2 CÍRCULOS E 1 QUADRADO
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- čas přidán 1. 01. 2024
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• Desafios: • DESAFIO MATEMÁTICO
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Encontre Área do Quadrado
Quando desenhou o triângulo, já vi que o lado vale 2, por causa do triângulo pitagórico clássico 3,4,5...
Perfeito! 😃
Poderia ter outro formato o triângulo, mesmo a ipotenusa medindo 5..
se fosse um retângulo poderia modificar os valores do triângulo retângulo
Existem outros triângulos retângulos com hipotenusa igual a 5 cujos catetos não são 3 e 4. Entretanto os catetos não são números inteiros.
Fantástico!!!!
Boa noite !
Podemos também considerar o triângulo retângulo 3 / 4 e 5. Nesse caso a hipotenusa sendo 5, obrigatoriamente os catetos adjacentes e oposto serão 3 e 4.
Então, se o raio é 5 e o catetos adjacente é 3 Então 5 - 3 = 2. Que é a lateral do quadrado.
Não necessariamente. Como o enunciado não diz que os lados são inteiros, eles poderiam ser fracionários. Mas o raciocínio foi válido no fim das contas.
Cuidado só com a parte do "obrigatoriamente", porque isso não procede. Podemos sim ter triângulos retângulos com hipotenusa 5 e catetos diferentes de 3 e 4.
Só é possível comprovar de cara um triângulo pitagórico 3 4 5 desses quando se tem dois dos três lados.
O que você poderia ter feito é tentar encaixar o 3 e o 4 ali, substituindo o x por valores convenientes e, obtendo êxito, continuar com a resolução.
Entendeu?! 🙂
Não entendi
@@ProfessoremCasa Perfeita observação. Só quero "ilustrar" com um exemplo: o triângulo Retângulo Isósceles. Tem dois Catetos iguais e pode ter hipotenusa valendo 5.
ainda que o triângulo fosse isósceles, o raciocínio dela funcionaria, pela mesma lógica. @@cesarcerveira2875
Fiz por geometria analítica, por exemplo: o vértice da direita está na circunferência da direita, então através da equação da circunferência centrada no ponto (5,5), encontra-se o lado do quadrado resolvendo a equação quadrática.
Eita!! Show!
Me explica ?
Poderia explicar?
Me deu saudade do cursinho ❤ adorava esse tipo de questão, faz uns 20 anos já que não estudo matemática, mas se botar um trem difícil desse para eu resolver acho que consigo sim.
Volte a estudar, deixa a gente bem❤
Olha que deu vontade!
Tá na hora de voltar vania
Excelente exercício para buscarmos em nossas reminiscências os velhos conhecimentos.
Para qualquer par de círculos tangentes que tenham um quadrado entre eles tangenciando ambos ao mesmo tempo, o lado desse quadro sempre sera equivalente a 40% do raio dos círculos. Além disso, para que o raio de um círculo e a diagonal do quadro sejam colineares o lado do quadrado deverá ser aproxidamente 0,39647 vezes o raio do círculo. O que, curiosamente, é bem próximo do valor anterior.
Show de bola
entao se o par de circulos fossem de raio 10, o lado seria 40% dele ? sendo 4 o lado ?
@@homerofilho7366 Sim.
Tentei fazer da seguinte maneira: Declarei x para os lados do quadrado, tracejei 2 raios em uma circunferência, uma para baixo e uma em direção da diagonal do quadrado. Depois, utilizando o Teorema de Pitágoras, tendo: um cateto com o valor 5 e outro cateto de valor 5 + x/2 e a hipotenusa valendo 5 + x√2. Depois obtendo o resultado, elevei por 2 o resultado. Porém, não consegui realizar.
Quando o senhor desenhou o triângulo retângulo, isso me fez lembrar as questões de geometria estilo triângulo russo que que são resolvidas com construções auxiliares: Triângulos isósceles, equiláteros... Obrigado pelo ensinamento, mestre.
Boas essas questões. Estamos juntos, irmão! Forte abraço! 😃
Excelente! Parabéns. Me prendeu e aprendi! - matemática / geometria são muito bonitas!
Opa! Fico feliz com isso! Estamos juntos! Abração! 😀
Muito bom professor... Orgulho em ser inscrito do seu canal
Felicidade em ter um inscrito assim! 🙂
Eu comecei a pensar dum jeito mas tive que voltar....
Obrigado por nos prestigiar com conhecimento, Felipe
Abraços e um excelente ano pra nós
Show de bola! O importante é tentar sempre! Que tenhamos um ano maravilhoso!!!
