당신이 수학을 모르는 이유. (feat. 불완전성의 정리)
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- čas přidán 30. 11. 2021
- 1400만 조회수를 기록한 영상!
거짓이라는 것이 모두 다 증명 될 수는 없습니다. 이 사실은 무한대를 재조명하였고, 세계 대전을 단축 시켰고, 현대 컴퓨터의 발명으로 이어졌습니다.
학창 시절 때 대체 수학이 어디에 쓸모 있을지 의구심을 가졌던 기억이 납니다. 수학계의 여러 이야기들을 통해 수학적 여러 시도들이 여러분이 이 영상을 보고 계시는 컴퓨터와 핸드폰으로 발전하는 기나긴 여정을 함께 보시죠.
영상을 보시고도 잘 모르시겠다고요? 정상입니다. 우리는 모르거든요!
4k 영상을 지원합니다.
** 책도 다른 모든 물건들처럼 떨어진다는 사실을 B가 A의 부분 집합이라 한 부분은 실수입니다. B를 같이 떨어진 종이처럼 생각해주세요...
출연 : 힐베르트, 괴델, 파인만, 폰 노이만, 앙리 푸앵카레 등등 희대의 천재들...
#영상봐도이해못하면 #개추 #일단나부터
Game of life = '라이프 게임' 으로 해석하는게 더 자연스러운 것 같습니다.
오역수정
10:04 - "따라서 면도사는 스스로 면도를 할수 없지만
남자이기 때문에 면도를 해야하는 모순에 빠지게 됩니다"
(수정) "마을에 사는 면도사가 스스로 면도하지 않는 '모든' 남자를 면도해야 하는데
면도사는 자신을 면도할 수 없기 때문에 모순에 빠지게 됩니다." 로 생각하시는게 맞습니다.
10:17 - “힐베르트 학교 출신 수학자 체르멜로(Zermelo) 와”
(수정) 힐베르트 '학파' 출신 수학자 체르멜로 (Zermelo) 와”
18:30 - “이 공리는 x 대신 0을 넣어 1과 0은 같지 않다는 가장 간단한 증명을 통해서 증명할 수 있습니다.”
(수정) 이 공리는 x에 0을 대입하면, “1과 0은 같지 않다”는 명제의 증명이 완성됩니다
자막수정
12:46 - (수정)princi'p'ia Mathmatica
31:41 - (수정)기반을 다졌죠
Special thanks to Prof. Asaf Karagila for consultation on set theory and specific rewrites, to Prof. Alex Kontorovich for reviews of earlier drafts, Prof. Toby ‘Qubit’ Cubitt for the help with the spectral gap, to Henry Reich for the helpful feedback and comments on the video.
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참조 논문
Dunham, W. (2013, July). A Note on the Origin of the Twin Prime Conjecture. In Notices of the International Congress of Chinese Mathematicians (Vol. 1, No. 1, pp. 63-65). International Press of Boston. - ve42.co/Dunham2013
Conway, J. (1970). The game of life. Scientific American, 223(4), 4. - ve42.co/Conway1970
Churchill, A., Biderman, S., Herrick, A. (2019). Magic: The Gathering is Turing Complete. ArXiv. - ve42.co/Churchill2019
Gaifman, H. (2006). Naming and Diagonalization, from Cantor to Godel to Kleene. Logic Journal of the IGPL, 14(5), 709-728. - ve42.co/Gaifman2006
Lénárt, I. (2010). Gauss, Bolyai, Lobachevsky-in General Education?(Hyperbolic Geometry as Part of the Mathematics Curriculum). In Proceedings of Bridges 2010: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture (pp. 223-230). Tessellations Publishing. - ve42.co/Lnrt2010
Attribution of Poincare’s quote, The Mathematical Intelligencer, vol. 13, no. 1, Winter 1991. - ve42.co/Poincare
Irvine, A. D., & Deutsch, H. (1995). Russell’s paradox. - ve42.co/Irvine1995
Gödel, K. (1992). On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems. Courier Corporation. - ve42.co/Godel1931
Russell, B., & Whitehead, A. (1973). Principia Mathematica [PM], vol I, 1910, vol. II, 1912, vol III, 1913, vol. I, 1925, vol II & III, 1927, Paperback Edition to* 56. Cambridge UP. - ve42.co/Russel1910
Gödel, K. (1986). Kurt Gödel: Collected Works: Volume I: Publications 1929-1936 (Vol. 1). Oxford University Press, USA. - ve42.co/Godel1986
Cubitt, T. S., Perez-Garcia, D., & Wolf, M. M. (2015). Undecidability of the spectral gap. Nature, 528(7581), 207-211. - ve42.co/Cubitt2015
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Written by Derek Muller, Adam Becker and Jonny Hyman
Animation by Fabio Albertelli, Jakub Misiek, Iván Tello and Jonny Hyman
Math City Animation by Another Angle 3D Visuals (www.anotherangle.ee)
Filmed by Derek Muller and Raquel Nuno
Edited by Derek Muller
Music and SFX by Jonny Hyman Additional Music from Epidemic Sound
Additional video supplied by Getty Images
Thumbnail by Geoff Barrett
Associate Producers: Petr Lebedev and Emily Zhang
Dubbed by Mingi Kwon
Additional Edited by Jaehyuk Jung
Translated by Yuna lee
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원본 영상 : • Math's Fundamental Flaw
채널 : / @veritasium - Věda a technologie
![[SNU Catch] Mathematics and Life of Fields Medal Winner June Huh](http://i.ytimg.com/vi/ENNnFu-rS9U/mqdefault.jpg)
정말 멋지고 훌륭한 학습 영상입니다.
예전에는 원본 영상이 영어라 이해를 못 하는 것이라 여겼습니다.
이제는 언어 때문이 아니었다는 걸 깨달았습니다!
