Lazer님~ Lazer님의 어제 댓글을 보고 저도 얼른 올려보려고 ... ㅎㅎ 이 파트가 제가 생각해도 재밌게 풀어진 것 같아서 다른 분들께도 빨리 보여드리고 싶었습니다. 좋게 봐주시니 감사합니다 ^^ 해당 내용은 텐서 기하학의 co-vector 개념을 조금 각색한 것 뿐입니다 ^^; 대중적이지 않은 내용일 뿐 찾고 찾다보니 이런 내용들도 있더군요 ㅎㅎ
행벡터가 함수라고 생각하는 관점이 많은 것을 생각하고 개념을 곱씹어볼 수 있게 한 것 같습니다. R^2 공간에서 vector b가 있고 어떤 vector a가 있을 때 b의 a로의 projection은 (a'b)*a/(a'a) 로 표현되는데 여기서 b에 a transpose를 곱해주는 행위가 결국 vector a로의 정사영을 생각하는 의미로 까지 자연스레 이어지네요! 그동안 projection matrix를 생각할 때 행벡터를 곱하는게 내적을 취한다 라고 단순히 당연스레 사용하고 있었는데, 함수라는 개념으로 확장되니깐 왜 projection matrix에서 transpose가 꼭 필요한지 더 깊이 있게 이해되네요ㅎㅎ 감사합니다
지금 이 동영상은 선형대수학 책 2권입니다 모두가 고등학교 때부터 궁금해 하다가 죽을 때까지 모르고 죽는 것 A행렬(2×3 행렬) , B행렬(3×1 행렬) 곱셈결과 AB행렬 (2행 1열) AB 행렬의 곱셈에서 (1) 행렬의 곱은 왜 (앞의 행렬의 행) × (뒤의 행렬의 열) 이렇게 정의할까 ? 공돌이님 동영상에 해답이 있습니다 행렬의 곱은 뒤의 행렬인 벡터의 열을 입력받아 앞의 행렬의 행이 값을 산출하는 함수이기 때문 (2) 행렬의 곱에서 항상 앞의 행렬의 열의 개수와 뒤의 행렬의 행의 개수가 같아야 하는 이유가 무엇일까 ? (거의 아무도 모르는 세계) 공돌이님 동영상에 해답이 있습니다 행렬의 곱은 내적이기 때문에 앞의 행렬의 행과 뒤의 행렬의 열을 내적시키자면 앞의 행렬의 행의 원소인 열 뒤의 행렬의 열의 원소인 행 이것들이 서로 개수가 같아야 원소끼리 곱해서 더하는 내적곱하기를 성립시킬 수 있다 그리고 이 동영상에 나와 있는 행렬의 곱이 벡터의 내적인 이유를 기하학적으로 설명한 내용 그걸 이해하려면 정지된 블로그 화면을 여러번 계속 집중 반복해서 봐야겠더군요 (저는 이해했어요) 그리고 선형대수학의 근원적 원리 벡터에 행렬을 곱해서 선형변환시키면 벡터 자체가 변하는 정도가 아니라 아예 공간 자체가 변하는 이유 (a,b) 벡터에 A행렬을 곱해 선형변환시킨다고 할 때 (a,b) 벡터라는 것도 결국은 a(1,0) + b(0,1) 이런 선형결합 구조로 되어 있어 A(a,b)벡터 곱하기도 결국 A {a(1,0) + b(0,1)} 이런 곱하기가 되고 뒤의 행렬이 열에 분배법칙이 성립되니 A{a(1,0)} + A {b(0,1)} 다시 상수가 앞으로 나와도 되니 aA{(1,0)} + bB{(0,1)} 결국 기존의 좌표계의 (1,0) , (0,1)단위벡터가 A{(1,0)} , B{(0,1)} 이런 단위벡터로 변하는 새로운 좌표축 세계가 만들어지고 그 결과 기존의 좌표계의 (a,b) 벡터는 자연스럽게 새로운 세계에서 aA{(1,0)} + bB{(0,1)} 이런 자리로 이동한다는 선형대수학의 이 기본 골격의 증명원리가 공돌이님 동영상의 A {a(1,0) + b(0,1)} A{a(1,0)} + A {b(0,1)} 곱하기에서 뒤의 행렬의 열을 분배법칙시켜도 곱하기 결과가 같음에 있다는 것애 있음을 알고는 행렬의 곱에서 뒤의 행렬의 열을 배분하는 행렬의 분배법칙이 얼마나 중요한가 모든 것은 기본으로 돌아가야 한다 !!!!!!!! 놀라운 것을 느끼게 되었습니다 (제가 숫자나 문자로 계산해 보니 역시 분배법칙이 성립하더군요 ^^) 그리고 몇년 전에 특이값 분해 동영상도 몇일 전에 봤는데 씨그마 처럼 생긴 기호가 행렬이란 것 (책에서는 왜 그렇게 말을 안 하는지) 그리고 행렬의 곱에서 A행렬(2×3 행렬) , B행렬(3×1 행렬) 곱의 결과인 AB행렬은 행에 있어서는 무조건 앞의 행렬 A 가 모양을 결정하는 2행이 되는데 이것이 의미하는 것은 3차원 벡터 B가 2차원 벡터로 차원이 낮아지는 결과가 된다는 것 보통사람들이 개념도 없는 별의별 신세계를 다 배웠습니다 지금의 이 동영상도 분명히 선형대수학 책 2권입니다 ~~~ !! 6개의 그래프를 그려 놓고 행렬의 곱이 내적일 수밖에 없는 이유를 기하학적으로 설명한 부분에서는 선형대수학 공부하는 수많은 사람들이 아예 머릿속에 개념도 없는 4차원 세계 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
16:35 [2 1]*(열벡터) = c 행벡터는 기울기를 나타내고,열벡터는 입력값으로 크기를 결정합니다. 그런데 행벡터의 기울기는 일정한 상태에서 행벡터의 크기가 커진다는 것은, 단지 c 의 크기만 커지는 것입니다. 상수배 한만큼만 커지게 되므로 선형성이 유지됩니다. 등고선의 간격이 변화하려면 기울기의 크기(행벡터 크기)가 변해야 합니다. 행벡터의 "크기" 가 아닌 "길이"가 길어진다면 등고선의 간격은 일정한 상태하에 등고선의 개수만 늘어나지 않을까요?
1. 난 내가 왜 이 영상을 보고 벡터의 곱이 왜 내적이 되는지를 이해했다고 생각했다. 2. 그런데 아니었다. 3. 일단 나는 내적이라는 단어가 면적이라고 생각해 본적이 없다. 그런데 여기서는 면적의 개념으로 접근했다. -> 나는 내적을 두 방향사이의 힘의 방향과 크기가 다를때 둘중 어느 한쪽으로 통일시켜서 구한 값이라고 이해하고 있다. -> 그런데 이 영상은 실제로 내적을 면적개념으로 접근하고 있다. 문제는 면적개념으로 접근한 건 좋은데 이게 두좌표간의 곱이 내적이 된다는 것을 유도한게 아니라 등고선안의 면적이 내적값과 일치한다는 식으로 설명을 하니까 이게 왜 두좌표간의 곱이 내적이 된다는 것을 증명한 것이 되는지를 이해를 못하겠다는 것이다. 4. 즉 여기서는 좌표 [0,4]와 [2,0] 내의 삼각형내의 면적(4x2/2=4)이 왜 d(=4/√5) x [2,1]좌표의 크기(√(2^2+1^2 =√5) =4가 되는지를 증명했다. 5. 그런데 이건 왜 이 2x+y=4의 등고선이 지나는 x,y축과 0점 사이의 면적과 내적이 일치하는가를 보여준거지 6. 좌표 (a,b) x 좌표(c,d) 가 왜 내적이 되는지를 설명했는지는 모르겠다는 것이다. 7. 실제로 좌표를 가지고 유도를 했으면 내가 이해를 했을텐데 말이다. 8. 예를 들어 좌표 [0,4] x [2,1] 이 왜 4가 되는지를 유도했으면 내가 알아들었을텐데 9. 이 유도과정은 두좌표의 곱이 스칼라 값인데 그값이 왜 내적이 되는가를 유도한건지를 솔직히 모르겠다. 10. 분명한 것은 직접 두좌표 (a,b) x 좌표(c,d)를 해보면 내적값이 된다. 11. 실제로 나도 도데체 이게 어떻게 내적값이 되는지 신기하지만 계산을 해보면 진짜 [a,b] x[c,d] = a,b벡터 x cosθ x c,d벡터(=내적)이 된다 12. 일단 그건 분명해졌으니 내적값이 곧 두좌표간의 곱이란 것은 인정하고 넘어간다. 23.09.30(토)
오늘도 신선하고 뿌듯한 오전을 맞게 해주셔서 고맙습니다. 기초적인 부분이라고 생각하고 새벽에 짧게 마치고 기충전 받아서 하루 시작하려했는데 3시간이 넘게 걸려서 다 보았습니다. 많은 부분들이 감동적입니다. 특히 마지막 쌍대공간을 들으면서 오래전에 들어서 머리속에 맴돌던 많은 것들이 서로 연결되려는 듯한 느낌을 받고 있습니다..예를 들면 머쉰러닝의 커널 이나 FEM의 Hillbert 스페이스.. 뭔지도 모르고 공부했던 것들인데 이렇게 계속 공부하다보면 연결이 좀 될 것 같습니다. 그러고 보니 FEM도 함수의 내적부터 시작했던 것 같습니다... 그리고 좀 무례한 부탁일 수도 있는데, 혹시 시간이 허락하시면 미분방정식에서 선형미분방정식과 중첩(superposition)도 오늘 강의해주신 내용과 견주어서 해주시면 정말 감사하겠습니다. 미분연산자를 연산자의 개념으로 취급해서 선형미분방정식의 개념이 도출되고 그것의 해가 중첩된다는 식의 내용은 많이 들었는데.. 솔직히 그냥 들을때만 알겠지, 제것이 되지 않네요...오늘 해주신 강의를 들으니 웬지 선형미분방정식도 오늘강의와 연계가 될 듯 한 느낌이 들어서요.. 오늘 강의 정말 너무 멋지고 많은 것을 배워갑니다. 즐거운 금요일 평안한 주말 되세요.
