Mathe RÄTSEL Geometrie - Wie groß ist der Flächeninhalt der Kreisfigur?
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- čas přidán 1. 06. 2024
- Mathe RÄTSEL Geometrie lösen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man den Flächeninhalt der Kreisfigur berechnen kann. Wir bestimmen die Fläche der Kreise und nutzen den Satz des Pythagoras, um den Inhalt des Halbkreises zu finden. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Mathe RÄTSEL Geometrie
0:27 Kreisfigur Flächen aufteilen
1:24 Fläche Viertelkreis berechnen
2:24 Fläche Halbkreis berechnen
3:20 Halbkreis Radius berechnen
5:25 Satz des Pythagoras
6:24 Lineare Gleichung lösen
8:24 Fläche Halbkreis berechnen
9:37 Bis zum nächsten Video :)
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Es gibt wohl nur eine Sache, die Du noch mehr liebst als Mathe: In die Kamera lachen!
Hi Susanne. Mir ist da heute eine interessante Mathe-Aufgabe eingefallen. Hättest du da Interesse ein Video dazu zu machen? Und zwar hab ich mir heut gedacht: Gibt es eine Funktion f(x) = irgendwas, die sich selbst als Ableitung und als Stammfunktion hat. Mir ist auf die Schnelle nur f(x) = 0 eingefallen, da ja die Ableitung davon auf f'(x) = 0 ist, und die Stammfunktion davon (wenn man von einer Konstante absieht) F(x) = 0 ist. Aber das ist ja "langweilig". Ich wüsste da eher gern einen Term z.B. ein Polynom a la f(x) = ax² + bx + c oder von mir aus eine Potenzfunktion, oder wasm it Logarithmus. Wär jedenfalls cool, wenn du darüber ein Video machen würdest. Ist aber kein Muss.
Vielen Dank! Ich hab etwas gegrübelt, wie man auf den Radius von A2 kommt. Auf die Lösung mit Pythagoras bin ich auf die Schnelle nicht gekommen, aber die Schul-Mathematik liegt jetzt 26 Jahre hinter mir, da darf man das 😉 Super-verständlich erklärt. Verdient man mit den Videos eigentlich mehr als als Lehrerin🤣?
Mit der korrekten Anzahl an signifikanten Stellen ist das Ergebnis übrigens 8 m², weil der Radius des Viertelkreises nur auf eine Stelle genau angegeben ist. 😉
Bei diesem Video ist mir ein ungelöste Aufgabe eingefallen: In ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 werden 4 Viertelkreise gezeichnet, mit dem Radius 1 und den Eckpunkten als Mittelpunkt. Die jeweiligen linken und rechten Nachbarecken der Mittelpunktecken sind Beginn und Ende der Kreisbögen. Die Kreisbögen schneiden sich in 4 Punkten und umschließen eine fast quadratische Fläche. Wie ist der Flächeninhalt dieser Fläche zu berechnen?
Habe Mathe in der Schule ohne Ende gehasst , hab einfach nichts verstanden. Jetzt studiere ich Informatik und schaue Deine Videos und denke mir: Mathe macht einfach richtig Spaß 😍
Die nicht vorhandene Motivation eines Großteils des Lehrpersonals sowie der unnötige, künstlich erzeugte Stress des Lehrplans lassen leider nicht viel Spielraum für die Erklärung der Mechanismen hinter den oft hingeschmissenen Algorithmen übrig... Wenn etwas als black-box behandelt werden muss, folgt daraus dass ein Verständnis ausbleiben *muss*. Mathematik muss daher immer selbst entdeckt werden, um Spaß daran zu finden. Traurig, aber wahr! :)
Wohl eher wegen der hübschen Dame😏👍
@@blvckbytes7329 In der Schule kommen eher die "Lerner" zurecht als die "Versteher".
Mit dem richtigen Lehrer(in) macht sogar Geschichte Spaß!
@@reinhardkrau1407 das stimmt nicht, ich hasse lernen und tu es auch nicht gerne aber verstehe ziemlich gut und schneide trotzdem gut ab, verstehen und Anwesenheit im Unterricht sind eben mehr als die halbe miete
In der Schule waren Gleichungen mit x Unbekannten meine absolute Leidenschaft. 30 Jahre später und in ganz anderen beruflichen Herausforderungen sind Deine Aufgaben ein bon bon für alte Synapsen.
Danke Dir!
Genau. Macht Spass und zeigt wie viel man noch weiss. Anscheinend ist das wie Fahrrad fahren. Das verlernt man nach 30 Jahren nicht.
Erstaunlich wie eine Figur sich so in eine andere fügt, dass nichts von dem Sinn der Verhältnisse sich verliert, sondern immer sich das eine, klar auf das andere beziehen lässt und wie so viele Formeln ineinander gewebt einen so kohärenten Lösungsweg ergeben. Immer wieder eine Freude deine Videos zu schauen und etwas zum Nachdenken zu finden.
Schon wieder ohne Einheiten...schimpfmeckerzeteraufreg etc😄
Toll erkärt, ich hätte zwar die durchmesserbezogene Formel genommen,aber das Ergebns wäre dasselbe gewesen. Kreisberechnungen wie z.B Segment, Kreisab- oder -Ausschnitt speziell in Verbindung mit Dreiecken und Winkeln ist sehr faszinerend und Du erklärst das super. Dankèschön👍
Endlich hat es einen Sinn, die binomischen Formel mal gelernt zu haben. :)
Echt immer wieder klasse. Diese Serie ist sehr gut geeignet, um altes längst vergessenes Wissen wieder auszugraben.