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㄹㅇ 저도 이거 맨날 볼려고 시도했다가 실패해서 독해가 모자라서 그런줄 알았는데 그냥 존나어려운거였음
괴델 나올 때부터 본격적으로 이해 안 되기 시작ㅋㅋ
언어는 장벽이 되지 않는다 ㅋㅋㅋ
튜링 덕분에 마인크래프트에서 마인크래프트를 구동할 수 있는 컴퓨터를 시뮬레이팅이 가능하다는게 수학적으로 증명되는 것이군요...
어쩌면 마인크래프트로 더 큰 마인크래프트를 만들 수도 있겠네요!
와... 후반부로 갈수록 소름이 쫙 돋습니다.
아주 어렵고, 어렵기 때문에 진리에 다가가고자 했던 수학자들의 천재적인 노력도 알 수 있었네요.
1+1=2가 아주 복잡한 사실을 거쳐 증명된 것처럼
학생들이 학교에서 배우는 기초적인 수학이론들도 어떤 수학자의 오랜 고뇌에서 비롯되었을텐데 이를 단순 암기로만 학습하게 된다는 게 괜히 안타까워집니다..
1+1=2가 복잡하게 증명된건 아닙니다.
+ : N * N = N의 사상을 보장, 페아노 공리계의 공리로부터 잘 구성된 집합 N(혹은 다른 수학적 요소로 최소원 1 혹은 0과 수학적 귀납 구조를 보장만 해준 어떠한 수학적 대상)이 자연수인거고 그 안에서는 1초도 안되서 증명되니까요. 증명이라고 하기도 뭐한게 succ(n) = n+1이라는걸 정의해주고 1+1=1'=2라고 '주장'할 수 있는 자연스러운 근거를 말해주는 겁니다.
@@APlus1111 복잡한데?
@@asdf5445 700폐이지보다는...
근데 수학의 역사도 대부분의 시간동안 실용적인 면에 있었고 17세기 오일러의 시대까지도 무지성 트라이, 엄밀함 개나준 공대수학이었음. 수많은 수학 개념들이 치밀한 공리가 아닌 경험적 사실로부터 시작한것처럼 시작은 암기수학부터 시작하는거지. 고등학교 수준에선 그게 맞아
고등수준의 기본 개념은 암기해야지 ㅋㅋ
원본 영상으로 봤을때는 아직 영어가 부족하여 놓치는 부분이 많았는데 덕분에 잘 보고 갑니다! 너무 감사해요
그동안 유튜브에서 본 영상들 가운데 기억나는 것 중에서는 가장 무거운 한 방인 것 같습니다. 보는 도중에 괴델 넘버는 잘 이해되지 않아서 몇 번이나 멈추고 돌려보기까지 했지만, 뭔가 굉장히 잘 만든 영상을 굉장히 주의깊게 봐도 다 이해하지 못 했다는 걸 느끼면서 동시에 이게 얼마나 중요하고 묵직한 사실의 나열일까.. 생각하며 정주행했네요. 다시 보도록 하겠습니다.
단편적인 종이에 그려져있던 개념과 이론들이 다른 이론과 상호적 관계가 있다는걸 볼때의 그 짜릿함이란.... 하 어떻게 수학을 사랑하지 않을수가 있을까요 ㅎㅎㅎ 예전에도 봤던 영상인데 오늘은 사무치게 눈에 띄네요 ㅎㅎㅎㅎ
Veritasium 한국어 채널이 있었군요. 평소에도 영어 채널에서 좋은 내용을 많이 봤지만 영어라서 주변인에게 추천하기 힘들었는데, 앞으로는 이 채널에 올라오는 동영상을 적극 권장하겠습니다.
영상이 너무 좋아서 정말 깜짝 놀랐습니다. 이런 양질의 컨텐츠가 있는 채널을 이제야 알았다는게 아쉬울 정도입니다. 훌륭한 영상을 만들어 주신 주인장님께 감사의 인사 올립니다.
저도 숟가락 얹겠습니다
전 젖가락 추가합니다
@@youngchunsong675 젓가락입니다만...
Veritasium이 만든거고 이분은 번역이랑 더빙 하신 거긴 한데 그것만으로도 감사하긴 하죠
오히려좋아
마지막쯤 논문에서 인용한 문구로 나오는 Even a perfect, complete description of the microscopic interaction between a material’s particle is not always enough to deduce its macroscopic properties 라는 말은 Game of Life 를 정확히 설명하는 말이네요.. 이 모든게 연결되어 있다는게 소름돋네요. 영상 너무 잘 봤습니다! 왠만한 방송국 다큐멘터리보다 구성이 훨씬 좋은거같아요.. 엄청 몰입해서 봤어요.
- Game of Life의 미시적인 규칙은 매우 정확하고 혼동 가능성이 없음
- Game of Life는 스스로 자기 자신을 시뮬레이션할 수 있음
- 그렇기에 Game of Life로 만들어낸 거시적인 문제들 중 어떤 것들은 증명이 불가능함...
진짜 무에서 유를 창조한다는건 이런게 아닐까
물론 존재하지 않는다고 확정할 수는 없겠지만, 해답도 모른채 지식의 발전이 이루어졌음이 감탄스럽네요.
학창시절 이과였는데도 수학 물리 넘 못해서 고생했는데 나이먹으니 수학이 이리 재미있는 학문이었다니!!!
시간 가는줄 모르고 봤는데 여전히 모르겠네요 그래도 계속 보게 되네요 ㅜㅜ;;;;;;;
정말 한 편의 영화같은 내용이었습니다. 수학이 불완전함을 증명한 괴델부터 현대 컴퓨터 과학을 정립한 튜링까지 현 고1이 이해하기에도 어렵지 않게 설명해주셔서 감사합니다. 앞으로도 양질의 영상 부탁드립니다
아, 응. 그렇군요. 완벽하게 이해했습니다. 내가 아무것도 이해하지 못했다는 완벽한 사실을 말이죠.
인류 수학의 업적은 보면 볼수록 대단하네요. 그저 일개 프로그래머로서 늘 감사한 마음 뿐입니다.
일개 프로그래머라니요….프로그래머분들이 있어 편리한 세상을 살고 있답니다~~😊
아무것도 이해못한걸 이해했다.. 이게 불완정성 뭐시기인가요?