alwaysmarine님 안녕하세요! 제 영상을 보시고 힘이 된다고 하시니 제가 얼마나 감동스러운지 모릅니다 ㅎ 특히, 짧은 이 영상을 오랫동안 생각하면서 보셨다고 하시니 진짜 이 이상 더 뿌듯할 수가 없습니다. 이 영상은 사실 벡터의 내적에 대해 다루는 것이 표면적인 내용이지만, 뒷 부분에서는 쌍대공간이라는 정말 깊고 넓은 또 하나의 개념에 대해 소개해주고 있는 마무리로 구성이 되어 있는데요. 쌍대성을 이용해서 해결하는 문제들은 정말 많죠... 특히 말씀하신 내용처럼 힐버트 공간의 쌍대공간을 이용한 개념이 바로 지금 영상에서 보여드린 벡터의 내적을 확장 시킨 함수의 내적과 domain 변환... 또 PDE의 해석이 되겠네요. 진짜 진짜 깊고 넓은 내용에 대한 약간의 틈을 곁가지로나마 보여드리고자 했던 제 의도를 제 생각보다 더 더욱 깊이 이해해주신 것 같아서 정말 감동입니다. 말씀해주신 선형미분방정식과 superposition 관련 내용도 모두 "선형성"에 기반해서 일어나는 수학적 해석이라고 보면 될 것 같습니다. 한마디로, 함수도 모두 "벡터"로 취급할 수 있으며, 이 때 연산자들(특히 미분 연산자)이 이산적인 시각에서 보았을 때는 유한 차원의 행렬로 해석될 수 있다는 점, 그리고 모든 행렬은 (서울대 이인석 교수님이 정의하시는) 선형대수학의 기본정리에 따라 선형 변환으로 생각될 수 있다는 점을 바탕으로 다시 한번 생각한다면 조금 더 그 핵심에 다가갈 수 있지 않을까 하는 생각입니다. 저도 학부시절에 처음 superposition을 보았을 때 이게 무슨 소리인가 싶어 교수님께 질문했지만 딱 한마디 "선형적이니까요"라는 말로 일축하셨는데, 10년도 넘게 지난 지금에서야 그 말이 무슨 말인지 조금씩 이해되는 것 같습니다. 조심스럽지만, 제 예전 영상 중 연속시간 푸리에 시리즈에 관한 영상이 있는데 그 부분을 보시는 것도 도움이 되지 않을까 싶습니다. 워낙 옛날에 만든 영상이라 퀄리티가 바닥이지만... 핵심적인 내용만은 정말 gold라고 생각합니다. 오늘도 장문의 댓글 감사드립니다 ^^ 좋은 하루 보내시길 바랍니다 :)
컴퓨터쪽 사람입니다 2차함수를 예를들면 이쪽에서는 대체로 y, f(x), x² 가 모두 다른 의미를 가집니다 x 는 파라메터 즉 입력값의 의미를 가지고 f(x) 는 x라는 임의의 파라메터를 주입시켜서 어떠한 결과를 만들어내는 기능(=함수) 을 지칭하도록 의미하고 y 는 그 해당함수에 x 를 집어넣었을때 리턴(기능을 끝내고 되돌아 오는 반환)값을 (=결과값) 을 의미합니다 말하자면 입력값, 기능, 결과값 이 세가지 개념이 다른개념인데 수학에서 = 기호는 '수 로써 표현하면 같다' 라는 의미가 되어버리니 혼란스럽네요 그런의미에서 말씀하신 (2, 1) 이라는 행벡터가 '함수' 라고 하신게 무슨의미인지 잘 모르겠습니다 - 결과값(반환값) 을 두개로 생각하면 될까? - 함수의 갯수가 2개의 함수라고 말하는걸까? 어느쪽인걸까요? 기하학이 아니라 컴퓨터데이터 측면에서 설명해주실수 있는 분은 안계실까요? 참고로 이번 강좌에서 열벡터 가 데이터 의 단위라 하셨는데 엑셀이나 관계형 데이터베이스 에서는 데이터의 단위는 열이 아니라 행 단위가 데이터 단위인지라 굉장히 혼란스럽네요 파이썬 언어에서 행렬을 다루게 되는데 행, 열 어느쪽에다가 데이터 단위를 두고 어느쪽에다가 데이터가 가지는 속성단위를 두어야 할지 설계나 프로그래밍 상에서도 혼란스럽고요.. 같이 생각해주실분 없으실까요😢
기초적인 질문일 수 있습니다.. 1:52에 행렬의 곱은 행벡터와 열벡터 간의 내적으로 해석될 수 있다고 하셨는데 내적은 벡터 A*벡터 B* cos으로 행벡터와 열벡터가 이루는 각이 90도 이므로 cos 90 은 0 따라서 0이 나오는 것이 아닌 이유를 설명부탁드리겠습니다
1. 결국 이걸 알아야 될것 같다.. 2. 만약 퓨리에만 아니었으면 결코 안봤을 3. 이과와 문과를 갈랐던 그 단어! 벡터! 4. 푸리에 변환공식 정체가 너무 궁금해서 결국 항복하고 마음비우고 왔다! 5. 제대로 한번 배워보자. 물론 깊게는 말고 ㅋㅋ! 일단 퓨리에 카테고리 넣어놓고! 23.09.03(일) 6. 드디어 여기 Cosθ가 나오는구나. 7. 그래 이게 왜 행벡터와 열벡터의 내적을 할땐 Cosθ를 안곱하냐는 거다! 그래 이게 지금 Cosθ를 안곱하는게 맞구나. 이게 왜 그냥 벡터행렬을 단순히 곱한게 Cosθ곱한것과 같아지는지를 오늘 설명해주는구나! 그래 정말 이게 이해가 안된다는 거다 0:45 8. 한번 들어보자. 그래 오늘 9. 그렇구나. 벡터가 보통 열벡터를 일컫는거구나. 왜그렇지? 보통 벡터는 좌표 (a,b)로 표시되고 이건 행벡터 아닌가? 2:00 10. 행벡터가 함수가 되는구나. 그럼 들어오는 시간신호가 함수가 되고 비교되는 신호가 일종의 데이터가 되는구나. 이거 신기하네! 11. 여기 그 해답이 나오는구나! 2:40 가로행벡터[1,2]와 세로행벡터[1,2] 모두 x축값은 1이고 y축값은 2인 벡터값이 되는구나. 그래 이게 찝찝했다! 12. 그렇구나. 이게 이렇게 똑같은데 나눠놓은건 기능의 차이때문이라는데 좀더 들어보자. 13. 세상에 이제보니 행벡터와 열벡터의 역할이 분명히 정해져 있구나. 3:00 14. 이게 중요한 이유가 먼저 오는건 행벡터라고 부르고 두번째로 오는건 무조건 열벡터라고 부르기 때문이다. 이거 신기하네! 왜그럴까? 15. 열벡터를 함수에 들어가는 입력값으로 보는 거구나. 행벡터는 함수로 보고. 왜냐면 어차피 그렇게 함수가 값이 들어가는 형태기 때문이다. 3:35 16. 지금 이게 굉장히 웃긴게 17. 행렬이 좌표인데 그걸 곱해서 좌표가 아닌 값이 나오는 걸 굉장히 아무렇지도 않은듯이 얘기하고 있지만 이거 분명히 짚고 넘어가야 되는 것이다. 18. 행벡터의 시각화라! 함수의 시각화라! 이게 과연 무슨의미일까? 4:40 19. 등고선이라! ax + by =c 일때 c가 상수일때 그 c값을 만족하는 x, y 값의 조합이 등고선처럼 표현 될수 있다는 얘기다. 7:30 20. 그래 등고선 높이가 C가 되고 (x,y)는 좌표가 될 수 있겠네! 21. 그래 예를 들어 y= -2x +1 일때 이건 2x + y =1 이라는 행벡터 좌표 [2,1]라는 함수가 그 값이 1이라는 값을 만족하기 위한 (x,y)의 좌표값을 나타낸게 되는구나! 8:20 그 C값을 만족하는 (x,y)의 좌표값을 각각 x,y축에 그려서 시각화할수 있겠구나. 22. 이거 굉장히 참신한 개념이네. 그러면 변수의 몇차방정식은 안되는건가? 예를 들어 X^2이나 Y^2 말이다. 23. 이렇게 함수를 숫자로만 나타내면 변수의 승수곱은 안된다는건데! 계속 들어보자 일단. 24. 와~ 세상에 떨린다. 드디어 설명을 해주려는 것같다. gee 이순간을 얼마나 찾아헤맸는지 모른다. ㅠㅠ 11:45 25. 일단 이건 양이 많고 도형을 그려야 되서 다른 곳에 정리를 했고 26. 여기 지금 굉장히 쇼킹한 얘기가 있다. 27. 바로 행벡터자체가 지금 공간이란 의미인가? 15:25 이건 지금 소화가 안되니 일단 재끼고 28. 행벡터의 성질을 다시 한번 정리해 놓자. 15:40 29. 1) 열벡터로 입력을 받아 스칼라 값(방향없는값)을 출력하는 함수라는 거다. 함수로 보자는 거다. 2) 그렇구나! 이제보니 선형 선형 하는게 그런의미구나! 이게 2차방정식은 안되는거였다. 1차방정식만 된다는 그의미였구나!!! 세상에 이게 그 뜻이었어! 30. 그리고 행벡터자체가 함수가 되는 이유가 (a,b)로 행벡터가 나타나는데 이게 열벡터가 세로로(x,y)이런식으로 곱해지는데 이건 다 그냥 좌표값이기 때문이다 행벡터x 열벡터 = 상수가 되게 하는 좌표값(x,y) 말이다! 31. 그래서 행벡터의 상수인 (a,b)값이 함수가 될수 있는 것이다! 32. 