Berechne den ABSTAND der Ebene zur Ebene - Lotfußpunktverfahren
Vložit
- čas přidán 7. 07. 2024
- Abstand Ebene Ebene berechnen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) das Lotfußpunktverfahren, mit dem man den Abstand zweier paralleler Ebenen bestimmen kann. Wir werden eine Hilfsgerade mit Vektoren aufstellen mit dem Normalenvektor und berechnen den Betrag des Verbindungsvektors. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Abstand Ebene Ebene berechnen
0:51 Punkt aus Ebene Koordinatenform
2:35 Senkrechte Gerade zur Ebene
4:37 Schnittpunkt Gerade Ebene
9:36 Betrag Vektor berechnen
11:25 Bis zum nächsten Video :)
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Super! Ich merke, dass ich in 21 Jahren Pension als Mathelehrer doch schon viel vergessen habe. Besonders die Lösungsansätze.
Wirklich gut erklärt. Ich habe Vektoren in Klasse 12 nicht wirklich verstanden, aber in nicht mal 12 Minuten habe ich es deutlich besser verstanden. Du kannst so gut erklären, ich ziehe den Hut. Es ist für mich so viel besser zu verstehen, weil es sehr strukturiert ist. Weiter so!
Sehr, sehr gut erklärt! 👍 Das bringt jeden eine Ebene höher.
Schade, dass Sie nie meine Mathelehrerin waren. Stand immer auf 2 in Mathe bis zur 12. Stufe (Matheabi 4 Punkte) und habe noch nie mehr Zeit verschwendet als im Abimathematikkurs bei meinem damaligen Lehrer, welcher uns noch nicht mal das Vektorkreuzprodukt beibrachte. Leider blieb mir neben 13 anderen Fächern inkl. Hausarbeiten und etl. Referaten sowie den obligatorischen Klausuren keine Zeit mich selbst in Mathe für Analysis, Vektor und Co. fortzubilden. Schön diese Lerninhalte nun nach 7 Jahren nachm Aufwachen am Morgen verständlich nachzuholen. So startet der Tag grossartig.🙏🏻 Danke! 🤓🤩
So einfach ist das ganze, cool,
wie Du deine Sprechstimme einsetzt,
Kunst wo man nur hinschaut, Danke dir!
Dankeschön für die lieben Worte, Marcel! ☺️
Morgen Mathe Klausur hab mir andere Videos angeguckt und nur geflucht. Bei dem Video nicht. Gott sei Dank 👑
Alhamdulilah Mathematrick, meine Klassenkameraden und ich sind sehr froh darüber dass sie uns geholfen haben.
Nachdem ich mir mal einige der aktuelleren Stark-Bücher zu den Mathe-Abituren besorgt habe, muss ich schon sagen, dass es gerade aus dem Aspekt der Nützlichkeit mancher Aufgaben schön wäre, wenn du mal über mehrere Video-Folgen eine solche Abituraufgabe präsentierst. Ich erinnere mich noch, dass es da bzgl. Geometrie mittlerweile schöne Anwendungsaufgaben zum Bau einer Rutschbahn oder eines Jägerhochstands gab. Dann würde dem Zuschauer auch eher klar werden, wozu manche dieser 0815-Fragestellungen zu gebrauchen sind. Verglichen mit meinen Mathe-Abituraufgaben damals sind sie ja mittlerweile viel anwendungsbezogener geworden.
Die Matheaufgaben sind durch diese Pseudoanwendungsaufgaben aber nicht schwieriger geworden. Früher als es LK und GK in Bayern noch gab, waren selbst die GK Prüfungen schwieriger als die aktuellen Matheklausuren in Bayern. Ich rede jetzt von Bayern, da ich nicht weiß, wie es in anderen Ländern aussieht.
Ich schreibe in jeder Mathe Klausur mindestens 13 Punkte seit der Oberstufe. Ich hab mich auf die GK Abiprüfung 1 Monat lang vorbereitet. Ich hab 4 Punkte erreicht....
Absolut genial. Bin >70, vieles vergessen. Aber das i wie Sie es erzählen passt auf Anhieb. Und so nett. Für Ihre Mühewaltung nie genug Anerkennung. Und für die nächste Aufgaben danke ich Ihnen voraus.