인류가 아님 ㅋㅋ 백인들의 수학이지
완벽함은 없다.. 라는것이 😢 그래도 그 나름대로의 의미가 있으니까요
@@uhwi1675인도계랑 동양계도 수학 천재 많았는데
기승전결 정말 완벽합니다. 현제 고1로서 왜 교과서에는 이런 게 없을까 아쉬울 따름입니다. 양질의 컨텐츠 정말 감사드립니다! 어려울 수 있는 개념인데도 정말 쉽게 이해했어요! 정말 감사해요! 궁금증도 해결하고 흥미로워했던 문제도 해결했습니다!
이러한 논의의 전체는 아니지만 일부분은 우리 교육과정 상에도 충분히 녹아 있습니다. 물론 심플하게 한 문장 또는 한 챕터로 설명되어 있지는 않지만요. 긴 흐름을 통해서 보면 우리 교육과정 내에서도 위 영상에서 나온 논의의 일부를 얼마든지 발견할 수 있습니다. 중학교 2학년 때 순환소수에 대해 배우는데 왜 순환소수를 알아야 하는지에 대해 고민해보세요. 고등학교 3학년이 될 때까지 배우는 전체 수학 내용을 살펴보면 순환소수를 그 시점에 왜 배워야만 했는지 의문이 들 수도 있습니다. 일견 쓸모 없어 보이니까요. 순환소수를 안 배워도 상관 없지 않나 하는 생각이 들 수도 있습니다. 그런데 위 영상의 논의를 생각해보면 순환소수 내용은 교육과정 상에서 빠질 수 있는 내용이 절대 아닙니다. 한 번 곰곰이 생각해보세요!
@@user-bj8iv4dm2o 그렇지만 논리 그자체의 근본에 대해서는 아쉽게 나오죠. 그래서 항상 수학쌤께 그런 논리에 대해 물어보면 항상 저보고 숙제를 주시곤 했어요!
@@user-bj8iv4dm2o 그리고 위 제 댓에 있는 궁금증도 블렉노님이 말씀하신 것들로 부터 나온겁니다! 논의 전체가 아니라 아쉬웠던거에요!
수학과를 가시면 됩니다 XD
여기서 설명하는건 단지 가쉽거리임
예전에 괴델의 불완전성 정리에 관한 책을 읽은 적이 있는데 증명 내용은 이해할 수 없었지만 수학이 불완전하다는 내용을 읽고 충격을 받았던 걸로 기억합니다. 지금 생각해보면 쌍둥이 소수, 콜라츠 추측과 같은 난제들만 봐도 어떠한 명제는 참일지라도 증명이 불가능할 수도 있겠구나 싶네요. 수학이라는 학문이 깊게 파고 들어가면 매우 심오하고 복잡한 학문이다 보니 이렇게 요약해서 보는 것만으로도 벅찬데 이걸 직접 하는 수학자들은 미칠 수 밖에 없겠구나 라는 생각이 듭니다.
연속체 가설이 그러하다고 합니다.
불완전하다는게 그런 의미가 아니라, 적어도 이 공리계 안에서 '참'이든 '거짓'이든 상관 없다. (다른 수학 연구나 공리안에서 모순이 안생긴다.) 입니다.
자연수 k에 대해 1+1=k와 1+2=k는 모순인 이유는 정말로 k=1+1일 수도 k=1+2일 수도 있는 어떤 수학 세계가 존재하지 않는다는 이야기가 아니라
적어도 우리의 수학 세계에서는 저런 정의가 자연스럽지 않기 때문에 4번 공리로 보장해준겁니다.
그럼 저게 참일때 4번 공리에 위반되는 모순임으로, 거짓인 명제라는 한 가지 상태에 귀속되는 거고요
@@APlus1111어쨌든 우주의 진리를 찾는 학문은 수학이 아니라 물리학이라고 밝혀졌음 ㅅㄱ ㅋㅋ
양자학도 다른 것들도
다 조건이 무엇인지 모를경우
답을 예상하지만 어떤 답이 나올지 알수없는 상태를 뜻함
그러나 현실상 조건이 주어져있음
우리가 모를뿐
조건이 주어져 있으니
답도 정해져있음
조건을 모르니 답도 모를뿐
왜 조건이 주어져 있냐면
세상이 존재하기에
이미 진행중이기에
변수도 무한이기에
무한으로 진행하다 변수로 멈출수있지만 다시 변수로 작동할수있기에
멈춘적이 있으니 멈췄다 라는것도 틀린것이 아니기에
유한인것도 사실 무한에 속하기에
이해는 어렵지만 참 유익하고 재밌는 영상입니다
괴델의 불완전성 증명부터 현대의 스마트폰에 이르기 까지. 수학이라는 학문이 명제에 대한 증명 이라고 생각하니 프로그래밍은 그 과정에 대한 서술이라고 생각되내요. 그리고 마지막 결정 불가능하다는 결론은 모든 프로그램의 버그를 예측 할 수 없다 라는 말로 느껴저 충격적이기 까지 하내요. 그리고 자기 증명 불가능하지만 자기 생산 가능한 역설적 가능성은 AI가 어디까지 더 발전할지도 궁금하내요.
이 영상을 보고 수학이 희망같은 거라는 생각이 드네유.. 보통 무엇이 무언가를 희망하지만 잘 이루어지지 않쥬. 모든 희망이 이루어지지는 않는다고 말하면 공감하실지 모르겠네유...
수학이 완벽하기를 바라고, 수학이 아주 완벽해보이지만, 희망처럼 모든 수학이 증명되는것은 아닌것이쥬..
수학이 완벽하다면, 인간이 과연 망각의 동물이 됐을까유? 완벽한 수학이 적용되기위해서는 필요한 모든 입력을 계속 기억해 나갈 수 있어야하지 않을까유? 눈 앞에 놓인 문제의 원인이 될 수 있는 모든 정보를 뚜렷하게 기억할수 있어야하지 않을까유?
