Let's watch Infinity together
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- čas přidán 12. 06. 2024
- This is a story about actual infinity and potential infinity, topics not covered in school. We will present a new proof that
0.999...
0.999... equals 1 and explore how mathematicians like Cantor, Newton, Leibniz, and Cauchy approached the concept of infinity. We will also briefly examine Zeno's paradoxes. Finally, we will discuss why potential infinity does not appear in calculus. I hope this will be an opportunity to think more deeply about the concept of infinity. This may be a math documentary that could feel tedious at times, but please enjoy it until the end!
#Infinity #Settheory #math
저의 부족한 영상을 시청해 주신 여러분께 진심으로 감사드립니다. 😍정말 다양한 의견들을 접할 수가 있어서 좋네요~~. 하지만, 이 채널은 저의 제자들도 함께 하는 곳이며 제 채널을 찾아주시는 다른 분들을 위해서라도 비속어를 사용하시는 경우에는 부득이 삭제하도록 하겠습니다. 양해부탁드립니다.
다음 영상은 제작을 시작은 하였는데, 매일 한다고 해도 또 얼마가 걸릴지 모르겠네요 ^^;; 그럼 또 찾아 뵙겠습니다. 감사합니다~!!
예의도 모르는 것들 때문에 고생 많으십니다...
수가 움직인다는 잘못된 표현때문에 헷갈리는 사람들이 있다고 생각합니다, 수는 절대 움직이지 않습니다
상수는 안움직이지만, 변수는 움직임을 표현할 수 있음
너무 재미있게 잘 봤습니다! 매님 실력이 엄청 좋으세요 선생님!
와 과학쿠키님 저희 학생들이 많이 아시는 분이시네요! 😂 감사합니다!
?왜여깄어
아니 뭐야 ㄷㄷ
가무한은 어릴적부터 당연한 개념이라 알겠는데 실무한은 머리로는 이해되는데 가슴이 받아들여지지 않네요 :) 영상에서 풓이해주신 논법으로는 실무한 또한 1이라는 게 입증되는 방식이 맞는데.. 수포자라서 극한 무한 리미트 개념을 이 영상을 통해서 머릿속에 익히고 정리할 수 있게 되었습니다. 간만에 좋은 영상 봤네요 :)
재밌습니다. 수학을 이해하기 쉽고 EBS 지식체널 같아서 재밌습니다. 곧 뜰 것같습니다.
EBS 다큐 급 고퀄리티 영상이네요.
물리채널은 많은데. 수학채널 기대되네요.
너무 재밌습니다
퀄리티가 너무 좋은데? 곧 뜨겠네
수학에서 사용하는 '존재한다'라는 용어에 대해 정말 많은 의견들이 있네요~ 저도 이 쯤에서 제 생각을 한번 말씀드려볼까 합니다.
수학에서 존재한다는건 수학이란 시스템안에서 존재한다는 뜻이예요.
이 우주에 완벽한 원이 없고, 완벽한 길이 파이가 없어도 수학안에서는 여전히 존재하지요.
수학은 추상적이고 관념적인 학문입니다.
하지만 이러한 수학이 사회,과학,의학등에 널리 사용되어 우리의 삶을 윤택하게 하고 있는 점을 생각해 주시어, 실제로 없는 것임에도 수학에선 '존재한다'라는 표현을 쓰는 것에 대해 너그러이 이해해주시기 바랍니다😅
0.999...=1를 접할 때면 매번 지구평평설을 주장하는 사람이 된 기분이었습니다. 수포자를 넘어 공포자라 어디가서 질문도 함부로 할 수 없을 처지였는데, 집합과 실무한의 개념으로 설명하는 것을 이제야 처음 보았네요. ㅎ 중학생 때 모자른 0.000...1은 어디 있냐고 선생님께 물어보니 그런 소수는 정의하지 않는다는 대답에, 유불리에 따라 억지로 정의하지 않는 수학자들이 비겁하다는 생각을 했던 기억이 납니다. ㅋㅋ 재밌게 봤습니다. ㅎ
0.000...1과 같은 것은 '무한소'라는 개념으로 쓰이고 있어요.
영상에서 계속 10으로 나누면 아무리 작은수보다 더 작아질 수 있다는..
