約数の個数 総和 慶應女子 C
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- čas přidán 8. 09. 2024
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2020慶應女子の整数問題 • 2020慶應女子の整数問題
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川端哲平の自己紹介
昼は、私立の中高一貫校の非常勤講師、夜は、塾講師として数学を教えて math
問題の解説のリクエストは基本的に受け付けていません。ご了承下さい。
学校は、明大明治、本郷、洗足学園などで教えていました。
塾は、大学時代から、個別指導のトーマスで指導を始め、２０歳から早稲田アカデミーで高校入試、大学入試の数学を教えていました。
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数学を数楽にする高校入試問題81
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なんで？とつまづきやすいポイントがあります。
4:27付近でa,bの大小関係を設定したところです。
数学が得意な人は自然に出てきて疑問も抱かないテンプレデッキですが、数学が苦手な人はずっと悩んじゃうと思います。別にいいじゃん。aの方がデカくても問題ないし。
自然な発想から急に離れるポイントって疑問に思って解決できずにつまづくと思います。
私なりに解説します。
a,bは素数です。a=bの可能性はないです。もしa=bだとn=(素数)^2となってしまい、約数が3つになってしまうためです。
すると、aとbは異なる素数です。
①この後の解答の流れを予測してみましょう。(これは数学を解く上で自然な頭の使い方だと思います)
「n=abとおいたら、ab+a+b+1=84として解くんだろうな。」
↓
②「とりあえず=の左を文字に、右に数字を置いて…
ab+a+b=83
これをaについてといて、
a(b+1)+b=83
ん？もしs左辺がa(b+1)+b+1なら、(a+1)(b+1)になるじゃないか！
つまり
(a+1)(b+1)=84
なのか。」
↓
③「a+1とb+1の2つの積が84か。
2つの積が84なら、aとbのどちらが大きい方かわかっていれば、掛け算の交代性を考えずに済むな。」
↓
④「よし、a
もしこれが「自然数nの約数は4個で、その和は96である。」
だったりするとn=62,69,77の３通り出てきたりするので
直感で分かっていても答えに漏れがないか確認は必要ですね。
具体的な数を調べてから共通する性質をまとめていて、非常に良い動画ですね！！教える側も勉強になります！！
生徒と同じで褒められると嬉しい笑
意外なところではないけど意外なところで見かけた...！？
「このnが当てはまるから」という答えをすると大幅に減点されそうですね。
解説通り
(a+1)(b+1)=84=2^2×3^1×7^1
かつ2
約数が4つだからn=a^3かn=ab(a,bは素数とする)と場合分けして
①a^3の場合はa=2,3,5いずれも約数の総和が84にならない(5で総和が84超えるので7以上が満たさないことは自明)
②ab(a
普通に大学で出てもおかしくない。日東駒専あたりの小問みたいな感じで出てるはず。
約数が4個＝素数×素数まではすぐで、答えも組み合わせてすぐできたんだけど、
こういうスマートなやり方を教えてくれて良かった！
8は？
貫太郎さんの動画で1度やったのですぐ解けました。これは素因数分解したときa³,abで4つ約数を持つことに気づき場合わけしa,bが素数であることを確認しa+1×b+1=掛けて84をさがしそのなかでa,bが素数になる時を求めないといけないので難しいですね。
なるほど素数+1が2種類の積ね｡面白いですね。
実験→仮説の発見→発見の数式化→仮説の確認→結論への落とし込み。数学は紙上の化学だったのですね
約数の個数や総和の公式を導き方を含めて理解していれば
暗算で解ける問題でした。しかし、中学生に対していかに解説するか
その解説で数学に対する興味を引き出せるか、と言う事まで考えると
非常に参考になる動画でした。まさに「数学を数楽に」という考えに沿った
教え方ですね。
解説ありがとうございました。約数が４っあるときの法則なんて全然知り