그런데 실제로는 어떤 기억들의 경우 올바른 결정이나 선택을 방해하기도 하지유... 그러므로 많고 다양한 경험에서 어떤 발전을 기대하고 싶다면 오히려 더 적게 기억하는것이 좋을지도 모르겠네유... 많고 다양한 경험들까지도 말이쥬...
저는....사람이 망각의 동물이라는 점에서 수학이 불완전하다는 것을 공감할수 있는것 같네유.
수학전공자로써 너무 재미있고 흥미롭게 봤습니다 앞으로도 수학 관련된 영상 많이 만들어주세요 !
로서
@@시 이과니까 봐줘
@@JIGU- ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
@@JIGU- ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
@@JIGU- ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
영상 퀄리티 미쳤네요.
몇 번은 더 봐야 할 것 같은데, 너무 재미있습니다.
czcams.com/video/92WHN-pAFCs/video.html
정지 문제를 멋지게 소개하는 영상 추천
이 영상을 통해 미시세계 상호작용을 모두 연산가능한 특정 연산자로 연산하면 거시세계의 완벽한 물리운동 예측이 가능하지 않을까에 대한 궁금증이 해소됬습니다. 수학이 가진 불완전성때문에 불가능하군요.
그건 아니고 연산자로 하나하나 예측은 가능한데, 상호작용의 원인으로부터 결과를 도출할 수 있는 알고리즘에 대한 명제중 증명할 수 없는 것이 있다는 것 아닌가요?
와 이거 넘넘넘 궁금헀는데 설명들으니까 속이 뻥 뚫린다...... 미쳤다 이게 이거구나
와.. 영상 다보고 시간보고 놀랐습니다. 32분인데 1분처럼 느껴집니다.
어떻게 보면 무엇을 알 수 없는 지 알게 되었기 때문에
역설적으로 무엇을 할 수 있는 지 알게 된 것 같기도 하네요.
그리고 수학이란 학문 자체가 그 연속으로 볼 수도 있겠다는 생각이 듭니다.
음.... 그러니까... 지금의 수학 체계 뿐만아니라 수학이라는 것 자체가 절대적인게 아니라 언제든 바뀔 수 있는 모래 위의 성과 같다는 의미로 생각하면 되나요? 아니면 수학은 절대적이지만 단지 빈틈이 있어 보일 뿐이고 그 빈틈을 채울 수 있는지 없는지를 알 수 없다고 생각하면 되나요? 그것도 아니면 수학 그 자체가 절대적일지 아닐지를 판단 할 수 없다고 이해하면 되나요?
무한에 밀도가 존재한다는 사실이 신기합니다. 0과 1사이의 무한 밀도가 더 빽빽하다니..
증명할수 없는것이 많지만 모순인지 아닌지를 인간이 판단 할 수 있다는 사실은 그나마 다행입니다.
정말 좋은 영상 감사합니다
수학이라는 학문적 접근으로 변하지 않는 완벽한 수라는 개념을 이해했는데 이런 사례도 있으니 흥미롭네요..ㅎㅎ 영상 잘 보고 갑니다
와 좋은 영상 감사합니다!
어렵다 너무 어렵다. 근데 너무 재미있다. 좋은 영상 감사합니다.
세상은 불확실과 모순이 팽배하지만 이로 인해 한걸음 나아갈 수 있다는 철학적 메세지까지 주는 영상이네요 잘 봤습니다
좋은영상 감사합니다
오토마타 계산이론 과목을 이번학기에 수강했었는데 영상이 배로 재밌게 느껴지네요ㅎㅎ 배울땐 참 어려웠지만 놀라운거같아요
항상 재밌고 흥미로운 영상을 올려주시네요 ㅎㅎ
짐은 적이고 짐의 최악의 적은 자기 자신이고 적의 적은 친구이므로 짐은 자신의 친구인데 짐은 적이다..(?) ㅁ..잘 이해한걸까요
07:24 학문은 이성적일 것 같지만 의외로 권위주의적이고 상당히 꼰대같은 기질이 있기도 하죠
뭔가 이상한 것 같은데 논리적으로 모순이 발견되지 않는 이론이 새로 나왔을 때
기존의 대가라고 불리는 학자들이 반증을 보이거나 논리적으로 타파하지 못 하고 권위로 누르려고 한다면
그 당시의 패러다임에는 뭔가 모순이 있음을 말하고
패러다임의 혁신이 도래했음 보여주는 신호탄이 되기도 합니다.
물리학계에서는 아인슈타인과 양자역학이 대표적인 사례입니다.
영상 개지리네요.. ㄷㄷ
괴델수 g가 도출되는 과정이 가장 중요할 것 같은데...이건 따로 찾아보고
그리고 튜링머신에서 h랑 h+가 러셀의 역설이랑 똑같은 문제를 겪긴 하지만, 이건 함수랑 그 함수에 대한 메타함수를 구분하면 해결되는 문제임.
이때 h+를 h+(x)라고 하면, h+함수에 h+ 함수를 넣은 것은 h+(h+(×))가 되는 것이고, h+(×)=/=h+(h+(×))이기에 둘의 결과값이 달라도 됨. 따라서 일단 러셀의 역설은 풀림.(비트겐슈타인의 풀이)
문제는 h+가 자기모순을 겪는다고 해서, h+가 존재할 수 없다고 결론지을수가 없다는 것임. 튜링기계에서는 아직 증명되지 않은 h+를 어떻게든 있을 것이라고 전제하고, 그 전제가 러셀의 역설에 도달하는 결론에 도달하자, 전제를 틀린걸로 간주함.
그러나 h+(x)가 러셀의 역설을 벗어나는 방법이 있으므로, 전제는 아직 증명 불가능한 상태로 남을 뿐임.
결과적으로 h랑 h+가 모순 없이 존재할 가능성이 있음.
따라서 "쌍둥이 소수 추측 같은 문제를 영원히 풀 '수' 없을 '지도' 모른다"는 참임.(영상에 나오는 아저씨도 정확히 이리 말함)
그러나 이게 "쌍둥이 소수 추측 같은 문제를 영원히 풀 수 없다"는 말은 아님.