Hi Susanne,
Darf ich fragen: woher weiß ich, dass in der Verbindungslinie zwischen den Mittelpunkten der kleineren Kreise kein Knick ist? Dass der Berührungspunkt der beiden Kreise also genau auf der Strecke zwischen den Mittelpunkten der kleineren Kreise liegt.
Genau diese Frage wollte ich auch stellen.
Ich hoffe auf das Einverständnis von Susanne und erkläre mal, wie ich das sehe: Die beiden Kreise berühren sich ja und haben eine gemeinsame Tangente im Berührungspunkt. Die beiden Radien der Kreise stehen senkrecht auf dieser Tangente. Der Winkel, in dem die Radien aufeinander stoßen beträgt also 90° + 90° = 180°. Damit liegt also kein Knick vor, sondern die Radien verlängern einander in einer Gerade.
P.S. Schöne Aufgabe!
@@Bayerwaldler Das hast du richtig gut erkannt und gut erklärt.
LG Gerald
@@Bayerwaldler Danke!
@@Bayerwaldler Erklärung ist richtig. Ohne diese Erklärung hätte mein Mathelehrer aber jeden weiteren Lösungsschritt als falsch bewertet - gehört also zwingend dazu!
Die Videos sind sehr hilfreich, teils vergessenes Wissen aus der Studienzeit wieder hervorzuholen. Bleib so, wie du bist, und mache noch viele Videos zur Mathematik
Vergessenes Wissen aus der Studienzeit? Really? Ich bin 52 und hatte das zuletzt in der Mittelstufe. Trotzdem war ich nach zwei Minuten fertig, hab also offenbar nichts vergessen. Ich weiß nicht, aber mir ist dieser Kanal zu pillepalle. 'Mind your decisions' ist eher meins.
@@wolfganghermesmeier Geschichten aus dem Paulaner Garten
@@Haeschen_Huepf_auf_Lichess Wieso? Ist keine Werbung, hat mit Bayern nichts zu tun, auch mit Alkohol. Ist auch keine Geschichte, sondern die Wahrheit.
@@wolfganghermesmeier, oh was riecht denn hier so?! Aaaaaah...stimmt, ihr Eigenlob!
@@helgemuller3451 Was hat das mit Eigenlob zu tun? Ich rede über Schulstoff zu meiner Zeit, von dem alle Mitschüler betroffen waren (da bin ich doch nicht allein) und wundere mich über den Absturz des Niveaus.
Du bist einfach nur super! Mit dir macht es echt Spaß die alten grauen Mathe-Zellen zu reaktivieren!
Geometrie fand ich schon immer sehr spannend und hilft mir auch jetzt bei meinem handwerklichen Job immer wieder!
Herzlichen Dank für diese wunderschöne Aufgabe aus der Geometrie 🌷Ich habe es so gemacht: Das Zentrum von dem kleinen halbkreis mit dem Zentrum des großen halbkreises verbindet (die Länge wäre 3+r) und sofort kann man dieses Dreieck mit dem rechten Winkel erkennen, und den Satz von Pythagoras anwenden, somit: 3²+(6-r)²=(3+r)² ergibt: 36-12r+r²+9=9+6r+r², 36 = 6r+12r und 36=18 r, somit r=2 m. Die Fläche von dem viertel Kreises= π*6²/4= 9π m², und der kleine halbe Kreis= (π*2²)/2 = 2π m² und der größere halbe Kreis= (π*3²)/2 = 4,50 π m², die rote Fläche wäre= 9π-2π-4,50π = 2,50 π m² wäre die Antwort.
Wenn ich an der Uni Ende der 80er die Meter nicht mitgeführt hätte, hätte es Mecker gegeben. Aber du hast sie ja abschließend nicht unterschlagen.
Ich finde es wichtig und für das Verständnis hilfreich bei Flächen eben auch das Multiplizieren und Quadrieren der Einheiten nachzuvollziehen…
Vielen Dank für die coole Aufgabe!
Wahnsinn, dass ich durch deine Videos so viel über Mathe gelernt habe, dass ich diese Aufgabe ziemlich schnell lösen konnte! Danke!
Wieder ein sehr interessantes Video, danke! Ich persönlich würde jedoch immer die Einheiten mit hinschreiben und berechnen. In diesem Fall ist das sicher trivial, aber bei komplexeren Aufgaben ist das immer nochmal eine Kontrolle, ob man nicht doch irgendwo einen Fehler drin hat. So wurde es mir damals zumindest in Physik beigebracht.
Was waren meine Mathelehrer doch für Flachpfeifen! Ich habe im Studium zwar vieles dann verstanden, aber hätte ich in der Schule so eine Erklärbärin (bitte nur positiv sehen, Spaß muss sein!) gehabt, wäre das Studium mit Sicherheit leichter gewesen. Diese Videos ersetzen in 10min eine Schulstunde mit dem Zusatz "Kapiert!"
Ich habe jetzt schon viele Deiner Videos angeschaut und möchte gar nicht meine Gedanken zu meinen Mathelehrern äußern. Könnte sonst im Knast enden (auch nur ein Witz, aber sauer bin ich definitiv).
Simples Danke!👍
Deine Video werden didaktisch immer hochwertig präsentiert und dein Lösungsweg ist sehr anschaulich und klar aufgebaut. MathemaTrick ist die Nummer 1 unter den Mathe-Video und deshalb hast du auch so viele Abonnenten, Tendenz steigend! 👏
Ja, didaktisch absolut die Nummer eins! Da kann man nur den Hut davor ziehen, chapeau!! 👌👌👌👏👏👏 Ein ganz besonders wertvoller Mathematik-Kanal ♥️✨️✨️
Lang lang ist's her. Aber du bringst mich wieder auf die Sprünge. Danke!
Hallo Susanne. Toll erklärt! Mit Pythagoras und den binomischen Formeln kommt Schwung in die Geometrie!
