Il n'y a pas de question stupide #02 : Là où les nombres s'arrêtent
Vložit
- čas přidán 28. 06. 2018
- Une nouvelle petite vidéo sans prétention enregistrée et montée en un après-midi pour répondre à une question de mon neveu.
Bonus pas caché : discuter avec un ultrafinitiste • Discuter avec un ultra...
Sources :
Nommer les grands nombres : eljjdx.canalblog.com/archives/...
L'ultrafinitisme : en.wikipedia.org/wiki/Ultrafi...
Le platonicisme : encyclo-philo.fr/platonisme-ma...
Musique de TAM : • Tam - Beg you don't st...
Si vous voulez m'aider :
Mon bouquin : www.editions-belin.com/ewb_pag...
Mon tipeee : www.tipeee.com/el-jj - Věda a technologie
Pour simplifier tout ça, je propose qu'on remplace l'ensemble des entiers naturels par cet ensemble : {"0", "1", "Plusieurs"}
Bonjour Pierre, bonjour et merci Elj j, bonjour et bravo Neo !
Il me semble avoir lu quelque part que certaines sociétés archaïques ou "primitives" avaient un décompte du type"1,2,3, beaucoup".
Selon les sociétés, "beaucoup" se trouve après 3, après 4, ou après 10 (rapport aux 10 doigts). C'est un tout petit peu différent de recommencer au début. C'est introduire une quantité qui a un effet de "trou noir" : une fois qu'on y est, on ne sait pas en sortir.
Mais c'est la vision ultrafinitiste résumée à sa plus simple expression.
Une réponse possible est "Pourquoi pas ?". Le problème de mettre une limite aux nombres c'est de déterminer où mettre la limite. Tout le monde ne manipule pas les mêmes ordres de grandeurs ; un berger du 16ème siècle ne manipule pas de nombre plus grands que 100 000 admettons, alors que dans le même temps Euler manipule des nombres bien plus grands (il a par exemple démontré que 2 305 843 008 139 952 128 est un nombre parfait), et un astrophysicien du 21ème siècle manipule des nombre gargantuesques (que l'on peut même fait grandir à volonté en changeant d'unité : 1m = 1 000 000 000 000 000 picom ), et qui sait où on en sera dans 1000 ans. Donc à la question "Pourquoi les nombres, ça ne s'arrête jamais ?" je répondrais "Et si tu pouvais les arrêter tu les arrêterais où ?", et en cas de réponse de sa part (par exemple si il dit "Je les arrêterais à 999 999 999 999 999 999 999"), je repond "Et comment tu calcules le nombre de particule dans l'univers observable (10^80 environ) ?". Les nombres ne s'arrêtent pas parce que c'est plus pratique pour tout le monde. J'ai conscience que ce n'est pas très convainquant comme réponse, mais j'ai pas mieux.
Voilà la réponse que j'ai donné à ma fille. Le dialogue n'a pas eu lieu tel quel car j'ai donné ma réponse en conduisant... Mais il s'en rapproche!
- Prend une roue de vélo et fait la tourner d'un tour. Recommence. Recommence. Recommence... Est-ce que la roue va tourner sans s'arrêter?
- Bah si j'arrête de tourner la roue, la roue s'arrête. Donc non, la roue ne va pas tourner sans s'arrêter.
- Oui mais on peut imaginer que tu vas continuer à faire le même geste pour faire en sorte que la roue continue de tourner. Lorsqu'on imagine, ce qui compte ce n'est pas si on va le faire, mais comment on peut le faire. Et tourner la roue d'un tour, on sait le faire.
- Oui si on imagine, la roue ne s'arrêtera pas de tourner. Mais en vrai ce n'est pas possible.
- Hé bien pour les nombres c'est la même chose. Pour passer d'un nombre à son suivant tu ajoutes 1. Ajouter 1 c'est la même chose que de tourner une roue d'un tour. Dans le réel tu finiras par t'arrêter d'ajouter 1. Mais tu peux imaginer pouvoir le faire tout le temps.
- Mais alors pour les nombres, ça s'arrête ou pas en vrai?
- En fait certains mathématiciens pensent que les mathématiques ont une forme de réalité, on parle de Platonisme mathématique. Pour eux ce qu'on imagine en mathématique existe dans un monde des idées indépendant de notre monde, une sorte de paradis des mathématiques. Donc pour eux, imaginer qu'il est possible d'ajouter 1 indéfiniment les conduit à penser qu'il existe bel et bien une infinité de nombre.
Pour d'autres mathématiciens au contraire, ce monde des idées n'existe pas. On dit qu'ils sont anti-Platonicien. Pour eux les mathématiques sont des constructions de papier. L'existence des objets mathématiques n'a pas de sens pour eux. Tout ce qui compte, c'est comment on les imagine. Pour les nombres par exemple, la question qui importe ne sera pas "y en a t-il une infinité?", mais plutôt "quel construction nous amène à penser cela". Et pour les nombres, cette construction c'est le fait d'imaginer pouvoir ajouter 1 à n'importe quel autre nombre.
- Et ils répondront quoi les anti-Platoniciens à ma question?
- Pour les autres je ne sais pas, mais pour moi qui suis anti-Platonicien je te répondrais : on peut l'imaginer!
magnifique de poésie
Génial 👍
quelLE construction ;)
J'ai du relire la conclusion plusieurs fois pour comprendre mais jai compris et j'aime bien.
Mais du coup les ultrafinitistes doivent quand même accepter l'existance des nombres au moins jusqu'au nombre de Graham, c'est pas mal déjà.
Charly Poyac je me disait aussi. après sans doute, considère t-il que ce nombre est inutile au quotidiens et n'accepte donc un nombre que tant qu'il est utile dans la situation du moment
MDR
Pour la plupart des applications que tu peux en faire, le nombre de graham se comporte (quasiment) comme l'infinie...
Exemple: Si tu lance une pièce graham fois il est "certains" (99,9999999....999% (avec 10^63ieme étape du calcul du nombre de graham de 9 après la virgule) de chance que ça soit vrai) que tu tombe sur un gogolplexplex fois la tranche d'affilé...
Et encore je suis raisonnable avec mon gogolplexplex....
Je pense que tu ne peux utiliser G64 comme l'infini seulement dans des domaines tels que les probas ou l'algèbre ; normalement l'infini n'est pas un nombre mais un concept, s'il était "approximable" par un nombre tout serait bien plus simple. Tu peux t'en convaincre en regardant les supersommations qui ne sont possibles qu'avec un nombre infini de termes.
Eliot _
Oui effectivement
Mais comme quand on parle de l'infinie c'est souvent vers les probas qu'on cherche des exemples de représentation; c'est plutôt vrai pour la plupart des gens qui s'amuse juste avec des relativement grands nombres ;) (comme moi :p)
Charité interprétative? Emprunterais-tu ce concept à MonsieurPhi?
j'ai une question pour un nouvel épisode de "Il n'y a pas de question stupide" quel est la différence entre application et fonction ?
Tu peux dire à ton neveu que si on repart à zéro après un certain nombre, à ce moment là on peut compter le nombre de tours qu'on a fait, de la même façon que quand l'horloge a fait deux tours, on augmente le nombre de jour au calendrier. Et que par conséquent on peut quand même considérer que le 8 du premier tour est plus petit que le 8 de 2e tour et ainsi de suite...
rufus51
j'aime beaucoup cette idée
c'est le principe des bases il me semble, en base 12 ici.
Avec les bases aussi on ne sait compter que jusqu'à un nombre fini (les chiffres de bases) et on arrive à compter n'importe quoi. Non?
rufus51 j'aime beaucoup ton idée. Ça m'a fait pensé aux dizaines centaines unités. Tu comptes dans la base de ton choix. Puis tu compte le nombre de tour. Puis les tours des tours. Exactement comme 537 c'est 5 tours de tours, 3 tours et 7 crans sur une horloge de 10 crans. Il suffit ensuite de choisir quelle niveau d'horloge tu as besoin. 5, 53, 537, 5370... Ça dépendra ensuite de se dont tu as besoin. Par exemple si je fais parti d'un groupe de 100 personnes dont tous les membres doivent compter jusqu'à 10. J'ai besoin de seulement 10 nombres. Par contre si on a besoin de tous les nombres qui ont étés comptés j'en aurai besoin de 1000.
merci vous tous je vous adore :D
rufus51 Pour ajouter un peu d'éléments à la question, sachez que les ordinateurs, dont la puissance de calcul dépasse celle des hommes, ne comprennent que la base 2 : on peut leur parler avec des 0 ou des 1, uniquement.