Dankeschön für die lieben Worte!! 🥰
Super schön erklärt! Man könnte alternativ gleich nach Berechnung von t=-1 den Richtungsvektor der Geraden mit t multiplizieren und den Betrag dieses Vektors berechnen.
ja, es ist vollkommen unnötig B zu berechnen, weil man dafür im wesentlichen A + t * v rechnet und danach sowieso wieder das A abzieht.
Top erklärt.👍👍👍
wenn die ebenen in dieser form gegeben sind, geht das ganze wesentlich schneller und leichter.
im wesentlichen haben wir hier zwei ebenen der Form =d gegeben ( ist das skalarprodukt) und die einträge von n sind einfach die koeffizienten vor den jeweiligen x_i, also hier (1,-2,-2) und (-3,6,6). Falls dieses n normiert ist (was hier noch nicht der fall ist), dann ist d einfach der abstand zum ursprung. den abstand der beiden ebenen erhält man dann, indem man die beiden d's entweder von einander abzieht (falls die normale in beiden fällen in die gleiche richtung zeigt) oder addiert (falls die normalen in verschiedene richtungen zeigen). man kann also einfach die länge der gegebenen (noch nicht normierten) n_i berechnen, dann die jeweilige gleichung dadurch teilen und dann die neuen d_i subtrahieren bzw addieren. falls das ergebnis am ende negativ ist, nimmt man einfach den betrag (liegt nur daran, dass das vorzeichen von d_i angibt ob die ebene in richtung von n_i liegt oder nicht)
sieht dann hier so aus:
1. gleichung: |n_1| = sqrt(1²+2²+2²) = sqrt(9) = 3 => d_1 = 2/3
2. gleichung: |n_2| = sqrt(3²+6²+6²) = sqrt(81) = 9 => d_2 = 21/9 = 7/3
abstand der ebenen: wir sollten feststellen, dass hier unsere n_i nach dem normieren in verschiedene richtungen zeigen, deshalb müssen wir die beiden werte addieren: 2/3+7/3=9/3 = 3
alternativ kann man natürlich beim normieren der gleichung auch direkt darauf achten, dass bei den neuen gleichungen die vorzeichen übereinstimmen, also indem man gegebenenfalls nochmal mit -1 multipliziert. dann kann man am ende immer die differenz der d_i bilden.
Wenn man es kann ist's vielleicht so schneller, aber leichter finde ich diesen Weg nicht.
ICH LIEBE DICH!!! ich bin vierte Klasse und ich kann schon wegen dir Gleichungen ,Ungleichungen , Brüche, Wurzeln ziehen und Hoch Rechnungen mach weiter so😊😊😊😗❤❤❤
Übrigens ich bin 10 Jahre alt
Das ist ja toll👍. Mathe scheint dein Ding zu sein. Seine Talente muss man fördern, super.👍
Wow wirklich sehr cool !!!
Das ist echt toll. Ich wünschte, solche Tutorialvideos hätte es zu meiner Schulzeit auch schon gegeben. :D
@@Dialga-Palkia Ja, da haben wir schüler einen riesen Vorteil im Gegensatz zu früher.
Genau worum ich gebeten habe danke mach wieter so 🤩
Hach, was beneide ich die heutigen Schüler. Mit solchen Tutorials wäre meine Mathematiknote damals im Abi viel besser gewesen. Du kannst das so viel besser erklären.
Ganz ehrlich...bei "Lotfußpunkt" dachte ich als erstes an eine Krankheit - Danke, dass du mich bestätigt hast :P
Lineare Algebra ist auch schon lange her, danke für die Auffrischung!
Ich habe mal wieder nix kapiert gebe aber die Hoffnung nicht auf und gucke mir weiter deine Videos an. Wie ich im Abi auf eine 2+ in Mathe gekommen bin, kann ich mir bis heute nicht erklären.😁👍
und immer wieder diese Schöne Stimme von Dir
Sehr gutes Video👍
Nach rd. drei Dekaden eine nette Auffrischung. Danke!
Boah, ich habe auf halber Strecke aufgegeben. Das ist Mathe-LK-Wissen, den ich hatte, aber das ist 35 Jahre her. Ich dachte du machst hier so einen gemütlichen Auffrischungskurs für Senioren, aber okay, challenge accepted. Ich habe mir gerade die Schulbücher Ananlysis 1 und 2 bestellt.
Eine super Erklärung! Interessant zu wissen ist es, wieviel Zeit hättest du gebraucht, um diese Aufgabe zu lösen? Danke
Machst du so gut wow
Hey,..echt mega tolle hilfreiche videos,.sag mal,hast du mathe studiert?