Danke für deine tollen Videos! Freu mich immer, wenn's wieder ein neues gibt.🙂
Deine Videos anzuschauen ist sehr entspannend und verhelfen mir meine Mathekenntnisse zu erweitern, vielen dank🎉
L.G. aus der 10.Klasse
Alles nachvollziehbar. Ich glaube das größte Problem besteht darin, nicht die Konzentration zu verlieren. 20+ Jahre nach dem Abi muss ich für mich feststellen, dass das gar nicht mehr so leicht ist (gerade wenn im Hintergrund die Kids lärmen und die diversen Social Media Kanäle meines Handys um meine Aufmerksamkeit buhlen).
Ich bin immer wieder fasziniert wie einfach du Zusammenhänge erklären kannst.
I'm missing a crucial point, which is the proof that the line (r+3m) connecting both centers of the half circles through the point where they meet, is a straight line, which is necessary in order to be able to use pythagoras for the calculation of r.
If the two circles touch in one point, the distance to the centre is the radius of the circle. The radius of a circle is the shortest way from the outside to the centre. A distance (mathematically) is the shortest connection of two points (straight line, of course). So if the circles only touch in one point it has to be a straight line from centre to centre.
AM BESTEN MAL AN DEN ORT GEHEN UND SCHAUEN WIE GROSS DER KNICK DORT IST UND VERGLEICHEN OB SICH DAS ERGEBNIS ENTSCHEIDEND DADURCH VERÄNDERT ❤😂❤ WENN JA DANN SOFORT EINE BESCHWERDE EINREICHEN 😂😂
Vorweg muss ich sagen, dass dies ein wirklich gutes Video war/ ist. Mache weiter so!
Es war so gut, dass ich noch einen Schritt weiterdenken musste:
Ich finde es interessant zu sehen, wie in diesem Beispiel das Verhältnis der Radien beider Halbkreise zum Radius des großen Viertelkreises ist.
Wenn man den Radius des Viertelkreises generell R nennt, und nach deinem vorgestellten Ansatz rechnet, kommt man auf folgende Formel für den Flächeninhalt:
A_r = π · R²/4 - 1/2 · π · ( (R/2)² + (R/3)² ), R > 0.
Oder besser sichtbar: π · R²/4 - 1/2 · π · (R/2)² - 1/2 · π · (R/3)²
Diese Formel zeigt, dass das Verhältnis stets R/3 für den kleinen und R/2 für den großen Halbkreis ist. Egal wie groß man R nun wählt.
Wirklich faszinierend.
Danke, das finde ich auch 🙂. Unter den Vorgaben muss das Radius-Verhältnis stets 6 : 3 : 2 sein, sonst "passen" die beiden Kreise nicht in den großen. Von daher ist klar, dass - bei Radius = 6 - der kleinere Halbkreis einen ganzzahligen Radius haben muss.
@@murdock5537 Das war mir vorher nicht klar. Doch während ich selber daran knobelte hatte ich bereits den Verdacht, dass dieses Verhältnis 6 : 3 : 2 sein muss. Ich wollte es nur mathematisch nochmal bewiesen haben. Nach der guten alten Kunst des Q.E.D :D
@@pephiros9729 Gerne! Allerdings ist in der obigen Formel (die ja im Grunde eine Subtraktion ist) bereits vorausgesetzt, dass der Radius des kleinen Halbkreises bekannt ist... Das Verhältnis der drei Kreisausschnitte ist 18 : 9 : 4.
Liebe Susanne, prima Dich wieder als Moderatorin auf dem Computer-Display zu sehen und zu hören. Viele Grüße und ein sonniges Wochenende, René! (ich bleibe übrigens Mitglied)
Danke dir René! Es freut mich total, dass du meinem Kanal als treuer Unterstützer erhalten bleibst! Ganz liebe Grüße!
Schön erklärt, wie immer verständlich und nachvollziehbar. Super gemacht, danke.
Danke dir Horst, das freut mich total! Dir noch ein schönes Wochenende!
@@MathemaTrick Danke für die netten Wünsche. Dir auch eine schöne Zeit.
Habe den Radius von A2 mit dem Lineal am Bildschirm gemessen und zum Radius von AV ins Verhältnis gesetzt - Ergebnis war korrekt🤣.
Satz des Pythagoras ist aber eleganter👍.
Wirklich cool - wie man/Du das macht.
Danke.👍🌸
Schöne Aufgabe, in der das pythagoräische Zahlentripel (3,4,5) vorkommt!
Das ist eine interessante Beobachtung. Ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Kathete von 3 kann ja prinzipiell alle möglichen Seitenverhältnisse haben. Dass es genau dieses ist, ist dann auch dafür verantwortlich, dass wir beim Verhältnis von roter Fläche zu Viertelkreis im Bereich der rationalen Zahlen bleiben. Bzw. mit einem vollen Kreis und darin vier sich entsprechend berührenden Kreisen ebenso.
Oder andersherum: Wenn man für einen Kreis zwei kleinere Kreise mit halbem Radius bildet und zwei weitere mit einem Drittel des Radius, dann kann man sie auf genau diese Art so einsetzen, dass sie sich und den äußeren Kreis berühren.
@@meingutername2158 "Ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Kathete von 3 kann ja prinzipiell alle möglichen Seitenverhältnisse haben." Welche?
Du bist echt der absolute Wahnsinn im Quadrat 😜, erklärt wie ein echter Erklärbär, sorry eine Erklärbärin 🐻…alle fünf Daumen hoch 👍👍👍👍👍… oder hat jemand weniger 😉😘
Klasse! Ich bin Diplom-Ingenieur und liebe Deine Aufgaben! Sie repräsentieren wie die "Katas" (siehe unten) eine tolle Übung um mich einerseits bzgl. der Herangehensweise zur Lösungsfindung herauszufordern und andererseits zu sehen, was da an Schulwissen noch abrufbar ist...
