京都大 三角形の辺の長さ
Vložit
- čas přidán 4. 09. 2020
- 過去動画の大学別・分野別検索はHPからkantaro1966.com
この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8C
オイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/
連絡先 仕事の依頼 問合せ→
kantaro@momo.so-net.ne.jp
ツイッター / kantaro196611
お勧め動画
自然対数の底e ネイピア数を東大留年美女＆早稲田中退の社会不適合文系コンビが真面目に語る • 自然対数の底e ネイピア数を東大留年美女＆早...
解くのもすごいけど、問題がきれいなので作った人もすごすぎる..
それです。問題綺麗すぎます。
@@user-kv1xt5pu3q どっかでも出てないですかね
整数問題に三角形の成立条件とか余弦定理も絡んでくる良問ですね
問題が非常に面白いです。
そういえば貫太郎さんの動画は、図形問題が意外と少ないから、もっと取り上げて欲しいです😁
三角形がらみの整数問題に三角形の存在条件は不可欠
こういう様々な基本問題の組み合わせ問題はきちんと基本を練習して身につけておかないと試験ではひらめかない。
こういう問題が作れるセンスが素晴らしい。
めっちゃ面白かったのです！✨
シンプルで奥深い、いい問題ですね
図形を交えて整数問題を出題するところに、京大のユーモアを感じます☺️
こいついっつも売名してんな
@@professor_t
ありがとうございます！
@@professor_t コメントを残すだけで売名と決めつけるの笑
こんばんは。
とても良い問題ですね。場合わけの説明とてもわかりやすかったです。
ありがとうございます😊
始めの余弦定理が肝心要‼️
テストが終わり、今週分の貫太郎を始めます
概ね同じでしたが，aとcの対称性も使いました。
余弦定理より
b^2=a^2+c^2-ac ①
ここで，①はaとcについての対称式であるため，a≧cと見なしても一般性は失われない。
また，aとcは素数なので，結局のところ
a≧c≧2 ②
という大小関係と見なせる。
動画のとおり，①を変形して
(b+a-c)(b-a+c)=ac ③
ここで，②の大小関係と三角形の辺の長さの性質より
b+a-c≧b-a+c>0 ④
かつaとcは素数であることから，③，④より
b+a-c=a，b-a+c=c または b+a-c=ac，b-a+c=1
の2つの関係式に絞れる。
以降は動画と同じです。
高2の時に解いたのが懐かしいです。
京大のワードに失望したけど、計算は高一でもできるという素晴らしさに感動しましたね！これは良問です！
おはようござます。因数分解を3ca=(a+c-b)(a+c+b)として、a=b=cを導きました。これだと、a+c+b＞a+c-b＞0でいけます。また、別の因数分解でも手を付けましたが、それは頓挫しました。明日もよろしくお願いします。
京大の問題文は簡潔で好き
問題文が簡潔って事はヒントがその分少ないから難しいよな。
a,cに大小関係を与えても一般性を失わず、これにより場合分けを減らせます。
※出題原文では、敢えて
「Bの対辺の長さが整数b、残りの2辺の長さが素数a,c」
とされており、長さa,cと辺AB, BCとの対応関係は明記されていなかったようです。
上記に気付かせるため／記述しやすくするための親切な配慮でしょうか。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
a=cを示せばよい。この目的のためには、必要ならばa,cの名前を入れ替えることにより、最初から
a≧c≧2…①
と仮定しても一般性を失わない。このとき題意の下で、余弦定理により
a^2 + c^2 - ac = b^2
⇔ (a - c)^2 + ac = b^2
⇔ ac = {b + (a - c)} {b - (a - c)} …②
を得る（※仮にa,cの名前を入れ替えたとしても結局は同じ式が従うことに注意せよ）。
ここで①および
三角不等式から
（※①,②およびb>0からでも示せますが…）
