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字幕搞个黑边把， 背景和字幕颜色一样的时候， 啥都看不见了
字幕是四維字幕😂
@@corn_kernel笑死
作者在编辑的时候是完全不担心字幕们么😂😂
“早期人类适应三维影像”以后我见到儿童就把他叫做“早期人类”😂😂😂
感謝你的提供 太強了！ 用2維畫面畫四維物體 太強了！厲害厲害！！！我一次就看懂了
謝謝分享！很有趣的話題。感恩用心策劃！
真的很有意思。感覺我的大腦「昇華」了。我感覺這個可視化很厲害，不過理解起來還是有一點難度。我想像了一個場景，感覺會幫助理解。那個四維空間的「照相機」就像一個「方形水晶球」一樣，我們平時生活在三維空間的人類只有透過這個水晶球才可以看見四維空間中的物體。而且我們也沒有在走路，而是可以自由地飛，從水晶球不同的面飛著看它。（水晶球就類似我們的眼睛。）還有就是我之前一直認為我們生存的空間就是四維空間，除了長寬高還有時間的維度，只是這個維度不可倒退，只能向一個方向前進。時間，這個維度和一般的維度有甚麼不同麼？我覺得也可以由時間來類比，但是要理想化一點，因為現實中時間的流速和人類的變化等等速度比比較「慢」，而且時間不能倒流。假如時間的流速加快許多倍，一秒相當於十年，而且時間可以倒流的話，在一個比較類似於一般人類慣常的空間裡轉著看一個人，可能就和這個可視化差不多。在時間的維度「轉」的話，人有比較明顯的變化，而且還可以倒流。比如一個人雖然在長寬高上沒有動，但是在時間軸上向後動，他變老了，再倒退，他又變年輕了，這種變化也比較顯著。可能也有助於理解。
嚴格來說，四維空間的「照相機」不是方的，影片中那個方形觀景窗是四維照片本身
好厉害，好佩服，感觉真的增加了理解，而且确实可以更直觉地体验四维物体了
这个视频在二维的屏幕上是看不明白的。 需要在三维空间可视化出来 才能让人彻底理解。
確實 如果整一個立方體螢幕感覺會更好理解
你的字幕是在第四維空間
一些想像的tips1. 平時自己的眼睛 相當於「二維的照相機」去了解「三維的世界」 (因為人眼或照相機本身就是個二維的畫面) 但在想像四維時 要把自己本身這個人 當成「三維的照相機」去了解「四維的世界」 (因為人的認知本身是一個三維的畫面)2. 二維的照相機在看三維的世界時 有一些「結果」比如說在看一個二維的平面 或一個三維的立方體時 移動相機所帶來的變化 那些變化也可以說是一個「既定的結果」 也可以反過來說是二維照相機(視角)的「規則」 但在三維照相機 我們並沒有經驗 所以要把裡面的「結果」變成「規則」 去看四維的世界 比如說鏡頭怎麼怎麼動時 一個三維的超平面或四維的超立方體 所帶來「視角的變化」
可以啊，飄浮的空間就是四维，哈哈哈!
四维空间 是没有任何3维或以下的点开始. 没有距离和间隔. 放弃所有3D可视化举例.就是 高维度的开始
花了兩個小時看 看懂了 講得很清楚 感謝
博主绞尽了脑汁，但是我们还是不明白。🤣🤣
啊这……
真的，看不懂，不过不怪你😂
@@yugu233所以四维立方体的每一个面都是一个3维立方体是吧，而且还是有体积的是吧😂我没理解错吧
感谢分享，不过感觉第四维还是没有看懂，我自己在CAD图里面画了一下思考了一下，四维感觉相当于是在XY轴里面再加两根轴线MN，然后分别在XYM、XYN上面各画个长方体，然后偏移的顶点连线就可以了，如果扩展到多维或者无限维的话，等轴透视 投射到二维平面上面 也就是“顶面+两侧面+侧边为直径的¼圆”
0維 : 點 1維 : 線 , 點+點... , 左右X軸2維 : 面 , 線+線... , 左右X軸 , 前後Y軸3維 : 立體 , 面+面... , 左右X軸 , 前後Y軸 , 上下Z軸4維 : ??? , 立體+立體... , 左右X軸 , 前後Y軸 , 上下Z軸 , (???)按思路 立體+立體... , 如果不重疊 , 只是1個大立體 . 如果立體空間重疊 , 就是2個以上相鄰空間(部分)重疊 或者 2個以上不相鄰空間 , 遠距離空間折疊實現瞬移折射的思路是?
大家都很習慣用視覺化來理解，但真正的差異是活動能力的差距，一維無法想像二維如何活動在二維空間，二維無法想像三維，三維無法想像四維，這不是單純視覺就能說明
@@jojodu2032 討論4維空間還太早 , 那些投射的理論知識 , 目前無法驗證 . 當前要做的是如何製作偵測到構成3維空間的微小粒子OR量子 ... 的機器 , 讓人類對空間有全新認知 , 才是正確方向
感谢!