Es ist schon verblüffend, wie viel dann da an Wissen im Verborgenen dennoch da ist, obschon ich es in meinem Beruf als Softwareentwickler eigentlich nicht so oft brauche... In der Software nennt man solche kleinen Übungen wie gesagt "Katas" (kommt aus dem (japanischen?) Kampfsport und steht für Übungsaufgabe oder Herausforderung...
...Und am Spannendsten für mich ist dann immer zu prüfen, ob das Ergebnis, das ich herausbekam stimmt, indem ich an an das Ende des Videos springe und mir die Lösung anschaue...
Ich kann jedem das nur empfehlen um fit zu bleiben, sich selbst herauszufordern und schließlich zu erfahren, ob man es noch kann.
Spiel, Spaß Spannung eben! 🙂Vielen Dank Susanne! :-)
Sehr coole Ansätze, macht echt Spass da mitzudenken :)
Hi Susanne, danke erstmal für deine tollen Videos. Machen echt Spaß.
Frage: Wie kommst du darauf, oder wie beweist man, dass die beiden Radien auf einer Geraden liegen?
Du setzt das stillschweigend voraus.
Danke für die Antwort.
Deine Videos machen einen so süchtig auf Mathe. 👍🏽
Das hat echt Spaß gemacht, sehr cooles Rätsel. :)
Du bist echt toll, es macht viel Spaß dir zu folgen.
Man bin ich eingerostet. Ich bin einfach nicht auf den Radius von den kleinen Halbkreis gekommen. Rein optisch sprach alles für ein Drittel von 6 m - was ja auch korrekt war - aber auf den Rechenweg bin ich nicht gekommen. Vielen Dank.
😀Super Video. Mühsam nährt sich das Eichhörnchen 😉
Super erklärt. So eine Mathelehrerin hätte ich mir in Mathe auch gewünscht.
Du glaubst gar nicht, wie ich die binomischen Formeln in der Schulzeit gehasst habe. Aber ich glaube, wenn mein Lehrer das damals so schön, wie Du, erklärt hätte, ... Super Videos!!!
Schön erklärt. Das weckt Erinnerungen an meine Schulzeit. Vermutlich wurde aus Vereinfachungsgründen die Einheit weggelassen, aber man sollte das schon generell machen. Mein Mathelehrer hätte sonst von Mißbrauch des Gleichheitszeichens gesprochen.
Ich liebe solche Aufgaben, Danke 🤟
Voll entspannend Dein Content! 👍🏻
Freut mich! 🥰
War grade erstaunt über mich selbst. Ich kam tatsächlich auch auf 2,5pi. :D und das 11 Jahre nachm MatheLK. Aber sowas wie binomische Formeln, Kreisfläche etc. ist uns auch einfach irgendwie mega eingebrannt worden damals. :D
Hat wie immer Spaß gemacht. Ich wär im Leben nicht auf den Rechenweg mit dem rechtwinkligen Dreieck gekommen 🤷🏻♀️, aber dafür hab ich ja Dich 😎
Hallo Susanne, in diesem Video gehst du implizit davon aus, dass der Berührungspunkt der beiden Halbkreise genau auf der Geraden zwischen ihren jeweiligen Mittelpunkten liegt. Ich habe nicht verstanden, warum das so ist. Kannst du es bitte erklären? Vielen Dank, J.
Ich bin zwar nicht Susanne aber ich will es mal versuchen.
Eine Strecke (geometrische Definition) ist die kürzeste Verbindung von 2 Punkten. Bei einem Kreis ist die kürzeste Strecke vom Mittelpunkt zur Außenlinie der Radius des Kreises. Wenn sich 2 Kreise berühren (bzw auch Teilkreise mit den runden Flächen), dann sind die Mittelpunkte jeweils R_1+R_2 (also Radius von Kreis 1+ Radius von Kreis 2) voneinander entfernt. Wenn sich die Kreise jetzt nicht überlappen dürfen, dann muss diese Strecke aus den definitionen heraus eine Gerade zwischen den Mittelpunkten sein.
Als bsp. Aus dem echten Leben noch: Wenn das nicht so wäre, dann würden Getriebe z.b. nicht funktionieren, also Zahnräder die umeinander rotieren und über einen Stab durch die Mittelpunkte beieinander gehalten werden. Oder du könntest z.b. versuchen 2 runde Tomaten mit einem Schaschlik Spieß zu verbinden, sodass der Spieß nicht in der Mitte zwischen den Tomaten herausschaut, das wäre dann auch die gerade zwischen den Mittelpunkten.
Ich hoffe ich konnte helfen :)
Einfachere Erklärung: Die Verbindungslinie von Mittelpunkt zu Berührpunkt ist jeweils senkrecht zur Tangente am Berührpunkt.
Am Berührpunkt ist die Tangente beider Kreise gleich.
Also sind beide Verbindungslinien senkrecht zur gleichen Tangente, also parallel, und da sie beide den Berührpunt beinhalten liegen sie auf der gleichen Geraden.
@@Cad4rn Sehr gut erklärt. Danke! 👍🏻
@@meingutername2158 Das soll einfacher sein? Unfassbar...
@@Molekuelorbital also ich persönlich fand die zweite Erklärung einfacher 😉 ... aber für mich hätte andererseits auch das in vielen mathematischen Herleitungen übliche "wie man leicht sieht" gereicht.
Das ist aber nun KEINE Kritik an der ursprünglichen Fragestellung! Im Gegenteil.