b + (a - c) ≧ b - (a - c) > 0
である。さらにa,cは素数であることも考慮すれば、
②とから
「b + (a - c)=ac かつ b - (a - c)=1」…③ または「 b + (a - c)=a かつ b - (a - c)=c」…④
が従う。
1°） ③のとき： 2式を辺々差し引いて
2(a - c) = ac - 1 ∴ac - 2a + 2c = 1 ∴(a + 2)(c - 2)= -3
が従う。ゆえにa+2は3の約数。ところが①により a+2≧4 であるからこれは不可能。
2°） ④ ⇔ b - c = 0 かつ b - a = 0
⇔ a=b=c
。
以上により、題意が成り立つことが示された。■
答案のプロで草
それは思った
①を過程することで場合分けを減らせるわけか～なるほど～
図形と見せかけて整数問題になるとは。
2辺の和が他の1辺より大きくなるという性質はふれられませんでした。
どんな三角形となるか、という問いでもアプローチは変わらないですね。
小生、元中学校数学教師なので、今日は珍しく図形のちょっとした問題と思いきや、びっくり仰天でした。
背理法か、初等幾何学の知識で、解けないか一瞬考えました。しかし、それはすぐに無理であることに気付きました。
やはり、余弦定理を用いて、式表現に持ち込み、a,b,cの値の絞り込みをして行けば良いことを、学びました。
さすがシンプル＆グッドセンスな、京都大学の入試問題です。
貫太郎先生の熱心なご指導で、解法をやっと理解出来ました。ありがとうございました。
60°ではなくて120°にすると3,5,7という組があることを考えると, よくできた問題だなあという気持ちになりました🙂
それは120°の時に3,5,7という3つとも素数が並んでいることに着目してそこからなんらかの三角形の角度(ここで言う120°)と素数の辺の長さに関する法則があるとにらみそこからその法則性を見つけそれを証明させる問題を作ることもできるからいうことを意味しているコメントですか？間違ってたらごめんなさいm(_ _)m
@カルシウムポテト このくらいの文章読点なんてなくても読めるやろ
@カルシウムポテト このくらいの文章読むのに読点がないと読めない奴が煽ってて草
林さんのおかげで(すいません)京大入試数学ファンになりました。
今も高校生に対する難易度では東工大が日本一だとは思いますが、一橋大と京大は綺麗な良問が多い印象です。
とても面白い問題。
マジでこの動画に感謝してます！
がんばろっと
Excellent question.
これは美しい問題ですね。
幾何に見せかけて実は代数か。容疑者xの献身で聞いたことあるテーマだな。
代数じゃなくて関数だったな。気にしないんなら、まあ。
@@user-lc3mt6kt9x ？
@@user-lc3mt6kt9x そうなんですね?堤真一さん、１月の妻小学生から半年!ファーストペンギン楽しみにしてます!好きな女優さん、志田未来さんも出るんですね
@@user-wq1qo4xm5k
そのまんま。
@@user-lc3mt6kt9x 高校生にとっての代数と言いたいのね。
角の大きさの順序と対辺の長さの順序が一致することを考えれば、a
bは不等式の中に組み込めなくないですか？
いい問題ですね。
おっさんでも、毎日動画を見ていると、解けるようになりました。
共通テストの試行調査の中にも2次関数と図形のコラボがあった。2018年の第2問か☺本番の問題が楽しみ。
この問題、余弦定理でいけるから好き
余弦定理とりあえず使えたけどそっから手が止まりました、動画見て和と差の積から三角形の成立条件に持ってくとこで鳥肌たちました
綺麗な問題だねえ。感心したよ。
おじさんにも解りやすい、また、良問とも思いました。
備忘録👏75G"【 素数＝ 約数が二つである自然数 】余弦定理より、b²＝a²＋c²－2ac cos60°
b²＝a²＋c²－ac ⇔ ☆ b²＝ ( a－c )² ＋ac ⇔ ( a＋b －c )( b＋c －a )＝ ac ･･･①
対称性に注意して、 a ≧ c としてよい。 このとき、 a＋b －c ≧ b＋c －a ･･･②
(ⅰ) ① ②より a＋b －c＝ ac, b＋c －a＝ 1 のとき、 bを消去して ac－2a＋2c＝ 1