感謝博主，在看完影片後，多於多邊形模組的觀測及描述具體了許多
不过是数学借用了“空间”这个词
可以啊，你随便看一个东西，然后想象它的颜色从红色变成绿色然后变成白色，其实它就是在第四纬移动，剩下三维不动。或者想像它持续变大然后持续变小。我们大脑不能直接理解四维，因为神经网络是三维结构，无法想出四维
這個想像非常棒。我覺得主要問題也是我們的視覺是建立在二維上的，我們想像三維其實也是從二維的視角，如果是生活在四維的生物，那麼他們看到的世界理論上應該是用三維去理解，這裡的三維意義上必須跟我們的二維一樣，毫無遮擋的「看到」三次元上的每一個點（就像我們的視覺上整個平面的點都是可以被觀察到的。
这种想法是受到切片法的局限了。我在系列第三集对此做了更详细的分析：czcams.com/video/7pLGb7OXJdE/video.html
@@yugu233 切片法仍然可以應用在解釋四維，某一個時間點就是四維的某個切片，連續的切片構成變化，而能在這些時間切片中自由移動就是四維的能力
好厉害
很有意思
这就是艺术，用照相机的二维取景器推理出一个三维取景器用来观察四维空间，相当好的切入点，一场空间想象力的智力体验，发现新维度的愉快。比那些奇怪流派所谓高价艺术品更有价值。
其实很简单，你一维就是点的集合，三维其实你完全可以把二维空间线当作点当作X轴，高度为Y轴二维空间，同样你也可以把四维空间当作三维空间的为轴上的一点，在加一个轴q轴作为四维空间，这就是四维空间
寶藏頻道
绿色对面的颜色（应该叫深蓝色？）和浅蓝色对面的颜色（紫色？）差距太小了，可不可以把其中一个改为粉色什么的。
可以做一期怎麼用code打出來的影片嗎 想了解過程
👍🏻
yugu，你好！感谢您精彩的讲解，很有启发意义。我有一个疑问，三位空间的投影规则能应用到四维空间吗?我认为我们在做一维，二维和三维的投影时，都是以三维空间为背景进行的。你视频中的四维立方体也应该是遵循三维空间的投影规则。
阿 超平面...我馬上想到電影星際效應，主角庫柏跑到第四維度時的那個片段
如果四维空间，这位老師用思維空间来讲解更有用的多。别誤会因为如用中华語言，那就更有教育作用。
我想說很多話，但是懶得打字，所以就簡單總結一下吧，我個人認為我們永遠無法理解和感受更高緯度，我們最多也只能想像出四維在我們認知的空間裏的投影。但是投影畢竟只是投影，不是真正的四維，就好比二維世界沒有高度的存在，所以不論怎麼做，都無法感受不存在的東西。用降維思考方法來推導的話，四維空間就是你在看一個物體的時候，能同時看到它的全貌和內在結構，並能繞過三維直接干預該物體的內部結構，這點光是想像就很難了。就好比我們畫個圓，在不破壞這個圓圈周長線的情況下，可以在裏面添加或擦除線條或圖形。
还是看晕了
在2維的平面上, 先想像3維, 再想像4維, 太難了, 如果有全像投影, 會比較容易了解
自己做的字幕吗？，还是自动生成
既是球體也是洞
相机和超立方体的运动是相对的。 那么，相机绕超立方体的运动，可不可以找到对应的超立方体在动而相机静止的运动方式呢？是不是一种旋转运动呢？
是旋转没错的。
@@yugu233 应该不是绕着某一条主轴（橙白轴，蓝绿轴，红黄轴，或紫淡蓝轴）旋转，因为那样会有三对侧面会出现（或一直见到红色立方体），而不是只有两对侧面出现。可不可以讲解一下这具体到底是什么样的旋转呢？
@@thecooperson5672 旋转是一个二维运动，在四维空间中没有“绕轴”旋转，而是在一个二维平面内旋转，三维空间中绕轴的说法只是因为三维空间中平面与其法向量的对偶关系。在你当问题中，摄像机的连线+一个侧方向（比如蓝绿）构成了旋转平面。
@@yugu233 谢谢，明白了。当超立方体在yw, xw, zw (假设w轴为超立方体和摄像机的连线）平面旋转上旋转时，x, y, z 轴的一对侧面就会和w轴的一对侧面（前后两个侧面，就是视屏中的红色和黄色的侧面）交替出现。假设一轴为x,y,z的等分线k(就是立方体的对角线）, 是不是在kw平面旋转时就会交替出现：红，四个侧面，黄，四个侧面）？
第四維就是"無常"啊，也就是俗稱的時間，有變化才有時間，我們現在都在同一個方向的時間變化中，你們想想，整個宇宙啥都沒有的時候有沒有"無常"這個東西？而一旦變動出現，就產生了各種可能性，而連續的可能性構成了時間，朝著某個方向的時間線前進，就是我們體驗的三維人生，也就是無常，三維的個體可以三維中活動，而四維的層次可以在時間中活動，比較粗暴的舉例：如果一個人可以在四維中活動，你可以看到他從小孩變成老人，再從老人變成小孩，而第五維度我認為是"可能性"，也就是俗稱的平行宇宙，如果一個人可以在五維中活動，你可以看到他切換各種不同的版本
不嚴謹地說，畢卡索的畫像是不是四維空間中三維物體的某個成像