Bonne surprise que la découverte par hasard (sans jeu de mot mathematique probabiliste ), de cette chaîne, +1 abonné
2:24 : Un duoquadragintillion c'est mon argent sur adventure capitalist 😂😂😂
micrapop _ Il me semble que dans adventure capitalist ils utilisent la nomenclature américaine (on augmente le préfixe d'1 par multiple de 3 zéro) alors que dans la vidéo ici ElJj présente la nomenclature française (on augmente le préfixe d'1 par multiple de 6 zéros). Donc il doit y avoir un facteur carré de différence
Xela Roc Ah je savais pas ! Merci pour l'info :)
Xela Roc en fait je viens d'y rejouer et je me suis rendu compte que c'est effectivement vrai, 1 duoquadragintillion = 1'000 unquadragintillions (c'est dommage, je pensais être riche x'( 😂)
Espece de pauvre
micrapop _ C'est quand même déjà pas mal ! Ayant fini le jeu je suis à 400 octononagintillions (presque 10^300) sur terre, et ça monte encore ! Bonne chance pour le finir aussi ahah
Wow toutes vos vidéos sont excellents, continue !!
Il y a quelques mois, mon petit frère qui a le même âge que le neuveu de EL Jj m'a posé quasiment la même question, apparemment la réponse du N(max)+1 a semblé lui aller... J'étais tellement fier de lui :D
2:03 Cookie clicker (et Swarm simulator) permettent d'apprendre la terminologie des grands nombres :)
(ok, avec l'échelle courte, mais ça se traduit facilement dans notre échelle longue)
"Douze c'est bien comme nombre !" xD
perso, j'aurais préféré qu'il fasse une boucle jusqu'à 381654729.
J'ai lu le blog dans la description pour nommer les grands nombres (et l'ai complètement adoré); j'en ai juste une petite inclarté à propos: ne peut-il donc point y avoir de liaison entre les préfixes "duo-" ou "octo-" et "octoginta-" ou "octingenti-"? 2 "o" consécutifs me semblent bizarres…
Un truc intéressant à faire c'est distinguer les concepts d'ensemble dénombrable, fini, borné... Pour parler des différents infinis :)
Toujours au top BRAVO !
salut ta vidéo est très intéressante est ce que tu pourras parler de la série touch qui parle de mathématique et essayer de nous l'expliquer ?
Isaac Asimov dans un de ses romans dit à peu près ceci: si tu peux prouver qu'il y a 2 Univers tu sais qu'il y en a une infinité. Du coup dès que tu es capable de faire 1 + 1... Tu peux ajouter autant de «+1» que tu veux. Comme la volonté peut être insatiable ;) on «arrive» à l'infini.
Pour moi ca renvoit à la théorie des ensembles et le fondement des mathématiques. Ton ensemble tu le choisis en fonction du problème à résoudre ( décimale ou pas, fini ou infini). Les maths sont pour moi un outil intellectuel pour résoudre des problèmes réels ou pas. C'est dingue comment les enfants te posent souvent des questions fondamentales dont tu as arrêté de chercher la réponse. Je vois aussi derriere cette question, la question sur l'infini ou les infinis. Un concept dont tu as fait une vidéo passionnante.
Parce que ça nous arrange. Avoir un truc qui a l'air toujours vrai ça nous donne des bases solide pour faire des choses plus complexes
Je pense qu'admettre le fait qu'il y est une infinité de nombres nous permet d'avoir un support plus ou moins concret de ce qu'est l'infini. Il y a forcément des limites sur l'idée que l'on peut avoir de ces gigantesques nombres et lorsque l'on réfléchit à quel pourrait être le plus grand, il y a forcément un moment où l'on arrête de chercher et on se fixe ainsi une limite à partir de laquelle on ne sait plus vraiment comment faire pour concevoir/appréhender des nombres vraiment plus grands.
On peut connaître le nombre de mots dans la langue française, le nombre de grains de sables sur Terre, d'arrangements d'un paquet de 52 cartes, d'atomes dans l'univers, etc, et c'est justement parce que l'on peut connaître ce genre de nombres que notre compréhension de l’infini s’accroît.
Avoir une idée de ce que représentent ces grands nombres, leur attribuer un nom, une utilité, les comparer à d'autres, nous permet de continuer à explorer plus loin en se basant sur ceux que l'on connait déjà.
Donc pour moi, une limite arbitraire serait celle de considérer que la limite est définie par le plus grand nombre ayant une quelconque utilité a nos yeux, ou alors de dire que chacun a la sienne du fait de sa connaissance des nombres et de l'effort qu'il peut investir lorsqu'on lui demande de réfléchir à quel est le plus grand nombre.
Mais imaginons qu'on s'en fiche de l'utilité, il existe une autre limite, celle de notre intelligence, et l'humanité en générale. On pourra inventer des notations aussi grandes que l'on veut,des tonnes de symboles, faire des calculs gargantuesques, il y a certains nombres qui nous resteront inaccessibles, comme le dis MicMaths dans sa vidéo. Même l'intelligence informatique ne peut pas inventer des nombres aussi grand qu'elle veut, il y a une limite, des nombres que les machines ne pourront pas imaginés, car c'est le principe des nombres inaccessibles. On peut juste les conceptualisés, comme je viens de faire dans mon commentaire :) Et si on estime que l'univers est finit, il existe même des nombres inaccessibles pour des machines très très grandes faites avec toute la matière de l'univers, et très bien réalisées. Je ne sais pas si ces nombres ont un sens d'exister (si ça se trouve ils n'ont aucune utilités mathématiques), mais les nombres inaccessibles ne peuvent même plus être utilisés dans des démonstrations. Quoi que, peut-être qu'un jour on pourra démontrer qu'il existe un nombre utile pour démontrer un théorème mais qu'il nous est accessible.
Si on lance une pièce une infinité de fois: Est ce que c'est possible d'arriver à une situation où la pièce est tombé "x" fois plus sur la tranche que sur pile et face ?
C'est possible mais la probabilité n'est pas triviale (ni 0% ni 100%), c'est la limite de la série des probabilités d'avoir x fois plus de résultats sur la tranche après k essais (plus exactement c'est 1 moins la limite de la probabilité inverse). La loi des grands nombres ne s'applique pas car la probabilité n'est pas fixe en fonction du rang. Honnêtement le résultat est très proche de la probabilité de tirer la tranche au premier coup.
Les nombres (entiers) ne s'arrêtent effectivement jamais ; mais la portion de ceux qui nous sont accessibles est finie quant à elle. Même des nombres réels, on ne saura jamais qu'en connaître un nombre fini.
Pour apporter encore une fois de plus une réponse un peu inutile mais toujours bon pour sa culture générale à ce petit garçon, je dirais que les nombres dont on parle communément, ceux qui ne s'arrêtent jamais, est une invention des humains en quelque sorte, et qu'ils ont été construits par eux. Et c'est pour ça qu'ils ne s'arrêtent jamais, quand on fait de l'arithmétique "basique" c'est à dire - si je ne me trompe pas - qui s'occupe des opérations simples, on utilise les nombres qui ne s'arrêtent jamais, car on en a besoin pour l'arithmétique "basique". En quelque sorte, ce que je veux dire par là, c'est que les nombres ne continuent nécessairement pas à l'infini, cela dépend de où et comment l'on veut travailler, et selon son courant de pensé... Il me semble que ce courant de pensé mathématiques qui dit que les maths sont construites, c'est bien le "constructivisme" ? (Tonton ElJJ t'expliquera si j'ai juste. *=>* Regardez le commentaire d'Alexandre VASSORT en dessous.) Cela rejoint le débat pour savoir si les maths sont inventés ou construites, je pense que la ligne est très fine, mais si on est constructiviste, il me semble bien qu'on dira que les nombres sont infinis parce-qu'on les a construits comme ça et que ça nous aidait pour nos modèles. Mais j'imagine que dans l'histoire... ça n'a pas dû se faire comme ça.
