Не совсем типовой предел последовательности
Vložit
- čas přidán 9. 10. 2023
- В этом видео будем находить предел последовательности. В нем есть неопределенность вида бесконечность умножить на ноль, обусловленная стремлением корня к целому числу.
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
никогда не задумывался, что предел последовательности может быть неравен пределу функции… спасибо
Необычно, что функция стремится к бесконечности, а предел последовательности к пи. Спасибо за видео.
Всегда нравится наблюдать, как в конце нахождения практически любого предела с тригонометрической функцией появляется 1ый замечательный предел :)
Первоклассный пример и красивый ответ! Автору респект, что не полез сразу в ряды, а пошел как первокурсник! Однозначно буду рекомендовать студентам.
Увидел превью видео 11 дней назад, прикинул что предела нет, не стал смотреть, сейчас посмотрел, и честно говоря, немного в шоке, что предел все же есть. Спасибо за видео
Ого, это правда очень интересный предел. Спасибо большое за видео!
Попрошу своего семинариста добавить этот предел в свой задачник)
Главное чтобы не в контрольную
@@toxeen2861 да не, контрольные пожёстче
@@dtihert что может быть жестче этого?
@@Abraxax так это достаточно базовые преобразования
Тебе в самом деле контрольную показать?)
@@dtihertда, покажи, если это базовые, то, что не базовые тогда?
Замечательный пример!!!
Мой самый любимый приём при взятии пределов, это ±f(x) и */f(x), но тут вы переплюнул все мои догадки))
В данном случае я бы сразу делал замену t=1/n, а дальше уже крутил то, что получится.
Альтернативное решение - через разложение синуса в ряд Тейлора)
Спасибо за контент!
а можно подробнее, что-то я не очень пока понимаю: вы в ряд тейлора в точке ноль предлагаете разложить? (напоминаю, что n -> бесконечности)
@@Hmath sin(2*pi*sqrt(n^2+1)) = sin(2*pi*n*sqrt(1+1/n^2)) = sin(2*pi*n*(1 + 1/(2n^2) + O(1/n^4)). Далее понятно
@@Hmath n выносится из корня, корень в ряд, 2пиэн просто под синусом откинуть, и все.
аа, да, действительно :) так тоже можно :)
@@HmathЯ прошу прощения, но я не совсем понял, у нас есть Lim, выносим n, получаем lim n*sin(2πn*sqrt(1+1/n²)) , далее раскладываем sqrt(1+1/n²) в Тейлора , это исходя из того что (1+n)^p, заменяя 1/n²=t получаем 1+t/2 - t²/8....
Получаем lim(n*sin(1+1/2n²-1/8n⁴...)
sin x=x-x³/3!... подставив одно в другое откуда возьмётся π не могли бы вы пожалуйста ответить.
А вот еще прикольная задачка.
Доказать, что последовательность x_n = sin n всюду плотна в отрезке от [-1 : 1].
michael penn?)
это какое-то колдунство
Все настолько безукоризненнл, что и придраться не к чему. :) Разве, что к графику, где по оси абсцисс отложен 'x' вместо 'n'. Очень красиво оформленное видео!
А вот и зря придераетесь. n возникает в последовательности, а график изображён для соответствующей функции. Икс проходит всю прямую, в то время как n только натуральные значения
@@pof8118 Нету там никакого 'x', а "придераетесь" пишется как "придираетесь" (проверочное слово есть).
@@ajdarseidzade688 бывает, ошибаюсь. А насчёт икса: график был построен для функции, никак ни для последовательности, а значит введение новых обозначений оставшееся за кадром вполне уместно. Было бы даже более странно откладывать по оси абсцисс n, потому что обычно (и ранее в этом видео) так обозначают натуральные числа, а на оси явно действительное число
@@pof8118 Ну вот - там же 'n' и используется как значение натурального числа и никакого 'x' тут нет.
Мне скоро на работу, а я тут в Интернете спорю насчет 'n' и 'x'ю Круто. :)
В уме получается π. Выносим n^2 из-под корня и раскладываем корень в ряд, получаем в аргументе синуса 2πn+π/n. Обозначаем π/n за х, который стремится к нулю. Тогда надо найти предел π*sin(x)/x. И он равен π. Щас заценим, чо там в ролике.
@@danteth666Не прощу, потому что любому первокурснику-двоешнику понятно, что старшие члены разложения при умножении на n дадут 1/n в степени 1, 2 и выше. Которые при n->oo обнулятся.
@@danteth666 Ну чо тут может быть неясно? n*sin(2π*sqrt(n^2+1))=n*sin(2π*n*(1+1/2n^2+O(1/n^4))) = n*sin(π/n+O(1/n^3)) = n*π/n+O(1/n^2). Мне ещё картинку нарисовать или сплясать?
@@romank.6813 любой первокурсник конечно может разложить синус в ряд, Xd.
!
А вы на чем пишете формулы? Это в латехе такие анимации можно делать?
Сначала формулы в MathType, потом создаю картинки для каждого кадра в Photoshop, а потом все соединяю в видеоредакторе и записываю звук.
@@Hmath понял Вас
Спасибо
@@Hmathможно и питон подключить, было бы неплохо! Но спасибо за ролик. Очень познавательно.
А почему вообще можно брать и заменять непрерывное множество R^{+} на дискретное Z^{+}? Почему остаточный вклад по множеству будет сравним? Мне неочевидно
это разные пределы. одно пределы функции (непрерывный аргумент), а другое - предел последовательности (дискретный аргумент)
@@Hmath , а, то есть ваш результат нужно трактовать как сходимость последовательности, а не предела функции?
@@user-to2fe2mv4i предел последовательности, я же с самого начала так и говорю
Зачем так карячиться? Проще же через разложение в ряд:
√(n^2+1) ~= n + 1/(2n)
sin(2π√(n^2+1)) ~= sin(2πn+π/n) = sin(π/n) ~= π/n, ...
разными способами интереснее ;)
Это да, всегда интересно, когда получаешь ответ и другими способами. Но тогда надо в этом же ролике показывать и другие эти способы, иначе создается впечатление, что этот предел быстрее получить нельзя.
у меня никогда нет цели получить что-либо "быстрее", скорее наоборот: показать конкретный способ решения. Да и вы забываете, например, что те, кто только начинает знакомиться с пределами, понятия не имеют про ряды.
Всё так, но впечатление всё равно создаётся 😜@@Hmath
Вот. Спросонья за 9 секунд. Это же детский сад штаны на лямках. Корень в ряд, в синусе 2 пи эн откидываем как ноль, синус в ряд и вот пебе пи. нам такое на контрольных давали на скорость. В студенческие годы в 3 секунды бы точно уложился, а в 60 лет, 30 лет без опыта, увы, целых 9.
жесть
Поверил названию о том, что предел необычный и две минуты очень аккуратно раскладывал корень и синус по степеням 1/n. Оказалось, подвоха не было. Если не заголовок, наверно, секунд за 30 управился бы, не спеша. Давно не студент
Образование в СССР, больше и добавить нечего...
"умножу на такое же выражение, только с плюсом", "умножу на дробь, стоящую в аргументе, но только на перевернутую дробь" только меня передернуло? Общепринятые термины - сопряженное выражение, дробь обратная данной