Dankeschön! 🥰 Jap, aber ich habe nur den Bachelor gemacht. :)
Hast du ein Video für die Differenzierbarkeit von Abschnittsweise definierte Funktionen?
Für mich ist Vektorrechnung 30 Jahre her. Das Verständnis ist da aber die Formeln sind alle weg. Bitte mehr davon.
Oje. Ich glaub ich nehm lieber ein 🍨🙈 Ein Glück kam das damals im Fachabi zeitlich nicht mehr dran. Sonst wäre wahrscheinlich aus meiner 1 ne 3 geworden.🥴 Aber trotzdem wie immer super erklärt😉👍
Ich würde mir ein Video zur algebraischen und geometrischen Vielfachheit wünschen (;
Geht es um Eigenwertprobleme? Oder kommt diese beiden Vielfachheiten auch noch irgendwo anders vor?
Ich liebe dich einfach :'( danke für alles h
Sehr gute Erklärungen in deinen Videos. Aber was mich stört sind Verstöße gegen verabredete Schreibweisen.
Punkte werden mit großen Buchstaben benannt. Die Koordinaten werden waagerecht geschrieben.
Vektoren werden mit kleinen Buchstaben mit Pfeil oben benannt. Komponenten werden senkrecht geschrieben.
Wow! Das habe ich im Grundkurs verpasst. Trotzdem 13 Punkte im Abi gekriegt.
Der Punkt (2,0,0) auf E1 hat den Abstand I -3*2 +6*0 +6*0 -21 I/ (9+36+36)^0.5 von E2. Rechnerisch passt aber auch theoretisch? Darf man (2,0,0) zum Nullpunk erklären?
Alles gut soweit. Schade nur, dass dir nicht aufgefallen ist, dass man die zweite Ebenengleichung vereinfachen kann. Parallele Ebenen sind nämlich so definiert, dass die linken Seiten mit x1, x2 und x3 gleich sind und sich nur die Zahl auf der rechten Seite unterscheidet. Das macht die Rechnung einfacher.
Hallo Susanne! Einfach rundherum toll gemacht (da ist alles drin)! (Geht das auch mit vier Dimensionen?)
Das klappt sogar in noch viel höheren Dimensionen! Man spricht ab der 4. Dimension aber von Hyperebenen. Das Rechnen bleibt dabei ziemlich analog. :)
Das war jetzt alles neu für mich. Ich habe gemerkt dass ich nie im Gymnasium war
Bei solchen Aufgaben denke ich ans Abi zurück und bin mit 32 immer wieder schockiert wie schnell die Zeit einfach rennt...
💞💞
Hallo, ich habe da mal eine Frage. Gibt es denn tatsächlich einfache geometrische Formen die man nicht berechnen kann ?
OK das klingt jetzt mal blöde.... Aber ich hatte eine Frage gestellt weil ich etwas basteln will und bekam eine Aussage, man könne das nicht berechnen.
Für mich ist das komplett unverständlich, da es bereits so viele Daten gibt die existieren..... Das alles hier zu beschreiben damit man es versteht wäre zu umfangreich. Aber eigentlich ist es ganz einfach........ ;)
Da die Antwort von einer Mathe Studentin kam stelle ich mir jetzt die Frage, keinen Bock gehabt, oder gibt es so etwas wirklich ?
Kannst Du mir helfen ?
Liebe Grüße
Bernd
Stelle gerade fest, das es kaum etwas besseres gibt um sich mit Vektoren wohl zu führen wie 3D-Programme. Deshalb: bringt endlich digitale Graphik im Lehrplan unter. Nicht nur kommt der Kunstunterricht auch mal ungefähr in diesem Jahrtausend an, mit Houdini lassen sich auch Mathematik und Physik wunderschön visualisieren. Außerdem macht das Rumpfuschen mit Vektoren nirgends so viel Spaß wie in einem Point Wrangle. Oder in deinen Videos ^^
Ich würde jedem raten, sich den Punkt aus der Ebene E mit der Hessischen Normalform in F einzusetzen. Ist so viel unkomplizierter und schneller als die Methode im Video. Klingt erstmal schwierig, ist aber ganz einfach.
Variante für Fortgeschrittene: Beide Ebenengleichungen auf HNF mit gleichem Normalenvektor bringen, der Abstand ist dann die Differenz der Konstanten.