Sem comentários!! O bicho é brabo!! ✌️
Sotacão fera. Boa aula, professor.
Bom dia, prof. Felipe. Jamais conseguiria deduzir que, a partir de um triângulo retângulo, seria possível realizar este exercício. Questão típica de exames dificílimos como ITA e IME.
Somos dois
Opa! Por isso é bom estudar por esse tipo de questão. Amplia bastante a visão para resolver outras coisas dentro da área de geometria. 🙂
Ita e ime, tb não vamos exagerar ne! Diria mais para um colégio naval ou epcar.
Saudações iteanas!
Parabéns pelo trabalho professor!
Saudades das minhas aulas no terceirão! Dom Bosco Curitiba!
Bons tempos!
aula maravilhosa! didática excelente! um pouco de paciencia, aplicação dos conhecimentos e dá certo! :)
Muito obrigado!! Estamos juntos! 🙂
Muito obrigado pela questão!
Realmente bem delicinha de responder!
Valeu! 😄
Problema muito interessante. Parabéns professor.
Mano que professor sensacional 🎉
Parabéns pela excelente solução. 👏👏
Obrigado! 🙂
Muito boa didática. Parabéns!
Obrigado! 🙂
Muito bom !!!
Deu a volta ao mundo. Triângulo retângulo 3, 4 e 5. Cateto maior =4. 2 catetos mais lado = 10. Logo lado vale 2 e área = 4... cqd
Muito bom! 👏
😃
Sensacional!!!
Questão típica de ITA, IME…
Parabéns pelo canal!!!
Peguei um caminho diferente.
Considerando a equação do círculo: x^2+y^2=r^2, e percebendo que para esse problema, r-y é o lado do quadrado que procuramos para r-x sendo metade do lado, montamos as seguintes equações:
y=√(r^2 - x^2), (r-x)*2=r-y
y=√(5^2 - x^2), (5-x)*2=5-y
Resultado em x=4 e y=3
Assim,
L = 2*(r-x) = 2*(5-4) = 2
ou L = r-y = 5-3 = 2
A = L^2 = 4
Eu infelizmente não sei raciocinar dessa forma, sou péssimo em matemática, então só olhei o alinhamento do quadrado com a linha do raio da circunferência, chutei que metade do lado do quadrado seria igual a ⅕ do raio, ou seja, o metade do lado do quadrado é 1, o lado inteiro é 2, e sendo quadrado a área seria 2²=4
Não me orgulho do meu raciocínio kk
Continue tentando resolver as questões e anotando as resoluções. Parte importante do aprendizado é fazer isso. Você vai melhorar muito com isso. Estamos juntos, irmão! 😃
Muito bom!
Resolve se der por favor, umas questões de concurso, o do trt15 para analista de TI estava bem difícil por exemplo.
Obrigado.
Aula showwww, parabéns prof
😃
Alguém sabe por que ele não alterou o sinal de menos para mais quando nos primeiros cálculos e no final quando chegou a -2 . -10 ele trocou?
Eu tinha:
x² - 12x + 20 = 0
Aí reescrevi essa equação faturando ela, ou seja, transformando numa multiplicação.
x² - 12x + 20 = 0
(x - 2)(x - 10) = 0
Duas coisas, que multiplicadas, igualam a zero. Ou uma é zero, ou outra é zero. Daí igualamos os fatores a zero pra encontrar os valores de x.
x² - 12x + 20 = 0
(x - 2)(x - 10) = 0
x - 2 = 0
x = 0 + 2
*x = 2*
x - 10 = 0
x = 0 + 10
*x = 10*
x = 2 é a resposta que cabe melhor. 🙂
Parabéns, foi um ótimo exercício ... grande revisão!
Valeu, irmão! Estamos juntos! 😃
Não consegui resolver esta, mas curti e aprendi com a explicação!
Opa! Estamos juntos, meu irmão!
"PENSACIONAL", PARABÉNS !!!
😄
Belo exercio pra memória.
Muito legal relembrar o vestibular
😃
Quem dera tivesse um professor assim no meu tempo de escola...
Excelente raciocínio.
Valeu! 😃
Muito bom ! Top
😃
Boa lógica! Parabéns
Valeu! Estamos juntos! 🙂
Pensei da seguinte forma e gostaria de compartilhar.
Seja o trapezio cuja base maior é 10m, a medida que dista de centro a centro no circulo dado. Seja x a medida da base menor e 5-x a altura do trapezio, consideramos x
Muito bom! 🙂
Top demais!!!