一維：你的通勤路段二維：你所在的座標周遭三維：你所在的室內空間四維：基於你所在的室內空間，再進一步擴張空間，好比如你在VR的世界當中 你在VR中的角色處於3維空間 而你的操作者意識則處於4維空間五維：在四維的基礎之上 再額外擴展4次方空間依此類推 在高維生物的眼中 我們就是一個點
到此一遊
這是數學上幾何學的聖盃-篏入空間從平面空間開始算純數學的聖盃是黎曼假設被我解開了
四維是不是直接一眼就能看到一個物件的所有角度？？
就是傳說中的透視眼？
加上時間軸(可前後移動時間)，那就有三維空間，隨時間軸移動，形成四維
那是四維時空，不是四維空間，二維平面加上時間也不會變三維空間
@@Michael-xv3dl 誰說四維是空間，你已經侷限在空間了，而且誰說二維加時間就是三維空間？根本亂講，你以為這是加減法？二維加上特定的維度才會變成三維
@@jojodu2032 我的意思是很多人錯誤理解四維時空做四維空間，二維空間加時間是一種比喻，請你讀清楚。四維空間的確是指空間，四條互相垂直的軸
完完全全的混淆概念。
有聽過第四維 可能是時間軸的說法
就是"無常"，我另外有留言了
不行，我不懂哈哈
他在你的维度之外，你怎么把它画到缺少一维的空间里？你只能画他的投影。所以，在三维空间里画出来的任何四维空间的样子都是错误的。
音樂大吵耳😂😂😂
沒有看懂，文科人表示太難看明白了
真难啊
感覺就是類似你的眼睛有了超能力能看見動物的內臟或手錶裡的零件,但因為人類的眼睛不具備這功能,你看不見就想像不出來..所以想解開不如叫科學家或實驗體裝上有這功能的眼睛過生活,論文不就有了
超能力= =
你這就太粗淺了，如果能看見內臟就是四維，那X光就是四維超能力？？天真
好難懂
如果真有四维空间，那么它只可能是平行宇宙。
第四維是時間，第五維才是可能性(也就是平行宇宙)，我另外有評論說明
@@jojodu2032 你說的是愛因斯坦的四維時空，他把時間定義為第四維，所以名稱叫四維時空，而不是四維空間。
如果真有鬼的話 那就是一個四維空間
鬼不能代表另一個空間，就算是另一個空間也還是空間，空間就是三維範圍內，人類都有靈魂，難道人類是第四維啊？
是不是要先确定光线光子在四维空间中的运动路径？折射，反射，散射，...之后，才能确定肉身人类会看到什么样的景像，毕竟，「看」这个动作脱离不了光线，看了之后，才有可能理解，理解之后，才有可能感受，和做出正确的预测，
人可以想像出沒見過的顏色嗎？
我在系列的第三集比较详细的聊了我对这类问题和观点的看法，可以看一下～
第四維是不可見的。因此在我們處的三維要證明四維，這是不可能的。只能用類似意識或時間解釋。
我觉得·· 只有借助VR，才好理解4维的概念·· 光是看视频这种2维的介质实在有点困难。
VR确实可以提供更强的立体感。还有交互也很重要。所以我在搞游戏开发了～
想象一下昆虫的複眼取景後是怎樣理解這個世界
学四维空间有啥意义？解决啥问题？🤔
解決沒有精神內耗的困擾
四维球体是什么样的
参见第5集
說的真好, 四維物體穿過三維空間時, 我們會看到三維物體持續的變動著的物體, 而這持續的變動的物體是四維物體的截面, 所以通常看起來非常恐怖, 而且看的人大概率會失去理智,逐漸死亡.就像三維的我們,穿過二維時, 二維生物會看到一面大小變動的肉, 這面肉其實是我們的截面. 所以看起來很噁心. 二維生命體因為理解不能, 大概率會被嚇死.就像我們不能理解四維, 大部份人會被嚇死, 只有少部份夠理智的人能理解而活著.
= =
你這叫自作多情，可能有少數個案會嚇死，這不代表一定會嚇死所有人，你以為是什麼SCP的怪談規則啊？
我可以想像四維空間 甚至是五維空間我想像中的第四維是 無數個並排的三維世界 就像一大堆水珠 每個水珠都映照著一整個三維世界從一個水珠跳到另一個水珠的運動 就是這第四維上的移動而五維空間 我稱為層 或是尺度例如剛才舉例的 無數個並排的水珠是四維空間 但這些水珠全都存在於 我們這個世界之中 (暫稱為0世界)而比我們的世界還"小"的一大群無數個第一種水珠世界 就可稱為(-1世界)每個水珠世界中也有無數個水珠 在-1世界中的水珠就可稱為(-2世界)依此類推 就可得出 雖然尺度不同 但本質相同的無限層水珠世界而其中在五維上的運動 就是穿越大小不同的尺度 如果要更簡單的理解 也可以想像一個監控室的螢幕上充滿了各個監視器畫面 每個畫面代表一個三維世界 並排的畫面代表了四維世界 而管理員的世界 與監視器中的世界 這個內外的方向 正是第五維不論是第四維或是第五維 都是可以無限延展的 就如同三維世界的長寬高一樣
我有做過一個夢 就是可以從無數個三維世界中 像翻書一樣 選擇一個世界進入另外一個夢 是我可以自由縮放世界尺度 在三維世界中任一個不起眼的角落 都能把它無限放大 然後變成一個可以蓋房子的空間甚至於這個房子的某一個角落 也能夠再無限放大 蓋另一間房子
@@user-user-user-user-user-888 你這個還是三維的概念.......並沒有想像出四維