E₁ : x₁ - 2x₂ - 2x₃ = 2 E₂ : -3x₁ + 6x₂ + 6₃ = 21 | :(-3) => E₂ : x₁ - 2x₂ - 2x₃ = - 7 | Betrag des Normalenvektors ist 3
HNF: E₁ : ( x₁ - 2x₂ - 2x₃ )/3 = 2/3 E₂ : ( x₁ - 2x₂ - 2x₃ )/3 = - 7/3
Abstand: 2/3 - (- 7/3) = 9/3 = 3
richtig!
Noch besser die Hessesche Normalform HNF gibt direkt den Abstand zum Ursprung an! Die beiden voneinander abziehen. Fertig.
@@EhecVirus Ja, das war auch mein Gedanke.
Und dann ist mir aufgefallen dass ich so etwas nicht mehr kann.
musste sofort mathemann gucken
Man kann ja für A auch 8I2l1 einsetzten und er halte dann auch 2. Aber wieso bekomme ich einen anderen Abstand heraus als bei dir im Video, wenn der Normalenvektor gleich ist ?
Ich habe mal zwei Fragen, wenn man für x1 und x2 eine Null einsetzt, kommt doch für x3 -1 raus also darf eine Kordinate auch negativ sein oder?
Kann eine Ebene zB Konvex, Konkav oder andere Formen annehmen?
Würde mich sehr auf eine Antwort freuen.
Klar können die Koordinaten negativ werden, sie sind ja selbst reelle Zahlen. Wenn man weiß was mathematisch konvex für "Flächen" oder andere Mengen bedeutet, sieht man ein, dass eine Ebene immer konvex ist, d.h. wenn man 2 beliebige Punkte der Ebene rauspickt müssen sämtliche sämtliche Punkte auf der Verbindungsstrecke dazwischen auch zur Ebene gehören. Das ist bei Ebenen trivial :), also sind sie konvex.
@@ingoschulz7435
Danke für die Antwort das eine Kordinate negativ sein kann, aber das mit den reellen Zahlen verstehe ich nicht.
Und auf die Frage mit der Ebene, zB bei einer Sinus Kurve die ist doch am Anfang Konkav und dann Konvex, also giebt es doch Ebenen die Konkav und Konvex sein Können.
@@saschaotto8510 Bei Funktionen läufts eigentlich wie bei Mengen. Man betrachtet 2 Punkte auf dem Graphen und guckt, ob die Verbindungstrecke oberhalb liegt.
Betrachtet man die Teilmenge an Punkten, die "oberhalb" des Graphens liegen, so ist diese konvex. Die Verbindungsstrecke verläuft ja komplett da drin.
Ich vermute, dass die Frage darauf abzielt, ob Ebenen "kurvig" oder "wellig" sein können. Das kann bei unseren Standardgegebenheiten R^3, mit "Standardabstand" nicht passieren. Aber man sollte im Hinterkopf haben, dass Ebenen konvex sind und das kein Widerspruch zum "platt sein" darstellt.
Was ist denn mit den reellen Zahlen unklar? R^3 besteht anschaulich aus der Menge aller Möglichen 3-er Tupel (a,b,c) wobei a,b,c reell sind, dh. "alle Zahlen" mit Komma, Brüchen, ganz uvm. :) Insbesondere negative Zahlen sind dabei. Ich würde vorschlagen, das mit den Zahlenmengen sich nochmal anzusehen.
@@ingoschulz7435
Vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort, ich muß mir noch viele Mathematische Themen Gebiete anschauen, ich Studiere kein Mathe und die Schule habe ich schon abgeschlossen. Mathematik fand ich schon immer interessant und betreibe es eher als Hoppy. Wenn ich weitere Fragen haben sollte Weiß ich ja wenn ich anschreiben kann.
sehr gut erklärt, feines beispiel mit schönen geraden zahlen.
hab mir erlaubt, diesen beitrag mit drei anderen portalen zu vergleichen.
fehler. man merkt sofort, dass man bei den anderen nix zu gewinnen hat.
Es ist ja egal von welcher Ebene man den Normalenvektor nimmt wenn man die Geradengleichung auftsellt.
Frage:
Dann kommen später aber auch unterschiedliche Werte raus für die Schnittpunkte oder?