Es darf eher als Anregung verstanden werden, dass in der Zeit überwiegend "elektronisch gespeicherter Bücher" die mathematische Fachliteratur an solchen "wie man leicht sieht"-Stellen durch Anklicken direkt einen Link zu einer ausführlicheren Erklärung haben sollte.
Vielleicht würde das einigen die Furcht vor der Mathematik nehmen, die das beim ersten, zweiten und dritten Lesen eben noch nicht "leicht sehen" sondern erst beim vierten Mal ...
Die Aufgabe hat mir gut gefallen, die Lösung hat mir mehr gefallen aber die Frau hat mir am meisten gefallen.
Es passt irgendwie zum Thema 'heilige Geometrie' mit dem ich mich aktuell befasse. Den Lösungsweg sah ich sofort: Flächen berechnen .. Pythagoras .. Gleichung aufstellen und auflösen. Dann hatte ich keine Lust mehr und schaute mir einfach das Video an. Bei der heiligen oder besser ganzheitlichen Geometrie wäre das Problem jetzt räumlich, also sechs kleine Kugeln, die eine große Kugel so ausfüllen, dass das verbleibende Volumen zwischen ihnen minimal wird. Dazu könnte man vielleicht ein weiteres Video machen. - Wie man Resonanz-Muster wie Chladnische Klangfiguren mit Gleichungen berechen kann, dürfte hier wohl zu kompliziert werden. Dabei ergibt sich die Geometrie aus Brüchen und Primzahlen.
Tolle Aufgabe. Pythagoras, Geometrie den Kreises, Wow. 🤩🤩🤩
Liebe Grüße und ein schönes Wochenende (ohne Fledermäuse) wünscht
Gerald
PS: Ich habe es diesmal genau so wie du gelöst
Ich schaue diese Rätsel sehr gerne an. Ich wünsche mur nur oft, Du würdest das triviale Vorspiel etwas verkürzen und schneller auf den Punkt kommen!
1. die Mittelpunkte der Kreise bzw. Halbkreise sind eingezeichnet und damit wissen wir es sind Halbkreise und keine Kreissegmente.
2. 6m = x bzw y Achse bzw. ein Radius von r1=3 für den gr. Halbkreis.
3. der kleinere Halbkreis liegt genau auf dem gr. Halbkreis aus, damit ist die Hypotenuse = r1+r2 = 3+r2
4. (3+r2)^2 = 3^2 + (6-r2)^2 = 9+6r2+r2^2 = 9+36-12r2+r2^2
5. 18r2 = 36
6. r2=2
7. Damit können wir nun den Flächeninhalt ausrechen. A=9*pi - 9/2*pi - 2*pi = 2,5 pi
Wieder mal sehr schön! Man muss ja einfach nur drauf kommen...🙂
Sehr elegante Lösung. Aber ich kann mich noch gut erinnern - unser Mathelehrer hätte uns, wenn wir auch so zwischendrin die Einheiten weggelassen hätten, ziemlich die Ohren langgezogen (bildlich gesprochen) 🙂
Zuerst dachte ich ...Aua 😳
Danach konnte ich alle deine Wege nachvollziehen.
Mathe oder Geometrie können soooo einfach sein. 😉😄
Cool 😊 Bitte mehr davon 👍
Als ich mir gedanklich die grade durch die Mittelpunkte der kleinen Kreise gezogen habe und dabei der Schnitt genau an dem Berührungspunkt der beiden kleinen Kreise erfolgte machte es klick in meinem Gedächtnis und ich war bei der Konstruktion des goldenen Schnittes, und durch die 6 m ergab sich sogleich ein Radius von 4 m für den kleinen.
Eleganter Ansatz! Durchmesser ist 4 m, nicht Radius...
Ich bin ziemlich gleich vorgegangen und somit zum gleichen Resultat gekommen. Schön finde ich, dass das Dreieck, an dem wir mit dem Satz des Pythagoras operiert haben, nicht einfach ein rechtwinkliges Dreieck, sondern ein klassisches 3-4-5-Dreieck ist. :)
Stimmt. Da liegt ja ein Pythagoreisches Tripel vor. Cool.
LG Gerald
Der Baustellen-Pythagoras: Drei Schnüre mit dem Längen-Verhältnis 3:4:5 zuschneiden und dann als Dreieck auslegen. So wird ein Objekt mit der Größe eines Fußballplatzes problemlos rechtwinklig.
@@nicoledoll2772
Baustelle machen wir so:
Seite a 120cm
Seite b 160 cm
Winkel solange verändern bis der Meterstab (2m) genau als Diagonale reinpasst, dann sind's 90 Grad.
Das ist zwar auch das Verhältnis 3:4:5, aber etwas praktikabler, denn ein Meterstab ist stets zur Hand, hat die richtige Länge und ist von einer Person zu händeln.
@@nicoledoll2772 In diesem Fall würde ich aber versuchen, eine der Katheten gleich in der Grösse des Fussballplatzes zu wählen und zudem eine möglichst dehnungsarme Leine zu verwenden (auf jeden Fall nicht zu klein), da sich sonst beim Vergrössern jede noch so kleine Abweichung vervielfacht.
@@Waldlaeufer70 Wenn wir schon ins Detail gehen: Drähte verwenden und alle drei mit einer Federwaage gleich stark spannen. Gedrehte Schnüre sind ungeeignet. Für einen Fußballplatz braucht es aber eine solche Genauigkeit nicht.
Mega gut erklärt . Danke Anke 😉😉😉
Wie kann man sicher gehen, dass die Verbindungsstrecke (r+3m) wirklich eine gerade Strecke ist und nicht etwa einen Knick hat?