Je ne suis pas très connaisseur en maths malheureusement :( Mais je m'en passionne, donc désolé si ce commentaire n'est pas très juste
En fait le constructivisme n'est pas une prise de position par rapport au débat « inventer » / « découvrir », mais une par rapport à un axiome mathématique - l'axiome du choix - qui permet d'établir l'existence d'objets mathématiques sans permettre d'expliquer comment les obtenir « concrètement ». Un constructiviste est un mathématicien qui ne considère comme correcte une preuve d'existence que si elle donne une « recette » pour construire l'objet dont on prouve qu'il existe, plus particulièrement un algorithme (donc implémentable informatiquement).
D'accord merci de la précision ^^
Tu peux regardé la vidéo sur le théorème de Banach-tarski pour voir ce que l'on peut faire avec l'axiome du choix.
Merci du conseil, mais personnellement je l'ai déjà vu et j'ai vu d'autres vidéos dessus ^^
En fait je pense qu'Alexandre VASSORT montrait juste un exemple d'axiome connu, mais il aurait pu aussi me parler des 5 axiomes en géométrie euclidienne.
Mais j'irais la revoir alors merci du conseil
Argument anthropique:
-Tout nombre peut être imaginé par un cerveau humain (même 10^gogolplex puisque je viens de l'écrire)
- Le cerveau humain est fini (une boîte crânienne et walou)
Donc : les nombres sont finis
oui, mais il faudrait une quantité infinie de temps pour les imaginer "tous".
Donc, les nombres sont infinis
Tu n'imagines pas le 10^gogolplex, tu l'écris, c'est assez différent. La preuve : si on te demande combien de chiffres il contient en base 10 tu ne sauras pas répondre (gogolplex+1, lol). Tu pourras juste dire qu'il commence par 1 et est suivi par gogolplex 0, mais tu ne peux pas envisager ce nombre non plus.
Tout comme tu n'envisages pas l'infini, mais plutôt l'absence de fini (ce qui n'est pas la même chose) et pourtant on a un symbole pour l'écrire : ∞.
Au final la finitude des capacités cognitives de l'humain n'est pas un réel argument, car on a réussi à théoriser l'infini et à l'intuiter, sans effectivement l'envisager (c'est du ressort de la capacité d'abstraction, pas vraiment des capacités de calcul ou de mémoire).
krenv il y a une grande différence entre écrire 10^gogolplex (le terme imaginé est mal choisi mea culpa mon idée étant l'abstraction de la chose par des éléments plus simples) et écrire l'infini. Comme tu le dis l'infini se définit par l'absence de fini soit par une négation et pas par construction à partir d'objets plus simples.
Quant aux capacités d'abstraction elle sont finies tu ne peux pas imaginer une couleur que tu ne peux pas voir. Le fait est que aucun être humain ne pouvant trouver de contre exemple satisfaisant de la finitude de ses capacites d'abstraction en maths on en déduit implicitement que c'est infini mais ce n'est pas une preuve.
MicMaths, l'avait dit dans sa vidéo, cependant on peut tout de même dire que les nombres sont infinis comme le laisse je pense dire krenv dans son commentaire. En effet, MicMaths en avait parler dan sa vidéo, et comme le dit d'autres commentaires, les nombres dont parle ton argument anthropique sont les "nombres accessibles", enfin pour la plus part très difficilement accessible mais théoriquement accessibles x) Mais on peut conceptualiser des nombres inaccessibles, qui continuent après cette limite, que l'intelligence humaine, ou soyons fous l'intelligence informatique, ne peut penser ses nombres de manière calculatoire, ou autre pour "bien les définir" autre que la simple conceptualisation de ces concepts comme MicMaths et Krenv ont fait.
Si on décide de reboucler apres le plus grand entier, on rejette l'axiome de base de l'arithmétique selon lequel tout entier est plus petit que son suivant... Le rejet de cet axiome change la théorie mathématique dont on parle donc on n'est plus dans l'arithmétique "classique", non?
« Tout entier est plus petit que son successeur » est une propriété, pas un axiome. Mais oui, l'arithmétique dans ℤ / 12ℤ n'est pas « classique » (il n'est pas possible d'ordonner tous ses éléments de manière compatible avec l'addition), c'est de l'arithmétique modulaire.
Au lieu de votre preuve par l’absurde pourquoi ne pas présenter les axiomes de l’arithmétique de Peano? Si les nombres ne s’arrêtent jamais, c’est du fait de la définition (ou construction) de N?
Va dire ça à un gamin de 5 ans
A smiley has no name C’est certainement pas la réponse qu’il attend 😂
@@xNanoc T'as raison, à 5 ans il commence à être assez mature pour utiliser les axiomes ZFC
Et c'est quoi exactement la définition d'infini dans l'arithmétique de Péano déjà ?
le pouce bleu, c'est pour ton neveu.
merci pour la vidéo
Je pense que les choses existent à partir du moment où on les nomme. C'est d'ailleurs la première chose que l'on fait quand on voit un objet, on demande : "Qu'est-ce que c'est ?", autrement dit : quel est son nom ? Comme si la chose ne pouvait pas exister dans notre esprit autrement que par son nom. On pourra décrire l'objet, mais ça ne constituera qu'une autre manière de nommer la chose. Ce qu'on ne sait nommer d'aucune manière (comprendre nommer par nommer ou décrire), on ne peut ni en parler, ni y penser, ni le créer.
En ce sens, tous les nombres existent, à partir du moment où je sais les nommer. Je peux donc imaginer le nombre 1 suivi de 1 million de 1. Il existe du fait que je l'ai nommé. Il existe parce qu'il a un nom, on peut en parler. Ca nous évite de nous poser la question de "dans quel monde il existe?", et on peut se focaliser sur des choses beaucoup plus précises : ce que je nomme.
C'est d'ailleurs le fonctionnement des mathématiques en général. On peut inventer un modèle qui est complètement incohérent avec notre expérience de tous les jours, cela ne l'empêchera pas d'exister comme un modèle. On pourra même en tirer des choses ! Les espaces a n dimensions ne nous apportaient rien jusqu'à ce qu'on leurs trouve des applications ! Et ces applications ne sont pas moins dans notre tête que le modèle de départ. La lumière ne se dit pas qu'elle se ballade dans l'espace temps à 4 dimensions indépendamment du référentiel. Elle se déplace, c'est tout. De la même manière que quand je vois de la lumière blanche je ne me dis pas que c'est un mélange de fréquences rouge, vert et bleu à puissances égales. Ces modèles sont des créations de notre esprit pour coller (ou pas!) à la réalité. Ils existent parce qu'on en parle :)
Pour dire que les nombres ne peuvent pas être modulaire, on ne peut pas utiliser le cardinal de l'ensemble ? Dans l'exemple, si tous les nombres sont compris dans un ensemble E={0,1,...,n}, alors on a card(E)=n+1, or n+1 ne serait donc pas un nombre car n+1 n'appartient pas a l'ensemble E ? => Absurdité
Dis moi tonton, pourquoi les noms que tu donnes aux grands nombres ne s'arrêtent-ils jamais ?
Il me semble que la démonstration par l'absurde ne tient pas : si je me limite à 11, alors je peux déduire du raisonnement par l'absurde que dans mon algèbre 11+1 est une opération que je n'ai pas le droit de poser. Alors il est vrai qu'il y a plein d'opérations et de propriétés disponibles dans Z ou Z/12 qui ne seront pas là dans mon monde de 12 nombres. Et alors ?
Tu t'amuses bien a animé tout ça ahah, sinon super :)
Parce que l'imagination est infinie 😊
techniquement en fonctionnement normal (non modifié par des évènements extérieurs) elle est juste trèèèès grande du à l'énorme quantité d'arrangements possibles dans notre cerveau (ou infinie mais bornée)
Ah ouais? Tu contredis Einstein du coup!
(Il parlait de bêtise humaine et pas d'imagination, mais c'est la même idée ^^)
@@8Klean ah non ! La bêtise est un sous ensemble de l'imagination, c'est pas la même chose ! L'imagination est donc comme tu le dit infinie (un infini dénombrable), mais pour d'autres raisons !
Je propose une réponse qui me paraît possible à expliquer à un enfant (et qui vaut ce qu'elle vaut...) :
Finalement la réponse est un peu dans le "on peut toujours ajouter un", ce qui pourrait être reformulé comme ça : Les nombres s'arrêtent à l'endroit le plus grand où on est déjà allé, mais on ne sait jamais si l'on n'aura pas besoin d'aller plus loin à l'avenir. Autrement dit, comme on pourrait le faire avec un univers infini, les nombres "grandissent" au fur et à mesure qu'on les explore.