Man könnte auch die HNF der einen Ebene bilden und einen Punkt der anderen Ebene dort einsetzen und schon hat man den Abstand.
Morgen Mathe Abi LK (Sachsen)😅
und wie berechne ich das wenn die Ebenen nicht par. sind?
Die Koordinaten x1, x2 und x3: sind das die Raumkoordinaten? Bei solchen Aufgaben tue ich mir wahnsinnig schwer mit der räumlichen Vorstellung.
Das sind die räumlichen Koordinaten der Punkte, die auf der Ebene bzw. auf der Gerade liegen, ja.
Räumliche Vorstellung: Am Anfang des Videos hat Susanne ja eine Skizze gemacht, hilft dir diese nicht?
@@bjornfeuerbacher5514 Danke für die Erklärung! Die Skizze hilft mir für die räumliche Vorstellung nur wenig - wenngleich Susanne das auch immer sehr gut erklärt - denn mit "Räumliches Vorstellungsvermögen" habe ich von "Urzeiten" her eine schlechte Fähigkeit. Deshalb habe ich auch damals nach der Schulzeit eine Lehre als "Technischer Zeichner" nach 1 Jahr abgebrochen und habe in die Elektrotechnik umgesattelt.
@@bachglocke3716 Man kann sich ja jeweils ein Blatt Papier hernehmen für eine Ebene und einen Stift für eine Gerade, damit kann man es sich doch gut veranschaulichen?
Hallo, da ich in Mathe nie solche Themen hatte habe auch ein "räumliches" Problem mit den Bezeichnungen. x1, x2 und x3 sagen mir nichts. Entsprechen diese Koordinaten x1, y1 und z1 im dreidimensionalen Raum? Und wenn ja, warum behält man diese Bezeichnungen nicht bei?
Gutes Video, sehr verständlich und nachvollziehbar.
Ich möchte mir aber gerne noch eine Anmerkung, bzw. Korrektur erlauben: Die Punkte auf der Ebene (bzw. Punkte generell) sind keine Vektoren. Daher ist die Notation mit einem Pfeil über den Buchstaben (hier A und B) nicht korrekt. Hier in dem Video ist das nicht so schlimm, bei komplexeren Aufgaben kann das aber schnell zu Verwirrung führen. Damit die Punkte beim Rechnen nicht mit Vektoren verwechselt werden, sollten die Koordinaten durch Semikola getrennt in einer Klammer angegeben werden.
Jeder Punkt im Raum kann als Richtungsvektor vom 0-Punkt interpretiert werden, insofern sind Punkte und Vektoren austauschbar.
Morgen Mathe Abi 2024 :D
👌👌👌😺
Hallo, habe eine Frage.
Kennst jemand eine Webseite oder eine App, wo es schwierige Mathe Aufgaben zu lösen gibt z.B. für die Schule zum üben?
Kennst jemand?
Ohje ...
Bevor du mit Mathe anfängst, übe erst mal deutsch ...
@@Ge_heim Hast du schonmal etwas von Autokorrektur gehört? Es kann halt mal passieren das man sich verschreibt, aber das ist kein Grund sich darüber lustig zu machen. An deiner Stelle würde ich mal probieren auf die Fragen zu antworten falls du nicht auf meine Frage antworten kannst bringt es auch nichts mich zu haten.
Ich mal ne Grundsatzfrage. Was ist für dich der Unterschied zwischen rechnen und Mathematik?
Ich spring' von Level zu Level zu Level 🙂
Bis der Endboss kommt! 😜
@@MathemaTrick ach ja 🙏
Das wurde in der Schule wohl unterrichtet, als ich nicht da war o.O
Zwei Ebenen, die parallel zueinander verlaufen,
besitzen viele Punkte, einen mehr als riesengroßen Haufen,
mit gleicher Entfernung, das ist bekannt,
man nennt die Entfernung auch oft Abstand.
Ihn berechnet Susanne hier faktisch
mit großer Bravour, vor allem didaktisch.
Am Anfang ist dieser Abstand
noch ganz völlig unbekannt.
Doch mit dem Lot-Fußpunkt-Verfahren
wird man den Wert sehr bald erfahren.
Wir brauchen zunächst irgendeinen A-Punkt,
„einen für alle“, na, hat’s gefunkt?
Zwei Koordinaten werden zu Null gesetzt,
die dritte ergibt sich dann - zwingend -- zuletzt.