그래서 행벡터가 선형함수라는 것자체가 1차방정식만 된다는 의미이다. 2차방정식이 안돼서 천만다행이다! ㅋㅋ 33. 행벡터를 만족하는 상수값에 따라 등고선이 그려지는데 그게 선형그래프이기 때문이다. 34. 그리고 한가지 신기한 것을 언급하는데 상수값이 등고선 몇번째를 통과했는가를 의미할 수 있다는 거다. 원점으로부터 16:25 그게 무슨 의미가 있을수 있는지는 모르겠지만 하여튼 그렇다치고 35. 또한가지는 이 행벡터값 (a,b)값이 원점으로부터 멀어질수록 선형등고선 폭은 좁아진다는거다! 즉 행벡터에 상수배를 해줘도 마찬가지로 원점으로부터 멀어지는데 36. 그렇게 되면 선형등고선 간격이 좁아진다는 거다. 이건 어찌보면 당연한거다. 왜냐면 ax +by=c라고 할때 C값은 동일할때 a,b값만 커진다면 당연히 그것을 만족하는 (x,y)값들의 조합은 커질필요가 없어지기 때문이다. 그래서 등고선 간격이 좁아지는 것이다. 37. 그래 행벡터[a,b]가 선형함수라는 것의 의미를 분명히 이해할 필요가 있다. 이게 선형함수가 되는것은 이게 열벡터[x,y]와 결합해 상수가 되기 때문이다. 그럼 여기서 [x,y]에는 상수가 들어가면서 좌표가 되서 선형등고선이 자연히 되기 때문에 그말을 생략하고 그냥 행벡터[a,b]가 선형함수가 된다고 말하는 것이다. 17:20 38. 여기 제일 중요한 말이 다시 한번 강조됐다. 17:50 39. 등고선은 행벡터에 원점에서 수직(=직각)으로 형성된다는 것이다! 그리고 이런 행백터들은 합쳐저서 새로운 행벡터들을 만들고 그 행벡터는 다시 원점에서 수직이 되는 등고선(=선형등고선)을 갖게 된다는 것이다! 40. 그다음에 행공간이난 걸 설명하는데 이건 일단 나중에 보자 난 지금 행벡터x열벡터=Iv1I x Iv2I x cosθ 가 된다는 것을 알게 된것만으로도 지금 벅차다! 41. 너무 감격스럽다! ㅠㅠ 이해한 내용은 다음에 여기 다시 정리하도록 한다! 오늘 정말 감격스러운 날이다! 23.09.16(토)밤 11시 55분 42. 난 지금 무슨 이걸로 부귀영화를 누리겠다고 내 일과도 상관없는 이걸 이렇게 열심히 파고 있나!! ㅋㅋ 근데 너무 재밌다. 43. 난 이걸로 인공지능으로 더 수월하게 넘어갈수 있을 것 같다. 난 사실 인공지능에 벡터가 그렇게 중요한지 이걸 하면서 처음 알았고 44. 감사하게도 벡터의 내적을 퓨리에 변환공식을 이해하면서 덤으로 이해하게 됐다. 누군가 나를 잡아끄는것 같다! 23.09.16(토)밤 11시 57분
수학공부 1도 안한 문과가 40살넘어서 이 동영상으로 수학을 다시 배우고 있습니다. 벡터의 내적을 문과적으로 표현하자면 서로 다른 입장을 가진 A와 B 사이에서 A의 입장으로 B가 한 일(에너지)를 평가하면 정사영의 크기(스칼라값)만큼만 일한것 처럼 보인다는거.. 맞습니까?
행렬의 곱이 벡터의 내적을 의미한다는 앞의 동영상을 보고 내가 몰랐던 세계가 있구나 !!! 하고 생각했는데 행렬의 곱이 벡터의 내적이 되는 이유를 아예 행렬의 곱을 가지고 증명까지 하는데는 충격을 받았습니다 이 동영상의 의미를 곰곰이 되씹어 보니 벡터의 내적 증명을 코사인제2법칙이나 삼각함수덧셈정리를 사용하지 않고 행렬로도 증명할 수 있구나 !!!! (지금까지 한번도 보지 못한 세계) 보는 사람은 동영상을 여러번 반복해서 봐야 한다는 것을 느꼈습니다 열벡터정사영길이와 행벡터길이를 곱한 것이 내적이 되는 이유가 일차함수를 그림을 그려 놓고 보니 행렬 곱의 결과 값이 직선의 y절편이 되니까 그 결과 (세워진 직사각형 = 비스듬한 직사각형) 면적이 같음을 이해하는데 동영상을 몇번 봤고 행벡터와 직선이 수직인 것이 기울기의 곱이 (-1) 되는 두 직선은 서로 수직이기 때문이다를 깨닫는 데도 동영상을 여러번 봤습니다 아무리 좋은 동영상이라도 보는 사람의 집념과 열의도 있어야 할 것 같아요 오늘 이 동영상을 보고 행렬의 곱이 벡터의 내적을 의미하며 행렬의 곱이 심지어 벡터의 내적 증명도 되며 행렬의 곱이 벡터내적은 정사영과의 곱셈임을 의미한다는 이런 사실을 알고 수학이나 과학을 하는 사람이 100명 중에 한명이나 될까 1000명 중에 한명이나 될까 그 생각이 들었습니다 저의 머릿속에서 아예 개념 자체가 없던 세계 ...... 그냥 기계적으로 곱하기만 했었어요 ㅜ ㅜ 한꺼번에 두뇌에 부담이 많으면 안 되니 행벡터와 행공간은 나중에 보기로 했습니다 ^^
노성용님 안녕하세요. 항상 장문의 댓글을 남겨주시니까 너무 감사합니다. 매번 정말 큰 힘이 됩니다! 사실 이 내용의 경우에는 내용 자체가 워낙 익숙하지 않은 개념으로 구성되어 있기 때문에 처음 보는 사람의 입장에서는 어려울 수도 있겠다는 생각이 많이 들었습니다. 이 영상의 내용은 텐서 기하학에서 일부 가져왔기 때문에 워낙 내용이 생경하고, 익숙치 않은 개념들이 많이 제시되고 있습니다. 그러다보니 내용이 방대해지는데, 그에 반해 유튜브의 특성 상 시간을 너무 길게 할 수는 없다보니 설명이 또 빨라지기도 하고... 등등의 어려운 조건들이 있는 것 같습니다. 매번 재밌게 영상을 봐주시니 정말 감사합니다 ^^ 다시 한번 말씀드리지만 정말 큰 힘이 됩니다 ㅎ 항상 열심히 공부하시는 모습이 너무 보기 좋고 업로드한 입장에서 너무 뿌듯합니다. 감사합니다 ^^ 오늘도 좋은 하루 보내세요
안녕하세요 좋은 글로 공부 잘하고 있습니다. 정말 감사한다는 말씀 드리고 싶어요. 고등 수학을 배울때에 대학 수학을 배울 때나 느꼈던 것이 문제 풂으로써 항상 개념이 강화되고 응용도 가능했었고 기억에도 오래 남았던 것 같습니다. 혹시 블로그 개념을 기반으로 하여 문제를 풀고 싶은데 사이트나 책을 추천해주실 수 있나요? 한글 책과 해설지가 있는 책이나 사이트라면 더 좋을 것 같아요. 항상 감사드립니다.
쌍대공간 설명하시면서 든 예시중에 선형회귀에 대한 코멘트가 잘 이해가 가지 않습니다. 제가 전자공학 출신이라 푸리에 해석은 이해가 가는데요 (대표적으로 convolution과 같은 연산을 주파수 domain으로 가면 곱으로 쉽게 처리할 수 있다던지) 선형회귀가 행공간의 문제를 열공간에서 해결한다는 말을 좀더 풀어서 설명해주실 수 있나요? 결국 y = a1x1 + a2x2+ ... + anxn 의 계수들 a1,...,an의 값을 찾는건데 이 동영상대로 해석하면 행벡터 [a1 a2 ... an]를 찾는 문제를 열벡터 [x1 x2 ... xn]을 미분해서 (OLS) 값을 찾는다라고 말씀하신건가요? 이 해석이 아닌거 같아서 추가 설명을 요청드립니다
이해가 잘 안 가는 부분이 있어 여쭤봅니다. 두 벡터의 곱이 결국 내적을 의미함을 설명하는 근거로 열벡터의 정사영 길이 x 행벡터의 길이 = 내적인 것을 설명해주셨습니다. 왜 그런 계산결과가 나오는지는 기하학적으로 이해가 가지만, 그럼 그 벡터곱을 "왜" 정사영으로 설명하는 건가요? 두 벡터의 곱셈 계산식이 ax+by인 것을, 이걸 정사영으로 그려 설명하는 이유와 이 둘의 관계를 모르겠습니다. 행벡터x열벡터를 ax+by 형태로 계산하는 원리 안에 내적의 의미가 숨어있다는 걸 설명하는 게 아니라, 결과적으로 행벡터x열벡터 곱셈 수식(ax+by)으로 계산한 결과는 이 두 벡터의 내적 계산값과 동치라는 것을 말씀하시는 동영상인가요? ax+by로 계산되는 두 벡터의 곱셈 방식도 이해되고, 그 두 벡터를 정사영했을 때 항상 같은 정사영값이 나오는 것도 알겠는데, 이 두 가지의 관계는 어떻게 설명되나요?
안녕하세요. 13:32초에 값 (4/루트5)은 열백터 [x,y]가 행백터 [2,1]에 정사영이 된 길이를 의미하나요? 그리고 피타고라스 정리로 푸신거라고 해서 검색해봤는데 원하는 정보를 잘 찾지를 못하겠습니다. 혹시 이와 관련된 정보 아신다면 알려주시겠어요? 좋은 영상 감사드립니다.
