Длина лемнискаты Бернулли и эллиптический интеграл
Vložit
- čas přidán 9. 12. 2023
- В этом видео будем находить длину лемнискаты Бернулли. И эта, казалась бы, простая задача приведет в итоге к специальной функции: эллиптическому интегралу первого рода, для которого в видео будет также получено разложение в ряд.
В этом видео находится площадь внутри лемнискаты Бернулли и в нем подробнее показан переход от уравнения в прямоугольной системе координат к уравнению в полярных координатах: • Лемниската Бернулли: п...
В этом видео подробнее про длину кривой и вывод формулы для длины в полярной системе координат: • Длина параболы и спира...
В этом видео получено разложение в ряд для 1/sqrt(1-x^2): • Сумма ряда 1/n^2. Олдс...
В этом видео находится длина эллипса, в нем появляется эллиптический интеграл второго рода, для которого найдено разложение в ряд: • Длина эллипса и разлож...
Здесь найдена формула для интеграла от sin(x)^n с помощью интегрирования по частям: • Интеграл (cos x)^n. Об...
А здесь эта же формула для интеграла от sin(x)^n найдена через гамма-функцию: • Гамма-функция и бета-ф...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
регулярная поддержка: boosty.to/hmath
Чтобы вникнуть, посмотрел всё два раза. Спасибо за видео.
Симпатично! Альтернативное название для видео: «Интегрируем по контуру символа бесконечности». 🙂
Если мы досмотрели видео до этого момента... То наверное мы вас смотрим всегда и нам нравится)
Хотел бы узнать про два пи и на сумму вычетов. Откуда формула взялась, почему она такая и все такое.
очень кстати видео вышло, сейчас как раз разбираю задачу Герца. Спасибо за видео
Бесконечность не предел😂
эх еще одна неточная константа, как же я это не люблю, но было интересно, все понятно
Может все таки постоянная?
@@Ihor_Semenenko это с каких пор функция стала константой?)
@@s1ng23m4n я про отношение диаметра лемнискаты к ее длинне.
@@Ihor_Semenenko слишком неординарная постоянная)) Она в реале вряд ли где-либо используется, так что никто не удостоил ее отдельному названию)
@@Ihor_Semenenko да, правильно, постоянная, я даже не заметил ошибки
♾️
Как всегда прекрасно!
(Если не секрет, для анимации какую программу используете?)
Сначала формулы в MathType, потом создаю картинки для каждого кадра в Photoshop, а потом все соединяю в видеоредакторе (в любом можно делать простые анимации, я с самого начала использовал простой movavi и привык уже) и записываю звук.
@@Hmath Я тоже раньше делал презентации в мувави, но когда меня попросили коллеги из института сделать им, то у мувави небыло необходимых инструментов. Анимации там вообще я хз как делать. Перешел на сони вегас.
@@s1ng23m4n У меня же анимации уровня: возьми картинку и сдвинь ее из одного места в другое. Такие наоборот быстро делаются в мувави: несколько кликов, секунд за 10 :)
@@Hmath согласен) У меня была задача смоделировать физический процесс. Да даже на вегасе нет таких инструментов, так что пришлось писать программу отдельно. Но в процессе я уже привык к вегасу и точно заявляю, он удобнее мувави)
@@Hmath я не пытаюсь вас убедить сменить инструмент монтажа, вы лучше знаете, что вам удобнее))))) Просто делюсь впечатлениями.
Кажется, эта куча замен в интеграле - это всё вокруг тригонометрии - cos(2t) = cos^2(t)-sin^2(t) ну и так далее...?
На каком курсе учитесь?)
Я уже отучился)
А для тех, кто сейчас учится, рекомендую всем без исключения.
1 курс)
На 2-ом. Химик. Математику сдал
Ролик бы сильно сократился, если сразу сделать замену phi = t/2
и что бы получилось?
Вы сделали линейную замену. Чисто теоретически, да и практически, мы бы просто получили другой коэффициент перед интегралом, а сам интеграл не изменился.
а не перезалив ли это?
Нет
может вы уже видели на канале другое видео с лемнискатой Бернулли - там была площадь. Тут в описании даже ссылка есть на это видео.
@@Hmathкстати да, запутала титульная картинка )))
Вот тот случай когда численные методы в калитку бьют специальные функции.
вычисление интеграла прямоугольниками по определению будет в сотни раз медленнее даже этого "плохо сходящегося" ряда :)
Я уж не говорю пока про то, что для эллиптического интеграла 1ого рода есть алгоритм вычисления в тысячи раз быстрее :) Тут скорее даже наоборот: если какие-то другие элементарные функции удалось выразить через него, то это сразу означает, что для нахождение их значений будет супербыстрый алгоритм.
@@Hmath тут закавыка. Расход времени на составление рядов и даже просто нахождение их в справочнике все равно больше чем скорость компьютерного счета по самому неэфективному алгоритму.
тут закавыка в том, что в реальности эти вычисления могут быть лишь малой частью какого-либо моделирования и в результате то, что могло бы быть вычислено за час из-за неэффективности алгоритмов будет вычисляться неделями или годами.
Не бьют, просто потому что у них разные задачи. Численные методы дают вам знаечние, а вото сами функции омжно анализировать и изучать - аналитически. Что не вегда доступно численными методами.
"Эффект бабочки" - ярчайший тому пример.
@@Hmath Все же прямоугольника это прям не серьезно, трапеции как минимум, да еще по Роомбергу - довольно быстро - для "хороших" функций.
Так π мы также не знаем. Просто привыкли к этому значению с "маллых" лет и считаем ее понятной велечиной. В реальности такая же неведамая вешь.
Как собственно и е.