전자 후자는 완전히 다름.
전자는 희망이 있는 거고, 후자는 필연적으로 회의론을 야기한다는 점에서 불완정성 정리나 입자 파동 이중성 같은 문제랑 같은 층위에 있게 됨...
결론: 수학에 모순 항상 있는 건 맞지만 쌍둥이소수 추측 풀 수 있는지 없는지는 아직 모르는거다.
30:00 그건 그렇고 인생게임으로 진행되는 인생게임은 그냥 미쳤다...
2000년 초 박사 과정에서 컴퓨테이션 이론을 배우던 생각이 나네요.
잘 봤습니다.
game of life를 인생게임으로 해석해야 할지... 생명게임이라 해야할지... 이 패턴의 의도자체가 세포단위 생명체인, 단세포 동물의 행동패턴 분석과 관련이 있으니
인생보다는 생명으로 해석하는게 더 좋을듯합니다.
진짜....훌륭합니다. 이런 영상과 깊이가..
좋은 영상 감사합니다
프로그래밍 언어론 공부하다가 여기까지 왔는데, 영상 정말 좋네요! 이런 양질의 영상을 한국어로 볼 수 있는 게 정말 행운인 것 같습니다. 번역 감사합니다!!!
너무좋네요
튜링, 힐베르트, 괴델, 러셀, 화이트헤드까지...
한 영상을 통해 만나게 되어 신기하고 흥미롭습니다.
좋은 영상 감사합니다.
지나가다 파편화된 지식으로만 알던 것들이었는데,
영상통해서 상호관계를 알게되어 해당 분야에 대해 더 깊게 이해할 수 있었습니다.
감사합니다!
퀄리티 좋다 재밋게봣습니다
문과라서 솔직히 뭔 말인지는 모르겠는데 하여튼 엄청 대단하고 재밌는(?) 영상이었습니다. 작은 두뇌와 100년도 못사는 수명을 가진 주제에 왜 인간은 무한이란 개념을 상상하고 증명하려고 하는 시도를 하는 것일까요? 생물로서 주어진 조건 그 너머를 보고 싶어하는 욕구가 인간의 본질인지도 모르겠습니다.
알고있는 내용이지만 이렇게 영상으로 보니 새삼 감동이 대단합니다. 왠만한 영화보다 더 감동적으로 봤습니다. 감사합니다.
이게 이과...?
@@user-mx2vi7xx3u 현직 이론물리학자입니다. 모든 이과가 이렇지 않습니다만, 여기 와서 댓글을 달정도면 당신도...
@@sangjunechoi4369 학교에서 영상을 틀어주다 말아서 한번 찾아봤어요!
솔직히 중간부터 뭘 말하고싶은건지 모르겠는데 계속 보게되네요...
@@user-mx2vi7xx3u 저는 대학교 때 수학과 과목 듣다 보니 공부하게 됐는데.. 학교에서 틀어줬다니 좋은 학교 다니시네요~
만약에 거울이 없지만 사람들이 대신 천리안을 가졌다고 해봅시다. 그럼에도 불구하고 죽을 때까지 볼 수 없는 한가지가 있다면 무엇일까요? 바로 자신의 눈이겠죠.
거울과 같이 수학의 옳고 그름을 증명할 수학을 우리는 갖고 있지 않고, 그것을 만든다 해도 그걸 증명할 다른 수학이 필요합니다. 라는 것에 익숙해지면 내용을 이해하는데 좀 더 도움이 될 것입니다.
저도 이 영상을 보고 예전에 봤던 책이 기억나서 들어왔는데 그때 받은 느낌을 다시 한번 받게 되네요
영상 너무 유익하고 재밌게 봤습니다.
26:26 h+가 멈추지 않는다고 가정하면 그 속에 들은 h가 반복을 출력하고 h+는 멈춤을 내보내므로 모순에 빠지는게 맞지 않을까요?
프로그램 코드가 프로그램 코드를 감지하는 h+의 상태로 변하지 않기에 h가 중간에 결과를 바꾸지 않습니다.
고졸+수포자인 내가 이 영상을 스킵없이 끝까지 보는 이유란 무엇일까
퀄리티 대단하네요
아직 마음속에 호기심이 있으니까요 😙
@@dcacao1 이거 좀 멋있네요ㅋㅋ
@@dcacao1 크
@@dcacao1 말이 이쁘네용
@@dcacao1 낭만있네
절망스럽다.. 한글로 친절하게 설명해주시는데 이해를 할 수 가없네요. 다시봐야지 ㅠㅠ
와 인생게임 안에서 인생게임 굴러갈 때 소름돋았다…… 좋은 영상 감사합니다!
잘보고 갑니다
굿굿굿!!!
퀄리티가 이렇게 좋은데 아직 알려지지 않았네요... 영상 감사합니다.
외국 본 채널은 1200만이네요 ㄷㄷ... 한국어 채널 만들어주셔서 감사합니다
9:37 이발사의 역설: "마을의 모든 남자는 면도를 해야 하며 면도사는 혼자서 면도를 하지 않는 사람만 면도사가 될 수 있다" 는 정확한 번역이 아닌 것 같네요. 원 영상에서는 "The village barber must shave 'all' and only those man in the village who do not shave themselves" 라고 표현하는데, 마을에 사는 면도사가 스스로 면도하지 않는 "모든" 남자를 면도해야 한다는 부분에서 모순이 생기는데 이 부분이 제대로 반영되면 좋겠습니다.
18:30 "이 공리는 x 대신 0을 넣어 1과 0은 같지 않다는가장 간단한 증명을 통해서 증명할 수 있습니다" 번역이 마치 공리를 증명한다는 말처럼 들리네요.
"이 공리를 이용해서, x 자리에 0을 넣으면, 1 과 0은 같지 않다라는 명제가 나오고, 따라서 "1 과 0은 같지 않다" 라는 명제의 (제가 생각할 수 있는 가장 간단한) 증명이 완성됩니다" 정도로 바뀌는게 좋을 것 같네요.