@@mvjd5318 長 寬 高 尺度左右 前後 上下 縮放層縮放層不是普通的縮放大小 而是像曼德博集合那樣 往更大或更小的自相似體移動放大一層 前一層的所有內容將縮到無限小
這很清晰 如果不明白的話 可以先用物理世界類比 當第四維是時間 現在是時空四維 看一個超立方和看一個人的一生有相似 而這個視覺是同時看到這個人每一刻 並同時存在 不過要注意的是 四維空間當然和時空四維有差別 所以這只是幫助理解的類比 按我的想像 四維空間應該是位置一樣 但看到不同方向的立方 又看似不相連而中心一致 不過我很好奇五維 甚至N維的視覺 又會怎樣 anyway 多謝作者精妙的演示
與其說視覺不如說體驗，視覺太狹隘了，視覺本身就是三維產物怎可能用來理解全維度？只有體驗才行
就例如你可以在時間線上自由移動，但你可以看到所有時間點的影像嗎？所有時間點的影像疊在一起大概是全黑或是全白的一片，但在時間線上移動，你可以體驗到時間的變化
这个频道这么有意思订阅居然这么少
似乎最近刚刚被算法注意到……
😅很遺憾雖然你很努力但這個頂多還是四維得影子⋯⋯三維⋯⋯老實說有點感覺的但離四維那種萬花筒般的空間感還是沒辦法描繪出來的，用冥想感知還是能觸碰下，但表達是沒有辦法的
冥想🤣
@@corn_kernel 你不知道冥想嗎
零維是一個點，並排的點形成一維(線)，並排的線形成二維(面)，並排的面形成三維(立體)，按此推論，並排的立體就是四維！
山炮
四維就是空間+時間，時間是動態的，所以更本不可能用靜態的方式呈現；把一朵花，從含苞到怒放、凋謝... 的整個過程，一氣呵成展現，那才是四維的狀態，四維就是持續地無常變化。
空間+時間是等於時空，不是四維空間
建議先理解四維空間和四維時空所指的不同 不要混為一談 也不要只講四維 雖然時間確實有可能作為空間的一個維度 但這還需要進一步確認時間與空間的性質 確定兩者性質相同 才能夠將其視為同等的對象目前大多在討論的是 單看空間的第四維度 也就是四維空間 而非四維時空
你指得是 minkowski space 用時間當作第四維。但在數學上維度甚至可以是無限的，例如X=(x1,x2, ..., x10) 每個 xi 屬於實數，X 就是十維空間中的任意點。
我看有人說四維生物看我們三維世界，能夠全方位透視，想像一下，外星人看地球人，那些偉光正的大人物，一本正經地穿著透視裝，豈不可笑？😂低俗人的胡思亂想。
那你就是受到固有思想的侷限了。實際上，如果存在四維人，那他看我們的時候不是「透視」，而是同時能看到從內臟一直到一切在三維被遮蔽的東西。正如，你看一個正方形時能同時看到它的內部一樣。對於二維生物而言，它不可能不切開這個正方形就看到它的內部 - 即使是用透明物料製造，它看到的也與三維的視覺不一樣。且，外星人大概率不會對人類有任何非分之想。又，在這個三維的宇宙裏，能遇到的外星人大概也只有三維吧。
三維空間是無數個二維空間，所以四維空間就是無數個三維空間。就是平行宇宙。而宇宙可能本來就是超維的，我們觀察了所以坍缩到了三纬。
有道理
只是处于三维时空对二维时空的想象而已
你們都漏掉一件事了，我們現在只能在時間線的一個方向前進，你們就沒有想過，可以在時間線上自由活動的可能性嗎？而在時間線上自由活動就是第四維，而不同的時間線才是第五維，也就是平行宇宙，所以才說低維度無法想像高維度，人類根本不敢想像可以在時間線上自由穿梭
所以这就是平面国里的大名鼎鼎的，视觉识别(Sight recognition)课程吧。
人类可以想象无限维度的时空，但只能感知/确立三维时空
的異世界生活
我们生活在四维空间，只是无法在四维空间中移动 无法在时空中移动
你这个立方体（不管什么体），本身就是个三维空间的概念，如何拿到四维里去应用，不解
應該說立方體在任何維度都可以定義，一維就是兩點所連成長度為1的線，二維就是長度為1的正方形，三維就是邊長為1的立方體，用同樣方式可定義任意維度的立方體。只是四維以上我們無法看到，只能透過一些三維到二維的類比、或是投影到三維的方式才能免強感受到何謂四維空間。
这不就是纯粹的扯淡吗 四维空间只存在于数学中罢了 强行用几何来表现 全是矛盾 三维空间能够观察一维和二维也是因为一维和二维根本是不存在的 画出来的点线面从来都不是一维二维的 而是三维的 空间方向上永远只可能存在3个坐标 构成我们熟知的三维空间 四维空间只是数学上的一种思考罢了 也可以说是一种列举和推理 它可以满足一些数学公式 因为数字是可以无中生有的 但空间 物质 能量不能凭空产生和消失
幾何本身就無維度的限制。有限制的那個叫物理。實際上，我們常用的數據分析方法也經常將每一個不相干的 feature 視為一個抽象空間中的方向 - 而用此進行幾何上的運算得出的結果在數據分析學上也是有意義的。比如「夾角」 (cosine similarity 餘弦相似性) 對應兩個 item 在抽象空間 (latent space) 中的相似度，也被廣泛應用在人工智能中。比如「距離」(通常為歐氏距離或曼哈頓距離/L1 Norm) 又比如「投影」- 基於幾何學的直角投影等也被廣泛地用在數據分析上以減少數據的複雜度並抽取當中影響最大的變量。故，可以認為將四維或以上空間可視化是一種奢侈 - 因為通常人類的視覺不足以分析四維以上的資訊量 - 但四維以上空間的特性對於抽象空間和統計學上的應用而言是有意義的。線性代數通常也會通過幾何的方式來幫助理解 - 儘管理論上是能夠僅通過純代數的方式進行研究。