⇔ ( a＋2 )( c－2 )＝－3 これより、a＝c＝ 1 となって適さない。( ∵ a, c ∈素数 )
(ⅱ) ① ②より a＋b －c＝ a, b＋c －a＝ c のとき、a＝b＝c これは 条件を満たす。
以上より 示された。■
いつもお疲れさまです
Aから垂線下ろして1：√3：2の直角三角形ABHを作ればABが2にあたる部分だけど素数なのでAB＝2
反対側の直角三角形ACHは三平方の定理でAC^2=AH^2+HC^2
AB=2ならAH＝√3となるので、AC^2-HC^2＝3
因数分解で（AC+HC）（AC-HC）＝3となるのでが、辺の長さは正なので AC+HC＝3、AC-HC＝1
ACが素数となるとAC＝2しかなくなり、HC＝1
そのためBH+HC＝2となり
△ABCは1辺の長さが2の正三角形
また、辺の長さを素数/2すれば一辺が素数の正三角形ができる
という風に考えましたがこれはこじつけですか
駿台でやったようなやってないような
当たり前のことだけど頻出ではない知識をなんやかんやで結構使う良問
これaかcについて解いてルートの中身が平方数っていうのを使ってもいけますね
こんばんは(^-^)/
２回め受講＆👍️済みです！
三角形を使った整数問題。
おもしろいですね🎵。
良い問題ですね
三角形の辺の性質が浮かばなかった...この問題好き
数ヶ月ぶりに高校数学やってみたけど解けて嬉しい。やっぱ数学って面白いな。
こういう変化球気味の問題って家でリラックスしてたらすんなり解法思いついても、入試本番だとパニックになって時間どんどんすぎてくんだよ、、、
余弦定理からの整数だろうなとはアタリが付くけど、そこから先がわからんかった。
入試に数学が無い大学を出たゴリゴリの文系だけど、ちょっと数学って面白いかもと思い始めたなあ。
というか、この問題考えた人、すげえよ。
懐かしいです！
受験が91年だったので
わたくしめは素数a,cに大小関係を設けました。a≧c≧2を意識すればかなり難易度が下げられるような…！
b^2 = a^2 - ac +c^2 …① から、当初は(b+c)(b-c) = a(a-c) と変形して進めました。
偶奇に着目して(a,b,c) = (偶, 偶, 偶), (偶, 奇, 奇), (奇, 奇, 偶), (奇, 奇, 奇) の4通りで考えたのち、
(奇, 奇, 奇)の場合で手が止まりました。そこで①の式に立ち戻り、(b+c-a)(b-c+a)=acの変形に辿り着きました。
三角不等式からb+c-a>0, b-c+a>0が成り立つことと、素数は2以上の整数に含まれることが効いてくる、
良い問題ですね。
素数という条件が底手効いて来るのかと膝を打ちました
私もパスラボでこの問題を扱っていたのは見たけど、ボーッと見ていたから･･･。
とりあえず余弦定理使と因数分解で
(b+(a-c))(b-(a-c))=ac
aとcは対称なので a>c として一般性を失わない
すると
b+(a-c)>b-(a-c) だから、検討すべきは
b+a-c=a, b-(a-c)=c
これより a=b=c
と
b+(a-c)=ac･･･（1）
b-(a-c)=1･･･（2）の2パターンで後者が不成立なのを示すのに
貫太郎先生みたいに引かずに足して
2b=ac+1
b=(ac+1)/2 と三角形の成立条件
a-c
すごい
いつかはこの問題やると思った。
京大って感じ。好き
解説のような解法思いつかなかったから、無理やり背理法でやった。素因数分解したとき素数を因数にもつこと、三角形成立条件に注意すると、面倒いが出来る
a cos(x) = c cos(60-x) から解いても行けそう．a(1+3^1/2 tan(x))= 2 c s.t 0
京大と聞くと身構えちゃいますけど、やってみると面白いですね
すきぃ！
これは良問だ
おはようございます。
共通一次試験を受けた者ですが、住所・在学する高校とも大阪府内だったにもかかわらず、試験会場は京都大学でした。
（交通手段の関係？全国的に見ても、離島などを除けばごくごくまれな例だったと思います。）
京都大学で試験を受けたのは後にも先にも、共通一次試験の２回だけです。