자세한 댓글 감사합니다. 둘 다 원문을 그대로 한국말로 번역하면 길이가 너무 길어져 약간의 의역을 했던 기억이 납니다.
아무래도 영어와 한국말의 차이가 있어 영상과 말을 맞추려다 보니 약간의 변형들이 생기게 됩니다. 조금 더 세심하게 진행하려 노력해보겠습니다.
추가로 life game은 인생 게임이 아니라 한국어로 번역해도 라이프 게임입니다.
조금 더 첨언하자면, 이발사가 가진 규칙에 초점을 맞추면 좋겠다고 해석할 수 있겠네요. 스스로 면도하지 않는 “모든” 남자는 면도해야 한다는 규칙도 중요하지만, 배중률에 따라 생겨나는 스스로 면도하는 남자는 면도를 하지 “않는다”는 규칙도 중요합니다.
영상에서도 상상하는 장면을 자세히 보면 영상 속의 두 사람이 모두 자신이어서, 자신이 두 명이 되어 자신을 면도해야 모순이 해결되는건가? 라는 엉뚱한 유머를 확인할 수 있습니다. 즉 이발사가 만약 스스로 면도한다면 규칙에 따라 자신을 면도해서는 안되고, 스스로 면도하지 않는다면 규칙에 따라 자신을 면도해야 하기에 역설이 발생하는 것입니다.
여담이지만, 다른 면도사가 있다면, 두 면도사가 마을의 스스로 면도하지 않는 모든 남자를 면도한다는 조건이 아예 성립되지 않겠죠. 물론 두 사람이 양 쪽에서 절반씩 동시에 면도해주는 것이 아니라면 말이죠. 자연스럽게 마을에 사는 이발사는 아주 수염이 긴 단 한 명밖에는 될 수 없을겁니다. 아마도 이 부분이 영상에서는 설명되지 않아, 조금 갸우뚱하게 되지 않았나 싶습니다. 실제로도 영상의 조건이라면 다른 면도사가 면도를 해준다면 간단히 해결되네요!
그나저나 이 긴 영상을 번역하고 직접 녹음하신다니.. 덕분에 영상을 보기가 정말 편하고 좋았습니다. 노고에 감사드립니다 :)
@@coedawis 영상보면서 뭔가 부족하다고 느꼈는데 이거였네요..
스스로 수염을 깍지 않는 사람들은 이발사가 깍아줘야한다. -> 그럼 이발사는 누가 깎아주는가? -> 이발사는 스스로 수염을 깍을 경우, 스스로 수염을 깍지 않는 집단들만 이발사가 깎아줘야하는데, 스스로 수염을 깍는 집단에 이발사가 속하게 되어 스스로 수염을 깍는 사람을 이발사가 깍게 됩니다. 만약 이발사가 스스로 수염을 깍지 않는 경우, 스스로 수염을 깍지 않는 집단에 속하게 되어, 이발사가 스스로 깎아야 하는 모순에 빠지게 됩니다. 바로 자기자신의 역설이 생긴다고 배웠습니다. 영상보면서 저도 뭔가 그럼 다른 이발사한테 면도를 맡기면 전혀 모순이 되지 않는데??? 하고 이상한 찰나에 댓글을 통해서 확인해보려고 했는데 다행이 문제제기 하신 분이 계셨네요.
사랑합니다… 한국어라니!! 감격..
와.... 정지문제, 튜링머신에 괴델수 까지.... 내가 알고 싶던 모든게 해결되었다!
재밌네용 ㅠ ㅠ
감사합니다!
26:10 부분 설명에 H에 의해서 H+가 어떤 경우든 무한 루프에 빠진다고 나오는데 오류인 것 같습니다. H+는 경우에 따라서 멈출 수도 무한 루프에 빠질 수도 있습니다.
이 과정에서 처음 전제한 H가 맞는 답만 말한다는 점에 모순이 생긴다는 게 중요한 것 같습니다.
좋아요 한번밖에 못누르는게 아쉽네욬ㅋㅋ 왜 이 채널을 이제야 알았는가
구독 박는다
이해하느라 머리가 지끈거리만 재밌네요 ㅋㅋ
오 주워들은 내용 다 나오네요 튜링머신에 halt-problem에 무한 집합 개수에 괴델 불완전성 등등 사실 살아가면서 몰라도 되지만 알면 유익한 그런 내용들
프렉탈로 수과탐 숙제를 하다가 더 큰세계를 만난것 같았는데 이영상하고 정리 부합된게 많아서 기분이 좋네요
추천 하고 갑니다
힐베르트의 꿈은 이뤄지지 못 했지만, 그 노력과 열정이 수학을 이끄는 원동력 중 하나였음은 분명한 것 같다.
끝내줘요~ 일반인들도 흥미를 잃지 않고
조금이라도 더 알고싶게 만듭니다! 👍
괴델의 불완전성 정리가 이해 안가시는 분들께..
괴델의 불완전성 정리는 전에 러셀의 집합의 역설에서 보여줬던 것처럼,
"수론을 포함하는 모든 공리 체계(시스템)에 대해서" 집합론에서 러셀이 보여준 역설처럼 자기지시의 모순의 역설에 빠진 다는것입니다. 러셀의 역설에서 집합론을 빼고 수학을 집어넣으면 대강 이해 하실수 있을 것입니다.
러셀의 역설은 집합론에서 ZFC 공리계로 대체되면서 발전하였습니다만 (영상에서 말한것처럼 쉽게 극복된 것이 절대 아닙니다.. 그렇게 쉽게 논박되는 것이었으면 러셀의 역설이 아마 유명하지도 않았을 겁니다.) 문제는 수학적 공리체계는 집합론과 달리 그런 유형의 변형이 불가능 하기 때문입니다.
그러나 이것을 바탕으로 괴델이 인간의 지적능력의 한계를 보여줬다거나, 인간은 유한하며 신이 있다는 종교적 결론에 도달하시면 안됩니다. 그건 논리적 비약이고, 괴델의 이론은 형식주의에 대한 공박입니다.