이게 오늘날 미적분개념의 시작이예요
0.33333... = 1/3 이 당연하다고 여겨지신다면 0.9999... = 1 이 되는 것은 당연한 것입니다.
수학을 포기한 이유를 대단하게 적어놨네요 ㅋㅋㅋ
@@HoYjune30ㅇㅈ ㅋㅋ
난 이분 맘 충분히 이해됨..
집합론과 해석학 수업이 새록새록 떠오르네요 상계와 극한의 관계... 등등
영상 정말 재밌게 잘 봤습니다!
네 저도 만들면서 옛날 생각도 나더라구요. 감사합니다 😊
@@jjong_math 영상 만드시느라 고생 많이 하신게 보입니다! manim 도 잘 다루시는 것 같으셔요 ㅎㄷㄷ
과찬이십니다. 지난 몇달간 여가시간마다 재미있어서 계속 공부했는데, 그래도 어느정도 결과물이 나오긴 하네요 ^^
강의 잘 보았습니다. 정말 잘 만드셨군요! 대단합니다 하지만 전 무한이란 실재로는 존재하지 않는다고 확신합니다. 수학적으로는 그럴듯하게 존재하지만 이 우주 어디에도 무한은 존재하지 않으며 오직 인간이 수학문제를 풀 때만 존재하죠! 즉 수학이라는 것 자체가 관념에 불과하며 이 우주 어디에도 완전한 원 완전한 구 완전한 직선 하물며 완전한 파이 루트2 같은 건 더더욱 존재하지 않습니다. 태양이 자동차 바퀴가 어디 완전한 원을 상징합니까 수평선이 KTX 철길이 완전히 직선이 아니듯이 이 우주 어디에도 저 우주 저편에도 미적분과 극한 개념은 완전히 존재하지 않는 다고 확신합니다 똑같이 생긴 사물들이 있더라도 인력과 척력이 서로 복잡하게 영향을 주게 되므로 같은 것의 나열이라는 수라는 개념 자체도 성립하지 않는 것이 우주의 본질입니다. 수학은 인간의 상상의 산물이며 모든 수학적인 값들은 물리량에 의해 오차를 가지게 되어 있다고 봅니다. 모든 것이 인간의 관찰자효과에 불과하다고 적어도 나는 그렇게 생각합니다 믿거나 말거나
네~ 생각보다 수학과 과학은 관점이 많이 다르네요.😅 서로에게 도움을 주며 발전해온 만큼, 저는 각자의 영역이 다 의미가 있다고 생각합니다. 감사합니다
유익하군요
무한은 숫자로 정의 될수 없다 그래서 숫자 1과 비교할수는 없다 마치 뇌와 생각, 심장과 마음을 비교하는것처럼...
편집 조금 깔끔해지면 더 좋겠네요.
내용은 완전 굳
10만의 축복이 있길 바랍니다🍀
감사합니다 더 노력하겠습니다 ^^
9, 90, 90, 다 읽을수 있음
0.999... 죽을때까지 못 읽음. 최소 본인이 다 읽을수 있는 사람은 0.999..는 1이 아니라 주장가능
무한이라는 것은 존재하지 않음...우주에서는 가장 작은 단위가 있고,그것 이하는 존재하지 않기때문...
속도 역시 제한이 있고,빛은 그 속도 이상 움직일 수 없슴...
ㅋㅋ
그것은 현재의 지식이요, 과학은 항상 반증가능성이 있기에. 완벽한 진리란 없는 법. 하지만 무한의 관념은 우리 머릿속에 완전히 있을 수 있지
저도 놀라웠어요.
화살에 대해선 문득문득 궁금했는데 오늘 알게됐네요!! 와…
도움이 되셨다니 다행입니다.
항상 댓글 감사해요!
오물풍선처럼 달려왔다ㅋㅋㅋㅋㅋ
"무량공처"
-선생님이 보라고 독촉해서 보는데-
잘 만드셨네요:)
ㅋㅋ
우와 퀄리티가...ebs다큐인줄 알았어요...
아흑 감사해요! 😭
분명 들어올 때 채널명은 초등수학이었는데...
좋은 영상입니다!
다만 요즘 시청자들이 따라가기에는 영상의 템포가 약간 느린감이 있는 것도 같아요,,ㅎㅎ
앞으로 발전하시는 모습 기대할게요!