8:34 essas roubadinhas que sempre me prendem na hr. No caso a verdadeira lógica e seu porquê. Pensar e ver. Mas na hr , já grita mamãe
Muito legal
Muito legal!!!
😃
Sensacional.
😃
As razões 3x/4x/5x em um triângulo retângulo é imutável, portanto o lado só poderia ser igual a 2. Mas a explicação inteira é sempre muito bem-vinda. Parabéns pelo exercício bem elaborado.
Opa! Muito obrigado, irmão! Só cuidado, porque apenas sabíamos que a hipotenusa era 5. Somente com a hipotenusa 5 não se pode garantir que os catetos sejam 3 e 4, porque existem infinitos triângulos retângulos com hipotenusa 5 e catetos diferentes de 3 e 4. Apenas um exemplo seria o triângulo retângulo de catetos √21 e 2 e hipotenusa 5.
Entendeu?! 🙂
Exelente!!!!!
😃
Professor, eu desenhei um trapézio ligando os raios com o quadrado e dentro do trapézio fiz o triângulo retângulo. Quando vi que a hipotenusa era 5, já soube que a altura do trapézio era 3 e uma parte da base maior era 4. 4 de um lado da base maior e 4 de outro, 8. Então a base menor valia 2, logo a área: 4m² ❤
Muito bom adorei os cálculos
Valeu, irmão! Estamos juntos! 😃
Muito boa, interessante a solução. Fez o exercício geral, que vale para qualquer triângulo retângulo. Nem sempre os retângulos são pitagóricos. O raio poderia ser 7,8,...9,81; ou qualquer unidade. A explicação foi abrangente e serve p/qualquer número. É assim que deve ser p/qualquer problema em matemática, física,...
Muito bom.
🙂
Para todo triângulo retângulo de hipotenusa 5, os catetos são 3 e 4. Ao achar o 3 do cateto oposto, automaticamente sobre 2 para o X. Matou a questão
Muito obrigado
Estamos juntos! 😃
Obs.: se a hipotenusa é 5, um cateto é 3 o outro é 4.
Logo: 5-3=2
X=2
2×2= 4
Show de bola! 🙂
Brilhante , é um raciocínio lógico. Porém ,se não fosse um quadrado ? Não fiz , só estou perguntando .
boa observaçao, classico triangulo 3,4,5.
Em nenhum momento foi dito que x era inteiro. 3, 4, 5 nao é o unico triangulo retangulo de hipotenusa 5 possivel...
Poderia ter 5 na ipotenusa mas os catetos terem medidas iguais, ou totalmente difetentes, nem todo triangulo com 5 na ipotenusa tem 3 e 4 nos catetos
Quando o desenho está na proporção correta é possível achar o valor da área apenas usando o compasso e fazendo a marcação nas retas que sinalizam o diâmetro(mas isso seria burlar). Foi assim que no começo do vídeo cheguei no resultado de 2m imaginando o uso do compasso. Mas obviamente não valeria pra uma resposta na prova sem demonstrar o cálculo.
As simplificações ao final do cálculo eu meio que não peguei o raciocínio.
Obrigado por compartilhar seu conhecimento!
Opa! Esse desenho está com as proporções corretas. Deu certo por isso. 😄
Obrigado pelo carinho, irmão! Estamos juntos! Abração! 😀
Gênio! 😮
Misericórdia! Não sabia nem por onde começar. Kkk. Deixa eu fazer uma reza aqui: valei-me são albert eistem!!😂😂😂
Continua estudando, que vai melhorar! Abração! 🙂
Faz por seno e cosseno que é mais fácil.....
ta doido q é mais fácil. eu fiz quase q de abeça isso aí.
Foi muito boa, mas no minuto 9, na resolução da equação do segundo grau, percebe-se quando o professor acochambra. Sugestão: edite o vídeo, mencionando o método poh-shen-lo de resolução de equações quadráticas. Basicamente, quando a=1 (tem que transformar a equação para que a seja 1), as raízes são: - b/2a +/- SQR ((b^2)/4 - c). No caso, b = - 12, logo - b/2a = 6 e (b^2)/4 = 36. 36- 20 =16, SQR = 4. 6 +/- 4 = 2 , 10. Ou seja, Bháskara meio que já era, o meio mais fácil de resolver equações é poh-shen-lo.
Hipotenusa igual a cinco!!!
