну если знать одну теорему, что в равнобедренном треугольнике отрезок делящий сторону так, что одна часть равняется основанию этого треугольника, то этот отрезок является биссектрисой, соответственно получается 80/2, дальше уже рассматриваем внутренний треугольник , где два угла известно и находим третий
Не получается.
@@viktorviktor5820 все получается. с углами внимательнее
По решению
07:00 - BCE = 80 = BEC - > CBD = 10 (180-80-80)/2 ; -> BDC = 150; BDA = 180-150 = 30
4 способ:
1) построим равнобедр ABE (AB=BE и E на стороне AC), угол ABE=20, а угол AEB=80.
2) построим равнобедр BEF (F на стороне BC и BE=EF) при этом угол EBF 60, поэтому EBF равностор. И AB=BE=EF=BF, углы BFE=BEF=60.
3) построим равнобедр EFG (EF=FG, G на стороне АС) . Тут угол FEC=40, тогда углы EFG=100 и EGF=40, поэтому угол GFC=20.
Тогда треугольник GFC тоже равнобедр и BG=FG... =AB, тогда точки D и G совпадают.
В этом случае треугольник BFG тоже равнобедр и угол BFG=160 и угол BGF=10.
Тогда угол BGA или BDA=40-10=30
ОТВЕТ. 30
Все правильно, всё классно.
Только мозг взорвался....
Геометрия....
Можно и 4й способ добавить. Если построить равносторонний треугольник на основании АВ и вершиной внутри АВС
Отлично!Это решение я продвигаю уже второй год.Оно самое перспективное для решения и других задач!
Это решение хорошо тем, что не нужно искать равные треугольники. Ответ получается из рассмотрения равнобедренных треугольников.👍
a = 80 * (PI/180)
b = 20 * (PI/180)
x = atan (sin(a)*sin(b)/(-sin(b)+sin(a)*cos(b))) * (180/PI)
Ответ : x = 30 deg
формула справедлива для любых углов, в отличие от ролика, где решение только для частного случая
Если интересно, могу рассказать как решать такие задачки
Если уж на то пошло, то тут на много больше решений, чем показанные 3. Я, например, придумал три с половиной других решения. В двух из них я тоже строил равносторонний треугольник, но на базе стороны АВ.
Все три способа классные! Признаться, я сам решил только первым способом. До дополнительных построений 2-го и 3-го способов сам никогда бы не додумался. Интересно, много ли у нас гениев от геометрии?
Второй треугольник где угол С=20 то A и B равны 80 градусам.Теперь чтобы легче было нужно дорисовать треугольник и выйдет 90 градусов,а этот треугольник который мы нарисовали угол B равен 10 градусам.теперь во втором треугольнике 180-x=180-10+20 где 180-x=150 значит x=30
P.S я учусь в 7 классе и синусов и косинусов я не знаю
В последнем решении для нахождения угла нет необходимости считать сумму углов - там есть сторона АС - прямая - т.е. 180 градусов...
В тригонометрическом решении, с момента 4:02 уже ничего такого не надо было делать, а просто сказать, что если косинусы равны, то и аргументы равны с точностью до +/- (ибо косинус - чётная функция). И далее написать: Х-50 = +/- (Х-10). Со знаком "+" имеем нонсенс, а со знаком "-" имеем разумную вещь:
Х-50 = - Х+10
Х = 30
Одно точно, задачка попсовая 👍
Все-таки предлагаю следующую задачу: Дан четырехугольник АВСД. Угол С= 120 градусов. Диагональ АС лелит угол С пополам. Угол ВАД=30 градусов. Длина диагонали АС=2010. Найти периметр треугольника ВСД. Решить только с помощью геометрии!
Мне больше понравились 2- й и 3- способы, - геометрические.Всё просто и понятно!
Самый лучший способ третий, спасибо
С нижайшим поклоном к уровню ваших знаний, не проще ли угол ДВС, отнятый у угла АВС, прибавить к АДВ- ведь увеличился он, и всё!