@@plus-sign谢谢你的回复
知道你看不懂啦。
字幕搞个黑边把， 背景和字幕颜色一样的时候， 啥都看不见了
字幕是四維字幕😂
@@corn_kernel笑死
作者在编辑的时候是完全不担心字幕们么😂😂
“早期人类适应三维影像”
以后我见到儿童就把他叫做“早期人类”😂😂😂
感謝你的提供 太強了！ 用2維畫面畫四維物體 太強了！
厲害厲害！！！
我一次就看懂了
謝謝分享！很有趣的話題。感恩用心策劃！
真的很有意思。感覺我的大腦「昇華」了。我感覺這個可視化很厲害，不過理解起來還是有一點難度。我想像了一個場景，感覺會幫助理解。那個四維空間的「照相機」就像一個「方形水晶球」一樣，我們平時生活在三維空間的人類只有透過這個水晶球才可以看見四維空間中的物體。而且我們也沒有在走路，而是可以自由地飛，從水晶球不同的面飛著看它。（水晶球就類似我們的眼睛。）
還有就是我之前一直認為我們生存的空間就是四維空間，除了長寬高還有時間的維度，只是這個維度不可倒退，只能向一個方向前進。時間，這個維度和一般的維度有甚麼不同麼？我覺得也可以由時間來類比，但是要理想化一點，因為現實中時間的流速和人類的變化等等速度比比較「慢」，而且時間不能倒流。假如時間的流速加快許多倍，一秒相當於十年，而且時間可以倒流的話，在一個比較類似於一般人類慣常的空間裡轉著看一個人，可能就和這個可視化差不多。在時間的維度「轉」的話，人有比較明顯的變化，而且還可以倒流。比如一個人雖然在長寬高上沒有動，但是在時間軸上向後動，他變老了，再倒退，他又變年輕了，這種變化也比較顯著。可能也有助於理解。
嚴格來說，四維空間的「照相機」不是方的，影片中那個方形觀景窗是四維照片本身
好厉害，好佩服，感觉真的增加了理解，而且确实可以更直觉地体验四维物体了
这个视频在二维的屏幕上是看不明白的。 需要在三维空间可视化出来 才能让人彻底理解。
確實 如果整一個立方體螢幕感覺會更好理解
你的字幕是在第四維空間
一些想像的tips
1. 平時自己的眼睛 相當於「二維的照相機」去了解「三維的世界」 (因為人眼或照相機本身就是個二維的畫面)
但在想像四維時
要把自己本身這個人 當成「三維的照相機」去了解「四維的世界」 (因為人的認知本身是一個三維的畫面)
2. 二維的照相機在看三維的世界時 有一些「結果」比如說在看一個二維的平面 或一個三維的立方體時 移動相機所帶來的變化 那些變化也可以說是一個「既定的結果」 也可以反過來說是二維照相機(視角)的「規則」
但在三維照相機 我們並沒有經驗 所以要把裡面的「結果」變成「規則」 去看四維的世界
比如說鏡頭怎麼怎麼動時 一個三維的超平面或四維的超立方體 所帶來「視角的變化」
可以啊，飄浮的空間就是四维，哈哈哈!
四维空间 是没有任何3维或以下的点开始. 没有距离和间隔. 放弃所有3D可视化举例.就是 高维度的开始
花了兩個小時看 看懂了 講得很清楚 感謝
博主绞尽了脑汁，但是我们还是不明白。🤣🤣
啊这……
真的，看不懂，不过不怪你😂
@@yugu233所以四维立方体的每一个面都是一个3维立方体是吧，而且还是有体积的是吧😂我没理解错吧
感谢分享，不过感觉第四维还是没有看懂，我自己在CAD图里面画了一下思考了一下，四维感觉相当于是在XY轴里面再加两根轴线MN，然后分别在XYM、XYN上面各画个长方体，然后偏移的顶点连线就可以了，如果扩展到多维或者无限维的话，等轴透视 投射到二维平面上面 也就是“顶面+两侧面+侧边为直径的¼圆”
0維 : 點
1維 : 線 , 點+點... , 左右X軸
2維 : 面 , 線+線... , 左右X軸 , 前後Y軸
3維 : 立體 , 面+面... , 左右X軸 , 前後Y軸 , 上下Z軸
4維 : ??? , 立體+立體... , 左右X軸 , 前後Y軸 , 上下Z軸 , (???)
按思路 立體+立體... , 如果不重疊 , 只是1個大立體 . 如果立體空間重疊 , 就是2個以上相鄰空間(部分)重疊 或者 2個以上不相鄰空間 , 遠距離空間折疊實現瞬移
折射的思路是?
大家都很習慣用視覺化來理解，但真正的差異是活動能力的差距，一維無法想像二維如何活動在二維空間，二維無法想像三維，三維無法想像四維，這不是單純視覺就能說明
@@jojodu2032 討論4維空間還太早 , 那些投射的理論知識 , 目前無法驗證 . 當前要做的是如何製作偵測到構成3維空間的微小粒子OR量子 ... 的機器 , 讓人類對空間有全新認知 , 才是正確方向
感谢!