Bon, encore une fois ça vaut ce que ça vaut mais j'aurai au moins essayé...
Je ne suis pas un spécialiste mais selon moi cela vient de la définition des nombres : 0 correspond à l'ensemble vide et tout nombre "n" plus grand que 0 correspond à l'ensemble de tous les ensembles correspondants aux nombres définis avant "n", ou quelque chose du genre. Par définition il est donc toujours possible de trouver un nombre plus grand (parce qu'on peut former des ensembles de la manière décrite au dessus) et on revient donc à ta démonstration.
Le problème est donc (comme souvent selon moi en philosophie) de comprendre qu'il peut y avoir des définitions différentes pour un même mots ou des concepts similaires.
Ainsi on pourrait très bien dire que les nombres sont les éléments d'un Z/nZ avec un "n" choisi judicieusement (le nombre de particules fondamentales dans l'univers par exemple, en admettant qu'il soit fini). De manière similaire on pourra définir un montant fini de nombre en association à un ensemble donné d'objet un nombre.
Ainsi pour répondre à ton neveu, tu pourrais lui dire que les nombres ne s'arrête pas parce que certaines personnes en ont décidé ainsi et que c'est ce qui est généralement accepté par les gens. S'il est intéressé, tu pourrais continuer la discussion en lui disant qu'il est en effet possible de choisir un dernier élément si on a pas besoin de nombres plus grands.
Enfin pour conclure et inclure le platonisme, je dirais que les nombres sont un outil/concept/idée que chaque individu ou groupe d'individu peut définir selon ses besoins.
Très bonne vidéo qui, selon moi, inclut les idées principales mais je suis également ouvert à d'autres avis.
Pourquoi peut-on soustraire et additionner des nombres négatifs ?
L'approche que tu n'énonces pas et qui est ma favorite.
Est l'approche construtiviste.
Qui dit que les nombres sont des contractions humaines et ils ont les propriété qu'on leur donne en fonction du problème.
Pour un problème de sommes ou d'addition il n'a pas de raison d'avoir de fin, ou plutôt chaque problème à une fin différentes qui est la fin de mon calcul.
(En cherchant le nombre de personnes qui regarde ta vidéo à un instant donné je tombe toujours sur un seul nombre, qui est plus grand (ou égal) que l'instant d'avant. Le problème se résout dans N)
En gros selon un problème on choisi un ensemble dans lequel le résoudre, qui défini ce Qu'est un nombre et ou il s'arrête.
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer en détail l'interprétation de la notation Z/12 Z et pourquoi cela donne le cycle des nombres de 0 à 11 (si l'on considère que 12~0) svp?
Z désigne les entiers relatifs (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...), 12Z celui des entiers relatifs multiples de 12 (..., -24, -12, 0, 12, 24, ...) et "/" est le quotient entre deux anneaux (Z et 12Z sont des anneaux, ie, on peut y faire des additions, soustractions et multiplications).
Faire un quotient, c'est obliger des nombres du premier anneau à être égaux à 0, les nombres en question sont ceux du deuxième anneau. En pratique, Z/12Z, c'est la structure algébrique dans laquelle on dit que 12 est maintenant égal à 0, et on regarde ce que ça implique.
Génial, merci El Jj! Je suis fan de ton contenu! Je vais aller clarifier cette histoire de quotient, ça a l'air abstrait...
En gros c'est comme chercher le reste de n/N (n € [0;11], N = 12) et, appliqué à tout l'anneau Z, ça donne Z/12Z? Je te parle juste de la notation qui me paraît pas évidente :)
Bonsoir, la question a ete posé par un de mes enfants et je lui est donné cette réponse: Ecoute moi, je ne sais pas si les nombres ont une fin et tu sais pourquoi? j ai juste pas compter assez loin pour verifier s'il y a un dernier. Depuis mon fils compte il est a 100 au maximum , j ai le temps avant qu il prouve ou non s'il y a une fin.
Les nombres entiers sont infinies mais aussi les nombres décimales qui eux sont d'ailleurs bien plus nombreux en fait entre 0 et 1 il y as une infinité de nombres.
Peut être une piste pour faire comprendre de manière simple au petit neveu.
Ce qui est bien avec l'infinie c'est que l'ont en manque jamais.
Salut 👋 tu m'a l'air bien callé en maths même si il y en d'autres. Tu as fait maths complémentaire ou expertes ?
J'ai la soif des maths ça me démange
j'adore ton contenus mais parfois il faut mettre sur pause.
Une fonction polynôme peut elle supprimer n'importe quel nombre si on arrive à lui attribuer une valeur de (x)
qui annule toujours une suite de nombre qui tend vers l'infini et qui sont consécutifs.
En gros un polynôme qui prend -1/12 en conte mais dont son polynôme l'annule ?
J'imagine que le fait que j'enseigne les maths complémentaires rentre dans le critère.
Si tu choisis un certain nombre de valeurs, alors il existe toujours un polynôme qui s'annule sur ces valeurs. Par exemple, le polynôme qui s'annule en 1, 2, 3, 4, 5 et 6 est le polynôme P=(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)(X-5)(X-6).
Cependant, ça ne fonctionne que pour un nombre fini de valeurs. Il n'existe que un seul polynôme qui s'annule une infinité de fois, c'est le polynôme constant P=0.
@@ElJj merci pour ta réponse.
c'est quoi en deux (deux) ? minutes les maths expertes ?
bonne journée
Tout n'est qu'une question d'échelle, nous portons plus d'attention aux nombres qui nous sont proches dans la vie de tous les jours et sommes moins enclin à utiliser les nombres d'une échelle supérieure car ils ont moins d'impact significatif dans notre mode de vie. La comparaison type de ce genre de questionnement est: à l'échelle de l'univers (dans lequel nous faisons partie) nous avons inventé des unités astronomique afin de rendre les nombres plus abordable (d'utilisation), mais pour en avoir une grandeur réelle par rapport à notre échelle échelle humaine, il est possible de les "traduire" avec des nombres plus communs. www.futura-sciences.com/sciences/definitions/univers-unite-astronomique-63/
Tout n'est que question d'échelle de perception et de compréhension par l'esprit humain, la nature (l'univers) est si vaste qu'on lui attribue la notion d'infini (donc par définition, sans limite)
ben comme tu l'as dit dans ka vidéo, c un choix, si on veut que les nombres soit infini c juste que l on veut travail avec ça et non avec une suite fini
Petit pouce bleu, sans prétention
Bonjour, pour ceux qui n'ont pas de problème avec l'anglais: people.umass.edu/klement/imp/imp-ebk.pdf Sinon il existe une traduction française de ce texte de Russell: www.philosciences.org/notices/document.php?id_document=3188 Cette question est abordée dans le chapitre 3. Bonne lecture.
interessant comme format quoique peut etre un peu court
On fait une petite récurrence avec les ultrafinitistes ? :)
*Propositions* : Pour tout n appartenant à N, on note P(n) la proposition : tous les nombres sont utiles
*Initialisation* : 0 est utile, donc P(0) est vraie
*Hérédité* : On suppose que pour un certain n de N, P(n) est vraie. Alors pour ce n-là, n est un nombre utile. Donc n+1 est un nombre utile, puisque n et 1 sont utiles. Donc P(n+1) est vraie
*Conclusion* : P(n) est vraie, c'est à dire que tous les nombres sont utiles.
Tu voulais dire P(n) la proposition: tous les nombres (entiers) inférieur ou égaux à n sont utiles, non?
Quant à l'utilisation de la "linéarité": si a et b sont utiles alors a+b est utile, elle ne me paraît pas évidente ici :)
Si on suppose que n est utile et que 1 est utile, on n'a jamais démontré que (n+1) est utile, la linéarité n'est pas évidente oui..
Peut être pas la linéarité mais quand on ajoute 1 on reste surement dans les nombres utiles, puisque pour qu'un nombre ne soit plus utile il faut qu'il soit bien plus grand que les nombres utiles.
En faite je pense surtout qu'a chaque étapes de n à n+1 on perd un peut d'utilité (avec une loi que je ne connais pas), de sorte que ta propriété est vrai, puis juste une bonne approximation de la réalité, puis une mauvaise approximation, et enfin complétement faux...