안녕하세요. 1. 네 맞습니다. 4/루트5는 열벡터가 행벡터에 정사영 된 그림자의 길이를 의미합니다. 2. 빗변의 길이를 계산할 때 피타고라스 정리를 이용한 부분을 말씀하시는 것 같습니다. 단순히 직각삼각형의 빗변의 길이를 계산한 공식이니 크게 특별할 것은 없을 것 같습니다... 혹시 조금 더 구체적으로 질문 주시면 더 도움드릴 수 있을 것 같네요
삼각형의 넓이를 구하는 두 가지 다른 방법을 이용한 것입니다. 밑변 곱하기 높이 혹은 서로 직각인 두 변의 길이를 곱하는 것 ... 두 방법 모두 삼각형의 넓이를 계산하는 방법이기 때문입니다. 그리고 정사영은... 그림에서 내적값 하나를 결정해놓고 봤을 때 어떤 열벡터더라도 행벡터에 정사영하면 그 길이가 삼각형의 d변의 길이와 같기 때문에 열벡터의 행벡터에 대한 정사영으로 볼 수 있다는 해석입니다 ~
와.. 여기서 grdient= row vector 로 본다면 gradient가 orthogonal 한 level curve 에 normal한 성질이 있고.. 그래서 level curve 간격이 촘촘할수록 gradient length 가 커지는군요.. 맞는 해석이라고 볼 수 있나요?
등고선을 가지고 시각화했기 때문에 등고선과 직교하는 gradient 벡터가 갖는 성질과 같아 보이네요. 그렇지만 gradient는 row vector다고 보기는 어렵습니다. gradient는 일반 벡터이고 범함수는 아니기 때문입니다. 그래도 등고선과 이에 직교하는 벡터를 이용해서 말씀하시는 현상을 파악하기에는 제 자료의 도움을 받을 수 있을 것 같습니다 :D
github.com/angeloyeo/angeloyeo.github.io/blob/master/pics/2020-09-09-row_vector_and_inner_product/pics.m 여기 그림 소스 코드가 있습니다. 참고하시구요. 언어는 선택의 문제이겠지만 MATLAB이 Python 보댜는 그림 그리기에는 좀 더 편한 부분이 있긴 합니다.
11:49 에서 "이 선들이 모두 행벡터를 의미한다"고 하셨는데 잘 이해가 안갑니다! 저 점선들은 컬럼스페이스가 아닌가요? 또한 12:12 에서 (2,1)로 표현된 행벡터가 점선들이랑 수직이 된다는 것도 잘 이해가 되지 않습니다! 직교여공간도 아니고.. 어떤 원인으로 그러한 건가요?! 답변해주시면 감사하겠습니다🙏
안녕하세요. 1. 11:49에서 언급한 내용은 "이 선들이 모두 행벡터의 시각화이죠"라고 하였는데요. 일단 점선들이 모두 벡터 스페이스라고는 볼 수 없습니다. 벡터 공간이라고 한다면 벡터 공간은 모두 (0, 0)을 지나는 집합이어야 하기 때문입니다. 저 점섬들은 말씀하신대로 column vector들의 집합이긴 합니다만, [2, 1]이라는 행벡터와 내적했을 때의 결과값이 동일한 열벡터들을 모아 시각화해둔 것이라고 풀어서 말씀드리면 더 좋을 것 같습니다. 2. 12:12에서 행벡터가 점섬들과 수직이 된다고 말씀드린 것은 "0"이라고 표시된 선 위에 end point가 있는 벡터들은 모두 [2, 1] 이라는 연산에 대한 영공간 위에 있는 벡터들이기 때문입니다.
@@user-db5fv9di7o 아, 2번 질문은 빨간색 직선에 대해서 말씀하시는 거였군요; 저는 점선에 대해서 말씀하시는 줄 알고 ... 잘못 이해했었습니다. 일단 그 이유는 [2, 1]이라는 연산이 행벡터로 볼 수도 있지만 1x2 차원의 행렬로 볼 수도 있기 때문입니다. [2, 1]이라는 행벡터를 행렬로 본다면 이 행렬의 행공간은 [2, 1]이라는 벡터의 상수배로 구성된 벡터들의 공간이 되겠지요? (즉, y=1/2 x) 그리고, 말씀하신대로 이 행렬의 영공간은 모두 y=-2x 위에 놓이게 되구요. 그러면, 행공간과 영공간은 직교하기 때문에 이 행벡터 ([2,1])와 점선들은 모두 직교한다고 볼 수 있겠지요
@@AngeloYeo 계속 생각하는데 답이 안나오네요, 피타고라스 정리로 유도한 d값은 이해가 되요. 그것과 별개로 >> 1. 열벡터가 [ x, y] 가 맞는지, 2. 맞다면 어느 벡터를 기준으로 정사영시켜 [ 4/ 루트 5] 라는 값이 나오는 건지 이해가 안됩니다ㅠㅠ 벡터 내적할 때 '코사인 세타 값'도 알아야 하는 것 같은데 이 부분을 모르겠어요
이해가 잘 안되시는 분들은 ax+by=c로 놓고 해보시면 왜 내적값이 c가 될수 밖에 없는지 이해가 가실 겁니다ㅎㅎ 영상의 핵심은 열벡터가 행벡터에 직교하는 직선 위에서 움직이기 때문에 열벡터의 정사영 값이 일정하다는 거 같아요
정리를 너무 쉽게 잘 해주셨네요~ 감사합니다
@@AngeloYeo 비전공자라 뒤늦게 선형대수를 책으로 독학하면서 도저히 이해가 안되었는데 선생님 강의를 듣고 개념이 잡히는거 같아요 정말 감사드립니다!
독학 어렵죠... ㅠ 그래도 시련을 잘 이겨내시면 분명 남들보다 더 튼튼한 기초체력위에 서실거에요~ 화이팅입니다
와 님 덕분에 머릿속이 뚫리는 기분이 듭니다. 천재이신듯 ㄷㄷ
이렇게 창의적인 해석이 가능하시다니 정말 부럽습니다. 덕분에 더 넓어진 시야를 얻어갑니다.
Lazer님~ Lazer님의 어제 댓글을 보고 저도 얼른 올려보려고 ... ㅎㅎ 이 파트가 제가 생각해도 재밌게 풀어진 것 같아서 다른 분들께도 빨리 보여드리고 싶었습니다. 좋게 봐주시니 감사합니다 ^^
해당 내용은 텐서 기하학의 co-vector 개념을 조금 각색한 것 뿐입니다 ^^; 대중적이지 않은 내용일 뿐 찾고 찾다보니 이런 내용들도 있더군요 ㅎㅎ
행벡터가 함수라고 생각하는 관점이 많은 것을 생각하고 개념을 곱씹어볼 수 있게 한 것 같습니다.
R^2 공간에서 vector b가 있고 어떤 vector a가 있을 때 b의 a로의 projection은 (a'b)*a/(a'a) 로 표현되는데 여기서 b에 a transpose를 곱해주는 행위가 결국 vector a로의 정사영을 생각하는 의미로 까지 자연스레 이어지네요!
그동안 projection matrix를 생각할 때 행벡터를 곱하는게 내적을 취한다 라고 단순히 당연스레 사용하고 있었는데, 함수라는 개념으로 확장되니깐 왜 projection matrix에서 transpose가 꼭 필요한지 더 깊이 있게 이해되네요ㅎㅎ 감사합니다
오... 그런식으로도 생각할 수 있네요~~ 저도 projection 자체를 어떤 함수의 작용으로 생각해본 적은 없는데... 괜찮은 아이디어 인 것 같습니다 ㅎㅎ 한수 배워갑니다 ㅎㅎ
@@AngeloYeo 앗 아닙니다!! 공돌님의 잘 정리된 포스트와 영상을 다시 보면서 예전엔 이해 못했던 부분을 하나하나 이해하고 있어서 너무 즐겁습니다ㅎㅎ 공유해주신 영상, 글들 보며 제것으로 만들어볼게요! 다시 한 번 정말 감사합니다!
벡터의 기하학적 의미가 궁금했었는데, 명쾌하세요. 감사합니다.
너무 감사합니다! 선형대수 자체를 처음 접하는 사람은 이분 진가 모르고 어렵네 할수 있는데 선형대수를 공부하다가 포기했거나 실체에 대한 이해없이 꾸역꾸역 공부한 사람이 보면 신세계입니다. 돈도 내가면서 공부해봤는데도 수학머리가 안되서 너무 힘들었는데 천재신거 같습니다!
좋게 봐주셔서 감사합니다 😊
너무 좋은 강의 감사합니다ㅜ 이 해석이 svm에 대한 이해에도 큰 도움이 되는 것 같네요.
linear hyperplane을 만들 때 normal vector에 내적해주는 좌표벡터 구하는 것 말씀하시는거죠...? ㅎㅎ 그렇게 생각해볼 수도 있겠네요 ㅎㅎ 도움 되었다면 다행입니다 ㅎㅎ
그냥 보면서 감탄 밖에 안나오내요 선형대수학을 공부해야겠다고 생각해서 오늘부터 공부 시작하려고 해요 이런 영상 보면서 공부하려니 설레내요 ㅎㅎㅎㅎ
송승재님 안녕하세요 ~ ㅎ 선형대수학 공부하시는데 도움 되었으면 좋겠습니다 ㅎ 다만 아직 다 영상으로 만들지는 못했기 때문에 블로그 참고하시면서 들으시면 더 도움되실 것 같습니다 ^^~ 감사합니다
넵 감사합니다 아직 어리지만 너무 재밌어서 정말 열심히 공부해 보고 싶습니다ㅎㅎ
와 여기는 강의도 강의지만 댓글들도 하나같이 주옥같네요. 댓글 보면서 공부가 더 많이 되는 느낌입니다. 편입 시험 독학하고 있는데 큰 도움 되고 있습니다. 감사합니다.
강의자는 웁니다 🤪 농담이구여... 도움된다니 좋습니다 ㅎ 열공하십셩
지금 이 동영상은
선형대수학 책 2권입니다
모두가
고등학교 때부터 궁금해 하다가
죽을 때까지 모르고 죽는 것
A행렬(2×3 행렬) ,
B행렬(3×1 행렬)
곱셈결과
AB행렬 (2행 1열)
AB 행렬의 곱셈에서
(1)
행렬의 곱은 왜
(앞의 행렬의 행) × (뒤의 행렬의 열)
이렇게 정의할까 ?