（共通一次試験の数学は数Ⅰだけで比較的易しかったので、２回とも満点でした。また、２回目の年の化学で出題ミスがあり、その問題だけ間違えたのでこれも満点でした。（問題ミスのため間違えたのだと今も思ってます。）
当時の共通一次試験では、満点は珍しいことではなかったのです。
鉢様 失礼ながら、改めて鉢様の非凡なる数学的才能と博学さに敬服致します。大学理学部数学科に進学される選択肢も、おありだったと拝察致します。
昔｢数学科は、つぶしがきかないから、やめた方が良い｣と、高校の先生に言われたことを、思い出しました。
お蔭様で、私自身は、数学教師に成りたかったので、数学科進学に大変満足しています。
ありがとうございました。
@@user-ky2mg8pc9c さん。返信ありがとうございます。
当時の共通一次試験が簡単だったというわけではありませんが、「点をとりやすかった」のは事実だと思います。
話は変わりますが、高校野球の兵庫県大会が甲子園球場で行われていたこともあるそうです。
共通一次試験を京都大学で受けた私は、"甲子園の全国大会に出る力はないけれど、たまたま甲子園球場で戦うことになった兵庫県立高校の球児" のようなものでしょうか?(笑)
ここのコメ主達に教養が溢れ出ててすき
@@user-oy8dx9fm1v 様 小生は、しがない64歳の年金生活者です。元数学教師の落ちこぼれです。失礼しました。貴殿のますますのご活躍とご健勝を、祈っています。
@@user-oy8dx9fm1v さん。
私が中村先輩のおっしゃるように理学部に進んでいたとしても、高校や中学の先生にはなれなかった（ならない方がよかった）でしょう。
ただ、大学で好きなことを研究し喋っていればいいのなら、「ちょっとエエかな?」という気持ちはあります。
まあ、「事実でない前提のもとでは、どんな結論も正しい。」のですから、言ったモン勝ちですけどね。
最後、４通り計算しているのはおかしくないでしょうか？最初の２通りだけでよいのでは？
１は素数ではないので、右辺のaまたはcは１ではありえず、したがって右辺においてaまたはcが１になるような場合自体を場合分けで検討する必要がないはずです。
右辺を無理やり平方の形にしてもacの積しか余らないからそれ以降スラスラとけるのだと思いますが、そこに到達できず、しかも変形見え見えのあからさまな式だったのでちょっと凹みました。
初め例の図形に惑わされたせいで問題文を直角三角形と見間違えて辺の比が1：2：√3 …あれ？？？ってなってしまったw
サムネイルのデザインが変更されましたね
言っとかないとね
久しぶりに見ただけで解法がわかったうれしいね
正弦定理を使って訳がわからなくなったから、余弦定理を使うのが正解だったのか…
おはようございます。散歩中にずぶ濡れになり、入浴して身を清めました。
お蔭様で数学の学び直し、資格取得の追い込みも少しずつ、軌道に乗って来ています。
何事も良い流れに入ることは、とても大切です。まずは迷いを捨て、一歩踏み出し上手く出来ると考え、粘り強く取り組むことが、大切だと思います。
また、前向きな細やかな努力が、不可欠です。
さぁ、前向きに図形の問題を、じっくり考えます。
難しすぎる印象で怖かったけど、説明おもしれー
ありがとうございます😊
素数である辺がaだけだと勘違いして解いたんですが、結論は変わらず正三角形になることが示せてビックリでした
(b+a)(b-a)=c(c-a)と変形してc-a=0のときは∠ABC=60°より正三角形で、
c-a≠0のときの議論が微妙になりました。
(b+a)(b-a)/(c-a)=c三角形の形成条件よりb+a＞c＞c-aで
(b+a)/(c-a)＞1とcは素数、(b+a)、(b-a)、(c-a)は整数より(b-a)/(c-a)=1←たぶんこれが間違ってます
動画の解法の方が明快でした
どうして、c−aで割るという発想がでてきたのでしょうか？この式変形は素数の性質を潰す式変形です。左辺は分数の形となってしまい、約数の形へ持ち込めません。それにc−a=1となる訳でもありません。素数の問題で積の形にしたいのは、例えば、(整数)×(整数)=(素数)のように式変形できれば、約数で範囲を絞れるからです。(素数の約数は±1と±p複合同順)分数がでてきたら、この性質を潰してしまいます。だったら最初の式変形のまま残しておきたい。一つ一つの式変形には意味があります。てきとうにすると、問題の本質が見えなくなるのです。方程式、不等式を解くときも同じです。どうして、積の形を左辺に、0を右辺に置くのか？こういったことにこだわると、さらに数学力が上がると思います。長文失礼しました。