Beau coup ;') cependant, la linéarité dépend encore du point de vue, puisque utile n'a aucune traduction mathématique. Cependant, celà répond en effet à une hypothèse d'ultrafi ... Oui eux quoi :')
Mieux:
Supposons que l’univers est infini
Cela veut donc dire qu’on pourra toujours assimiler un nombre dans R à une longueur
Donc tout nombre dans R est utile
Si après le plus grand nombre on revient au début, alors il y a peut être un sens à la fameuse somme 1+2+3+4+.....=-1/12, comme si en s'approchant de l'infini on revenait au point de départ qui est 0 car-1/12 se rapproche de 0
les nombres s’arrêtent du moment où il n'y a plus de place sur la feuille où on les écrit ^^
Et c'est intéressant de voir que dès les premiers ages on voit l'ensemble des entiers comme une collection de nombres, en apprenant les nombres un par un de 1 à 10, puis ça monte à 20, puis 100, d'ailleurs c'est toujours aussi rigolo de voir un enfant dire "je sais compter jusqu'à 37!". Et puis souvent par la suite on ne s'amuse plus à lister les nombres, mais on apprend à les construire, pour pouvoir ensuite appréhender des nombres bien plus grands. Quand on nous parle du nombre 325 on n'a pas besoin de compter tous les entiers qui viennent avant, et pourtant on n'est pas largué en le lisant. Et c'est comme ça qu'on arrive au sujet évoqué par Lê qui est : "le dernier nombre premier connu est ...", sachant qu'il semble qu'on comprenne ce qu'est ce nombre, alors qu'on est incapable d'écrire toutes ses décimales.
En bref c'est fou comme notre compréhension et notre appréhension des nombres évolue au cours du temps, en nous faisant ainsi voir les nombres sous beaucoup d'angles différents, permettant de toujours mieux les comprendre
Voila j'ai écrit mon petit paragraphe, je peux aller me coucher, j'espere que quelqu'un me lira sinon je me serai vraiment cassé la bite pour rien :p
je pense que les nombres s'arretent pour recommencer si, si on fait le parallèle avec l'hotel de hilbert et qu'il décide de construire un deuxième étage, comme on recommence de 1, on peut dire que les nombres s'arretent, mais a l'infini(on peut voirun hotel de hilbert avec un deuxième étage dans la video sur l'hydre de de je-sais-plus-qui et paris)(j'espere que c'est pas trop incompréhensible)
Le nom des grands nombres c'est pas plutôt: À l'américaine: million, billion, trillion.. Et à l'européenne: million, milliard, billion, billiard ? (Là où un billion américain correspond à notre milliard, etc) Je me souviens avoir chercher ça à l'époque où je jouait à Cookie clicker 😀
Exactement. C'est l'échelle longue (à l'européenne) que je présente dans la vidéo.
Pyerik Si, quand on multiplie par 1000, on passe de -ion à -illard et inversement. Dans la vidéo, El Jj multiplie par 100000 à chaque fois, donc il reste dans les -ion
lol toi aussi avec cookie clicker xD
Gilgamesh c'est pas plutôt 1 000 000 à chaque fois? 1000*1000
Cookie Clicker (et clicker heroes), les seuls jeux où tu auras besoin d'utiliser des nombres aussi grands ^^
2:00 Je sais parce que j'ai (trop) joué à cookie clicker ^^
Parce que nous avons choisi qu'il en soit ainsi dans la théorie qu'on apprend à l'école.
Mais nous pouvons choisir d'autres axiomes, qui feront d'autres théories, dans lesquelles peut être, il n'y aura une fin aux nombres.
Irdoue , effectivement... reste à avoir des axiome dont on puisse faire quelque chose d'utile et de cohérente....les axiomes communs nous emmènent déjà à 3*(1/3 ) différent de 1... alors des axiomes exotiques , ou des mondes géométriques dans l'espace (Z/12/Z) x R
ça de ce que j'ai compris c'est bien une réponse constructiviste :D
Autrement dit : pourquoi est-il possible d'ajouter 1 à zéro ainsi qu'au résultat obtenu et ce de manière infinie?
Je dirais parce qu'on est assez intelligent pour le concevoir.
C'est trop chou
génial
Comment appelle t on un 1 suivi de 42 zéros ? :)
beaucoup
Un septillion je crois car il y a 7x6 zéros
Le réponseàlavieion
Actinides 98 merde je voulais la faire ^^
powershell peut de le dire mais seulement lorsqu'il y a un nombre raisonable de 0. apres il fait juste dire "zero zero zero ..."
$v = new-object -com sapi.spvoice
$v.speak("1000000000000000000000000000000000000000000")
Le plus hallucinant est surtout que les chiffres eux soient finis.
Sinon la démo par l'absurde repose donc sur le fait qu'on peut toujours ajouter 1 et aussi qu'ajouter 1 grandit le résultat.
On constate qu'on ne peut pas toujours retirer 1 sauf à sortir de IN .
Si 0 est légitime alors pourquoi pas l'infini!
ajouter 1 à l'infini donne toujours l'infini.
On peut donc très bien définir IN U {infini} et on a bien les nombres qu'on connait et on a bien un nombre plus grand que tous les autres.
Reste que ça ne s'arrête pas quand même mon affaire, mais bon, c'était juste histoire de faire avancer le schmilblick ...
pourquoi malgres une difference de plan d'existence les mathematiques arrive si bien à expliquer certain phénomenes concrets ?
IA_Destroyer je suis pas sûr que ce soit une question à priori stupide
La mathématique théorise tout, et s'est en premier appuyé sur des sciences concrètes (cartographie, géographie, géométrie, arithmétique, etc). Si elle explique si bien le concret, c'est donc parce que son premier but était justement de l'expliquer.
Aujourd'hui, on développe surtout des mathématiques basées sur la théorie, mais qui peuvent tout de même expliquer le réel. Par exemple, Fourier à développé un modèle pour les équations de la chaleur, et a créé tout un pan des mathématiques : l'analyse harmonique. Plusieurs siècles plus tard, ce domaine reste un grand champ de recherches, et des objets tels que les Transformées de Fourier nous servent à compresser nos données et à dresser les spectres audio de nos enregistrements. C'est aussi ça qui contribue à la beauté des maths. :)
Parce que les mathématiciens l'ont décidé ainsi...
Ce que je veux dire par là, c'est que les nombres qu'on utilises, si on veut en parler mathématiquement il faut utiliser leur définition mathématique. Par exemple, l'ensemble noté ℕ est une invention mathématique défini par les mathématiciens.
Oui vous avez raison.
il n'y a pas quelqu'un qui aurait, en quelque sorte, démontré que +infini=-1/12 ?
Donc le nombre le plus grand est relativement petit.
'Scusez moi, je suis une brelle en math, ce "paradoxe" me rends fou, surtout que ce résultat a été utile, d'après ce que j'ai entendu, en physique quantique (qui est une matière qui me rend fou aussi lol).
En tout cas c'est plus qu'impressionnant et passionnant!
On pense ici à l'infini en partant à gauche ou à droite du zéro, car c'est comme cela qu'on se situe quelque part, au milieu de nulle part (au milieu de partout?).
Pour moi l'infini est partout... entre 0 et 1, entre deux photons, le temps qu'on observe, le fini se créera. Le fini qui est quelque part(où on l'a décidé) pendant que l'infini est aussi ailleurs...
Dis différemment, on quantifie ce que l'on sait, mais peut-on quantifier ce que l'on ne sait pas?
Ce que l'on ne sait pas est le reste infini de ce que l'on sait. Et ce que l'on sait n'est que la connaissance de ce qui a été crée, et ce qui n'a pas été crée attends de l'être...
Il y a l’infini entre deux mots et une infinité de mots et de langages. l'infini entre 2 secondes et une infinité de secondes. l'infini entre deux compréhensions...
Bien sûr tout ces exemples ne sont que des unités de nombres. Mais il y a une infinité d'unités de nombre et l'infini entre ces unités...
c'était juste une pensée limitée du moment mais au-quelle demain j'aurai ajouté +1
Les nombres s'arrêtent là où ils sont.
