Svolgimento passo passo della traccia di Matematica per la maturità 2023! In playlist trovate la risoluzione dei due problemi e degli otto quesiti proposti!
così a memoria non ricordo esattamente, ma mi verrebbe da dire l’abbia fatto per stimare il valore di k e assicurarmi che fosse un risultato accettabile :)
Ciao! il coefficiente angolare m della retta tangente alla funzione è il valore della derivata della funzione calcolata in quel punto; da sinistra, la derivata della funzione vale 1/2(x+2); se sostituisci x=0 ottieni 1/2 * (2) =1. la quota o intercetta Q della retta è il valore in cui questa taglia l'asse y, che è proprio 1; sostituendo nell'equazione y=mx+Q otteniamo proprio y=x+1. :)
Sì, direi che è una osservazione corretta; non cambia ovviamente nulla il resto dello svolgimento, ma forse sarebbero state più opportune le parentesi tonde. Grazie! 😊
ciao andrea, grazie intanto per il video, ho delle domande. Come decido se i punti della funzione definita a tratti sono solo > o >= ? Un'altra domanda, i punti in cui studio la derivabilità della funzione come li hai scelti? Grazie in anticipo :)
Ciao! Grazie a te per il feedback! La definizione della funzione era lasciata per via grafica, quindi ho scelto io dove mettere l’uguale e dove no; per quanto riguarda la derivabilità, devi studiarla nei punti “di frontiera”/“di raccordo” fra i tratti della funzione. Ricorda che verificare che una funzione sia derivabile significa verificare che sia “liscia”, senza cuspidi o punti angolosi (o flessi a tangente verticale)
ciao! stabilire se una funzione sia derivabile in un punto significa stabilire se sia “liscia”. Immagina di passare la mano sul bordo di un tavolo rotondo o di un tavolo rettangolare; nel primo caso diresti che il profilo è sempre liscio, nel secondo incontreresti gli spigoli negli angoli. Diremo allora che il tavolo rettangolare è sempre liscio, tranne che negli angoli dove si “raccordano” i due lati. Per le funzioni è lo stesso concetto; studiamo la derivabilità nei punti di raccordo di diversi tratti di funzione, per capire COME i due tratti si “uniscono”. Non ha quindi senso preoccuparsi degli estremi “liberi” dell’intervallo, dove il tratto non si raccorda con nessun altro.
Ciao! Nel punto b) non chiede di calcolare un integrale ma di studiare una funzione integrale, in particolare gli intervalli di concavità e convessità. Io ho scelto un approccio geometrio, mi sembrava più immediato, spiegando i motivi per cui in quei punti necessariamente si abbiano due flessi. Volendo però scegliere un approccio più analitico, potresti studiare i flessi della funzione integrale F(x) mediante la sua derivata seconda; ora, sintetizzando, per il teorema fondamentale del calcolo integrale la derivata PRIMA di F(x) è la funzione integranda f(t), valutata opportunamente negli estremi, che diventa di nuovo f(x). La derivata SECONDA di F(x) sarà allora la derivata di f(x) ossia la derivata PRIMA f'(x) di cui abbiamo già tracciato il grafico. Studiandone il segno, vedi che è positiva fino a 0, negativa tra 0 e 2, positiva dopo 2; pertanto la funzione integrale F(x) sarà prima convessa, poi concava, poi convessa, rispettivamente. :)
A quale passaggio ti riferisci? La retta tangente a una funzione in un punto si calcola avendo a disposizione le coordinate del punto e l'inclinazione della funzione in quel punto, ossia la derivata prima della funzione valutata in quel punto, che è proprio il coefficiente angolare della retta tangente. m_tang = f ' (x_0)
Non capisco cosa intendi; (-2; 0) è il vertice della parabola. Se sostituisci nell'equazione fornita y=a(x+2)^2, ottieni 0=a(0)^2, ossia 0=0, il che conferma il passaggio per quel punto. L'altro punto di passaggio da utilizzare è (0,1). Se sostituisci, ottieni 1=a(0+2)^2, ossia 1=4a, da cui a=1/4.
A dirla tutta una funzione è sempre suriettiva, restringendo il codominio all’insieme immagine. Per questo ti “basta” l’iniettivitá. Se una funzione è iniettiva, sarà quindi sempre invertibile rispetto all’insieme immagine!
La tangente in x=0 e x=1 la funzione non è derivabile e quindi non è possibile individuare la tangente. Non ha senso individuare le tangenti destre e sinistre.