Добро пожаловать в иррациональные числа. Вот только число π имеет десятки уникальных явных разложений, как и число e.
Обращайтесь к читателю комментария правильно. В таких случаях я вспоминаю известные слова известного персонажа известного фильма Гайдая: «не мы, а вы». Вы не знаете.
@@Bruh-bk6yo Так чем эти разложения хуже/луше представленного в видео ряда? Ровным счетом ничем.
Из явного для π только апроксимация многоугольниками и оно по точности/простоте уступает разложениям в ряд. Так что нет, π - такая же загадка, прсо то мы к нему привыкли и не осознаем всей его сложности.
@@Micro-Moo Простите, но меня так училои писать работы - в третьем лице, может у вас по иному, так что это не более чем локальная особенность, смысл коментария от такого обращения не меняется.
@@Ihor_Semenenko у тебя есть чёткое определение числа π - отношение длины окружности к диаметру. Такое определение. А е есть предел (1+1/n)ⁿ при n стремящимся к бесконечности.
Вопрос к автору ролика: зачем считать длину лемнискаты? Какой из этого прок? Какой космический объект движется по траектории лемнискаты?
если какой-то космический объект движется по такой траектории, то вы бы просто об этом могли всем рассказать.
А если это опять вопрос по типу: оправдай математику "практической ценностью", то с таким же успехом вы можете задавать вопрос "зачем?" к любому действию в своей жизни.
Вроде сверхновые типа 1а получаются из двойных систем перетекание вещества по этому закону. Что такое...
По подобного рода траекториям движутся упругие стержни, потерявшие устойчивость. Если взять упругую проволоку и соединить её концы, то получится нечто похожее на половинку лемнискаты. В небесной механике и астродинамике используются такие же методы. Там и покруче лемнискаты траектории вычисляются.
А если коротко, то:
троллям для начала стоит задуматься какой прок от них самих.
Так если развернуть эту кривую, то можно получить эллипс
А какую конечную замкнутую кривую нельзя развернуть так, чтобы получился эллипс?!
@@Micro-Moo Думаю имелся в виду - поворот одного лепестка "бантика " около оси Ох.
@@Ihor_Semenenko «Думаю имелся в виду поворот одного лепестка "бантика" около оси Ох.» Какая-то неопределённая операция, да и результат неочевиден. Можно предполагать, что эта восьмёрка - проекция пространственной кривой, на которую натянута гладкая поверхность. Но уже такое представление неединственно. В общем, так себе замечание.
Математика-это гимнастика ума!! Это так.
Но!! Где на практике я могу применить полученные от вас знания, лемнискаты Бернулли??
А то много лет назад в Политехе (Питер) проходили матанализ. 2-а года преподаватели писали писали на все 4-ре доски длиннющие формулы, доказательства, теоремы...
Но на практике где применять так и не рассказали.
Это огромная проблема нашей школы преподавания, связанной 1500 летним православным мировоззрение с вкраплением коммунистического.
Пишут пишут длинные доказательства. А зачем??
Я и так вам как спецу верю!!!!!!!!!!! Не надо мне доказывать теоремы что из чего и т.д.
Лучше расскажите где мне найти математический аппарат, для работы с метафизическими процессами, для анализа сотен процессов.
Как функции видимо не получится найти то что не знаешь что... И это не смешно.
«Но на практике где применять так и не рассказали.» Все люди делятся на два класса. Первым нужно объяснять «где можно применить», но толку от этого мало. А другие понимают, что думать нужно собственной головой и не требовать оправданий для знаний.
Типичная ошибка глупца. Вы уверены, что ваше будущее предрешено и известно -потому считает что знания нужэнгые для жизни можно выделить еще на стадии детского сада и там только нужные учить. Увы, но это противоречит всему опыты жизни человечества.
Так же стоит понимать, что не все знания даже в пределах одного вида деятельнос и у разных специалистов одинаковы. При этом вы пргосто игнориуете факт смены деялетолльност и будущем.
Ко всему стоит добавить, что умение строить логническое построение вывода формул дает вам как навыки логическогго мышления, так и возможность повторить вывод самостоятельно. Зачем запоминать формулы и методики - если их можн овостановить? А отсюда важное следствие - умение перестаривать методику - гарнтирует развитие общества, когда старые и неэффективные методы заменяються более современными и более эффективными.
Но чтоб эт понять - нужно учиться. Да, проблема...
Правильный вопрос должен звучать так: "Где мне не понадобиться это знание 100%?" Вот дворнику, грузчику, разноробочему, сторожу - это точно не нужно в жизни.
@@Micro-Moo Люди делятся на много классов, групп, строев психики, психотипов и прочей хрени которую повыдумывали такие умники....
Вопрос был, где можно применять примерно этот математический аппарат. Я не беру использование разных мат.разработок для дальнейшего мат.разработчика. Это дело нужное но не мое.
Где вы считаете можно применить такие теории?? Допустим в финансах в инвестициях.
@@Ihor_Semenenko Неплохо налил в уши помоев...!!??
Развивай свой мозг до бесконечности. Я же написал Математика-это гимнастика ума.
Нравоучения оставь своей жене!!!!!
Вопрос у меня не праздный. А точный. Где с точки зрения лектора можно применить данную теорию?? Может он подскажет, может нет. Это ведь не обязательно отвечать мне.
А лить помои это тебе на передачи там в студиях стоят у стойки и льют...ль.т...льют.....
Если рубить с плеча, то жили бы мы на уровне средневековья и гонялись за ведьмами. Как вы видите развитие общечеловеческого ума без математики? Так хочется назвать вас идиотом, но не стану. И заранее прошу прощения, если обидел.