Les nombres ont une fin, soit celle que l'on s'impose à nous même, parce que aller plus loin serait juste ennuyeux, soit celle qui fait que notre exigence en précision soit satisfaite. Par exemple, lorsque je mesure quelque chose à la règle, je m'arrête au millimètres, je n'ai pas besoin d'avoir tout les nombres jusqu'au micron prêt pour dessiner un carré. Ou quand mon réseau de neurones a un taux d'erreur sous les 0,0004%. Quand on utilise le nombre pi pour calculer un angle, on utilise une approximation du nombre pi avec un nombre de chiffres ou l'on considère que l'erreur est acceptable. La limite où les nombres s'arrêtent est l'importance des nombres dont on parle, car après on ponctue souvent par : "et ça, jusqu'à l'infini".
Essai de réponse : imaginons que le plus grand nombre qui existe s appelle yo. Alors si on dépasse yo on obtiendrai 1yo + 0 puisque cela correspond au fait d avoir fait 1 fois le tour des nombres et avoir commencé le second.
Il y a donc bien une valeur qui serait plus grand que yo qui pourrait s appeller yoa et ainsi de suite
Les nombre s'arrêtent jamais, ça se tient vu que :
L'ensemble des nombres est un ensemble stable si on rajoute 1, cependant toute collection finie non vide de nombre est instable quand on rajoute 1, donc l'ensemble des nombres n'est pas fini, dit autrement on ne peut pas compter ses membres et c'est donc un ensemble qui ne s' "arrête jamais".
PS : L'existence d'un nombre maximal est rendue impossible par le fait que tout les nombres s'écrivent dans la base décimale et que l'on peut toujours ajouter 1 à un nombre écrit en base décimale. Si un argument utilisant une "base" est confusant on peut voir N comme un monoïde libre à un générateur, comme l'opération d'un monoïde est fermée on peut toujours choisir d'ajouter le générateur à n'importe quel élément.
mais du coup est-ce que les nombres s'arrête au nombre que l'on obtient en comptant les nombres sans jamais s'arrêter ?
Du coup si c'est sans jamais s'arrêter, les nombres ne s'arrêtent pas.
@@DanielBWilliams bah ouais mais si il y as un nombre ou on peut pas compter plus loin , ça veut dire que les nombre s'arrête à ce nombre non ? on peut pas compter plus loin que le nombre que l'on obtient si on compte sans jamais s'arrêter
(je sais que c'est débile comme raisonnement mais moi ça me fait réfléchir)
@@thefakepie1126 Qu'est-ce que vous appelez "le nombre que l'on obtient si on compte sans jamais s'arrêter" ?
@@DanielBWilliams c'est 1+1+1+1+1+...
@@thefakepie1126 L'infini du coup. Mais l'infini n'est pas un nombre entier.
De manière générale, l'ensemble des entiers naturels est construit par réccurence, c'est-à-dire que par définition, tout nombre entier à un successeur. Reste à savoir si ton neveu à la même définition des nombres entiers que toi.
j'y crois pas, le neveu d'El Jj, c'est Keanu Reeves !!!
et il a choisi la pilule rouge !!
C’est vrai qu’on ne peut pas dire que les nombres s’arrêtent, mais l’infini est quelque chose de bien trop abstrait, maintenant si on cherche tout de même à donner un nombre précis qui sera le « dernier » ce serait bien le nombre de Graham, au moins on a une notion concrète et compréhensible, en tout cas plus que l’infini. Mais comme tu l’as dit dans ta vidéo, cette théorie tombe à l’eau si on lui rajoute un... elle est difficile cette question !!
merci :-)
Et la somme de tout les nombres positifs = a -1/12
N’est elle pas une preuve qu’a un moment, +l’infini boucle sur les nombres négatifs pour parvenir à un tel total ?
Sauf que c’est globalement faux : c’est la projection analytique de ζ(-1) qui est égale à -1/2, pas la suite arithmétique infinie 1+2+3+4...+n qui n’est pas convergente et n’a donc pas de valeur. Tout dépend en fait de ce que tu entends, axiomatiquement, par ‘=‘...
EL JJ A SORTIE UNE NOUVELLE VIDEO ! EL JJ A SORTIE UNE NOUVELLE VIDEO ! an non, ce n'est pas de la série principale. pas grâve, c'est toujours bon :) et prend ton temps. je préfère avoir une bonne vidéo plutot qu'être déçu
Demande si pourquoi le temps ne s'arrête pas il feras probablement le lien
Les nombres ne s'arrêtent pas par construction des nombres, à cause de l'axiome de l'infini notamment, enfin cette explication se rapproche de beaucoup de celle donné par El Jj et n’élargit pas le sujet de manière philosophique. Je trouve cependant que les arguments preuve donné dans la preuve par El Jj n'est pas vraiment suffisant au vu de la question posé, en effet dire que n+1 est encore un nombre (ou le successeur de n, ce qui évite de parler d'addition et donc d'avoir ce genre de discussion sur l'arithmétique modulaire par exemple) est une hypothèse assez forte et qui au final contient la réponse attendu ou presque, donc la vrai question c'est pourquoi n+1 est-il encore un nombre et pourquoi est il différent de ceux qui lui précède, me semble t'il
Il y a une infinité de nombres entiers naturels mais on peut quand même remarquer que l'intelligence n'a accès qu'à un ensemble fini de ceux-ci. En effet même si on arrive à compter jusqu'à un milliatillion... Eh bah on est toujours infiniment loin d'avoir listé tous les nombres. En fait même avec toute la bonne volonté du monde il y a bien des nombres auxquels on a pas accès comme le laissent pressentir des nombres comme celui de Graham, TREE(42) et comme le montre finalement le nombre de Rayo (qui est en gros le plus petit nombre qu'on ne peut pas définir à partir des axiomes ZFC en moins d'un gogol de symboles).
Globalement si dans l'absolu les nombres ne s'arrêtent jamais, leur course vers l'infini et au-delà se fera sans nous.
Très bien.j'aurais au moins appris Z/Z12 souvent vu sur des forums de mathématique sans les comprendre. je pensait que cette vidéo était une reponse personnel suite a un de mes commentaires provocateur mais je dois halluciner.
PS: un truc qui me turlupine est que beaucoup font des commentaire et il n'y a que 811 pouces!
C' est pas sympa. heureusement que les commentaires sont pris en compte pour EL Jj. d’ailleurs El Jj si tu m'entend d'ou vient ton pseudonyme? Toi qui analyse plus vite que la lumière.
Je précise que je réponds au moment où je vois la vidéo et donc bien 5 mois après parution et spécifie que je n'ai pas lu les réponses de tous mes prédécesseurs et ne propose une réponse que par pur plaisir gymnastique intellectuelle; énonçons donc la question à laquelle nous allons réfléchir :
"Pourquoi les nombres ne s’arrêtent jamais ?"
Tout d'abord il faut se demander sur qu'est ce qu'un nombre ; et ensuite ce que signifie s'arrêter.
En effet la question de l'arrêt est primordial car sinon on ne saurait pas si un ensemble de nombres de la forme K/nK serait arrêté, donc ici comporterait un nombre d'éléments finis, ou non.
Définissons ce que que nous allons appeler nombre.
Un nombre est donc un objet mathématiques satisfaisant une liste de propriétés remarquables mathématiques, cette liste unique pour chaque nombre, donc tout nombre est distinct de tout autre nombre (on parlera d'unicité du nombre si besoin plus tard); ces objets nombres sont représentés par les symboles chiffrés que l'on connait si bien.
Si vous avez envie de vous amusez vous pouvez essayer de lister toute les propriétés du nombre zéro puis du nombre un (attention ça peut être très long et fastidieux).
Maintenant parlons donc de se que signifie "s'arrêter"
Nous ne nous attarderons pas sur le caractère ordonnés des nombres, qui ne nous intéressent pas ici et afin d'avoir une démonstration des plus générales (de plus négliger le côté ordonné des nombres nous évite d'avoir envie de refaire une démonstration par non existence du supp).