아 네~ 제가 말이 좀 느린 탓도 있는거 같아요.^^ 참고하겠습니다.
현대에 와서 정의된 무한은 더이상 철학적이고 형이상학적인 개념이 아니지요. 제가 이해한 무한도 사실 칸토어, 코시, 폰 노이만의 철학을 배우고 받아들인 것일 뿐, 제가 무한에 대해 철학을 해본적은 없는 것 같습니다. 한 번 고민할 기회가 됐습니다.
아 네 감사합니다. 영상 속의 증명이 그동안 살면서 문득문득 무한에 대해 고민하며 찾아낸 작은 결과물입니다. 누군가와 같이 얘기해보고 싶어 만든 영상인데
이렇게 무한에 관심있어 하는 분들이 많다는 것에 놀라고 있네요.
신박하다...
아이고 감사합니다!
집합 S는 가부번집합이므로 각 원소는 자연수에 대응합니다. 따라서 각원소의 9의 갯수가 유한하다는 건 모순 아닌가요? 궁금해서 질문합니다.
아 네! S는 가부번집합(셀수있는집합)이죠. 그러면 말씀하신것처럼 집합의 입장에서 모든 원소가 자연수와 일대일대응이된다는 것. 이것은 무한집합의 크기에 관한 개념이예요
하지만 막상, 무한히 많은 원소중 아무거나 하나를 꺼내어 보면, 9는 유한개가 있습니다 영상에서 조건제시법으로 표현한부분을 잘 봐주세요
감사합니다!
무한대라는 숫자(표현이 참 애매하지만)는 자연수가 아니죠.
@@jjong_math 아. 제 질문은, 집합 S의 원소 a_k 의 9의 갯수는 k과 동일하며, 자연수가 무한하고 따라서 a_k도 무한하니까. 원소 a_k 중에서 9의 갯수가 무한대인 원소가 존재해야 하는 것이 아닌가하는 겁니다. 즉, 9의 갯수가 무한한 원소 a_k가 존재 해야 한다는거죠. 원소의 갯수(k)가 무한하다면 k와 일치하는 9의 갯수도 무한한 원소가 존재하지 않는 다는것은 모순아닌가요?
물론 S의 임의의 원소 a_k를 선택했을때 그 원소의 9의 갯수가 유한할 것이라는 건 이해합니다. 그리고 무한이라는 개념이 countable number가 아니라는 것도 압니다. 알레프제로와 가부번 집합, 무한집합의 밀도개념도 기초적으로 이해하고는 있습니다. 하지만 S의 원소가 무한한 만큼 그 중에 무한의 9를 가진 무한원소 a_∞ 이 존재하지 않는다는 건 이해가 안되네요. 힐베르트의 호텔 패러독스에서도 이런 문제를 다루지 않은 것 갈습니다.
아 쉽지 않죠? ^^
말씀하신 것중에
"S의 임의의 원소 a_k를 선택했을때 그 원소의 9의 갯수가 유한할 것이라는 건 이해합니다."
와
"그 중에 무한의 9를 가진 무한원소 a_∞ 이 존재하지 않는다는 건 이해가 안되네요. "
이 둘은 양립할 수 없습니다. 이 부분 잘 생각해 보세요~!
명제로 말씀드려보면 "S의 임의의 원소 a_k를 선택했을때 그 원소의 9의 갯수가 유한할 것" 이것은 "x가 S의 원소이면 x에서 9의 개수는 유한하다" 이고 이것의 대우명제는 "x에서 9가 무한하면 S의 원소가 아니다" 입니다
역이 멘토 출신이라 다르군요
^^
1:30
내가 연필로 그리는 거보다 보트로 그리는게 더 예쁘네 ㅡ,.ㅡ ㅎ
ㅋㅋㅋ 공감
순환무한소수에만 적용이 되나요?
순환하지 않아도 파이처럼 결국 무리수이므로 실수이고, 실무한입니다
초딩 샘 : 원의 넓이 공식이 뭐였죠? A학생 : 샘.. 원은 존재하지 않아요.
중딩 샘 : 이렇게 0.999...는 1이 돼요. A학생 : 샘..0.999....는 존재하지 않아요.
고딩 샘 : 이렇게 x가 무한대로 가면~ A학생 : 샘..무한대는 존재하지 않아요.