Hallo, woher weiß man, dass zwei linie (radius des kleinen halbkreises und radius des mittelgrößen halbkreises ) eine gerade Linie (hypothenuse) bildet ? Lg
Vom Gefühl her hätte ich sofort gesagt, dass der kleine Halbkreis einen Radius von 2m haben müsste, aber das galt es zu beweisen! Das rechtwinklige Dreieck mit den beiden Radien als Hypotenuse habe ich erkannt, aber die Gleichung so aufzustellen, wäre mir wohl erst nach langem Grübeln eingefallen. Ich hätte dann natürlich auch alle Flächen schön brav einzeln ausgerechnet, mich über die vielen Nachkommastellen geärgert, die Pi nun mal mit sich bringt und am Schluss dann eine krumme Zahl herausbekommen, bei der ich nicht mehr auf Anhieb gesehen hätte, dass es 2,5 Pi sind....da war es dann doch einfacher, Ihnen, liebe Susanne, weiter zuzuschauen und sich alles vorrechnen und erklären zu lassen. Genau dies ist Ihnen wieder einmal hervorragend gelungen! Warum waren Sie vor vierzig Jahren nicht meine Mathelehrerin? Ich hätte Mathe dann bestimmt mit ins Abitur genommen und nicht nach 12.2 abgewählt (was damals noch ging😉)!
@@nihanawi6585 Und was hat der Link zu diesem Schwachsinn mit meinem Kommentar zu tun? Posten Sie Ihren Blödsinn doch bitte woanders!
Peter Volgnandt
Schönes Beispiel und prima erklärt.
dürfte man nicht einfach annehmen das der radius vom kleinen kreis 1/3 von 6m sind? in den gesamten aüßeren kreis passen nähmlich entweder 2 kreise aneinander gereiht an mit d/2, oder eben 3 kleinere kreise mit d/3. hier ist es dann eine kombo, waagrecht ein grosser kreis d=6m, und senkrecht nur ein kleiner kreis mit d=4m.
so dauert das ausrechnen max 30sekunden
aber ob das als mathematisch korrekt nachgewiesen gilt ist die frage oder?
War in 3 Minuten durch, am einfachsten ist es wenn man alles ohne irgendwelches lösen von Gleichungen macht. Einfach den Virtelkreis ausrechnen und dann die beiden kleinen Kreise ausrechnen und dann das beides vom großen abziehen.
5/2pi
Auf den Radius des kleinen Kreisen kommt man über den Pythagoras (wenn man erkennt, dass die kürzeste Verbindungslinie der Kreismittepunkte durch deren Berührungspunkt gehen muss).
(3 + r)^2 = (y + r)^2 + 3^2 und y = 6 - 2r. Nach auflösen r = 2 und somit A = 36pi/4 -9pi/2 - 4pi/2 = 5/2pi
Der Trick mit den Radien ist echt clever. Hätte nicht gedacht, dass man plötzlich wieder mal vor Pythagoras steht. :-)
die sieht echt einfach aus, müsste ich relativ einfach hinbekommen...
also ich habe eine Lösung die wäre aber sehr kompliziert. Ist aber definitiv richtig, ich schlucke meinen Stolz runter und schaue einfach dir zu...
Ja hast recht, so macht es mehr Sinn, hätte das andere Dreieck genommen und dann mit Winkel und Cosinus-Satz, aber deine Lösung ist 10 mal besser.
Super Aufgabe.😉
Wunderbar erklärt. Und spannend! Sogar für mich, der mit Mathematik nichts am Hut hat. Aber eine Frage: Wie kann man wissen, dass es sich bei der Gesamtfläche um einen Viertelkreis handelt und nicht um eine Viertel-Ellipse? Man hat ja keine Angabe von der anderen Seite. Oder mache ich einen Denkfehler?
Danke für eine Antwort und liebe Grüsse
Ziemlich cool, irgendwie habe ich mit Augenmaß gesehen, dass r 2/3 von 6 ist. Gibt es vllt eine Möglichkeit zu beweisen, dass bei zwei Halbkreisen im Viertelkreis der r des kleineren Halbkreises immer 2/3 des d des größeren Kreises ist?
Das fände ich nen coolen Beweis
Das ist ganz einfach. Du musst nur in den Gleichungen statt 3 für den Radius des großen Halbkreises x einsetzen und die Gleichung nach r auflösen. Das Ergebnis ist r = 2/3x und gilt somit für jeden Wert von x. X² + (2x - r)² = (x + r)²
@@richardfrohlich8966 Danke. Oder graphisch: Zeichne einen Kreis mit Radius r = 6, zeichne auf der x-Achse nebeneinander zwei Kreise mit r = 3, zeichne auf der y-Achse drei Kreise übereinander mit r =2. Man sieht, alle kleinen Kreise passen in den großen...🙂
Im Prinzip ist dieses Video genau der Beweis dafür. Aus der Anordnung der Kreise ergeben sich zwingend diese Verhältnisse der Radien, egal ob man da 6m dranschreibt oder Himbeersaft.
"Tricky" war es den 2. Radius zu bestimmen. Wieder wunderbar und nachvollziehbar erklärt !!! Top
Ich frage mich gerade bei der Konstellation der 2 Kreise im Halbkreis, wo der größere Kreis zwingend r/2 des Halbkreises ist, ob nicht dann für den 2. Kreis der sden großen Kreis tangenzial berühren muss für dessen r nicht automatisch 1/3 r des Halbkreises gilt.
Danke für die interessante Aufgabe :)
Sehr gerne! 🥰
Vielen Dank
super vid... trigo und algeb is bei mir schon laenger her... und in den staaten weiss sowiso keiner was das ist.lol.... muss aber dennoch sagen... die zeichnung war schon sehr eindeutig... musste schmunzeln, der punkt vertikal ist genau 1/3 des gesamten radiuses. du hast aslo recht, ich glaub dir, ich habs nachgemessen! 🙂 gruesse
überraschend einfach
Und wieder mal eine Lösung mit einem schönen Trick aus der Mathematrick-Kiste.