È un’obiezione che comprendo ed è stato oggetto di discussione (in senso costruttivo, come spero sia anche questa occasione) tra me e miei colleghi. La funzione non è derivabile perché non esiste una delle due derivate (destra o sinistra che sia), su questo siamo d’accordo. Quindi la funzione non è “liscia” e non è univocamente determinata la retta tangente; si può però andare oltre questo [*] e parlare di tangente da sinistra o tangente da destra, intesa come la retta tangente alla funzione in x0, vista però come limite per x che tende a x0, rispettivamente da sinistra o da destra; il che risulta anche abbastanza intuitivo “all’occhio”. Immagina una retta tangente poco più a sinistra (o a destra) del punto x0 incriminato e poi immaginala mentre si sposta verso x0. [*] è un po’ lo stesso concetto per cui la derivata di f(x)=|x|, per esempio, non esiste in zero, ma si può parlare di derivata da sinistra (che vale -1) e derivata da destra (che vale +1); ed è proprio grazie a queste ultime due che si definisce e calcola l’angolo formato dal “punto angoloso”.
Sarebbe interessante vedere cosa riporta la letteratura matematica in merito e se esiste una rigorosità nel valutare questa incertezza. Intanto grazie per la risposta 😊 Confronto costruttivo. Assolutamente 😊
grazie!
grazie mille
Grazie
grazie mille
così a memoria non ricordo esattamente, ma mi verrebbe da dire l’abbia fatto per stimare il valore di k e assicurarmi che fosse un risultato accettabile :)
Una funzione per essre invertibile non deve essere biunivoca? Perchè ci basta dire che sia invettiva in questo caso ?
Scusami posso chiederti come mai la tangente per x che tende a 0- è uguale a x+1? Grazie
Ciao! il coefficiente angolare m della retta tangente alla funzione è il valore della derivata della funzione calcolata in quel punto; da sinistra, la derivata della funzione vale 1/2(x+2); se sostituisci x=0 ottieni 1/2 * (2) =1.
la quota o intercetta Q della retta è il valore in cui questa taglia l'asse y, che è proprio 1; sostituendo nell'equazione y=mx+Q otteniamo proprio y=x+1. :)
nella derivata bisogna verificare i domini, infatti la terza eq non è definita in 1
giusto, avrei dovuto metter la parentesi tonda sull'intervallo (1, 2], non ci ho fatto caso, grazie! :)
una domanda, ma nella funzione a tratti quando si fa a derivare, nei vari intervalli non si dovrebbe mettere tutto col minore stretto? (es -2
Sì, direi che è una osservazione corretta; non cambia ovviamente nulla il resto dello svolgimento, ma forse sarebbero state più opportune le parentesi tonde. Grazie! 😊
@@AndreaAnfosso grazie mille a te per la risposta 🥰
ciao andrea, grazie intanto per il video, ho delle domande. Come decido se i punti della funzione definita a tratti sono solo > o >= ? Un'altra domanda, i punti in cui studio la derivabilità della funzione come li hai scelti? Grazie in anticipo :)
Ciao! Grazie a te per il feedback!
La definizione della funzione era lasciata per via grafica, quindi ho scelto io dove mettere l’uguale e dove no; per quanto riguarda la derivabilità, devi studiarla nei punti “di frontiera”/“di raccordo” fra i tratti della funzione. Ricorda che verificare che una funzione sia derivabile significa verificare che sia “liscia”, senza cuspidi o punti angolosi (o flessi a tangente verticale)
@@AndreaAnfosso grazie mille
scusa 1 altra domanda 😅. Nel punto c in cui cerchi la f(x) inversa, come mai scegli il + ?
perche x è compresa tra -2 e0,
Perché la funzione é crescente
perché in x= 1 c'è un flesso? la concavità mi sembra sempre verso il basso a me, e la derivata dovrebbe fare 0 se ci fosse. corregetemi se sbaglio
in x=1 c’è una cuspide; o non ho capito a cosa ti riferisci? Mi puoi indicare il minuto?
ciao posso chiederti come mai la derivabilità la studi solo nei punti 0 e 1 e non -2 e 2?
ciao! stabilire se una funzione sia derivabile in un punto significa stabilire se sia “liscia”. Immagina di passare la mano sul bordo di un tavolo rotondo o di un tavolo rettangolare; nel primo caso diresti che il profilo è sempre liscio, nel secondo incontreresti gli spigoli negli angoli. Diremo allora che il tavolo rettangolare è sempre liscio, tranne che negli angoli dove si “raccordano” i due lati.
Per le funzioni è lo stesso concetto; studiamo la derivabilità nei punti di raccordo di diversi tratti di funzione, per capire COME i due tratti si “uniscono”.
Non ha quindi senso preoccuparsi degli estremi “liberi” dell’intervallo, dove il tratto non si raccorda con nessun altro.