피부과 의사샘 : 이번에 저희 병원에서 점 빼는 시술 할인합니다. 몇 개 빼드릴까요? A성인 : 저기욧! 점은 존재하지 않아욧~!!
12:05
1) 0.999~ 가 s 보다 크다
2) s는 1보다 작은 a보다 크다
-> ”0.999~ 는 1보다 작은 a보다 크다“
일 것 같은데,,,
여기서 갑자기 어떻게
“0.999~ 는 1보다 작을 수 없다“
로 이어지나요?
1. 집합S에 포함되지않으면서
2. 임의의 (1보다 작은 + 집합S의 원소인) 수 a보다 항상 크다.
->
으아아ㅏ
이게 왜 ”1보다 작을 수 없다“ 가 되는건지 이해가 안되네요 빠가사리인가바여 흑흑
그냥 0.999~ 를 표현하는 그이상/그이하도 아닌 풀어쓴 말 같은데
1보다 작을수없다는 새로운진리가 어떤 논리로 나올수있는건지으으ㅏ으아ㅏ아아아ㅏ
0.999… 밑에 9를 무한하게 늘릴 수 있지만(가능하지만) 그 원소의 값을 특정 지으면 9의 갯수는 유한하게되는 집합 S
--- 이해됨
의 원소 중 임의의 원소 a 보다
--- 이해됨
0.999~ 는 항상 크다.
--- 이해됨
그러므로 0.999~ 는 1보다 작을 수 없다.
--- 네?
정성껏 질문 주셨네요. 저도 다시 한번 0.999~가 1보다 작을 수 없는 이유에 대해 설명 도전해보겠습니다.
만일 0.999~ < 1 이라 가정해 봅시다.
그러면 2)에서 등장하는 1보다 작은 a중에 0.999~도 있습니다.
그러면 결론 2)에서 집합S에는 0.999~보다 큰 원소가 존재합니다.
이는 결론1) 0.999~ > s 에 모순이 됩니다.
이렇게 모순이 발생하면, 두번째 줄에서 가정한게 틀린 것이 됩니다.
이러한 증명방법을 귀류법이라고 해요~
제가 헷갈려서 추가질문 드려요
그럼 1에 끝없이 가까워지지만 1이 아닌 수의 표현이 있나요 없나요
예를 들어, 0.8999~ 와 같은 것은 9가 늘어남에 따라 1에 계속 가까워지긴 합니다. 하지만, 이것은 1과 0.1이상의 간격이 유지 되죠. 이 경우는 1이 아닙니다. 하지만, 그 둘의 간격이 0에 가까워 지려면 '수'로서는 1밖에 없습니다. 또한 수학에서는 극한(limit)란 개념을 이용하여 '계속해서 움직이며 1에 가까워진다' 라는 개념을 배웁니다.
정리하면 그런 '수'는 없습니다.
하지만 그런 '개념'은 있습니다.
수는 고정된 값이에요. "수가 다가간다"는 건 틀린 표현이죠. 다만 "수열이 다가간다" 혹은 "함숫값이 다가간다"는 가능합니다.
@@jjong_math 그러니까 수학이라는게 자연의 모든 경우를 수적 표현 할 수 있어야 하는데 개념이 있으면 정의도 있어야 하는데
그런 표현법이 없고 수는 정지해있다는 말은 와닿지 않아요
물리적으로도 끝없이 가까워지지만 접촉하지 않는 특수한 상황을 수적 표현으로 어떻게 하냐 이겁니다.
@@user-oz7lu7qd7m 1에 계속 가까워지는 수는 없습니다. 하지만, 수적표현이라 하시면.. "x-->1" 이런 것이 있습니다. 이것은 x가 1의 옆에서 1에 계속 가까워지는 것을 나타냅니다. 이것이 "리미트"라는 개념이예요.
@@jjong_math 예 그럼 그런 수를 약속하고 만들어보죠.
무한은 영원한거대 어케 알겠소! 신만이 아실 것....
유한의 시간을 살아가는 인간이 이해하긴 버거워요 😢
이 세상자체가 유한하기에 무한이란 없는 개념임
0.999구구구구구구 구구 구구 구구구
원소의 갯수가 곧 9의 갯수인데, 어떻게 원소의 갯수는 무한이고 원소의 9는 유한이라고 할수 있는 건가요....? 큰 무한 작은 무한 이런 개념이 들어가지 않으면 불가능한 설명 같아요.