ませんでした。ありがとうございました。
約数4個ということは、2乗数でなく、1とその数自身を約数に数えれば、nは2つの素数の積になる。
n自身を含むことを考えると、積を為す2つの素数は84/3=28より小さいはずなので
28以下の素数は
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
小さい方の素数が2なら、3倍して3を足して84にならないといけないが、(84-3)/3=27→素数でない
小さい方の素数が3なら、4倍して4を足して84にならないといけないが、(84-4)/4=20→素数でない
小さい方の素数が5なら、6倍して6を足して84にならないといけないが、(84-6)/6=13→素数になった
ということで、n=5*13=65
ちなみに
小さい方の素数が7なら、8倍して8を足して84にならないといけないが、(84-8)/8=9.5→素数でない
小さい方の素数が11なら、12倍して12を足して84にならないといけないが、(84-12)/12=6→11より小さくなった
これより先の解は無いので、n=65のみ
約数4個の場合にそれが素数×素数であるという数学的な証明っていらんのかな？減点されそうな感じするけど
流石に記述じゃないでしょ…
これｎをabに置かないと0点だろな・・そこに思い至らんかった
( 1 , a , n/a ,n )で、aとnの2種類を使い、aに素数を入れてって、成立するnを求めた。
a=3の時、n=60でうっかりしかけるが、n=60なら2も5もあるなぁで、除外。
a=5で成立。
a=7だと、8n=7×76 なって、明らかに8の倍数じゃないから除外。
次は11で、nが明らかに84を超えるのが分かるので、a=5のみとなり、n=65
↑
a=2は、3n=162で不適 が抜けてました。
同じく！
「（a+1)(b+1)=84, 但しa,bは素数」は気付きませんでした。
この解き方を知らないで、試験時間内に気付く小学生がいたらすごいと思います！
a=2とすると 1+2+b+2b=84 b=27となり不適
a,bは３以上の素数となるので(a+1,b+1)=(偶数,偶数)
とすると絞り込みが早いかもしれませんね。
中学の時にやったなぁ
約数3つは素数の2乗
約数4つは異なる素数×素数または素数の3乗
素因数分解ってどの段階で習うんだろう。
高校数学で習うと言う動画もあるので、教える側の厳しさを実感するわ。
中一じゃないん？中一の時にやった気がする
中一に習いました
偶数である素数が2しか存在しない、a+1とb+1の積が84なのでどちらも偶数でなければならず6×14となるケースしかあり得ないですね
答が４０だと趣きが急に変わるの面白いな。
自分の解答:
約数の総和が偶数なので、nは奇数(nが偶数だと総和が奇数になる)。
n＝a*b、a,bは素数かつ奇数(2以外の素数)、nは84より小さい、という条件からa,bの組み合わせを試したらa=5,b=13がヒットしました。
しかし、三乗の検証をしなかったので記述だったら減点されるなぁ。
普遍的に使えるという意味で、動画の解答の方がエレガントですね。公式も知りませんでした。
自然数nはab(a,bともに素数)とおけて、約数4つは1,a,b,abで表せる。そう設定してあげると、
1+a+b+ab=84
(a+1)(b+1)=84
a≦bとして候補を探すと、2*42 3*28 4*21 6*14 7*12の4パターンでa,bがともに素数になるのは6*14で(a,b)=(5,13)
約数4つは1,5,13,65となりn=65
しらみつぶしでその辺のレンジにあたりつけて３分くらいだった
約数4個の時点で素数×素数に気づけると早いよね
ここで質問するのは適切ではないかもしれませんが、
1,3,37,43 で 4773 は誤りですか？
私の約数の認識が誤っているかもしれないのですが、
とても引っ掛かります。
お示ししていただいた解法を知らなかった（思いつけなかった）ので、
単純に素数の組み合わせが83になるものを探したのですが・・・
その4つも確かに約数ですが、4773の約数は全部で1,3,37,43,111,129,1591,4773の8個です。明らかに総和が84を超えてしまいますね。
確かに約数について勘違いしているようなので、一度他の動画などで確認してから再びこの動画を見ると引っかかりが無くなると思いますよ。
@@user-lz1pd8xw5m
有難うございます！