На основе этого геометрического построения уже несколько задач есть. Дорисуйте девятисторонний равносторонний с равными углами многоугольник, и сразу удивитесь простоте решения. На канале GetAClass было… 🙂
Спасибо...Третий проще, но первый интереснее
Нормальные методы, осталось только красивые решения с координатной сеткой продумать (необязательно прямоугольные координаты).
Дикцию только чётче, особенно в моменты размышлений - синуш, кошинус )))
third one was the easiest !!! tretii sposob bil leg4e vsego !!! like odnozna4no !!!!
Вы сейчас не показали как решается эта задача
А отчитались что умеете решать эту задачу как будто перед учителем у доски
ЕСЛИ НЕ ПОНЯЛИ ЧТО Я НАПИСАЛ ТО ПРОЧТИТЕ ТРИ РАЗА И НАДЕЮСЬ СЛЕДУЮЩИЙ РАЗ ВЫ СВОЙ ТАЛАНТЛИВЫЙ МОЗГ ПРИМЕНИТЕ БЛАГОСКЛОННО
В первом варианте если уже видим sin ( X- 30) = 0
Зачем глубоко копать- это же реальный треугольник!
Пишем сразу Х = 30
спасибо. Второй способ лучший. и запомнить его легко!
Еще один способ - если в чертеже второго способа продлить отрезок BD, линия будет биссектрисой не только угла BCE, но и угла CDE, попутно получаем вертикальный угол в 30 градусов к искомому. А мы знаем, что вертикальные углы равны.
Спасибо большое за решение
И они хотят чтобы эту задачку школьники решали...
Есть еще проще, у Вас понравились 2 последних способа, очень доступных для понимания, например, как для меня- не математика, а просто любителя.
я нашел угол. он слева вверху
:))
Потрясающе!!!)
Всю голову себе сломал когда то. Но решил.
Нужна помощь умных комментаторов. Многочлен 4x^4-16x^3-36x^2-36x+9 имеет 2 действительных и 2 комплексных корня, пытался его разложить на 2 квадратичных множителя через неопределённые коэффициенты и не получилось. Может кто подскажет, как разложить?
Не раскладывается явно, используйте формулу Феррари.
Замена x =t+1 уберет множитель при кубе. Получится вид t^4-15*t^2-35*t-75/4
Почему угол DBC равен х-20?
Потому, что внешний угол треугольника, который равен x, равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
@@ValeryVolkov Спасибо, я понял!
Щтурман, место! (имелось ввиду место самолета) Кричал командир по интеркому.
Штурман:
- Ща.
И на полях появишись странные геометрические построения от лазера
Спасибо вам. Я знаю вас больше 6 лет 👍🏻
И Вам спасибо, что смотрите!
Я через систему решал.
Как любил говорить мой учитель математики, Пиастро Иосиф Исаакович, "решить одну задачу десятью способами -- это тренировка, а десять задач одним способом -- это дрессировка".
Если треугольник АВС вписать в окружность, а из точки С прямую, равную АВ опустить, на окружность, поставить точку Е, и, соединив точки В и Е, получим два окой
равных вписанных треугольника, у которых стороны и углы равны. Дальше находим угол АВД = 80-20=60, тогда угол АДВ =180-60-80=40
Во втором способе ещё проще. ЕСВ тож равнобедренный. Острый угол равен 180-80-80=20. Тогда искомый 180-(180-10-20)=30
Второй и третий.способы наилучшие.
Сказочные способы. Спасибо
Было бы любопытнее убрать из Дано BAD = 80. Интереснее сначала доказать что треугольник BAD равнобедренный и после посчитать эти углы))) А так любопытная задачка. Самое то под кофе с утра.
Теорему синусов никто не отменял. И кстати пригождалась в практике, может и не поверят многие.
Если не догадаться построить треугольники, то нет самого простого способа😁. Ну а так, второй вроде
здраствуйте Валерий Волков!
можете решать эту задачу:
Медиана AD треугольника ABC перпендикулярна биссектрисе BE и пересекается в точке F. Известно, что площадь треугольника DEF равна 5. Найдите площадь треугольника АВС?
В своё время существовала такая олимпиада Кенгуру. Вот там такие задачки были.
А из равнобедренной трапеции нельзя ли найти углы образовнные диагональю?