感謝博主，在看完影片後，多於多邊形模組的觀測及描述具體了許多
不过是数学借用了“空间”这个词
可以啊，你随便看一个东西，然后想象它的颜色从红色变成绿色然后变成白色，其实它就是在第四纬移动，剩下三维不动。或者想像它持续变大然后持续变小。我们大脑不能直接理解四维，因为神经网络是三维结构，无法想出四维
這個想像非常棒。我覺得主要問題也是我們的視覺是建立在二維上的，我們想像三維其實也是從二維的視角，如果是生活在四維的生物，那麼他們看到的世界理論上應該是用三維去理解，這裡的三維意義上必須跟我們的二維一樣，毫無遮擋的「看到」三次元上的每一個點（就像我們的視覺上整個平面的點都是可以被觀察到的。
这种想法是受到切片法的局限了。我在系列第三集对此做了更详细的分析：czcams.com/video/7pLGb7OXJdE/video.html
@@yugu233 切片法仍然可以應用在解釋四維，某一個時間點就是四維的某個切片，連續的切片構成變化，而能在這些時間切片中自由移動就是四維的能力
好厉害
很有意思
这就是艺术，用照相机的二维取景器推理出一个三维取景器用来观察四维空间，相当好的切入点，一场空间想象力的智力体验，发现新维度的愉快。比那些奇怪流派所谓高价艺术品更有价值。
其实很简单，你一维就是点的集合，三维其实你完全可以把二维空间线当作点当作X轴，高度为Y轴二维空间，同样你也可以把四维空间当作三维空间的为轴上的一点，在加一个轴q轴作为四维空间，这就是四维空间
寶藏頻道
绿色对面的颜色（应该叫深蓝色？）和浅蓝色对面的颜色（紫色？）差距太小了，可不可以把其中一个改为粉色什么的。
可以做一期怎麼用code打出來的影片嗎 想了解過程
👍🏻
yugu，你好！感谢您精彩的讲解，很有启发意义。
我有一个疑问，三位空间的投影规则能应用到四维空间吗?
我认为我们在做一维，二维和三维的投影时，都是以三维空间为背景进行的。你视频中的四维立方体也应该是遵循三维空间的投影规则。
阿 超平面...
我馬上想到電影星際效應，主角庫柏跑到第四維度時的那個片段
如果四维空间，这位老師用思維空间来讲解更有用的多。别誤会因为如用中华語言，那就更有教育作用。
我想說很多話，但是懶得打字，所以就簡單總結一下吧，我個人認為我們永遠無法理解和感受更高緯度，我們最多也只能想像出四維在我們認知的空間裏的投影。但是投影畢竟只是投影，不是真正的四維，就好比二維世界沒有高度的存在，所以不論怎麼做，都無法感受不存在的東西。用降維思考方法來推導的話，四維空間就是你在看一個物體的時候，能同時看到它的全貌和內在結構，並能繞過三維直接干預該物體的內部結構，這點光是想像就很難了。就好比我們畫個圓，在不破壞這個圓圈周長線的情況下，可以在裏面添加或擦除線條或圖形。
还是看晕了
在2維的平面上, 先想像3維, 再想像4維, 太難了, 如果有全像投影, 會比較容易了解
自己做的字幕吗？，还是自动生成
既是球體也是洞
相机和超立方体的运动是相对的。 那么，相机绕超立方体的运动，可不可以找到对应的超立方体在动而相机静止的运动方式呢？是不是一种旋转运动呢？
是旋转没错的。
@@yugu233 应该不是绕着某一条主轴（橙白轴，蓝绿轴，红黄轴，或紫淡蓝轴）旋转，因为那样会有三对侧面会出现（或一直见到红色立方体），而不是只有两对侧面出现。可不可以讲解一下这具体到底是什么样的旋转呢？
@@thecooperson5672 旋转是一个二维运动，在四维空间中没有“绕轴”旋转，而是在一个二维平面内旋转，三维空间中绕轴的说法只是因为三维空间中平面与其法向量的对偶关系。在你当问题中，摄像机的连线+一个侧方向（比如蓝绿）构成了旋转平面。
@@yugu233 谢谢，明白了。当超立方体在yw, xw, zw (假设w轴为超立方体和摄像机的连线）平面旋转上旋转时，x, y, z 轴的一对侧面就会和w轴的一对侧面（前后两个侧面，就是视屏中的红色和黄色的侧面）交替出现。假设一轴为x,y,z的等分线k(就是立方体的对角线）, 是不是在kw平面旋转时就会交替出现：红，四个侧面，黄，四个侧面）？
第四維就是"無常"啊，也就是俗稱的時間，有變化才有時間，我們現在都在同一個方向的時間變化中，你們想想，整個宇宙啥都沒有的時候有沒有"無常"這個東西？而一旦變動出現，就產生了各種可能性，而連續的可能性構成了時間，朝著某個方向的時間線前進，就是我們體驗的三維人生，也就是無常，三維的個體可以三維中活動，而四維的層次可以在時間中活動，比較粗暴的舉例：如果一個人可以在四維中活動，你可以看到他從小孩變成老人，再從老人變成小孩，而第五維度我認為是"可能性"，也就是俗稱的平行宇宙，如果一個人可以在五維中活動，你可以看到他切換各種不同的版本
不嚴謹地說，畢卡索的畫像是不是四維空間中三維物體的某個成像
一維：你的通勤路段
二維：你所在的座標周遭
三維：你所在的室內空間
四維：基於你所在的室內空間，再進一步擴張空間，好比如你在VR的世界當中 你在VR中的角色處於3維空間 而你的操作者意識則處於4維空間
五維：在四維的基礎之上 再額外擴展4次方空間
依此類推 在高維生物的眼中 我們就是一個點
到此一遊