사고실험을 하나 해보겠습니다
무한히 많은 사람이 일렬로 서 있습니다
첫번째 사람은 100원을 가지고 있고 두번째는 200원.. 이렇게 모든 사람은 자신의 오른쪽보단 100원이 많으며 왼쪽보단 100원이 적습니다
이 때 사람이 수는 무한. 또한 모든 돈의 수도 무한이죠. 하지만 어떤 사람도 자신의 돈이 무한이진 않습니다 자신의 왼쪽보다는 100원이 적기 때문이지요.
그들만의 세상..~~
그들만의 리그.~~~
이해를 했는 사람은..
이해를 정말 한건지..
이해를 하는 척 하는건지...
보다가 잠시 멈추고 글을 쓰는거기는 한데...
일단 끝까지 보겠음..
끝까지 보고 그래도 이해가 안되면...
역시..
그들만의 세상..
그들만의 리그~!
어쩌면, 그래서 재미있는 세상이겠지요.
현실에서 무한을 보여드리겠습니다
tv카메라를 tv 화면에 들이댑니다
카메라 앵글은 tv디스플레이의 전체화면을 잡습니다
다른 tv를 통해 화면을 시청합니다
무한히 작아지는 화면의 끝이 보입니다
아하. 거울 마주 보게 한 거 같은거죠?
@@jjong_math네네
결국은 어떻게 인식하느냐, 정의의 문제 뭐 그런건가?
근데 실무한의 증명 과정에서
10x=9.999...
-x= 0.999...
9x=9
X=1을 들었는데
소수가 아니고
X=무한
10x= 10 x 무한이면
결국 10x나 x나 실무한으로서 똑같은거 아닌가요? 그러니까 소수점 이하로 무한히 같은 수가 늘어나는 무한이 아니라 무한대의 의미로 개념을 적용하면요.
실무한에 뭘 곱해도 실무한 그 자체니까
무한대는 실무한으로 보지 않습니다.
하지만, 철학의 영역으로 확장하면 다양한 시각이 있을 수 있겠죠.
그리고 수학에서 무한대x10과 무한대는 둘 다 무한대로서 같습니다.
영역전개 무량공처
very gooooooood 💕💕💕💕
아니 이런급의영상을 이제보네요
4일전 올린거라 늦으신거 아니예요!^^ 감사합니다 😂
뜨겠는데?
여긴 아직 영세한 채널이라....^^ 감사합니다!!!!
영상 퀄리티는 너무 좋은데 말씀하시는 거에 대한 자막이 있었으면 좋겠네요
제가 아직 초보라 영상 자체를 만드는거에 너무 많은 에너지를 쏟다보니 그만 ^^;
그래도 어느 시점부터는 자막을 만들어 올리도록 할려구요. 감사합니다 😄
@@jjong_math 난 자막 없는게 오히려 좋음. 수학은 화면에서 설명하는데 굳이...
유튜브 자막 기능을 사용하면 적절할 것 같네요
자동자막 수정해서 넣었습니다. 조언 감사드립니다😅
아니야, 그냥 말 장난이야. 가무한, 실무한 그런 분류는 그냥 생각을 피력하기 위하여 만든 용어들이지. 무한은 지금도 움직이고 있어 가무한만 있는 거지. 왜냐면 시간은 공간의 다른 이름이니까...
무한이 계속 움직이는 것밖에 없다면 0.999는 1이라는 개념에 위배되지 않을까요?
플랭크길이와 시간이 있다는것은 현실은 무한의 수는 없고. 무한의 개념은 이상적으로만 존재한다고 봄.
하지만 바꿔서 생각해보면 오히려 무한은 실존하며 현재 우리가 사는 세상이 실존의 그림자인 허구의 세계일 수 있다고 생각됨.
인상적인 말씀이십니다.
무한대에 물리적 시간을 적용하면 모순이 발생하는듯 합니다.