@@yo.9146 素数cだけを右辺に残したいと思いc-aは素数ではないので割ろうと考えました。
2乗の差の因数分解のペア探しの時点で難しくなるようなペアを選択をしていました。aも素数なのでacを残すということが見えていなかったです
素数をうまく使う様に変形見つけるンゴ
a,cの大小関係定めたら場合わけ減るし楽
三角形の成立条件は、
三角形描いて、遠回りだから長い、みたいな説明の方が分かりやすい気がします。
式が出来たら急に整数問題になって、おっほほと思った
楽しい
公共広告機構が頭をよぎって仕方がない
53歳の初老オジですが、それでもよ～く分かりました。京大ってこんな問題出してくるんですね。
Let AB=c, AC=b and BC=a. Using cosine theorem we have
a^2=b^2+c^2-2bc cos60°
=b^2+c^2-bc
Letting d=b-c, we can rewrite the equation as
a^2=d^2+bc
a^2-d^2=bc
(a-d)(a+d)=bc
WLOG assume b≥c so that d≥0.
Since both b and c are prime, we must have either b=a+d, c=a-d or bc=a+d, 1=a-d.
In the first case, we have d=(b-c)/2=b-c. The equality holds only if b=c, where d=0 and ∆ABC becomes an equilateral triangle.
In the second case, we have d=(bc-1)/2=b-c. However, (bc-1)/2≥b-1/2>b-c for all prime c≥2, which leads to a contradiction.
As a result, ∆ABC can only be an equilateral triangle.
WLOGとはWithout Loss Of Generlity の略で「…と仮定して一般性を失わない」という意味の表現です。
素人目線ですが、この問題が主張している事に美しさを感じます。
私も同感です。数学も一枚の絵も、私には、芸術🎨に感じられます。
私は、趣味で美術館巡り、スケッチ、水彩画、パステル画を、楽しんでいます。失礼しました。
問題解ける人もそうだけど、こういう問題を作る人もすごいよな
教授だと思うけど、どうやってこんな問題を思い付くんだろ
毎日数学の研究してるからだよ
税金でね
中学生でも理解できる知識でこんな問題出せるんだ。すげぇ。
余弦定理は高校です。でも文系でも履修する範囲ですので、基本ができているれば解けますね。
Hasebe Toshiaki コメ主は中学の知識じゃ解けないけど、問題文は中学生でも理解できると言いたいんだと思う
中学生でも理解できる知識じゃないの？w
久保田淳平 違う(確信)
中学生で習う知識と中学生で理解できる知識ってのは意味が違うだろ
余弦定理と合同式使っちゃダメ？
角Aと角Cが60°になることで示すことも
できそうですね。
どっちかでいい
雑なサムネも結構好きだった
図形問題と思わせといて整数問題、と思わせといて三角不等式を使わせる
おはようございます☀
頭の中だけで行けました！
多少遠回りになりましたが、積の形にして両辺の最大公約数を考えていけば1.2.p(pは素数)に絞れます
解法を見ればすごいシンプルだけど、入試の初見かつ短い時間で解法を思いつかないといけないのが受験の難しさ。
おまけに「素数」という言葉に囚われるように仕向けているのもなかなかいやらしい。実際はa≧2、c≧2の条件でしか使っていない。
そして毎年のようにこんな問題を考える京大の教授陣もさすがとしか言えない。
a^2+c^2−ac=b^2を
a(a-c)=(b+c)(b-c)と変形しました。
動画の解法の方が鮮やかですね。