공돌이님 동영상에 해답이 있습니다
행렬의 곱은
뒤의 행렬인 벡터의 열을 입력받아
앞의 행렬의 행이 값을 산출하는
함수이기 때문
(2)
행렬의 곱에서
항상
앞의 행렬의 열의 개수와
뒤의 행렬의 행의 개수가 같아야 하는
이유가 무엇일까 ?
(거의 아무도 모르는 세계)
공돌이님 동영상에 해답이 있습니다
행렬의 곱은 내적이기 때문에
앞의 행렬의 행과
뒤의 행렬의 열을 내적시키자면
앞의 행렬의 행의 원소인 열
뒤의 행렬의 열의 원소인 행
이것들이 서로 개수가 같아야
원소끼리 곱해서 더하는
내적곱하기를 성립시킬 수 있다
그리고
이 동영상에 나와 있는
행렬의 곱이 벡터의 내적인 이유를
기하학적으로 설명한 내용
그걸 이해하려면
정지된 블로그 화면을 여러번
계속 집중 반복해서 봐야겠더군요
(저는 이해했어요)
그리고
선형대수학의 근원적 원리
벡터에 행렬을 곱해서 선형변환시키면
벡터 자체가 변하는 정도가 아니라
아예 공간 자체가 변하는 이유
(a,b) 벡터에 A행렬을 곱해
선형변환시킨다고 할 때
(a,b) 벡터라는 것도 결국은
a(1,0) + b(0,1)
이런 선형결합 구조로 되어 있어
A(a,b)벡터 곱하기도
결국
A {a(1,0) + b(0,1)}
이런 곱하기가 되고
뒤의 행렬이 열에 분배법칙이 성립되니
A{a(1,0)} + A {b(0,1)}
다시 상수가 앞으로 나와도 되니
aA{(1,0)} + bB{(0,1)}
결국
기존의 좌표계의 (1,0) , (0,1)단위벡터가
A{(1,0)} , B{(0,1)}
이런 단위벡터로 변하는
새로운 좌표축 세계가 만들어지고
그 결과 기존의 좌표계의
(a,b) 벡터는 자연스럽게 새로운 세계에서
aA{(1,0)} + bB{(0,1)}
이런 자리로 이동한다는
선형대수학의 이 기본 골격의
증명원리가
공돌이님 동영상의
A {a(1,0) + b(0,1)}
A{a(1,0)} + A {b(0,1)}
곱하기에서 뒤의 행렬의 열을
분배법칙시켜도
곱하기 결과가 같음에 있다는 것애
있음을 알고는
행렬의 곱에서
뒤의 행렬의 열을 배분하는
행렬의 분배법칙이 얼마나 중요한가
모든 것은 기본으로 돌아가야 한다 !!!!!!!!
놀라운 것을 느끼게 되었습니다
(제가 숫자나 문자로 계산해 보니
역시 분배법칙이 성립하더군요 ^^)
그리고
몇년 전에
특이값 분해 동영상도 몇일 전에 봤는데
씨그마 처럼 생긴 기호가
행렬이란 것
(책에서는 왜 그렇게 말을 안 하는지)
그리고
행렬의 곱에서
A행렬(2×3 행렬) ,
B행렬(3×1 행렬)
곱의 결과인 AB행렬은
행에 있어서는 무조건
앞의 행렬 A 가 모양을 결정하는
2행이 되는데
이것이 의미하는 것은
3차원 벡터 B가
2차원 벡터로 차원이 낮아지는
결과가 된다는 것
보통사람들이 개념도 없는
별의별 신세계를 다 배웠습니다
지금의 이 동영상도
분명히 선형대수학 책 2권입니다 ~~~ !!
6개의 그래프를 그려 놓고
행렬의 곱이 내적일 수밖에 없는 이유를
기하학적으로 설명한 부분에서는
선형대수학 공부하는 수많은 사람들이
아예
머릿속에 개념도 없는 4차원 세계
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
제가 설명한 것 보다 훨씬 더 잘 풀어써주신 것 같습니다 ㅎㅎ 밑에 숨어있는 의미들 까지도 잘 캐치해주셨네요 ! ㅎㅎ
16:35
[2 1]*(열벡터) = c
행벡터는 기울기를 나타내고,열벡터는 입력값으로 크기를 결정합니다.
그런데 행벡터의 기울기는 일정한 상태에서 행벡터의 크기가 커진다는 것은, 단지 c 의 크기만 커지는 것입니다.
상수배 한만큼만 커지게 되므로 선형성이 유지됩니다. 등고선의 간격이 변화하려면 기울기의 크기(행벡터 크기)가 변해야 합니다.
행벡터의 "크기" 가 아닌 "길이"가 길어진다면 등고선의 간격은 일정한 상태하에 등고선의 개수만 늘어나지 않을까요?
재밌어요.... duality는 정말 여기저기서 유용하게 쓰이는 거 같네요
최적화에서 봤었는데 이렇게 다 연결이 되는군요 신기해요 ㅋㅋ
duality로 개념화해서 사용하는 영역이 정말 다양한 것 같습니다 ^^ 재밌게 봐주셔서 감사합니다.
와,,,,,이런 강의를 그냥 들을수있다니....감사합니다
재밌게 봐주셔서 감사합니다 😁
대학교 나온지 10년만에 제대로된 의미를 이해하는거 같아요. 재밌네요
1. 난 내가 왜 이 영상을 보고 벡터의 곱이 왜 내적이 되는지를 이해했다고 생각했다.
2. 그런데 아니었다.
3. 일단 나는 내적이라는 단어가 면적이라고 생각해 본적이 없다. 그런데 여기서는 면적의 개념으로 접근했다.
-> 나는 내적을 두 방향사이의 힘의 방향과 크기가 다를때 둘중 어느 한쪽으로 통일시켜서 구한 값이라고 이해하고 있다.
-> 그런데 이 영상은 실제로 내적을 면적개념으로 접근하고 있다. 문제는 면적개념으로 접근한 건 좋은데 이게
두좌표간의 곱이 내적이 된다는 것을 유도한게 아니라 등고선안의 면적이 내적값과 일치한다는 식으로 설명을 하니까 이게 왜
두좌표간의 곱이 내적이 된다는 것을 증명한 것이 되는지를 이해를 못하겠다는 것이다.
4. 즉 여기서는 좌표 [0,4]와 [2,0] 내의 삼각형내의 면적(4x2/2=4)이 왜 d(=4/√5) x [2,1]좌표의 크기(√(2^2+1^2 =√5) =4가 되는지를
증명했다.
5. 그런데 이건 왜 이 2x+y=4의 등고선이 지나는 x,y축과 0점 사이의 면적과 내적이 일치하는가를 보여준거지
6. 좌표 (a,b) x 좌표(c,d) 가 왜 내적이 되는지를 설명했는지는 모르겠다는 것이다.
7. 실제로 좌표를 가지고 유도를 했으면 내가 이해를 했을텐데 말이다.
8. 예를 들어 좌표 [0,4] x [2,1] 이 왜 4가 되는지를 유도했으면 내가 알아들었을텐데
9. 이 유도과정은 두좌표의 곱이 스칼라 값인데 그값이 왜 내적이 되는가를 유도한건지를 솔직히 모르겠다.
10. 분명한 것은 직접 두좌표 (a,b) x 좌표(c,d)를 해보면 내적값이 된다.
11. 실제로 나도 도데체 이게 어떻게 내적값이 되는지 신기하지만 계산을 해보면 진짜 [a,b] x[c,d] = a,b벡터 x cosθ x c,d벡터(=내적)이 된다
12. 일단 그건 분명해졌으니 내적값이 곧 두좌표간의 곱이란 것은 인정하고 넘어간다. 23.09.30(토)
내적 의미 복습하려다가 찾았는데 시골 공기를 마시듯 머리가 맑아지고 갑니다. 감사합니다!
시적인 표현 감사합니다 ^^~ 재밌게 봐주셨다니 다행입니다 ㅎㅎ
감사합니다. 정주행하고있는데 정말 많은 도움이 되었습니다.
오늘도 신선하고 뿌듯한 오전을 맞게 해주셔서 고맙습니다. 기초적인 부분이라고 생각하고 새벽에 짧게 마치고 기충전 받아서 하루 시작하려했는데 3시간이 넘게 걸려서 다 보았습니다. 많은 부분들이 감동적입니다. 특히 마지막 쌍대공간을 들으면서 오래전에 들어서 머리속에 맴돌던 많은 것들이 서로 연결되려는 듯한 느낌을 받고 있습니다..예를 들면 머쉰러닝의 커널 이나 FEM의 Hillbert 스페이스.. 뭔지도 모르고 공부했던 것들인데 이렇게 계속 공부하다보면 연결이 좀 될 것 같습니다. 그러고 보니 FEM도 함수의 내적부터 시작했던 것 같습니다... 그리고 좀 무례한 부탁일 수도 있는데, 혹시 시간이 허락하시면 미분방정식에서 선형미분방정식과 중첩(superposition)도 오늘 강의해주신 내용과 견주어서 해주시면 정말 감사하겠습니다. 미분연산자를 연산자의 개념으로 취급해서 선형미분방정식의 개념이 도출되고 그것의 해가 중첩된다는 식의 내용은 많이 들었는데.. 솔직히 그냥 들을때만 알겠지, 제것이 되지 않네요...오늘 해주신 강의를 들으니 웬지 선형미분방정식도 오늘강의와 연계가 될 듯 한 느낌이 들어서요.. 오늘 강의 정말 너무 멋지고 많은 것을 배워갑니다. 즐거운 금요일 평안한 주말 되세요.
alwaysmarine님 안녕하세요! 제 영상을 보시고 힘이 된다고 하시니 제가 얼마나 감동스러운지 모릅니다 ㅎ
특히, 짧은 이 영상을 오랫동안 생각하면서 보셨다고 하시니 진짜 이 이상 더 뿌듯할 수가 없습니다.
