【灘中の図形の良問】最高レベルの小学算数の問題、あなたは解ける？【中学受験の算数】
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- čas přidán 5. 09. 2024
- 【 難易度：★★★☆☆ 】
2012年の灘中学の入試問題です。
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#中学受験 #算数 #図形
左半分を 右に折り重ね Ｆ Ｇを中心とするベンツ切りにすると 見た目に比が分かります。
ABと平行な線をFを通るように引いてACとの交点をIとすると4:3:2で分割されることになって△AFIが二等辺三角形だから（錯覚と合同）AF:FH=8:5
同様にGを通るようにするとAG:GH=7:1
あとは8*5/13-8*1/8で27/13
点Bを原点とすると辺の比より
D((5√17)/9、(40/9))
E((2√17)/9、(16/9))
直線DC式はy=((40)/9/(5/9-2)×√17))×(x-2√17)
x=√17を代入すると点F(√17、40/13)
直線EC式はy=((16)/9/(2/9-2)×√17))×(x-2√17)
x=√17を代入すると点G(√17、1)
FG=(40/13)-1=27/13
こういう問題を見ると。定規を当てて測れば良くない?と思っちゃう
BGとDGを結んで△ADG、△DEG、△EBGの面積比が4:3:2になることから
ADC:DEG:DGC:EBG:GBH:GHC=64:21:27:14:9:9を求め
今度はEFとBFを結んで同様にして
ADF:AFC:DEF:FEC:EBC=16:36:12:27:26を求めます
それぞれを通分？すると
ADF:AFC:DEF:FEC:EBG:GBH:GHC=256:576:192:432:182:117:117です
で、ABCが二等辺三角形なので右半分と左半分は同じ面積なので
FECの432はFEGが189でFGCが243とわかります
AFC:FGC:GHC=576:243:117であり
これがAF:FG:GHの比ですから簡単にして
64:27:13です合計が104ですね
なので
8cm×27÷104=27/13cmです
すげー計算が面倒でした
与えられた三角形が二等辺三角形ということにだけ気づけば単なるゴリ押しですねぇ。スマートじゃない。
高校受験であればメネラウスの定理を２回使って終わりですね。
中学生以上の場合 隣辺比を全体の∠Aで見た場合△ABC＝9ｘ9＝(81) 内側の∠Aの半分の隣辺比は△ABH＝9ｘ8＝[72] その2倍が全体で [144] (81)＝[144]...① ①より△ACD＝9ｘ4＝(36) ＝[64] AF＝X FG=Y とおいてみると ∠Aの半分の隣辺比は △ADF＝4X △ACF＝9X あわせまして △ACD＝4X+9X＝[64] →X＝[64/13] ...② 同じく (△AEG－△ADF) + (△ACG－△ACF)＝△ACE－△ACD＝7ｘ9ー4ｘ9＝(27)＝[48] → 7(X+Y)ー4X + 9(X+Y)ー9X＝[48] ...③ ②と③でY求まります
まず最初にEFに補助線を引きました。
AHは全体の三角形の頂点Aを二分しているので、DF：FCやEG：GCから面積比を出して、最後にAH＝８ｃｍに対してＦＧが２７/１０４になる事から答えを出しました。
面積を使う考え方として
△ADFと△ACFが面積比4:9であることからBFに補助線を引いて△BDFと△BCFも面積比4:9であり△ABFと四角形AFBCも面積比4:9
△ADFと△BDFの面積の合計（△ABF）が△AFCと等しいことから△BFCは全体の面積の5/13となり、AFとFHの線分比が8:5とわかります
同様にBGに補助線を引いて↑と同じ考え方で△BCGの面積の割合を求めていくと7:9の比を使うこととなり、△BCGは全体の面積の1/8となりAG:GHは7:1とわかります
まとめて計算すると線分FGはFHからGHを引けばよいので8×5/13-1=27/13と求まります
その日算オリ本番
時間かかったけど、自力で解けた
╭( ･ㅂ･)و ̑̑ ｸﾞｯ !＂
めちゃ嬉し〜⁽⁽◝( •௰• )◜⁾⁾≡₍₍◞( •௰• )◟₎₎