Als nächstes der Richtungsvektor, er steht orthogonal
oder senkrecht zur Ebene, was ist er nochmal?
Er ist der Normalvektor von E1 oder E2.
Welcher davon? Das ist einerlei.
Dieser Vektor trifft, juchhe,
die andere Ebene im Schnittpunkt B.
Der Abstand zwischen Punkt B und Punkt A
ist diesmal 3 LE. Das war(s) … alles klar?
„Also das ist immer der Plan, wie man vorgehen kann.“
Ich weiß nicht, ob das Zufall ist, oder ich mich einfach nur geirrt habe. Aber wenn man die beiden Gleichungen, oder besser, die drei x-Faktoren der beiden Gleichungen miteinander vergleicht, kommt immer -3 heraus. Und da es um einen Abstand geht, wobei nur der Betrag relevant ist, ist der Abstand der beiden Ebenen von einander eben 3.
Ich nehme mal an, das wäre bei allen parallelen Ebenen so. Die drei x-Faktoren müssen immer das jeweilige Vielfache voneinander haben, sonst wären die Ebenen schließlich nicht parallel. Oder liege ich da falsch?
Die anderen Zwischenaufgaben kann man natürlich nicht ohne diese Rechnungen lösen, denke ich mal.
LG, Heiko
genau, bei parallelen Ebenen müssen auch die Normalenvektoren parallel sein (also ein skalares Vielfaches voneinander sein). Andernfalls gibts einen Schnitt und das wars mit Parallel sein :)
Es gibt auch Kürzere Weg.... man hat nicht immer viel Zeit um einen Test abzugeben. Anfang an beide Normalen herausfinden, Prüfen ob vielfach von einander Minus Drei im Betrag setzen und fertig.
Wie soll das gehen?
😍😍😘😘
Jetzt hast du mich gekriegt, ich konnte dir das erste mal nicht folgen. Der Grund ist, weil mir nicht klar ist, wieso die Formeln für die Ebenen eine Ebene beschreiben sollen, wenn sich die Variablen doch nur auf der x-Achse befinden.
Es sind drei Achsen mit den drei Variablen: x1, x2 und x3. Werden auch x,y,z manchmal genannt.
@@walter_kunz ok, das macht dann wieder Sinn, aber warum überhaupt x indizieren, wenn doch ein kartesisches Koordinatensystem aus den Achsen x, y und z besteht? Welchen Sinn macht das?
@@MrScooter1965 Rein theoretisch kann es auch Vektoren mit mehr als drei Variablen geben, dann werden einfach die Indizes weiternummeriert, bei z ist das Alphabet aber schon aus.
Es wäre schön gewesen, wenn Du etwas mehr erklärt hättest - warum befinden sich die Lösungen der Gleichungen in einer Ebene? Gilt das für alle ax + by + cz = n Gleichungen? Warum ist der Normalenvektor die Zahlen vor dem x,y,z?
Der Channel macht Spaß, weil man knobelt und Dinge versteht - wenn einfach nur irgendwas dehingestellt wird, was man akzeptieren muss und nur noch einsetzten soll, dann ist das genauso frustrierend wie der Matheunterricht in der Schule.
Na ja, zu den Themen hat sie schon andere Videos, hier geht es nur darum, eine eng begrenzte Aufgabenstellung zu lösen. Wäre aber nett gewesen, wenn sie diese anderen Videos zumindest erwähnt und verlinkt hätte... :/
ja, alle gleichungen dieser form bilden eine ebene.
dass das wirklich der normalen vektor ist, kann man so sehen. wenn man einen vektor parallel zur ebene hat, dann kann man ihn als differenz von zwei punkten P_1=(x_1,y_1,z_1) und P_2 = (x_2,y_2,z_2) betrachten. für diese gilt dann jeweils ax_i+by_i+cz_i=n. wenn man diese beiden gleichungen von einander abzieht, erhält man a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)+c(z_1-z_2) = 0. in der tat ist also das skalarprodukt von (a,b,c) und P_1-P_2 0, was bedeutet, dass die beiden vektoren senkrecht zueinander stehen.