제 지인분은 그래서 시간이 0일때만 무한을 생각할 수 있다 하시더군요
0.9999999... = 1 인 것이 현실에서는 플랭크길이와 시간으로 구현되지 않을까요? 만약 길이와 시간의 최소 제한이 없다면 현실에서는 결코 0.999999... 가 1이 될 수 없겠죠. '빈틈'이 발생할테니까. 하지만 0.9999.... 가 1 바로 직전의 플랭크길이로 들어가게 되면 그 틈이 없이 0.99999... = 1이라고 할 수 있잖아요. 물론 그렇게 되니까 현실에서는 무한이 아니더라도 0.999999.....9 = 1 인 상태겠죠. 1-플랭크길이 < a
저도 0.999같은 무한은 당연히 실현가능하다 생각합니다
그런데 재미있네요. 플랑크 길이가 양자역학에 나오는 것인가요? 물리에선 가장 작은 수란것이 존재하는군요.
전 수학전공이라 과학쪽은 잘..^^
수학에서는 플랑크 단위로 세상을 이해하지 않겠지요. 그것도 다시 무한히 쪼갤수있는 양의 실수로 볼 뿐인데..흠. 현실과 이상의 차이 같은게 느껴지네요. '현실'을 탐구하는 과학. 멋있네요
1/3=0.333...
3/3=0.999...=1
증명 끝
0.999가 1보다 작다고 생각하는 사람은 0.333도 1/3보다 작다고 생각할 수도 있음.
이건 증명이 아니라 직관적으로 이해하는 방법 정도..
절대적으로 수렴이라고 본다. 그렇게따지면 9.999999…도 10이고 199.99999999…은 200임?
ㅇㅇ 10이랑 200이 맞음
그럼 파이는 실무한? 가무한???
네. 파이는 무리수이고 모든 무리수는 수직선위에 한 점으로 표현됩니다 중학교에서는 루트2를 수직선에 작도하는 법도 배우죠. 수학에서는 유리수나 무리수나 모두 고정된 값입니다. 따라서 모든 무한소수는 실무한이라 할 수 있겠네요
@@user-zl2ii8un4t 길이라면 지름이 1인 원의 둘레로 알 수 있습니다
반지름의 1인 원의 넓이는 = π
π는 정확한 수도 정확한 자릿수도 알 수 없음~~~~
고로 정확히 알 수 없음~~~~~~~~~~~~~~~~
정확한 원을 누구도 그릴 수 없는 것과
정확한 점을 누구도 그릴 수 없는 것과 같음..........
퀄모야...구덕
기분좋아지는 댓글이네요!! 구독 감사합니다~^^. 앞으로도 시간될때마다 하나씩 만들어 볼께요
노래소리가 너무큼
그렇죠 ㅜ 저도 그런 느낌이 있더라구요 조언 감사합니다
머야 어쩌구 저쩌구 무한은 무한이 아니야 라고 우기는 거구만 처음 그얘기 한게 아니잖아요 더이상 쪼개질수없는 마지막이 어딘데요
수학에선 계속 쪼개는 것을 '무한소'라고 합니다. 이건 정해진 수가 아니라 끝없이 0에 가까워지며 움직이는 상태를 나타내는 개념입니다
다른 댓글 보닝까 프랭크 어쩌구 저쩌구가 쪼갤 수 없는 마지막이라고 하네욤.
@@jjong_math 색즉시공 이네 우주도 움직이고 마음도 움직이고 중도 정해지지 않은 상태 이런말인가요
@@dnfkxpddl일리가있기도하고없기도하고. 색즉시공보다는 언어도단.
@@dnfkxpddl무한을 무한이라 명명하는순간 무한이 아니죠
화살 예시는 잘못된게 현실은 무한한 점이 존재 하지않음. 플랑크 길이라는 물리학적 최소 길이의 단위가 있고 그 이하는 의미가 없음. 그러므로 화살이 무한한점을 지나는 현실이 실무한의 존재를 보증한다는식의 논리는 잘못 된거임. 애초에 실무한은 현실에 존재하지 않음. 어떠한 형태의 것이든 무한한 것이 있다 > 열역학 보존 법칙에 위배됨. 무한의 존재는 수학적으로만 존재하는것임. 실무한의 정의는 증명될수 없는거임. 증명될수 없는것을 진짜로 현실에 있는것처럼 말하려 하니까 이상해지는거.
네 현실의 예시는 한계가 있어보이네요.😂
실무한이란게 수학적으론 증명되나 과학적으론 존재하지 않는것인가 보네요. 👍
수학의 본질은 자유로움에 있다. 플랑크 길이도 무한히 쪼개는 학문임