여담으로 괴델 본인은 푸앙 카레와 같은 직관주의자 였습니다. 수학적 증명은 형식적 체계 내에서만 이루어지는게 아니라 인간의 직관이 들어간 작업이라는 것이지요.
영상에서는 몇가지 과장이 있습니다.
1. 엘런 튜링 떄문에 2차 세계 대전이 2~4년 정도 단축되었다는 말은 과장입니다.
2. 괴델이 음독살인을 이유로 굶어죽은 것은 맞지만, 그가 모든 생활을 그 부인에게 의존하였고, 부인이 죽고 본인이 늙어서 치매가 걸려 음식 먹기를 거부하였기 떄문입니다. 수학 공부하다가 뭐 미쳐서 죽은게 아닙니다.
3. 영상에서 러셀의 역설은 쉽게 해결되었다고 하지만 쉽게 해결 되지 않았습니다.
4. 괴델의 불완전성 정리는 힐베르트의 형식주의에 대한 공박이지 인간 지식의 한계에 대한 이야기가 아닙니다.
5. "증명 불가능한 수학적 명제가 있다"라는 말에 동의할 수는 있겠지만 여기서 "증명"이라는 말은 형식주의자들의 "증명"입니다. 이를 과장해서 우리가 절대 알 수 없는 진리가 있다고 결론 내리면 안됩니다.
6. 튜링머신이 컴퓨터 발전에 지대한 영향을 끼친것은 맞지만 튜링머신만이 영향을 끼친것은 아닙니다.
7. 수론을 포함하는 공리체계는 불완전 하지만, 완전한 공리쳬계도 여럿 존재합니다. 예컨대 여러분이 대학에서 배우는 1차 양화논리는 완전합니다. (이를 또 인간 지식의 한계가 있고 이것이 신의 의지다 그런식으로 과장하시면 안됩니다.)
8. 여러분이 접하시는 거의 모든 프로그램의 컴퓨터언어들이 튜링완전하게 잘 설계해놨어요. 안심하십시오. 저게 수론을 포함하면 문제가 생겨서 수학자들이 미치는거지 논리학 컴퓨터공학자들은 괜찮습니다.
아~ 완벽히 이해했어!
콘웨이의 게임오브라이프는 어릴때 했던 도트게임 이펙트같아보여요.
옛날 도트게임이 아주 극단적으로 작은 메모리를 사용하면서 고퀄리티의 게임을 만들수 있었던게 저런 코드 하나로 수많은 이미지 이펙트를 표현하지 않았을까 하네요.
실제로는 어떻게 처리했을지는 잘 모르지만 그냥 추측입니다.
몇번을 돌려봐도 재밌음 진짜로
쩐다
28:55 어떤 문제가 튜링 완전하다는 것은 어떤 의미인가요? '튜링 완전하다'는 튜링기계같은 알고리즘에 쓰는 말 아닌가요?
영상 퀄리티 뭐임? 보는 내내 경이롭다
이 영상은 미쳣다 그냥 ㅇㅇ
영상의 시작부분 댓글을 남기면 예시로 칸토어의 연속체 가설이 있죠 쌍둥이 소수는 그냥 아직 증명이 안된 것일뿐 또한 튜링의 논리 자체가 괴델의 불완정성 원리에 입각해 고안한 논리라고 알고 있습니다
아주 감사합니다. 아주
베리타지움 한국어 채널이 생겼네요??! 본채널 영살 너무 좋은데 한국어 자막 없는 영상은 맨날 절반정도는 못알아먹어서 답답했거든요ㅠ 다른 영상들도 빨리 번역되서 올라오면 좋겠어요
질문이 있습니다. 다음 명제가 '참이면서 증명 불가능한 명제' 중 하나인가요?
"좌표평면 상의 모든 점들을 3가지 색으로 칠할 때 적어도 하나의 단색 삼각형이 존재한다"
명제의 설명이 너무 모자라서 무슨 상황인지 잘 모르겠네요. 어떤 명제가 단순히 증명이 아주 어려운 것인지, 아니면 증명이 불가능한 것인지를 알아내는 것은 일반적으로 어렵습니다.
으앙 너무어려워 ㅠㅠ
이런 양질의 영상은 거의 다 영어로 되어있어서 보기 힘들었는데, 정말 감사합니다!
중딩때 명제 배울 때 명제라는 과목이 완전한가를 질문했다가 "헛소리하지말고 공부나 해"로 묵살당한 기억이 나네요 ㅋㅋ 당시 도덕시간에 배운 삼단논법의 오류로 부터 착안한 별로 어렵지도 않은 발상이였는데.. 갓교육 시스템 ㅋㅋㅋ 컴퓨터 전공생으로써 학교에서 저런 수학적 발상들을 배우고 프로그래밍 과제로 해봤더라면 재밌었을 텐데 하는 아쉬움도 남고. 새벽에 잠깨서 보는데 너무 재밌네요!
ㅋㅋㅋ
@@user-jj6lh5ij6u 그건 욕먹을만...
@@user-jj6lh5ij6u 엉뚱하고 창의적이네요.
@@user-jj6lh5ij6u zfc공리계를 중학생에게 설명할 수 없어서 일단 정의한데로 이야기 해보자 라고 해야 하는 문제인데, 정확하게 따지면 사과를 3개로 쪼갠 시점에서 1/3×3의 문제라서 의미는 없어집니다
@@matlab357 수학을 전공하려면 몽땅 이해해야 하는데...?
무슨말인지 모르겠지만 꿈까지 활용해 모두 들었습니다!
• 제 2 불완전성 정리
공리끼리 서로 모순이 없다는 건
증명 가능한 것인가,
아니면 증명할 필요가 없는 것인가?
공리는 참으로 가정하는 것이므로
서로 모순이 있다는 건,
하나의 공리가 참일 때
다른 하나는 거짓이라는 것이고
공리가 모두 참이라는 가정에 모순이다.
따라서 공리끼리는 서로 모순이 없다.