@@bjornfeuerbacher5514 Kannst Du mir das Video verlinken, wo sie erklärt, warum alle Lösungen einer solchen Gleichung in einer Ebene liegen? Danke
@@jeffreylebowski4927 Finde es leider auch nicht mehr, obwohl ich dachte, ich hätte das mal gesehen bei ihr. :/
Generell stimme ich dir voll zu: Sie erklärt oft nur, _wie_ man etwas macht, aber nicht, _warum_ das eigentlich so ist. Mein Geschmack ist das auch nicht - aber wenn man sich hier die Kommentare anschaut, dann scheinen sehr viele es genau so zu wollen... (Passt auch zu meinen Erfahrungen als Lehrer: Sehr viele Schüler wollen nur wissen, _wie_ man etwas macht, aber nicht, _warum_ das eigentlich so ist... :( )
@@bjornfeuerbacher5514 Zur Beantwortung solcher "Warum"-Fragen sind andere Kanäle deutlich besser, wie ich finde.
Der Kanal von Prof. Weitz ist da eine der besten Anlaufstellen. Der Kanal MathePeter ist auch sehr empfehlenswert! :)
Punkte werden bei dir als Großbuchstaben mit Pfeilen darüber geschrieben?! Habe ich so auch noch nie gesehen. :O
Was du da eigentlich hinschreibst, sind ja sowieso Ortsvektoren, nicht Punkte. Für Ortsvektoren kenne ich zwei Schreibweisen: entweder ein Kleinbuchstabe mit einem Pfeil darüber (für den Punkt A also ein kleines a mit Pfeil darüber), oder OA mit Pfeil darüber.
Puh.
Das war Mathematik wie zu Schulzeiten.
Zwar viel viel besser erklärt.
Aber von der Aufgabenstellung her eher "unsymphathisch".
Jetzt weiß ich wie ich mal wieder,
wie ich mich vor 50 Jahren "unwohl" fühlte.
Aber ich dachte wenn man Schnittpunkt sucht dann gleichsetzen und nicht in Ebene einsetzen
Wenn die Ebenen in der Parameterform angegeben sind, so müssen die Gleichung der erstellten Gerade (von einem beliebig gewählten Punkt der einen Ebene bspw. E1 entlang des Normalenvektors) und die Gleichung der jeweiligen anderen Ebene (die Ebene aus welcher nicht der zuvor gewählte Punkt stammt, in meinem Beispiel E2) gleichgesetzt werden. Die ermittelten Werte können anschließend entweder in die Gleichung der Ebene oder in die Gleichung der Geraden eingesetzt werden, um den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene zu bestimmen. Anschließend kann der Abstand dieses Punktes zu dem zu Beginn gewählten Punkt bestimmt werden. Sind die Ebenen in der Koordinatenform angegeben, so können die Werte der Koordinaten x1, x2 und x3 für die Koordinaten x2, x2 und x3 der Ebene eingesetzt werden, um den Schnittpunkt zu bestimmen. Beide Verfahren führen zu demselben Ergebnis, die zweite Methode ist meistens jedoch schneller
Ich könnte mir dich gut in der Helgeshow vorstellen.
Für mich, und für Millionen anderer ist der Abstand immer gleich: 1,5 Meter!
Wenn man B nicht explizit benötigt, erhält man den Abstand auch durch |t*n|.
Mit dem ermittelten Abstand könnte man auch die Flächen der beiden Rechtecke berechnen.
Wo sind denn da Rechtecke?
Die aufgespannten Ebenen ausgehend von den drei Richtungsvektoren sind endlos, die Fläche davon wäre also unendlich, das ist ja nur eine Skizze zur Veranschaulichung
mam you should also make an english channel.please.
Eine Lösung ist auch minus drei, nämlich wenn man von der anderen Seite schaut.
Abstände sind per Definition immer positiv. :)
Und warum müssen Wurzeln immer positiv sein, obwohl ein negatives Ergebnis auch richtig ist (minus mal minus ergibt auch plus)?
@@zegra7768 Es kommt natürlich darauf an, von welcher Wurzel man ausgeht. Bei einer "geraden" Wurzel (z.B. der üblichen Quadratwurzel) existiert im Reellen nur eine positive(!) Lösung.
Wenn man aus einer Zahl die (Quadrat-)Wurzel zieht, ist das Ergebnis stets positiv.
Bsp.: √4 = 2, √121 = 11 usw.
Wenn es jedoch um quadratische Gleichungen geht, kann es, wie man es eben aus der Schule kennt, sowohl eine positive als auch eine negative Lösung geben.
Das liegt aber hier dran:
√x² = |x| (Betrag von x)
Wurzel und Quadrat heben sich nicht einfach auf, sodass x herauskommt, sondern es ergibt sich immer der Betrag von x.