이 영상은 사실 벡터의 내적에 대해 다루는 것이 표면적인 내용이지만, 뒷 부분에서는 쌍대공간이라는 정말 깊고 넓은 또 하나의 개념에 대해 소개해주고 있는 마무리로 구성이 되어 있는데요. 쌍대성을 이용해서 해결하는 문제들은 정말 많죠... 특히 말씀하신 내용처럼 힐버트 공간의 쌍대공간을 이용한 개념이 바로 지금 영상에서 보여드린 벡터의 내적을 확장 시킨 함수의 내적과 domain 변환... 또 PDE의 해석이 되겠네요.
진짜 진짜 깊고 넓은 내용에 대한 약간의 틈을 곁가지로나마 보여드리고자 했던 제 의도를 제 생각보다 더 더욱 깊이 이해해주신 것 같아서 정말 감동입니다.
말씀해주신 선형미분방정식과 superposition 관련 내용도 모두 "선형성"에 기반해서 일어나는 수학적 해석이라고 보면 될 것 같습니다. 한마디로, 함수도 모두 "벡터"로 취급할 수 있으며, 이 때 연산자들(특히 미분 연산자)이 이산적인 시각에서 보았을 때는 유한 차원의 행렬로 해석될 수 있다는 점, 그리고 모든 행렬은 (서울대 이인석 교수님이 정의하시는) 선형대수학의 기본정리에 따라 선형 변환으로 생각될 수 있다는 점을 바탕으로 다시 한번 생각한다면 조금 더 그 핵심에 다가갈 수 있지 않을까 하는 생각입니다.
저도 학부시절에 처음 superposition을 보았을 때 이게 무슨 소리인가 싶어 교수님께 질문했지만 딱 한마디 "선형적이니까요"라는 말로 일축하셨는데, 10년도 넘게 지난 지금에서야 그 말이 무슨 말인지 조금씩 이해되는 것 같습니다.
조심스럽지만, 제 예전 영상 중 연속시간 푸리에 시리즈에 관한 영상이 있는데 그 부분을 보시는 것도 도움이 되지 않을까 싶습니다. 워낙 옛날에 만든 영상이라 퀄리티가 바닥이지만... 핵심적인 내용만은 정말 gold라고 생각합니다.
오늘도 장문의 댓글 감사드립니다 ^^ 좋은 하루 보내시길 바랍니다 :)
너무좋아
또 못참고 와버렸습니다! 감사해요😳
오민택님~ 저도 못참고 바로 하루만에 업로드 해버렸...
방문 감사합니다 ^^
한참 재미있으려다 급 마무리하는 느낌이네요ㅜ 뒷부분 강의도 부탁드려요~^^
직접적으로 듀얼리티가 적용되는 내용은 선형회귀에서 직접적으로 다룰 예정입니다... ㅎ 글로 정리된 것을 먼저 보시려면 아래의 링크를 참고해주세요 ㅎ
angeloyeo.github.io/2020/08/24/linear_regression.html
컴퓨터쪽 사람입니다
2차함수를 예를들면
이쪽에서는 대체로
y, f(x), x² 가 모두 다른 의미를 가집니다
x 는 파라메터 즉 입력값의 의미를 가지고
f(x) 는 x라는 임의의 파라메터를 주입시켜서
어떠한 결과를 만들어내는
기능(=함수) 을 지칭하도록
의미하고
y 는 그 해당함수에 x 를 집어넣었을때
리턴(기능을 끝내고
되돌아 오는 반환)값을
(=결과값) 을 의미합니다
말하자면
입력값, 기능, 결과값
이 세가지 개념이
다른개념인데
수학에서 = 기호는
'수 로써 표현하면 같다'
라는 의미가 되어버리니
혼란스럽네요
그런의미에서
말씀하신
(2, 1) 이라는
행벡터가
'함수' 라고 하신게
무슨의미인지
잘 모르겠습니다
- 결과값(반환값) 을 두개로 생각하면 될까?
- 함수의 갯수가 2개의 함수라고 말하는걸까?
어느쪽인걸까요?
기하학이 아니라
컴퓨터데이터 측면에서
설명해주실수 있는 분은 안계실까요?
참고로
이번 강좌에서
열벡터 가 데이터 의 단위라
하셨는데
엑셀이나 관계형 데이터베이스 에서는
데이터의
단위는 열이 아니라
행 단위가 데이터 단위인지라
굉장히 혼란스럽네요
파이썬 언어에서
행렬을 다루게 되는데
행, 열
어느쪽에다가
데이터 단위를 두고
어느쪽에다가
데이터가 가지는 속성단위를
두어야 할지
설계나 프로그래밍 상에서도
혼란스럽고요..
같이 생각해주실분 없으실까요😢
기초적인 질문일 수 있습니다.. 1:52에 행렬의 곱은 행벡터와 열벡터 간의 내적으로 해석될 수 있다고 하셨는데 내적은 벡터 A*벡터 B* cos으로 행벡터와 열벡터가 이루는 각이 90도 이므로 cos 90 은 0 따라서 0이 나오는 것이 아닌 이유를 설명부탁드리겠습니다
행벡터와 열벡터라고 부르는 것이 서로 이루는 각이 90도라는 의미는 아닙니다.
아니 미적분학 시험 끝나고 알고리즘에 뜨면 어떡해요;;
1. 결국 이걸 알아야 될것 같다..
2. 만약 퓨리에만 아니었으면 결코 안봤을
3. 이과와 문과를 갈랐던 그 단어! 벡터!
4. 푸리에 변환공식 정체가 너무 궁금해서 결국 항복하고 마음비우고 왔다!
5. 제대로 한번 배워보자. 물론 깊게는 말고 ㅋㅋ! 일단 퓨리에 카테고리 넣어놓고!
23.09.03(일)
6. 드디어 여기 Cosθ가 나오는구나.
7. 그래 이게 왜 행벡터와 열벡터의 내적을 할땐 Cosθ를 안곱하냐는 거다!
그래 이게 지금 Cosθ를 안곱하는게 맞구나. 이게 왜 그냥 벡터행렬을 단순히 곱한게 Cosθ곱한것과 같아지는지를 오늘 설명해주는구나!
그래 정말 이게 이해가 안된다는 거다 0:45
8. 한번 들어보자. 그래 오늘
9. 그렇구나. 벡터가 보통 열벡터를 일컫는거구나. 왜그렇지? 보통 벡터는 좌표 (a,b)로 표시되고 이건 행벡터 아닌가? 2:00
10. 행벡터가 함수가 되는구나. 그럼 들어오는 시간신호가 함수가 되고 비교되는 신호가 일종의 데이터가 되는구나. 이거 신기하네!
11. 여기 그 해답이 나오는구나! 2:40 가로행벡터[1,2]와 세로행벡터[1,2] 모두 x축값은 1이고 y축값은 2인 벡터값이 되는구나. 그래 이게 찝찝했다!
12. 그렇구나. 이게 이렇게 똑같은데 나눠놓은건 기능의 차이때문이라는데 좀더 들어보자.
13. 세상에 이제보니 행벡터와 열벡터의 역할이 분명히 정해져 있구나. 3:00
14. 이게 중요한 이유가 먼저 오는건 행벡터라고 부르고 두번째로 오는건 무조건 열벡터라고 부르기 때문이다. 이거 신기하네! 왜그럴까?
15. 열벡터를 함수에 들어가는 입력값으로 보는 거구나. 행벡터는 함수로 보고. 왜냐면 어차피 그렇게 함수가 값이 들어가는 형태기 때문이다. 3:35
16. 지금 이게 굉장히 웃긴게
17. 행렬이 좌표인데 그걸 곱해서 좌표가 아닌 값이 나오는 걸 굉장히 아무렇지도 않은듯이 얘기하고 있지만 이거 분명히 짚고 넘어가야 되는 것이다.
18. 행벡터의 시각화라! 함수의 시각화라! 이게 과연 무슨의미일까? 4:40
19. 등고선이라! ax + by =c 일때 c가 상수일때 그 c값을 만족하는 x, y 값의 조합이 등고선처럼 표현 될수 있다는 얘기다. 7:30
20. 그래 등고선 높이가 C가 되고 (x,y)는 좌표가 될 수 있겠네!
21. 그래 예를 들어 y= -2x +1 일때 이건 2x + y =1 이라는 행벡터 좌표 [2,1]라는 함수가 그 값이 1이라는 값을 만족하기 위한 (x,y)의 좌표값을 나타낸게 되는구나! 8:20
그 C값을 만족하는 (x,y)의 좌표값을 각각 x,y축에 그려서 시각화할수 있겠구나.
22. 이거 굉장히 참신한 개념이네. 그러면 변수의 몇차방정식은 안되는건가? 예를 들어 X^2이나 Y^2 말이다.
23. 이렇게 함수를 숫자로만 나타내면 변수의 승수곱은 안된다는건데! 계속 들어보자 일단.
24. 와~ 세상에 떨린다. 드디어 설명을 해주려는 것같다. gee 이순간을 얼마나 찾아헤맸는지 모른다. ㅠㅠ 11:45
25. 일단 이건 양이 많고 도형을 그려야 되서 다른 곳에 정리를 했고
26. 여기 지금 굉장히 쇼킹한 얘기가 있다.
27. 바로 행벡터자체가 지금 공간이란 의미인가? 15:25 이건 지금 소화가 안되니 일단 재끼고
28. 행벡터의 성질을 다시 한번 정리해 놓자. 15:40
29. 1) 열벡터로 입력을 받아 스칼라 값(방향없는값)을 출력하는 함수라는 거다. 함수로 보자는 거다.
2) 그렇구나! 이제보니 선형 선형 하는게 그런의미구나! 이게 2차방정식은 안되는거였다. 1차방정식만 된다는 그의미였구나!!! 세상에 이게 그 뜻이었어!
30. 그리고 행벡터자체가 함수가 되는 이유가 (a,b)로 행벡터가 나타나는데 이게 열벡터가 세로로(x,y)이런식으로 곱해지는데 이건 다 그냥
좌표값이기 때문이다 행벡터x 열벡터 = 상수가 되게 하는 좌표값(x,y) 말이다!