わたしも最初このアプローチでした。少し手間がかかりそうなので途中で方針転換しました‥
この場合
大小を考えれば
ⅰ)b+c=a(a-c)かつb-c=1
ⅱ)b+c=aかつb-c=a-c
ⅲ)a-c=0かつb-c=0
になりますか？
分かる方返信お願い致します。
@@taishi4743 さん
必ずしもそういう形には絞れない気がします。なぜなら，aとcがそれぞれ素数であっても，その差たるa-cが素数とは限らないからですね。
例えばa=23,c=3であれば，a-c=23-3=20=2^2*5という単なる合成数になりますので，a-c自体が2数以上の積に分解できてしまう可能性が排除できないんですよね。
私も最初は貴殿と同じような因数分解を考えたのですが，こういう難点に気づいて，動画のような因数分解に切り替えました。
K T
返信ありがとうございます。
よく分かりました。勉強になります。
@@taishi4743 さん
どういたしまして😄
むっずーーーーー
最後の最後に素数の要素が出てきたわ
解けなかった悔しい
角Bが60度の整数比の三角形は
a:b:c=(n²+2n-3):(n²+3):4nとなり
n=2→5:7:8→(名古屋の三角形)
n=3→12:12:12→正三角形
n=9→8:7:3→（悩み花見の三角形）
でたまに中学受験で知ってると得な図形の証明に出てくる、60度角を持つ整数比の有名三角形になりますね。ƅ△ͣ ̜
(証)b²=a²+c²-ac , ここでc=2として
b²=a²+4-2a⇔(a+b-1)(b-a+1)=3
a+b-1=nと置くとb-a+1=3/n
⇔a=(n²+2n-3)/(2n),b=(n²+3)/(2n)
小生、元中学校数学教師です。貴殿の内容を拝見して、とても勉強になりました。
知らなかったことが、満載でした。お蔭様で、少し賢くなりました。
ありがとうございました。
(a:b:c)=
(n²+2n-3:n²+3:4n)となるがa,cが素数となるには、少なくともn²+2n-3が4の倍数となることが必要。
n²+2n-3=4kとすると結局n=2m-1(m整数)となり、(m²-1:m²-m+1:2m-1)となるが、m²-1が素数となるには、(m+1)(m-1)が素数。つまりm=2。
この時、(3:3:3)となるので正三角形となる。
@@user-fw6yy1xz9l 様 返信に感謝します。貴殿の卓越した数学のアイディアには、敬服するばかりです。大変勉強になりました。ありがとうございました。貴殿のますますのご活躍とご健勝を、祈っています。
ない知恵を絞って考えてるので間違いばかりしてますが、励みになります。ありがとうございます。
a=cがわかれば頂角60度の二等辺三角形なのでその時点で正三角形確定ですね。
素数だから1とacのペアはそもそもあり得ないのかぁ。なるほど。
作った人すごいよね
おはようございます。貫太郎先生が図形！？とびっくりしましたが、整数ですね(笑)
これ好き
93年高校卒業ですが当時余弦定理、正弦定理を習った記憶が無いです。（忘れてるだけかも）当時の受験生は背理法とかで解いたのかな?
私も最初は、背理法を考えました。しかし、正三角形以外の三角形にはならないことを、どのように説明していくかが難しいと思われます。
私は、定時制高校卒業で、理系数学を未履修のため、63歳の時から数学の学び直しをさせて頂いています。有難いことです。
幸いなことにも夜間大学理学部数学科を卒業して、数学教師の端くれとなりました。ありがとうございました。
三角比は当時の数学Iの範囲のため、正弦定理や余弦定理も教科書に記載されていました。
高一の知識で解けるのっていいよね
a=b=c つまり a:b:c=1:1:1が解であり、a=2とか19とかの値を取ってもそれは1が厚化粧した姿であり本質的にa=1である。
1は素数ではないので題意不成立。
高校生当時の私、0点上等でこう答案用紙に書いていたかも。いや、こりゃひどい蛇足と思い留まって書かなかったかも。
正弦定理と余弦定理で連立したら0=0出て死んだ
よくあるやつ
理論的には理解できるけど、書く度書く度消していってるから、解答用紙への書き方はわからんな…
数学おもしろ
解説に隙がないです。減点法なら採点者が唸ります😂
2090年の問題か...
90年代っぽい問題やなあ