Deswegen gibt es bei solchen Gleichungen immer ein positives und ein negatives Ergebnis.
Denn wenn man z.B. 2 quadriert und dann die Wurzel zieht, kommt offensichtlich wieder 2 heraus. Doch quadriert man die Zahl -2 erhält man ebenfalls 4 als Zwischenergebnis und nach dem Wurzelziehen kommt daher wieder die (positive) Zahl 2 heraus. Somit sind 2 und -2 beides Lösungen für die Gleichung x² = 4.
Denn √x² = √4, woraus |x| = 2 wird.
Der Betrag macht jede negative Zahl positiv, wodurch -2 auch zur Lösung wird.
Das wird einem in der Schule lustigerweise meist gar nicht so erklärt. Hat mich auch etwas Zeit gekostet, das zu verstehen.
Ich hoffe, die Erklärung ist verständlich genug. :)
Kann man das irgendwie beweisen, dass das Ergebnis einer Quadratwurzel immer positiv sein muss oder ist das nur eine Definitionsfrage, weil dann der Funktionswert der Wurzelfunktion nicht eindeutig ist wenn man noch eine zweite negative Lösung als Ergebnis zulassen würde?
@@zegra7768 Ich denke, das ist Definitionssache. Man könnte das vielleicht mit einem Widerspruch beweisen: "Man nehme an √x² = x..." und dann zeigt man an einem Gegenbeispiel, dass das für negative Werte von x nicht stimmt, wie z.B. mit der -2.
√(−2)² = √4 = 2 ≠ −2
(Oder noch allgemeiner mit einem n aus ℝ.)
Eine weitere Erklärung:
Die Wurzelfunktion ist ja die Umkehrfunktion von x².
x² ist aber nur auf dem Interval [0,∞) bijektiv. Deswegen sind die Funktionswerte von √x immer positiv.
Das würde also auch als Erklärung gelten, denke ich.
0:05 Dieser Augenblick wenn man erkennt man konnte solche Aufgaben einmal.
Und hat jetzt absolut keine Ahnung mehr.
ausgezeichent
Katastrophe. Einfach tot langweilig dad Thema und ich möchte wegschalten. Pfui. Mach lieber mal ein formel unstellungsvideo. Bitte.
Du möchtest, aber kannst nicht? Schade, dass du es nicht geschafft hast, wegzuschalten. Und vielleicht überdenkst du mal gelegentlich den Ton, den du hier anschlägst! Videos zum Umstellen von Formeln sind hier auf dem Kanal durchaus zu finden.
Es gibt eben auch trockene Themen in der Mathematik, die trotzdem behandelt gehören. Es geht ja in erster Linie hier nicht ums gefallen, sondern ums helfen, und von der Schrittfolge her war dieses Video bilderbuchmäßig.
Eigentlich ist es ja gar nicht trocken, das Problem ist, dass sie nicht erklärt hat warum die Lösungen der Gleichungen in einer Ebene liegen und warum der Normalenvektor aus den Zahlen vor dem xyz besteht... man versteht es nicht und damit wird es langweilig und trocken.
@@jeffreylebowski4927 Das fand ich auch. Das Video wirkte sehr runtergehetzt. Sonst erklärt sie imemr haarklein alle Details, aber hier wurde mittendrin eingesteiegen und dann runtergerattert. Und damit meine ich auch, dass sehr schnell gesprochen wurde, so als würde sie sonst den Zug verpassen.
Ich fand das Video gut!!!!! Es geht ja nicht darum die Theorie zu vermitteln, sondern für eine Standardaufgabe ein "Kochrezept" nachzukochen :) Aber vielleicht gibts ja ein Video wie man von Parameter- in Koordinatenform kommt. Dann sollte man einsehen, dass solche Gleichungen im R^3 immer eine Ebene beschreiben. Da man immer in Parameterform kommt, findet man 2 Vektoren die die Ebene aufspannen. Dann sollte anschaulich klar werden, dass man es mit Ebenen zu tun hat, da ich jeden Punkt der Ebene nur entlang des ersten und danach entlang des 2. Vektors erreichen kann. Und Vektoren sind nicht wie Schlangenlinien :))
Wenn das zu unformal ist muss man halt sich durch die Theorie wühlen und das könnte man nicht in wenigen Minuten abhandeln.