Triângulo pitagórico na hora, papai... não precisa fazer todos esses cálculos, ganha tempo e já parte pra resolver outra 😂😂🎉🎉
Não!!! Tem infinitos triângulos retângulos com hipotenusa 5 e catetos diferentes de 3 e 4. Afirmar isso de cara é loucura!
O sensato a ser feito ali é, no máximo, conhecendo o triângulo pitagórico 3 4 5, já que a hipotenusa é 5, substituir x por valores convenientes para que, caso comprove que aparece um triângulo pitagórico ali, continuar a questão até o final.
Entendeu?! 🙂
Sou Arquiteto aposentado, 74, me diverti, muito bom...
Fico feliz em ler isso, Marco! 🙂
eu sofro de Parkinson e a mente não pode parar, a matemática parece estimular isso. Abraço.@@ProfessoremCasa
Que Deus te abençoe!!!
Também usei pitagoras, mas considerei o lado do quadrado como 2x pra evitar fração nas contas :)
Adorava esse tipo de exercício. O que mais carrego comigo até hoje que aprendi com matemática são os métodos de solução de problemas
Acertei o resultado so olhando o quadrado. Que nitidamente, para um bom observador, seria 2m o valor de um lado. Sendo assim, 2 ao quadrado. =4m quadrados..
Eu também. Kkk Agora se tivesse um resultado como opção um número virgula alguma coisa aí teria que fazer conta. 😊
Tu me quebrou nessa parte do "que nitidamente, para um bom observador, seria 2m" 😂
Aí não, filhão...
Como vc deduziu que o prolongamento de reta (no caso, igual ao comprimento do raio) divide o quadrado exatamente ao meio?
O nível de estudo que precisa ter pra enxergar tudo isso analisando as figuras é surreal
É questão de prática. 🙂
Excelente
Obrigado! 🙂
tava impossivel esse
Arrasou.
Quando fez o traço da linha de 5 metros para baixo
Percebi que a lateral do quadrado tinha 2/5 da altura da linha
Sendo então lateral de 2 metros
X base de dois metros e igual a 4 metros quadrados. Muito mais simples.
Professor , o senhor mostrou muito bem a solução traçando o triângulo pitagórico, se o cateto é 3m segmento do raio 5m ,fica claro que o segmento complementar do raio que determina o lado do quadrado é 2m, ali estava resolvido a questão, mas o senhor fez todo aquele caminho com cálculos "estratosfericos " ,com certeza pra fazer o aluno pensar mais expandindo a consciência. Parabéns.
Mas la não tem nada dizendo q o cateto é 3. Apenas a ipotenusa é 5. Os catetos poderiam ter medidas diferentes, imagina se tivesse um retângulo ao inves de um quadrado la no meio
Não tinha dizendo que o cateto valia 3m
Eu considerei a diagonal do quadrado pra somar com o raio e gerar uma hipotenusa maior. O raciocínio tava certo, mas me embananei na equação depois, que ficou gigantesca e eu não lembro mais como resolve equação de segundo grau. 😅
exercício divertido
fiz um pouco diferente a análise do triângulo retângulo, mas cheguei no mesmo resultado: a diferença foi que, ao invés de representar metade do lado do quadrado como (x/2), acabei representando esse valor direto como x. Se por umm lado evitei as frações todas, por outro eu tinha que lembrar no final de multiplicar o x obtido por 2, pra ter o valor do lado inteiro, não só sua metade.
Matei essa depois que você tracejou o triângulo com a propriedade do triângulo "3, 4, 5"
Muito bom! 🙂
10 segundos pra responder hahahaha
Eu fiz, calculando a distancia do ponto onde canto do quadrado toca o círculo até a base.
Deu o mesmo resultado, obviamente , mas acho que fiz mais contas.....
ponto de encontro: 1-seno(y) = 2(1-cosseno(y)); sabendo que seno(y)=raiz(1-cosseno(y)²);
chamo o seno(y) de x: 1-x = 2(1-raiz(1-x²));
fazendo a conta x=0,6, que é o seno(y);
lado = (1 - 0,6) * 5 = 2
area = lado² = 4;
Pode me explicar melhor? 🙂
EU RESOLVI USANDO O TRIÂNGULO PITAGÓRICO 3; 4 e 5...
Perfeito!!!
Boa noite professor, uma dúvida. Se eu imaginar o seguinte triângulo retângulo: Hipotenusa = raio + x raiz (2) (diagonal do quadrado); Cateto = raio; Cateto raio + x/2. Por acaso chego na mesma resposta?
Excelente pergunta, Victor! Apesar de ser tentador pensar assim, não é possível comprovar que o centro de um dos círculos, o vértice do quadrado que tangencia esse mesmo círculo e o vértice do quadrado oposto a este são pontos colineares (e de fato não são).