Nous définirons donc "s'arrêter" comme le fait d'avoir un cardinal fini, c'est à dire un nombre d'éléments uniques fini (ici on peut imaginer la droite des nombre et voir son aspect "arrêter" par la supposition d'un mur qui empêcherait le prolongement de la droite, ou bien d'imaginer une boule contenant tous les nombres, sauf que cette boule serait complètement fermée, étanche à toute infiltration, etc ...); ainsi un groupe de type K/nK ne s'arrête pas puisque ce groupe n'est en fait qu'une transformation des nombres dont la valeur absolue est supérieur ou égale à n (ici on dit qu'en fait tout les nombres appartiennent au groupe mais sont transformés par le dit groupe et on s'intéresse aux groupe de la forme K/nK pour utiliser l'exemple du temps dans la dernière partie).
Enfin pourquoi les nombres ne "s'arrêtent" ils pas ?
Supposons que tous les nombres appartiennent à un groupe stable, comme ce groupe est stable alors tout résultat de l'opération liée au groupe appartient à ce groupe et ceci est vraie si et seulement si l'univers mathématique est stable, ce qu'il est par définition. (ici nous avons donc dit que pour tout x et y deux nombres alors z qui est le résultat de l'opération entre x et y est également un nombre )
Ainsi on pourra toujours effectuer l'opération lié au groupe entre tous les nombres que l'on connait déjà et découvrir de nouveaux nombre unique jusqu'à l'infini.
Donc les nombres ne s'arrêtent jamais.
Quelle est donc l'utilité d'une telle démonstration, quelle importance de savoir que les nombres n'ont pas de fin ?
Je répondrais à cette question par 3 points.
Tout d'abord, pourquoi devrait-il y avoir nécessairement une utilité à l'infini des nombres, jusqu'aujourd'hui nous ne pouvons pas vraiment dire que l'on connait l’utilité de l'univers et pourtant nous vivons dedans, alors pourquoi ne pas simplement accepté que les nombres sont infinis par nature et simplement parce qu'ils le désirent ?
De plus savoir que les nombres sont infinis nous apportent une information que je trouve essentielle, c'est la preuve que le savoir et la connaissance que l'humanité pourrait acquérir est sans limite, nous ne pourrons jamais dire, c'est bon c'est sûr on connait tout, non les nombres sont infinis, donc les différentes propriétés qu'ils peuvent avoir le sont aussi donc les lois qui les régissent le sont aussi, l'horizon de l'univers mathématiques est donc infini par essence.
Et finalement un argument plutôt rassurant et vital quand à l'infini des nombres, en effet parmi les propriété des nombres on peut retrouver la propriété temporel, oui la physique théorique s'est bien occupée et assurer que le temps était une dimension bien physique et tangible de notre univers, ainsi si les nombres étaient finis, donc "s'arrêtaient" alors le temps un jour aussi s'arrêteraient et ce sans retour en arrière possible car il a été démontré que le temps ne peu s'écouler que dans un sens unique dans notre univers, donc savoir que les nombres sont infinis implique que le temps peut prendre une valeur infini et ainsi ne jamais s'arrêter (information plutôt agréable à savoir je trouve.).
CQFD.
Bonjour et félicitation pour vos vidéos qui sont un régal (heureusement qu'il y a la pause, car je n'échantillonne pas toujours assez vite ;-)
Mes réponses possibles, en dehors de : "ta mère ou ton père doivent savoir",
1. Pour arrêter les nombres il suffit d'avoir de bonnes bases : 2₁₀=10₂, 3₁₀=10₃, 10₄, 10₅,... Donc il n'existe qu'un nombre 10
2. Le bon Dieu faisant bien les choses et les hommes étant en nombre fini, ainsi aucun homme ne sera le dernier, mais comme il a dit que les premiers seront les derniers, ça Lui laisse au moins une place libre au premier rang.
Robert Lamoureux, Le dernier de la classe : czcams.com/video/NUd31yD_l5U/video.html
Amicalement
Le fait qu'il existe toujours des nombres + grands c'est une convention tout simplement !
On pourrait trés bien convenir que les nombres s'arrêtent à 100 et qu'au delà il n'y à rien, on pourrait aussi dire que l'opération 100+1 n'à aucun sens (un peu comme diviser par 0).
Sauf qu'on s'est dit que ça serait quand même bien pratique que les nombres n'est pas de fin !
La meilleur réponse à faire à ton neveu est: "Pasqueu!!!"
Les nombres s'utilisent en mathématiques, les mathématiques représentent le progrès or on n'arrête pas le progrès donc les nombres ne s'arrêtent jamais.
Pourquoi les nombres ne s'arrêtent jamais ? Parce que les nombres ne bougent pas ! (du coup ils sont toujours arrêtés)
D'ailleurs, ils ne commencent jamais non plus. Il y a le -1 avant le 0 ...
Ce qui commence et qui s'arrête, c'est le comptage, pas les nombres.
Bonjour,
Là où les nombres s'arrêtent :
C'est au niveau du nombre qui pour être écrit pour être connu (en nombre décimal) nécéssite la totatlité de l'encre disponible (eau) sur terre.
Sachant qu'il y a 1.4*10^27 microgrammes d'eau sur terre, qu'il faut 1 microgramme d'eau pour écrire un chiffre, on obtient :
10^(1.4*10^27) le nombre aprés le quel on ne plus en écrire un autre.
Bonne journée.
Bah dans la mesure on les nombres on été "inventés" pour quantifier des choses, ca serai stupide d'avoir une limite de quantification nan ?
Bonjour je suis le gentil commentaire pour le référencement
Il en a de la chance ton neveu!! Et pas qu’un peu!
Si 1+2+3+4+5 etc donne -1/12, Néo a peut-être raison? Il y a peut-être un nombre très élevé particulier qui cesse d’avoir les propriétés d’un nombre et brise les maths…
En tout cas les ordinateurs ont bien un nombre infini pour sa capacité.
J'en profite pour redire le fait méconnu que la calculatrice peut se planter si on lui donne un calcul où on doit finalement soustraire deux nombres proches mais grand et la calculatrice donne un résultat faux aussi bien quand elle affiche un résultat avec des chiffres (que je croyais fiables...) que quand elle donne une notation scientifique ( et là l'erreur est carabinée !)
je peux donner le calcul à qui voudra vérifier que Google calculatrice peut se planter.
El Jj : après un billion il y a un billiard
jeux mobiles : aa
Si l’on considère que les nombres représentent des choses... la réponse sera une autre question :
« Les choses sont elles infinies ?! »
...
Et si les nombres ne sont rien d’autre qu’un concept, alors ils sont intrinsèque à la définition que l’on donne à ce même concept.
...
Je compte sur vous pour y répondre !
Les nombres entier, ça peut s’arrêter, il suffit de "borner" l'ensemble des entiers en ajoutant l'élément "+ l'infini" plus grand que tous les autres et pour lequel l'infini +1 = l'inifini.Auquel cas la démonstration par l'absurde ne marche plus, donc on a bien un nombre plus grand que tous les autres. C'est déroutant comme démarche parce que l'on construit un nombre avant d'avoir construit ceux qui le précède, mais ça marche!
Pour faire une analogie avec les nombres réels, si l'on prend l'ensemble des nombres entre [0 et 1[ et que l'on considère les nombres 0.9 ; 0.99 ; 0.999 ; 0.9999 etc. il y en a une inifinité et aucun n'est "plus grand que tous les autres" puisqu'il existe toujours un nombre avec un 9 de plus qui sera plus grand... pourtant, il suffit d'ajouter 1 comme élément final (limite de la suite) pour avoir un nombre plus grand que tous ceux de la suite
Insignia
Mais du coup pour les ultrafinitistes, il y a un nombre le plus grand ?
Cette question n'est pas intéressante pour un ultrafiniste, puisque même si il y a un nombre plus grand que les autres, il n'est pas accessible.
Mais c'est qu'il se pose des bonnes questions ton neveu ! Je pense qu'une bonne façon de lui répondre, c'est de lui dire une vérité : c'est qu'en maths, tant qu'on est clair avec ce qu'on admet (les axiomes) et qu'on est rigoureux dans sa logique, on fait ce qu'on veut !
On a définit N comme ça (que faire + 1 donne toujours un nouveau nombre) car ça nous arrange ! Si tu es très content de tes achats chez le poissonnier et que tu lui donnes une pièce supplémentaire, vous êtes les 2 d'accords pour dire qu'il y a plus de de pièces et non pas que, tout d'un coup, il n'y a plus aucune pièce. Et ce, peut importe le nombre de pièces !
Par contre pour Z/24Z, les heures de la journée, on est d'accord qu'au bout d'un moment dans la journée, on retourne au même moment. Il est donc utile ici que les nombres bouclent.