In der Schule und im Studium fand ich Mathe nicht so toll (lag auch an den Lehrern), auch weil man es für die Prüfung dringend brauchte und sehr viel Druck dahinter saß.
Habe es aber immer geschafft. Mittlerweile 30 Jahre später finde ich Mathe spannend und interessant - ist auch ein gutes Training für die grauen Zellen. Diese Aufgabe war recht einfach und konnte sie lösen.
Gerne auch mal was Komplizierteres (Reihen, einfache Differentialrechnung) usw. Mal gespannt, ob ich das noch kann ;-).
Danke!
Dankeschön liebe Daniela!! 😍
Bei dieser Anordnung ist der Radius r (kl. Kleis) = 2/3 des Radius R (gr. Kreis) = 3, also r = 2. A(gV) = 0,25*pi()*36 = 9pi(), gV = großer Viertelkreis. Für die rote Fläche ergibt sich somit: 9pi() - 0,5*4pi() - 0,5*9pi() = 2,5pi() 🙂
Okay, auf das Ergebnis 2,5Pi bin ich mit dem optisch geschätzten r=2m auch gekommen, aber da schätzen natürlich nicht gilt, bleibt mir die Frage: Woher weiß ich, dass die Verbindungslinie der Radien beider Halbkreise genau deren Berührungspunkt ist? 🤔
Bravo, Sie haben eine ganz außergewöhnliche didaktische Begabung und das im Fach Mathematik, welches viele als staubtrocken und wenig attraktiv einschätzen. Ich nehme an, Sie kennen den Prof. Rudolf Taschner von der TU Wien, an den erinnert mich Ihre Vorgehensweise. Wie wärs, wenn Sie mal die komplexen Zahlen thematisieren, da gibt es auch ganz erstaunliche Zusammenhänge (z. B Eulersche Relation), welche für Ihr Publikum ganz bestimmt äußerst aufschlußreich wären.
PS: da fällt mir noch Gabriels Posaune (Horn) ein, das ist auch ein Aha-Erlebnis. Herzliche Grüße.
Wieder ein wunderbares Video, aber ich hätte die Frage: wenn diese Aufgabe so in einer Klausur gestellt würde, wäre sie ohne Angabe des rechten Winkels doch gar nicht lösbar, oder?
Der Radius ist doch nur 3 beim ersten Kreis und nicht 6, das ist der Durchmesser oder täusche ich mich help?
Sie hätte ich gerne als Lehrerin gehabt.
War das der ARBELOS, den ich vorgeschlagen hatte(?) Davon gibt's noch ein paar Varianten. Bist du im Besitz des Buches Guten Tag, Herr Archimedes von Konforowitsch?
Hallöchen,
nach Monaten des stillen Verfolgens muss ich jetzt auch einfach mal sagen, dass Du das klasse machst! (Hab' mir einige Inhalte durch deine Videos selbst beigebracht, und mir so Mathefolien erstellt haha - hast maßgeblich dabei geholfen, meine Leidenschaft für die Mathematik wieder aufblühen zu lassen
So bin ich auch vorgegangen, wobei die Annahme bei mir ein gutes Bauchgefühl war, ohne es logisch-schlüssig herleiten zu können.
Die Frage ist glaube ich warum du das angenommen hast, auf welchem Niveau du bist und wie die Aufgabe genau gestellt ist.
Normalerweise ist in solchen Aufgaben sowas wie "nachmessen" nicht so gern gesehen würde ich zumindest mal schätzen.
@@Cad4rn Ja gut, ich verstehe auf jeden Fall deinen Punkt - also danke für deine ehrliche Einschätzung. Ich hatte halt nicht wirklich an Satz des Pythagoras, Gleichungssysteme etc. gedacht, sondern die Ähnlichkeit von Dreiecken, und dass die Abblidung (wäre sie bei der Aufgabe dabei) ja maßstabsgetreu sein muss.
Ist das für dich persönlich zu ungenau? :)
@@nicholaskersch2047 Aber wie willst du die Ähnlichkeit von Dreiecken anwenden ohne eine Seite nachzumessen oder den Winkel zu "raten"? Ich komme da zumindest auf die schnelle nicht drauf, aber kannst mich auch gerne eines besseren belehren. Also wenn du das ganze mit Formeln gemacht hast oder logisch erklärt(also quasi eine Formel in Worten) hast dann sollte es kein Problem sein.
Klar könnte/kann man das hier bei den Werten auch noch schön nachmessen und dann schauen ob alles passt, aber was wäre wenn der Viertelkreis einen Radius von 6,592749m hat und man das ganze auf x Nachkommastellen berechnen soll, würde deine Lösung auch da noch funktionieren?
@@Cad4rn War wahrscheinlich ein Quäntchen Glück dabei, weil die Werte so schön glatt waren:
Also ich habe die Kreiszahl π bei meiner Rechnung als Konstante angesehen, sie deshalb ausgeklammert und quasi die individuellen Zweitfaktoren der einzelnen Flächen addiert bzw. voneinander subtrahiert. Am Ende komme ich auf das genau gleiche Ergebnis.
Das mit der Ähnlichkeit von Dreiecken meine ich so, dass die Abblidung ja nur konstruierbar sein kann, wenn die Verhältnisse der Halbkreise zueinander stimmen - deswegen habe ich mir erlaubt, mit Augenmaß und Schlussfolgerung zu argumentieren. (weiß nicht, ob das deine Frage ganz beantwortet)
Dann hat diese Konstellation eine allgemein gültige Relation -> wenn in einem 1/4 Kreis 2 Halbkreise sich berühren und der eine Halbkreis als Durchmesser genau den Radius des 1/4-Kreis hat, dann hat der zweite Halbkreis einen Durchmesser, der 2/3 des ersten Halbkreises beträgt.