이상적인 수학의 세계에서는 그렇고,
현실적인 과학적 세계에서의 문제는
공리를 잘못 설정할 수도 있지
않냐는 것인데
공리끼리 모순이 있는 경우엔
모순을 만드는 하나의 공리를
제거함으로써
모순이 생기는 것을 피할 수 있다.
• 제 1 불완전성 정리
(이 괄호 안의 진술은 증명할 수 없다.)
이 문장은 참일 수도 없고
거짓일 수도 없는 문장이라서
명제가 아니다.
또한 역설로 여겨지는
수학의 다른 문장들도
명제가 아니다.
튜링 머신 부분이 이해가 안 되네요...
h라는 기계는 멈출 지 안 멈출 지 알려주고
h+라는 기계는 멈춤을 입력으로 받으면 무한히 반복하고 안 멈춤을 입력으로 받으면 멈춘다는데 26:05부터의 설명에서
1. h+가 자기 스스로 멈춘다고 판단하면 그 속에 들어있는 h가 멈춤을 내보내고 무한이 반복됨
2. h+가 자기 스스로 멈추지 않는다고 판단하면 그 속에 들어있는 h가 멈춤을 내보내고 무한히 반복됨
왜 h는 h+가 어떤 판단을 하던지 항상 멈춤을 내보내고 무한히 반복되는거죠?
정지 문제에서 h기계는 프로그램과 입력을 받아 정지하냐 정지하지 않냐 판별하는데
h+는 이 결과를 받아 반전시키는 기능을 하죠.
따라서 h기계가 h+를 입력으로 받아 정지한다고 판별하면, 실제 h+기계는 무한루프를 돌게 될 것이고
h기계가 h+를 입력으로 받아 정지하지 않는다고 판별하면, 실제 h+기계는 정지하게 되겠죠
분명 전제에서는 h가 정지 여부를 판별할 수 있다고 했는데 실제 기계의 실행 결과와 모순되는 출력을 했기 때문에
전제가 깨지고 h기계는 존재할 수 없다는 결론이 되는것입니다
영상에서도 구름속(h가 판별한) h+가 무한반복 하느냐, 실제 h+가 무한반복 하느냐로 설명하고 있습니다.
영상이 잘못됐음 2번은 h+가 무한히 반복된다고 판단하고 결과적으로 멈추는 게 맞음
@@kimryuns 결과적으로 h+ 가 멈추었다 해봅시다. 그럼 h+를 입력으로 받은 h는 멈출것이라는 결과를 생성해야 하는데, 이걸 그 h 가 쓰인 h+는 안 멈추어야 하죠. 처음의 결과와 나중의 결과가 다르죠? 이상하죠.
여기서 한가지 이야기 안한 부분은, 수학적으로 튜링 머신 여러개를 기본적인 논리로 연결한 기계는 하나의 튜링머신만으로도 같은 계산을 하는 기계로 만들수 있단 점입니다. 수학적으로 튜링머신 여러개를 연결시킨게 그 3개를 이어붙힌 프로그램을 먹인 튜링머신 하나와 같다는게 증명되었죠
괴델 전까지는 재밌게 듣고 있었는데 괴델부터 갑자기 집중력이 필요하네요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
영상 퀄리티 너무너무 죽이네용감사합니당~♡♡
질문이 있습니다.
(1) 괴델수를 괴델이 한 방식인 소수들의 곱으로 나타내지 않고 다른 방식으로 부여하는 방법이 있나요? (y/n)
(2) 다른 방식으로 괴델수를 부여하면 전체적인 증명에서 어떤 문제가 생기나요? 예를 들어 모든 수학적 명제들을 열거한 다음에 거기에 그냥 1, 2, 3...으로 괴델수를 부여하고, 그것을 잘 기억하여 어떤 문장이든 보다 짧은 괴델수 n을 찾을 수 있고, 어떤 괴델수 n에서든 거기에 해당하는 문장을 찾을 수 있도록 정의하여 출발하면 역시 증명이 가능한가요? (y/n)
(3) 이런 식으로 증명하면 안 된다면, (2)의 경우에 괴델식 증명의 어느 단계에서 문제가 생기나요? 예를 들어서 Dem(x,z)를 정의할 수 없다든지...?
솔직히 거의 이해할수없었다....
하지만 수학의 심오함을 조금이나마 느낄수있었다
내가 푸는 문제가 답이 있다는것에 대한 감사할따름이다
베리타슘 한국채널 왜 이제 알았지...
퀄리티는 검증된거나 마찬가지라 킹고리즘만 타면 떡상할듯
유시민작가님 책보고 방문했어요. 설명 좋네요.
유시민이요? 그 미국 달착륙이 뻥이하고 하시는??? 중력퍼텐셜이 뭔지도 모르는 고등학교 물리1 내용도 모르고 과학수학 아는 척하시는 그분?
패턴이 귀엽구만
우와...
썸네일 되게 센스있다.....
무한 목록이라는 표현이 학생들에게 혼돈을 줄 수 있을것같습니다..
무한 목록에서 없는 숫자를 만들었다는 표현은 학생이나 일반인들에게 상상속의 어떤 특정 퀀터티? 를 상상하게 할 수도 있다 생각합니다..
18:41 여기서 자막이 잘못된 것 같은데, "이 공리(어떤 수 x의 다음 수는 0과 같지 않다)에 x 대신 0을 넣어 '1은 0과 같지 않다'라는 명제를 만들 수 있고, 이 공리는 이렇게 만들어진 명제에 대한 가장 간단한 증명이 됩니다."라고 되어야 맞지 않을까요?
"어떤 수 x의 다음 수는 0과 같지 않다"라는 공리를 통해서 "0의 다음 수는(즉, 1은) 0과 같지 않다"라는 명제를 증명할 수 있다는 내용으로 받아들이는 게 맞을 것 같네요
공리는 '너무 자명해서 증명 없이 사실로 받아들이는 명제'이므로 공리를 증명한다는 말은 있을 수 없습니다.
괴델 카드 설명을 몇번이나 돌려봤네요 ㅋㅋㅋㅋ