定義の認識が曖昧だったので、復習してきます。
ご丁寧に、本当にありがとうございました。
約数は素数でいいんだっけ？上から調べてったほうがよいかな
1:43誰がいるんですか？
整数問題は、掛け算もしくは2乗ですね
20分くらいかかっちゃったけどできた。数学楽しい。
@数学を数楽に
(a+1)(b+1)=84 まではみんなと同じ。
以降は以下の通りにするとスマートかな。
a,b（a ＜ b ）は素数なので、(a+1)と(b+1)は偶数。
このことから、(a+1)/2x(b+1)/2=21 を満たす a とb の組み合わせは、
(a,b) = (5,13) のみ。
よって自然数 n は 5 x 13 =65 となる。
＊追記編集：最後の行を追加。
24もじゃないですか
84を100-16として、
(a+1)(b+1)=(10+4)(10-4)
a=13ならばb=5、
13×5=65という様にもできますね！
解き方は綺麗なのですが、答えが65以外にないかの確認が必要ですね。
ここのコメントの連中、動画内容と同じことをドヤ顔でコメントしてるんだけど内容見てないの？
動画見る前にコメントで回答してから動画見てるんでしょ
あまり数学解説の動画を見ないのであれば知らなくても仕方ないと思いますが、数学解説の動画では、サムネを見て解けそうだなと思ったら動画を見る前に解き方や答えをコメントする文化があります。また、動画を見て自分の考えと比較したり、別解を考えたりするとより学習が深まります！
約数が4個で総和が84ということは
1,a,b,nはいずれも奇数であり、
a,bは素数、ab=nであることから直感的に65だと思いました！笑
a,bが素数であると気付けるかですね。
nとaとbを足したら83と考えたら65と出ました（勘）
自然数を1から並べた結果、nが素数同士の掛け算であるという命題が見えるのは良いのですが、
この段階では命題あくまで「調べた範囲で」真としか言えないのでは？
この命題を自明として計算を進めるのはもんだいないのでしょうか？
これ高校入試なのか
大学入試でも通用しそう
約数に１とそのものの数が入ってるってことを知らなかったよ。
習ったはずなのに。
最近はネズミを使わないんですね
約数が４つという事は、n自身と１以外にかけてnになる２つの素数の約数があるということ。
ここまでできれば、後は約数２つをa, bとおき、1+a+b+n=84、ab=nとしてやれば、かなり絞り込める。
私立難関校の入試は数Aを取り扱うことが多くて今やってみると楽しかったりする。
中3の頃合同式の考え方なんかを早実の過去問で見た時はチンプンカンプンでしたね笑
数学1とか数学Aって何が違うんですか？
@@channel-vd6yl 扱う内容が違います。数学Ⅰでは、二次関数や集合、命題と証明、データの分析などを扱い、数学Aでは、図形問題や整数問題、場合の数、確率などを扱います。
詳しく説明すると、高校数学は文部科学省？によって数学Ⅰ〜Ⅲ、数学A、数学Bに分けられます。ⅠとA、ⅡとBはそれぞれ並行して学ぶことが多く、参考書などはⅠとA、ⅡとBをそれぞれまとめて販売されたりしています。（本屋さんに行った時に、数学の分厚い参考書とか探してみて下さい。）私立難関校の入試では、上記の数学Aの内容が出されること（特に整数問題が目立つ）が多いのです。
すごい、書いてあるものが全く一緒だ…
暗算でかなり時間かかったけどできた笑
素数×素数のヒラメキが出来るか否かが決め手ですね♪^ - ^ 良問でした！
大体50~60近辺の素数×素数でしか表せない数だろうなと思ったから10分くらい使ってゴリ押しで解いたわ
検算までやって欲しかった
a^3のときは考えないの？
3:15からこの形はありえないことを解説しております。
なんで4の三乗はダメなのでしょうか
2の6乗になってしまいます
@@suugakuwosuugakuni なるほど。素数の3乗でないといけないのですね。
暗算でできた〜
慶應女子も意外に簡単な問題出るんですね！！
約数は負の数もある。全部で4個なら正の数が2個、負の数が2個のはず。
でも合計は常にゼロになる。「正の約数が4個」という意味だとここで気づく。
(ｐ＋ 1 ) (ｑ＋ 1 ) ＝ 84 を満たす素数 (ｐ, ｑ) は ( 5 , 13 ) , ( 13 , 5 ) の２組なので、いずれにせよ ｐｑ＝ 65 。
やっぱり、文字の書き順（「８」とか「素」とか）が気になって気になって…
ぎりいけた