Offensichtlich. Aber warum ist das allgemein so?
@@mazchen leider kann ich hier kein Hochzeichen darstellen:
Also wenn h der Halbmesser des großen Kreises (also im Beispiel 6 m) sei, dann gilt bei dieser Konstellation folgendes:
(h-r)2 + (0,5h)2 = (r+0,5h)2
h2 -2rh +r2 + 0,25h2 = r2 +rh +0,25 h2
h2 = 3rh
h = 3r
also r ist immer ein Drittel von h bzw. 2/3 des Radius des Halbmesser-Kreises
echt gutes beispiel
Der untere erste Halb-Kreis geht doch komplett von links nach rechts zum Rand des Viertekkreises (6m). Damit bräuchte man die Berechnung des Radius durch den Pythagoras des zweiten halben Kreises eigentlich doch nicht, da sich automatisch dann der Radius 2 ergibt, wenn dieser zweite Halb-Kreis den ersten halben Kreis berührt, das heisst der Durchmesser des zweiten Halbkreises ist 2/3 von 6m (also 4m) und der Radius dann 2m. Oder sehe ich das falsch? Liebe Grüsse Thorsten
Naja, wenn alles vorher schon bekannt ist, kann man das so machen...
Wie ich mich dem Problem genähert habe . Also , das Hauptproblem war zunächst mal mèine Vermutung zu beweisen daß wenn der mittlere Kreis einen Durchmesser von 6 m hat dann der Kleine einen Durchmesser von 4 m hat . Dafür sind die 6 m ideal geeignet . Wenn sich zwei Kreise berühren kann ich die beiden Mittelpunkte mit einer Strecke so miteinander verbinden daß diese durch den Berührungspunkt geht . Die Strecke ist dann so lang wie beide Radien addiert . Auf diese Weise erhalte ich ein rechtwinkliges Dreieck . 3x4x5 . Das ist ein pythagoräisches Dreieck das existiert und wobei alle Proportionen (der Aufgabe) aufgehen . Da nur eine Proportion in diesem Beispiel existieren kann ist das die einzig Mögliche . Der Rest ist dann Subtraktionsrechnung mit der Kreisflächenformel . Ich hoffe das war auch wirklich logisch , diese verdammte Unsicherheit . (lol)
müsste man bei Minute 7:40 nicht auf die 9 von der 36 abziehen oder hab ich was übersehen?
Wieso?
Die 9 steht auf beiden Seiten und wird auf beiden Seiten weggestrichen.
Hammer die Frau.
Die binomische Formeln habe ich nie so richtig verstanden
Aber bei dir kann ich sie sogar ein bisschen verstehen.
Ich weiß nicht warum ich das in der Schule nicht verstanden habe.
Das war mal wieder sehr unterhaltsam
Das freut mich sehr!
Kurze Frage: Reicht es nicht aus das man sieht das der Radius r ca. 1/3 der 6m Strecke ausmacht? Ich habe ohne das Video zu starten die Aufgabe durchgerechnet, bemerkt das r fehlt, mir die Aufteilung der Y Achse kurz angesehen und Kraft eigener Arroganz beschlossen das r 2m beträgt. Kein mathematischer Beweis aber war für mich relativ offensichtlich.
Mein Ergebnis mit Rundung auf zwei Nachkommastellen: 7.86
Kleiner Tipp: Weißer Hintergrund blendet etwas arg. Dunkel wäre angenehmer zu schauen. Auch hätt ich es netter gefunden, den Radius der Viertelkreises erstmal als Variable stehen zu lassen und erst ganz am Schluss Zahlen einzusetzen. Dann sieht man nämlich viel klarer, dass die beiden kleineren Raiden gerade die Hälfte und ein Drittel davon sind, und man hat auch nicht das Problem mit der weggelassenen Einheit. Da stellen sich nir als Physiker nämlich die Haare auf, vor allem wenn dann am Schluss, weil ja eine Fläche rauskommen muss einfach m^2 drangeschrieben wird. Dieses Vorgehen funktioniert nämlich nicht immer und kann zu Fehlern führen, wenn man mit verschieden Einheiten zu tun hat.
Täuscht das, oder würde eine waagerechte Linie, durch den Mittelpunkt von A2 gelegt, den großen Kreis genau im 45-Grad-Winkel schneiden? Wenn ja, warum ist das so?
So eine Mathelehrerin hätte ich mir in der Schulzeit auch gewünscht....
Daß drei mal der Durchmesser des kleinen Kreises den Durchmesser des großen Kreises ergibt und sich der Mittlere Kreis zwei mal mit Berührung einfügen läßt wußte ich noch durch neugierige Spielereien mit dem Zirkel . In perfekter Harmonie , die Längen 1 , 2 und 3 .
Also den Radius vom kleinen Halbkreis konnte man schon vom Anschauen her ziemlich gut ablesen.
Mit Stift, Papier und Zirkel wäre es dann auch sehr einfach gewesen. Radius vom kleinen Halbkreis mit dem Zirkel abnehmen und dann mit der Spitze am unteren Schnittpunkt mit der Y-Achse ansetzen und ein Hilfshalbkreis zeigt den neuen Schnittpunkt im Nullpunkt, also ist der Dv = 3*Rkh bzw. Rkh = Dv/3, also 6/3=2
BTW wäre es cool, wenn Du auch mal die Techniken und Vorgehensweisen vorstellen kannst, es so zu ermitteln anstatt rechnerisch zu lösen. So wie die alten Griechen oder Ägypter.