31. 그래서 행벡터의 상수인 (a,b)값이 함수가 될수 있는 것이다!
32. 그래서 행벡터가 선형함수라는 것자체가 1차방정식만 된다는 의미이다. 2차방정식이 안돼서 천만다행이다! ㅋㅋ
33. 행벡터를 만족하는 상수값에 따라 등고선이 그려지는데 그게 선형그래프이기 때문이다.
34. 그리고 한가지 신기한 것을 언급하는데 상수값이 등고선 몇번째를 통과했는가를 의미할 수 있다는 거다. 원점으로부터 16:25
그게 무슨 의미가 있을수 있는지는 모르겠지만 하여튼 그렇다치고
35. 또한가지는 이 행벡터값 (a,b)값이 원점으로부터 멀어질수록 선형등고선 폭은 좁아진다는거다! 즉 행벡터에 상수배를 해줘도 마찬가지로 원점으로부터
멀어지는데
36. 그렇게 되면 선형등고선 간격이 좁아진다는 거다. 이건 어찌보면 당연한거다. 왜냐면 ax +by=c라고 할때 C값은 동일할때 a,b값만 커진다면
당연히 그것을 만족하는 (x,y)값들의 조합은 커질필요가 없어지기 때문이다. 그래서 등고선 간격이 좁아지는 것이다.
37. 그래 행벡터[a,b]가 선형함수라는 것의 의미를 분명히 이해할 필요가 있다. 이게 선형함수가 되는것은 이게 열벡터[x,y]와 결합해 상수가 되기 때문이다.
그럼 여기서 [x,y]에는 상수가 들어가면서 좌표가 되서 선형등고선이 자연히 되기 때문에 그말을 생략하고 그냥 행벡터[a,b]가 선형함수가 된다고 말하는 것이다. 17:20
38. 여기 제일 중요한 말이 다시 한번 강조됐다. 17:50
39. 등고선은 행벡터에 원점에서 수직(=직각)으로 형성된다는 것이다! 그리고 이런 행백터들은 합쳐저서 새로운 행벡터들을 만들고 그 행벡터는 다시 원점에서
수직이 되는 등고선(=선형등고선)을 갖게 된다는 것이다!
40. 그다음에 행공간이난 걸 설명하는데 이건 일단 나중에 보자 난 지금 행벡터x열벡터=Iv1I x Iv2I x cosθ 가 된다는 것을 알게 된것만으로도 지금 벅차다!
41. 너무 감격스럽다! ㅠㅠ 이해한 내용은 다음에 여기 다시 정리하도록 한다! 오늘 정말 감격스러운 날이다! 23.09.16(토)밤 11시 55분
42. 난 지금 무슨 이걸로 부귀영화를 누리겠다고 내 일과도 상관없는 이걸 이렇게 열심히 파고 있나!! ㅋㅋ 근데 너무 재밌다.
43. 난 이걸로 인공지능으로 더 수월하게 넘어갈수 있을 것 같다. 난 사실 인공지능에 벡터가 그렇게 중요한지 이걸 하면서 처음 알았고
44. 감사하게도 벡터의 내적을 퓨리에 변환공식을 이해하면서 덤으로 이해하게 됐다. 누군가 나를 잡아끄는것 같다! 23.09.16(토)밤 11시 57분
정말 감사합니다!!
들려주셔서 감사합니다 ^^ 도움 되셨다면 좋겠습니다.
정말 감사합니다.
공대 1학년인데 죽는줄알았습니다❤❤❤❤❤
수학공부 1도 안한 문과가 40살넘어서 이 동영상으로 수학을 다시 배우고 있습니다. 벡터의 내적을 문과적으로 표현하자면 서로 다른 입장을 가진 A와 B 사이에서 A의 입장으로 B가 한 일(에너지)를 평가하면 정사영의 크기(스칼라값)만큼만 일한것 처럼 보인다는거.. 맞습니까?
선생님 감사합니다!!!!!!
감사합니다~~
결론이 뭔지 잘 모르겠어요...
'열벡터의 정사영 길이가 내적 계산에 이용되기 때문임을 기하학적으로 확인할 수 있는 것이다.' 문장의 의미가 뭔가요??
난 분명히 선형대수학을 배웠는데, 까먹은 게 아니라 진짜로 처음 듣는 이야기가 이렇게 많지?
감사합니다.
후원 감사합니다... ♡ 커피 한잔 잘 마시겠습니다 😊
감사합니다
행렬의 곱이 벡터의 내적을 의미한다는
앞의 동영상을 보고
내가 몰랐던 세계가 있구나 !!! 하고 생각했는데
행렬의 곱이 벡터의 내적이 되는 이유를
아예 행렬의 곱을 가지고
증명까지 하는데는 충격을 받았습니다
이 동영상의 의미를 곰곰이 되씹어 보니
벡터의 내적 증명을
코사인제2법칙이나 삼각함수덧셈정리를
사용하지 않고
행렬로도 증명할 수 있구나 !!!!
(지금까지 한번도 보지 못한 세계)
보는 사람은 동영상을 여러번 반복해서
봐야 한다는 것을 느꼈습니다
열벡터정사영길이와 행벡터길이를
곱한 것이 내적이 되는 이유가
일차함수를 그림을 그려 놓고 보니
행렬 곱의 결과 값이
직선의 y절편이 되니까
그 결과
(세워진 직사각형 = 비스듬한 직사각형)
면적이 같음을 이해하는데
동영상을 몇번 봤고
행벡터와 직선이 수직인 것이
기울기의 곱이 (-1) 되는 두 직선은
서로 수직이기 때문이다를
깨닫는 데도 동영상을 여러번 봤습니다
아무리 좋은 동영상이라도
보는 사람의 집념과 열의도 있어야 할 것 같아요
오늘 이 동영상을 보고
행렬의 곱이 벡터의 내적을 의미하며
행렬의 곱이
심지어
벡터의 내적 증명도 되며
행렬의 곱이
벡터내적은 정사영과의 곱셈임을
의미한다는
이런 사실을 알고 수학이나 과학을 하는 사람이
100명 중에 한명이나 될까
1000명 중에 한명이나 될까
그 생각이 들었습니다
저의 머릿속에서
아예 개념 자체가 없던 세계 ......
그냥
기계적으로 곱하기만 했었어요 ㅜ ㅜ
한꺼번에 두뇌에 부담이 많으면 안 되니
행벡터와 행공간은
나중에 보기로 했습니다 ^^
노성용님 안녕하세요. 항상 장문의 댓글을 남겨주시니까 너무 감사합니다. 매번 정말 큰 힘이 됩니다!
사실 이 내용의 경우에는 내용 자체가 워낙 익숙하지 않은 개념으로 구성되어 있기 때문에 처음 보는 사람의 입장에서는 어려울 수도 있겠다는 생각이 많이 들었습니다. 이 영상의 내용은 텐서 기하학에서 일부 가져왔기 때문에 워낙 내용이 생경하고, 익숙치 않은 개념들이 많이 제시되고 있습니다. 그러다보니 내용이 방대해지는데, 그에 반해 유튜브의 특성 상 시간을 너무 길게 할 수는 없다보니 설명이 또 빨라지기도 하고... 등등의 어려운 조건들이 있는 것 같습니다.
매번 재밌게 영상을 봐주시니 정말 감사합니다 ^^
다시 한번 말씀드리지만 정말 큰 힘이 됩니다 ㅎ
항상 열심히 공부하시는 모습이 너무 보기 좋고 업로드한 입장에서 너무 뿌듯합니다.
감사합니다 ^^ 오늘도 좋은 하루 보내세요
와... 신기하네요! 근데 아직은 이게 이래서 내적이구나 보다는 과정을 봐도 왜 행렬의 곱이 내적이랑 값이 같지? 라는 의문이 드네요 ㅋㅋㅋ 좀 더 생각해보겠습니다
으악.... 어렵당....ㅠ 그래도 포기하지 않고 선대 완강해보겠습돠
안녕하세요 좋은 글로 공부 잘하고 있습니다. 정말 감사한다는 말씀 드리고 싶어요. 고등 수학을 배울때에 대학 수학을 배울 때나 느꼈던 것이 문제 풂으로써 항상 개념이 강화되고 응용도 가능했었고 기억에도 오래 남았던 것 같습니다. 혹시 블로그 개념을 기반으로 하여 문제를 풀고 싶은데 사이트나 책을 추천해주실 수 있나요? 한글 책과 해설지가 있는 책이나 사이트라면 더 좋을 것 같아요. 항상 감사드립니다.
안녕하세요. 선형대수학만 말씀하시는 것이라면 길버트 스트랑 교수님의 추천드립니다~ 그리고 이인석 교수님의 도 클래식으로 꼽힙니다 문제도 많구요~ 두 책 모두 개념적인 설명이 탄탄해서 좋은 책입니다
쌍대공간 설명하시면서 든 예시중에 선형회귀에 대한 코멘트가 잘 이해가 가지 않습니다. 제가 전자공학 출신이라 푸리에 해석은 이해가 가는데요 (대표적으로 convolution과 같은 연산을 주파수 domain으로 가면 곱으로 쉽게 처리할 수 있다던지) 선형회귀가 행공간의 문제를 열공간에서 해결한다는 말을 좀더 풀어서 설명해주실 수 있나요? 결국 y = a1x1 + a2x2+ ... + anxn 의 계수들 a1,...,an의 값을 찾는건데 이 동영상대로 해석하면 행벡터 [a1 a2 ... an]를 찾는 문제를 열벡터 [x1 x2 ... xn]을 미분해서 (OLS) 값을 찾는다라고 말씀하신건가요? 이 해석이 아닌거 같아서 추가 설명을 요청드립니다
angeloyeo.github.io/2020/08/24/linear_regression.html
위 링크의 선형대수학 관점에서 본 회귀분석 파트를 읽어보시면 좋을 것 같습니다.
이해가 잘 안 가는 부분이 있어 여쭤봅니다. 두 벡터의 곱이 결국 내적을 의미함을 설명하는 근거로 열벡터의 정사영 길이 x 행벡터의 길이 = 내적인 것을 설명해주셨습니다.