A conta, em si, fica bem "bizarra" num dado momento, se tentar fazer... 😄
Qualquer outra dúvida, só falar. 😀
Usei o corpaço e a geometria, para chegar à solução mais rapidamente.
Com compasso é mais fácil... 😄
Fiz a equivalência já que o triângulo retângulo tem lados proporcionais a 3, 4 e 5. Fazendo 5-X = 3 e 5-X/2=4 para achar X=2. Finalizando S = 4 m
Seria interessante fazer uma interpretação da outra "solução", x=10. Seria o quadrado de lado 10, cujos vértices seriam os pontos de tangência de cada circunferência com a linha horizontal e os respectivos pontos diametralmente opostos.
Feliz ano novo!! :D
Feliz 2024, irmão! 😃
coisa linda essa questão aí ein
😃
Bom demais
bem interessante bem divertida pra tentar enxergar algo que nunca vai usar os cara mesmo com estudo perde tempo de ficar calado
Moral da história?
rapaz que viagemmmm kkkk.... mais muito top a resolução rss
Valeu! Obrigadão! 😃
The other solution of 10 is also valid with a square with the two summits on top of the two circle
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk resolvi de olho, imaginando apenas os dois quadrados formados pelo encontro dos círculos e os raios desses.
era so pegar o lapis e medir o tamanho de um lado dos quadrados, e depois colocar a medida comparado com o raio, ae temos o valor dos lados, e depois so mutiplicar e temos a area-
Funciona mesmo, mas só porque essa figura tem a proporção perfeita. Numa figura de proporção mexida teria problemas. 🙂
Fiz igualzinho 😊
Eu tenho uma ideia que não cheguei a testar: a diagonal do quadrado não é colinear com o raio da circunferência? Ia ser parecido com o teu desenvolvimento, mas eu não testei. Anyways, muito boa explicação, eu já vi esse problema em inglês e não tinha entendido, agora ficou claro.
Em regra, não é colinear. Contudo, existe somente um quadrado com lado específico que faz a diagonal e o raio serem colineares.
A ideia é muito boa, Marco, porém não dá pra provar que o centro de dos círculos, o vértice do quadrado que encosta nele, e o vértice oposto a este são colineares. E de fato, para o problema em si, não o são. 😀
Triângulo retângulo notável, lados 3,4,5. Se a hipotenusa é 5, os outros dois lados são 3 e 4. Como 5-x é menor que 5-x/2, 5-x=3
Cuidado!!! "Se a hipotenusa é 5, os outros lados são 3 e 4" não é necessariamente certo, porque existem infinitos triângulos retângulos com hipotenusa 5 e lados diferentes de 3 e 4.
Só dá pra garantir assim de cara um triângulo retângulo pitagórico se já houver 2 lados dados e, daí, o terceiro sairá fácil, caso o triângulo seja pitagórico.
O que pode ser feito é, sabendo que pode ser um triângulo 3 4 5, substituir x por valores convenientes e ver se encaixa. Para o caso dessa questão, dá certinho! 😀
Entendeu?! 🙂
Partindo do princípio que todo triângulo inscrito em um semi círculo é triângulo restangulo,
Não necessariamente...
Todo triângulo que possui um dos vértices no semicírculo e outros dois vertices diametralmente distantes um do outro é triângulo retângulo.
Mas como pensou em resolver usando esse conhecimento? 🙂
Achei bem interessante a dica de "tentar usar o raio a nosso favor"
Aí fiquei pensando... usaríamos o quê então, se o raio é a ÚNICA informação dada na questão??
hehehe melhor usar a única informação dada né?
Não é nem de longe a única informação dada... Tem várias outras informações que o desenho em si nos dá.
Boa
😃
É semelhante ao problema com as 3 circunferências. Uma circunferência no lugar do quadrado.
joia professor! um problema plano, resolvido com geometria plana.
Sim! Valeu! Estamos juntos! 🙂
PR, relação triângulo retângulo 345. Seria mais rápido.
Como garantir que é um 3 4 5?
Professor eu fiz de cabeça e acertei!
Quem entende um pouco de geometria já percebeu que era um triângulo pitagórico. 3.4.5.
Então já dava de saber que o quadrado era de lado 2. Ou seja área 4
Eu como, desenhista, já sabia que o lado do quadrado era 2 e a área era 4, resolvido por proporção visual, mas eu não sabia como provar isso matematicamente hahahaha