Scusami non ho capito da dove hai preso gli intervalli che hai scritto affianco alle funzioni a tratti di parabola, circonferenza e iperbole
Ciao! La definizione della funzione era lasciata al risolutore per via grafica, quindi ho scelto io direttamente dal grafico! 😊
ciao Andrea una domanda ma quindi l'integrale del punto b a che mi serve?
Ciao! Nel punto b) non chiede di calcolare un integrale ma di studiare una funzione integrale, in particolare gli intervalli di concavità e convessità. Io ho scelto un approccio geometrio, mi sembrava più immediato, spiegando i motivi per cui in quei punti necessariamente si abbiano due flessi. Volendo però scegliere un approccio più analitico, potresti studiare i flessi della funzione integrale F(x) mediante la sua derivata seconda; ora, sintetizzando, per il teorema fondamentale del calcolo integrale la derivata PRIMA di F(x) è la funzione integranda f(t), valutata opportunamente negli estremi, che diventa di nuovo f(x). La derivata SECONDA di F(x) sarà allora la derivata di f(x) ossia la derivata PRIMA f'(x) di cui abbiamo già tracciato il grafico. Studiandone il segno, vedi che è positiva fino a 0, negativa tra 0 e 2, positiva dopo 2; pertanto la funzione integrale F(x) sarà prima convessa, poi concava, poi convessa, rispettivamente. :)
@@AndreaAnfosso okk graziee
la retta tangente si calcola come limite della derivata prima?!
A quale passaggio ti riferisci? La retta tangente a una funzione in un punto si calcola avendo a disposizione le coordinate del punto e l'inclinazione della funzione in quel punto, ossia la derivata prima della funzione valutata in quel punto, che è proprio il coefficiente angolare della retta tangente.
m_tang = f ' (x_0)
Scusa, ma la parabola passa anche per (-2;0) se impongo il passaggio per questo punto nn viene a=1/4
Non capisco cosa intendi; (-2; 0) è il vertice della parabola. Se sostituisci nell'equazione fornita y=a(x+2)^2, ottieni 0=a(0)^2, ossia 0=0, il che conferma il passaggio per quel punto. L'altro punto di passaggio da utilizzare è (0,1). Se sostituisci, ottieni 1=a(0+2)^2, ossia 1=4a, da cui a=1/4.
se una funzione è iniettiva non è anche invertibile! prima deve essere suriettiva. bel video cmq
A dirla tutta una funzione è sempre suriettiva, restringendo il codominio all’insieme immagine.
Per questo ti “basta” l’iniettivitá.
Se una funzione è iniettiva, sarà quindi sempre invertibile rispetto all’insieme immagine!
La tangente in x=0 e x=1 la funzione non è derivabile e quindi non è possibile individuare la tangente. Non ha senso individuare le tangenti destre e sinistre.
È un’obiezione che comprendo ed è stato oggetto di discussione (in senso costruttivo, come spero sia anche questa occasione) tra me e miei colleghi.
La funzione non è derivabile perché non esiste una delle due derivate (destra o sinistra che sia), su questo siamo d’accordo. Quindi la funzione non è “liscia” e non è univocamente determinata la retta tangente; si può però andare oltre questo [*] e parlare di tangente da sinistra o tangente da destra, intesa come la retta tangente alla funzione in x0, vista però come limite per x che tende a x0, rispettivamente da sinistra o da destra; il che risulta anche abbastanza intuitivo “all’occhio”.
Immagina una retta tangente poco più a sinistra (o a destra) del punto x0 incriminato e poi immaginala mentre si sposta verso x0.
[*] è un po’ lo stesso concetto per cui la derivata di f(x)=|x|, per esempio, non esiste in zero, ma si può parlare di derivata da sinistra (che vale -1) e derivata da destra (che vale +1); ed è proprio grazie a queste ultime due che si definisce e calcola l’angolo formato dal “punto angoloso”.
Sarebbe interessante vedere cosa riporta la letteratura matematica in merito e se esiste una rigorosità nel valutare questa incertezza. Intanto grazie per la risposta 😊
Confronto costruttivo. Assolutamente 😊
MA LA SMETTI DI FARE QUEL FASTIDIOSO RUMORE CON LA BOCCA
Liberissimo di non ascoltarmi. 😊
spiegazione un po' approssimativa per favore potresti farle da zero così si colgono meglio i passaggi grazie
a cosa ti riferisci?
@@AndreaAnfosso i perchè delle cose
@@iiosia mi sembra di dettagliarli a sufficienza; se c’è una cosa specifica su cui hai dubbi, chiedimi!