왜 그런 계산결과가 나오는지는 기하학적으로 이해가 가지만, 그럼 그 벡터곱을 "왜" 정사영으로 설명하는 건가요? 두 벡터의 곱셈 계산식이 ax+by인 것을, 이걸 정사영으로 그려 설명하는 이유와 이 둘의 관계를 모르겠습니다.
행벡터x열벡터를 ax+by 형태로 계산하는 원리 안에 내적의 의미가 숨어있다는 걸 설명하는 게 아니라, 결과적으로 행벡터x열벡터 곱셈 수식(ax+by)으로 계산한 결과는 이 두 벡터의 내적 계산값과 동치라는 것을 말씀하시는 동영상인가요?
ax+by로 계산되는 두 벡터의 곱셈 방식도 이해되고, 그 두 벡터를 정사영했을 때 항상 같은 정사영값이 나오는 것도 알겠는데, 이 두 가지의 관계는 어떻게 설명되나요?
안녕하세요. 질문의 의도를 조금 더 명확하게 했으면 해서 제가 한번 더 질문드립니다.
질문의 의도는 왜 하필 벡터의 내적을 "정사영으로" 설명하는지 모르겠다는 것인가요?
여러번 곱씹어 읽어봐도 질문의 의도가 잘 이해되지 않습니다.
안녕하세요. 13:32초에 값 (4/루트5)은 열백터 [x,y]가 행백터 [2,1]에 정사영이 된 길이를 의미하나요? 그리고 피타고라스 정리로 푸신거라고 해서 검색해봤는데 원하는 정보를 잘 찾지를 못하겠습니다. 혹시 이와 관련된 정보 아신다면 알려주시겠어요? 좋은 영상 감사드립니다.
안녕하세요.
1. 네 맞습니다. 4/루트5는 열벡터가 행벡터에 정사영 된 그림자의 길이를 의미합니다.
2. 빗변의 길이를 계산할 때 피타고라스 정리를 이용한 부분을 말씀하시는 것 같습니다. 단순히 직각삼각형의 빗변의 길이를 계산한 공식이니 크게 특별할 것은 없을 것 같습니다... 혹시 조금 더 구체적으로 질문 주시면 더 도움드릴 수 있을 것 같네요
@@AngeloYeo 답변 감사드립니다. 2번째 질문은, 4x2 = d x 루트20이 어떻게 해서 열백터가 행백터로 정사영이 되는지도 잘 이해가 안되고, 4x2 가 어떻게 d x 루트20하고 동일한지 이해가 되질 않습니다. 많이 부족하지만, 이해하고 싶습니다.
삼각형의 넓이를 구하는 두 가지 다른 방법을 이용한 것입니다. 밑변 곱하기 높이 혹은 서로 직각인 두 변의 길이를 곱하는 것 ... 두 방법 모두 삼각형의 넓이를 계산하는 방법이기 때문입니다.
그리고 정사영은... 그림에서 내적값 하나를 결정해놓고 봤을 때 어떤 열벡터더라도 행벡터에 정사영하면 그 길이가 삼각형의 d변의 길이와 같기 때문에 열벡터의 행벡터에 대한 정사영으로 볼 수 있다는 해석입니다 ~
@@AngeloYeo 아하, 소중한 답변 진심으로 감사드립니다. 좋은 영상 언제나 감사드립니다!
와.. 여기서 grdient= row vector 로 본다면 gradient가 orthogonal 한 level curve 에 normal한 성질이 있고.. 그래서 level curve 간격이 촘촘할수록 gradient length 가 커지는군요.. 맞는 해석이라고 볼 수 있나요?
등고선을 가지고 시각화했기 때문에 등고선과 직교하는 gradient 벡터가 갖는 성질과 같아 보이네요. 그렇지만 gradient는 row vector다고 보기는 어렵습니다. gradient는 일반 벡터이고 범함수는 아니기 때문입니다. 그래도 등고선과 이에 직교하는 벡터를 이용해서 말씀하시는 현상을 파악하기에는 제 자료의 도움을 받을 수 있을 것 같습니다 :D
마지막 부분에 행벡터는 열벡터의 dual 이라는걸
positive definite inner product(Hermitian) 이 주어졌을때 벡터와 주어진 내적을 가지고 natural isomorphism을 정의할수있다 라는식으로 받아들여도 될까요???
미쳤다진짜...와대박
재밌게 봐주셔서 감사합니다 ^^~
안녕하세요! 혹시 어떤 시각화 도구를 쓰시는 지 알 수 있을까요? 2x+y=c 등고선 (?) 그래프 같은 걸 그리려면 어떤 도구를 써야 하는 지 궁금합니다!
모두 MATLAB으로 그렸습니다 😁
@@AngeloYeo 아하 그렇군요 감사합니다!!
MATLAB을 제대로 배워야 하나 고민이 되네요.. ㅋㅋㅋ 파이썬으로는 한계가 있을려나요
github.com/angeloyeo/angeloyeo.github.io/blob/master/pics/2020-09-09-row_vector_and_inner_product/pics.m
여기 그림 소스 코드가 있습니다. 참고하시구요. 언어는 선택의 문제이겠지만 MATLAB이 Python 보댜는 그림 그리기에는 좀 더 편한 부분이 있긴 합니다.
11:49 에서 "이 선들이 모두 행벡터를 의미한다"고 하셨는데 잘 이해가 안갑니다! 저 점선들은 컬럼스페이스가 아닌가요?
또한 12:12 에서 (2,1)로 표현된 행벡터가 점선들이랑 수직이 된다는 것도 잘 이해가 되지 않습니다! 직교여공간도 아니고.. 어떤 원인으로 그러한 건가요?! 답변해주시면 감사하겠습니다🙏
안녕하세요.
1. 11:49에서 언급한 내용은 "이 선들이 모두 행벡터의 시각화이죠"라고 하였는데요.
일단 점선들이 모두 벡터 스페이스라고는 볼 수 없습니다. 벡터 공간이라고 한다면 벡터 공간은 모두 (0, 0)을 지나는 집합이어야 하기 때문입니다.
저 점섬들은 말씀하신대로 column vector들의 집합이긴 합니다만, [2, 1]이라는 행벡터와 내적했을 때의 결과값이 동일한 열벡터들을 모아 시각화해둔 것이라고 풀어서 말씀드리면 더 좋을 것 같습니다.
2. 12:12에서 행벡터가 점섬들과 수직이 된다고 말씀드린 것은 "0"이라고 표시된 선 위에 end point가 있는 벡터들은 모두 [2, 1] 이라는 연산에 대한 영공간 위에 있는 벡터들이기 때문입니다.
@@user-db5fv9di7o 아, 2번 질문은 빨간색 직선에 대해서 말씀하시는 거였군요; 저는 점선에 대해서 말씀하시는 줄 알고 ... 잘못 이해했었습니다. 일단 그 이유는 [2, 1]이라는 연산이 행벡터로 볼 수도 있지만 1x2 차원의 행렬로 볼 수도 있기 때문입니다. [2, 1]이라는 행벡터를 행렬로 본다면 이 행렬의 행공간은 [2, 1]이라는 벡터의 상수배로 구성된 벡터들의 공간이 되겠지요? (즉, y=1/2 x)
그리고, 말씀하신대로 이 행렬의 영공간은 모두 y=-2x 위에 놓이게 되구요. 그러면, 행공간과 영공간은 직교하기 때문에 이 행벡터 ([2,1])와 점선들은 모두 직교한다고 볼 수 있겠지요
@@user-db5fv9di7o 너무 잘 이해하신 것 같습니다 😁
0:23 저는 왜 배운 기억이 없죠?
혹시 그 때 한쪽 눈이 감겨있었다거나... 😂😂
@@AngeloYeo 아예 기억이 없는 걸로봐선 두눈 다 감은거 같네요. 답변 감사합니다
열벡터의 정사영 길이 * 행벡터의 길이 = 내적 값과 일치함을 알 수 있다. 가 이해가 안되네요
열벡터는 [ x , y ] 일텐데
어떻게 '열벡터의 정사영 길이' 가 [4/루트 5] 인지 모르겠어요 ..
안녕하세요 해당 값은 피타고라스 정리로 계산할 수 있습니다... ㅎㅎ
@@AngeloYeo 계속 생각하는데 답이 안나오네요, 피타고라스 정리로 유도한 d값은 이해가 되요. 그것과 별개로
>> 1. 열벡터가 [ x, y] 가 맞는지,
2. 맞다면 어느 벡터를 기준으로 정사영시켜 [ 4/ 루트 5] 라는 값이 나오는 건지 이해가 안됩니다ㅠㅠ
벡터 내적할 때 '코사인 세타 값'도 알아야 하는 것 같은데 이 부분을 모르겠어요
안녕하세요. [x,y]^T 가 열벡터가 맞습니다. 그리고 코사인 세타 값은 생각하지 않아도 괜찮습니다. 동일한 내적값을 갖게해주는 등고선 상에 종점을 갖는 모든 벡터들은 같은 내적값을 갖고 동일한 정사영의 길이를 갖기 때문입니다.
@@AngeloYeo 선형대수 독학 중이라 좀 헤맸어요, 계속 생각하다가 이해했습니다.
깊이 있는 내용 진심으로 감사하고, 영상 보며 응원하고 있습니다. 감사합니다 :) !
독학은 인고의 시간을 거쳐야하는 것입니다 ㅎ 힘들더라도 차근히 포기하지 않고 하다보면 남들보다는 오래걸릴지언정 더 탄탄한 이해력을 갖추실 수 있을 것 입니다. 열공하세요 ^^
중3 이차함수 배우고있는데 왜 왔지...
음... 아직은 이 내용이 이해하기 어렵기도 하고, 이해하더라도 응용할 곳이 마땅치 않아서 크게 도움되지 않을 것 같습니다 ㅠㅠ
@@AngeloYeo 근데 재밌네용ㅎㅎ..잘 보고 갑니다(?)!
아! 리만가설 설명해주세요!!!!
@@user-id6sf3fn6k ;ㅁ;......후다닥