這是數學上幾何學的聖盃-篏入空間
從平面空間開始算
純數學的聖盃是黎曼假設
被我解開了
四維是不是直接一眼就能看到一個物件的所有角度？？
就是傳說中的透視眼？
加上時間軸(可前後移動時間)，那就有三維空間，隨時間軸移動，形成四維
那是四維時空，不是四維空間，二維平面加上時間也不會變三維空間
@@Michael-xv3dl 誰說四維是空間，你已經侷限在空間了，而且誰說二維加時間就是三維空間？根本亂講，你以為這是加減法？二維加上特定的維度才會變成三維
@@jojodu2032 我的意思是很多人錯誤理解四維時空做四維空間，二維空間加時間是一種比喻，請你讀清楚。
四維空間的確是指空間，四條互相垂直的軸
完完全全的混淆概念。
有聽過第四維 可能是時間軸的說法
就是"無常"，我另外有留言了
不行，我不懂哈哈
他在你的维度之外，你怎么把它画到缺少一维的空间里？你只能画他的投影。所以，在三维空间里画出来的任何四维空间的样子都是错误的。
音樂大吵耳😂😂😂
沒有看懂，文科人表示太難看明白了
真难啊
感覺就是類似你的眼睛有了超能力能看見動物的內臟或手錶裡的零件,但因為人類的眼睛不具備這功能,你看不見就想像不出來..所以想解開不如叫科學家或實驗體裝上有這功能的眼睛過生活,論文不就有了
超能力= =
你這就太粗淺了，如果能看見內臟就是四維，那X光就是四維超能力？？天真
好難懂
如果真有四维空间，那么它只可能是平行宇宙。
第四維是時間，第五維才是可能性(也就是平行宇宙)，我另外有評論說明
@@jojodu2032 你說的是愛因斯坦的四維時空，他把時間定義為第四維，所以名稱叫四維時空，而不是四維空間。
如果真有鬼的話 那就是一個四維空間
鬼不能代表另一個空間，就算是另一個空間也還是空間，空間就是三維範圍內，人類都有靈魂，難道人類是第四維啊？
是不是要先确定光线光子在四维空间中的运动路径？折射，反射，散射，...
之后，才能确定肉身人类会看到什么样的景像，
毕竟，「看」这个动作脱离不了光线，
看了之后，才有可能理解，
理解之后，才有可能感受，和做出正确的预测，
人可以想像出沒見過的顏色嗎？
我在系列的第三集比较详细的聊了我对这类问题和观点的看法，可以看一下～
第四維是不可見的。因此在我們處的三維要證明四維，這是不可能的。只能用類似意識或時間解釋。
我觉得·· 只有借助VR，才好理解4维的概念·· 光是看视频这种2维的介质实在有点困难。
VR确实可以提供更强的立体感。还有交互也很重要。所以我在搞游戏开发了～
想象一下昆虫的複眼取景後是怎樣理解這個世界
学四维空间有啥意义？解决啥问题？🤔
解決沒有精神內耗的困擾
四维球体是什么样的
参见第5集
說的真好, 四維物體穿過三維空間時, 我們會看到三維物體持續的變動著的物體, 而這持續的變動的物體是四維物體的截面, 所以通常看起來非常恐怖, 而且看的人大概率會失去理智,逐漸死亡.
就像三維的我們,穿過二維時, 二維生物會看到一面大小變動的肉, 這面肉其實是我們的截面. 所以看起來很噁心. 二維生命體因為理解不能, 大概率會被嚇死.
就像我們不能理解四維, 大部份人會被嚇死, 只有少部份夠理智的人能理解而活著.
= =
你這叫自作多情，可能有少數個案會嚇死，這不代表一定會嚇死所有人，你以為是什麼SCP的怪談規則啊？
我可以想像四維空間 甚至是五維空間
我想像中的第四維是 無數個並排的三維世界 就像一大堆水珠 每個水珠都映照著一整個三維世界
從一個水珠跳到另一個水珠的運動 就是這第四維上的移動
而五維空間 我稱為層 或是尺度
例如剛才舉例的 無數個並排的水珠是四維空間 但這些水珠全都存在於 我們這個世界之中 (暫稱為0世界)
而比我們的世界還"小"的一大群無數個第一種水珠世界 就可稱為(-1世界)
每個水珠世界中也有無數個水珠 在-1世界中的水珠就可稱為(-2世界)
依此類推 就可得出 雖然尺度不同 但本質相同的無限層水珠世界
而其中在五維上的運動 就是穿越大小不同的尺度
如果要更簡單的理解 也可以想像一個監控室的螢幕上充滿了各個監視器畫面 每個畫面代表一個三維世界
並排的畫面代表了四維世界
而管理員的世界 與監視器中的世界 這個內外的方向 正是第五維
不論是第四維或是第五維 都是可以無限延展的 就如同三維世界的長寬高一樣
我有做過一個夢 就是可以從無數個三維世界中 像翻書一樣 選擇一個世界進入
另外一個夢 是我可以自由縮放世界尺度 在三維世界中任一個不起眼的角落 都能把它無限放大 然後變成一個可以蓋房子的空間
甚至於這個房子的某一個角落 也能夠再無限放大 蓋另一間房子
@@user-user-user-user-user-888 你這個還是三維的概念.......並沒有想像出四維
@@mvjd5318 長 寬 高 尺度
左右 前後 上下 縮放層
縮放層不是普通的縮放大小
而是像曼德博集合那樣 往更大或更小的自相似體移動
放大一層 前一層的所有內容將縮到無限小
這很清晰 如果不明白的話 可以先用物理世界類比 當第四維是時間 現在是時空四維 看一個超立方和看一個人的一生有相似 而這個視覺是同時看到這個人每一刻 並同時存在 不過要注意的是 四維空間當然和時空四維有差別 所以這只是幫助理解的類比 按我的想像 四維空間應該是位置一樣 但看到不同方向的立方 又看似不相連而中心一致