Pour conclure, ce qui compte c'est à quel problème on veut appliquer les nombres. Tout comme on utilise pas un marteau pour écrire une lettre, on utilise pas Z/24Z pour dénombrer les choses autour de nous !
Je profite de cette vidéo pour capter l'attention de tous les non-platoniciens (qu'ils soient ultrafinitistes ou pas).
J'ai entendu dernièrement un argument contre l'existence réelle des nombres, et c'est le premier que j'entends qui me semble convaincant (bon, je n'ai pas encore abandonné ma posture platonicienne, mais je veux en discuter).
Il n'y a pas de nombre, car il n'y a rien à compter.
C'est un argument plus ou moins antiscientifique, puisqu'il suppose une exactitude en toute chose : pour compter, il faut pouvoir reconnaître une même chose plusieurs fois (par exemple, l'idée de pomme à travers différentes pommes), or rien n'est jamais exactement identique, et de suite, faire une abstraction (au travers du concept de pomme par exemple), c'est toujours faire une approximation. Or nous ne sommes pas de vulgaires scientifiques, mais des mathématiciens révérants l'exactitude. On ne peut compter les choses qu'une fois abstraites, or ces abstractions sont souvent des fantasmes dont la fausseté éclate fréquemment au grand jour : pas le genre de choses avec lesquelles l'esprit d'un métamaticien peut travailler. Donc puisqu'il n'existe réellement que les choses concrètes sans filtre intellectuel, il n'y a rien de réel à compter.
Est-ce que je suis complètement fou ou est-ce que l'argument vaut la peine qu'on s'y penche ?
En fait (et je réponds un an après l'émission de ton commentaire), tu soulèves une question : "Existe-t-il des choses strictement identiques". Je ne sais pas répondre à cette question mais j'aimerais apporter un commentaire.
Certes nous révérons l'exactitude, mais aucun d'entre nous n'oublie le but premier des mathématiques : apporter un cadre aux observations scientifiques, puis apporter des informations sur le cadre en lui même. Ce cadre, ces observations, tout ceci s'inscrit strictement dans la limite de nos perceptions. Il est possible que si nos perceptions étaient autres, nos théories seraient plus élaborées, plus en cohérence avec le monde. Si en plus d'avoir notre acuité d'humains, nous avions une acuité de dauphin, alors peut-être que la physique serait autre. Et peut-être que plus notre acuité augmente, plus le nombre de choses "identiques" que nous relevons diminuent.
Voilà mon opinion : je pense qu'il est important qu'une pomme soit identique à une autre pomme dans l'esprit d'un mathématicien comme de n'importe quel humain. Nous procédons à des raccourcis qui rendent fluide notre vision du monde. Si l'acuité ne permet pas de distinguer les deux pommes, à quoi bon le faire ? Au moment l'une d'entre elles passera du plat à fruit à l'estomac du mathématicien, quelle utilité de savoir pour lui si c'était celle de gauche ou celle de droite au magasin ?
Avec ce prisme, compter ne relève pas de l'exactitude de ce qui se passe dans le monde réel, compter relève d'une astuce de notre cerveau pour mieux appréhender notre perception du monde réel. Je crois que ce dernier paragraphe est indépendant d'une vision platonicienne ou non-platonicienne.
Conclusion : lorsqu'il y a des choses à compter c'est qu'on se fie aux approximations et aux raccourcis de nos perceptions. Lorsqu'il n'y a rien à compter, c'est qu'on suppose que le monde existe en dehors de notre perception d'une manière qu'il nous est impossible à comprendre à 100%. Je préfère la première version ! (Mais j'ai pris plaisir à réfléchir à ce sujet)
La plupart des grands nombres ne sont pas exprimable d'aucune maniere que se soit avec nimporte quelle notation imginable. Ca ne s'arrete pas mais ceux avec lesquels on peux vraiment interagir, ne seraisse que des les nommer ou les ecrire sont essentielement finis.
Finalement, il a pas si tort que ça. Après un nombre trop grand, on recommence à 1 :
million, billion, trillion, quadrillion, ... ça provient des chiffres 1, 2, 3, 4, 5 ... ^^
Exactement, ce système s'appel le système décimal, après le dernier chiffre de la liste, c'est à dire 9, on revient à 1 et on ajoute un 0 après ce qui donne 10. C'est la base de la théorie des nombres où n+1=(n+1), comme il dit dans la vidéo, si on considère un nombre comme maximum (disons l'infini) alors ce maximum + 1 = un autre nombre strictement supérieur (admettons infini + 1). Et cette théorie est vrai pour tous les nombres de 10 à l'infini, car si on fait 10+1=11, car 0+1=1, on revient donc à la démonstration de n+1=(n+1) ou le nombre strictement supérieur à n si on l'additionne à 1.
C’est marrant, quand tu as émis l’hypothèse que les nombres s’arrêter à un moment donné, j’ai directement pensais au nombre transfini. ce qui fais qu’à partir d’une base de nombres finis, on obtiens une base de nombres infinis.
Petit exemple:
- soit un univers doté de ces seuls nombres 1,2,...,11, appelons le B ( petit dédicace au nombre premiers :P )
- et maintenant prenons notre univers et appelons le A
si je voulais écrire 13 qui viens de l’univers A, dans la base de l’univers B, je devrai écrire 11+2 ou d’autre combinaison qui n’utilise que les nombres de la base B, mais bon là ca deviens du dénombrement, restons simple :)
Bon, prenons plus grand, genre 22, transcrit dans l’univers B, ça sera 2x11, puis 33 serai 3x11, ..., 110 = 10x11
Bref, la ca va commencer à être drôle, le dernier nombres que l’on peux écrire de cette façon est 11x11 vue que l’on est en base B. Mais, pourquoi ne pourrai pas ton imaginer des combinaisons ????
Genre 132 ? Ça sera juste 11x11 + 11 = (11^2)+11 etc
puis (11^2)x11=11^3
Ce qui a encore c’est limite, 11^11, mais j’ai envie de dire que c’est de mieux en mieux ça on peux tout aussi bien faire (11^11)+11 etc etc
Puis après on peut imaginer les flèches de knuth etc
Autrement dit, n’importe quel nombre de l’univers A peut s’écrie dans l’univers B par le biais des opérations de l’arithmétique. ainsi voilà comme une basse de nombre fini deviens infini. Mais cela soulèves d’autre problems, cette technique marche pr les nombres entiers, mais peut être pas pour les réel s ou complexes. ( petit idée, ça pourrai donner lieu à des sommes infini qui tendraient vers les valeurs que l’on voudrais transcrire de la base À à B )
Sur ceux merci d’avoir lut jusqu’au bout, désolé pr la qualité de mon français, je suis matheux pas profs de français même si je sais qu’un bon scientifique dois exceller en tous, ça serai plus simple si je pouvais utiliser mes quantificateurs x))) . J’aurai put théoriser un peux plus tous ça, pk pas le démontrer.
Bref, bonne chance pr lui expliquer ça mdrrrr
J'aime bien l'idée ! Mais il y a un petit hic, pour faire ces calculs, on a presque toujours besoin d'un algorithme, on fait un raisonnement dans notre tête. Si on connait tous les résultats de base en allant jusqu'à 11*11, OK, mais quand on passe aux combinaisons, il faut faire des calculs supplémentaires dans l'univers A, ce qui n'est pas ce qu'on le veut je pense. Bref, c'était juste un petit hic à apporter mais ça ne tâche pas trop l'idée :D
ty :) , oui c'est vrai ! mais je pense c'est pas le seul petit hic ^^ je suis bcp trop général dans ce que je dis, après c'est une hypothèse pas un théorème donc normal :P
Apres, pour revenir a ce que tu dis, oui c'est sure et même obligatoire d'avoir besoin d'un algorithme, les opérations supérieurs ou égal à [max(B) ]^2 vont devenir assez impossible pour l'homme si on parle de nombre grand ( grand pr l'homme, c'est >= 10 chiffres mdr, parce que face a l'infini, tous est petit !!!! enfin même si cela reste réalisable si on a de la patience ). Mais après si on parle de nombre vraiment très grand, genre google plex ou pk pas le nombre de graham. la algorithme ne nous servira plus du tout, sa complexité en temps serrai trop énormes !