不過我很好奇五維 甚至N維的視覺 又會怎樣 anyway 多謝作者精妙的演示
與其說視覺不如說體驗，視覺太狹隘了，視覺本身就是三維產物怎可能用來理解全維度？只有體驗才行
就例如你可以在時間線上自由移動，但你可以看到所有時間點的影像嗎？所有時間點的影像疊在一起大概是全黑或是全白的一片，但在時間線上移動，你可以體驗到時間的變化
这个频道这么有意思订阅居然这么少
似乎最近刚刚被算法注意到……
😅很遺憾雖然你很努力但這個頂多還是四維得影子⋯⋯三維⋯⋯老實說有點感覺的但離四維那種萬花筒般的空間感還是沒辦法描繪出來的，用冥想感知還是能觸碰下，但表達是沒有辦法的
冥想🤣
@@corn_kernel 你不知道冥想嗎
零維是一個點，並排的點形成一維(線)，並排的線形成二維(面)，並排的面形成三維(立體)，按此推論，並排的立體就是四維！
山炮
四維就是空間+時間，時間是動態的，所以更本不可能用靜態的方式呈現；把一朵花，從含苞到怒放、凋謝... 的整個過程，一氣呵成展現，那才是四維的狀態，四維就是持續地無常變化。
空間+時間是等於時空，不是四維空間
建議先理解四維空間和四維時空所指的不同
不要混為一談 也不要只講四維
雖然時間確實有可能作為空間的一個維度
但這還需要進一步確認時間與空間的性質 確定兩者性質相同 才能夠將其視為同等的對象
目前大多在討論的是 單看空間的第四維度 也就是四維空間 而非四維時空
你指得是 minkowski space 用時間當作第四維。但在數學上維度甚至可以是無限的，例如X=(x1,x2, ..., x10) 每個 xi 屬於實數，X 就是十維空間中的任意點。
我看有人說四維生物看我們三維世界，能夠全方位透視，想像一下，外星人看地球人，那些偉光正的大人物，一本正經地穿著透視裝，豈不可笑？😂低俗人的胡思亂想。
那你就是受到固有思想的侷限了。實際上，如果存在四維人，那他看我們的時候不是「透視」，而是同時能看到從內臟一直到一切在三維被遮蔽的東西。
正如，你看一個正方形時能同時看到它的內部一樣。對於二維生物而言，它不可能不切開這個正方形就看到它的內部 - 即使是用透明物料製造，它看到的也與三維的視覺不一樣。
且，外星人大概率不會對人類有任何非分之想。又，在這個三維的宇宙裏，能遇到的外星人大概也只有三維吧。
三維空間是無數個二維空間，所以四維空間就是無數個三維空間。就是平行宇宙。而宇宙可能本來就是超維的，我們觀察了所以坍缩到了三纬。
有道理
只是处于三维时空对二维时空的想象而已
你們都漏掉一件事了，我們現在只能在時間線的一個方向前進，你們就沒有想過，可以在時間線上自由活動的可能性嗎？而在時間線上自由活動就是第四維，而不同的時間線才是第五維，也就是平行宇宙，所以才說低維度無法想像高維度，人類根本不敢想像可以在時間線上自由穿梭
所以这就是平面国里的大名鼎鼎的，视觉识别(Sight recognition)课程吧。
人类可以想象无限维度的时空，但只能感知/确立三维时空
的異世界生活
我们生活在四维空间，只是无法在四维空间中移动 无法在时空中移动
你这个立方体（不管什么体），本身就是个三维空间的概念，如何拿到四维里去应用，不解
應該說立方體在任何維度都可以定義，一維就是兩點所連成長度為1的線，二維就是長度為1的正方形，三維就是邊長為1的立方體，用同樣方式可定義任意維度的立方體。只是四維以上我們無法看到，只能透過一些三維到二維的類比、或是投影到三維的方式才能免強感受到何謂四維空間。
这不就是纯粹的扯淡吗 四维空间只存在于数学中罢了 强行用几何来表现 全是矛盾 三维空间能够观察一维和二维也是因为一维和二维根本是不存在的 画出来的点线面从来都不是一维二维的 而是三维的 空间方向上永远只可能存在3个坐标 构成我们熟知的三维空间 四维空间只是数学上的一种思考罢了 也可以说是一种列举和推理 它可以满足一些数学公式 因为数字是可以无中生有的 但空间 物质 能量不能凭空产生和消失
幾何本身就無維度的限制。有限制的那個叫物理。
實際上，我們常用的數據分析方法也經常將每一個不相干的 feature 視為一個抽象空間中的方向 - 而用此進行幾何上的運算得出的結果在數據分析學上也是有意義的。
比如「夾角」 (cosine similarity 餘弦相似性) 對應兩個 item 在抽象空間 (latent space) 中的相似度，也被廣泛應用在人工智能中。
比如「距離」(通常為歐氏距離或曼哈頓距離/L1 Norm)
又比如「投影」- 基於幾何學的直角投影等也被廣泛地用在數據分析上以減少數據的複雜度並抽取當中影響最大的變量。
故，可以認為將四維或以上空間可視化是一種奢侈 - 因為通常人類的視覺不足以分析四維以上的資訊量 - 但四維以上空間的特性對於抽象空間和統計學上的應用而言是有意義的。
線性代數通常也會通過幾何的方式來幫助理解 - 儘管理論上是能夠僅通過純代數的方式進行研究。
@@plus-sign谢谢你的回复
知道你看不懂啦。