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すごい簡潔な証明で感動すると共に背理法のイカれっぷりもよく分かる
背理法とかいうたった1つの反例の確認だけで全てを破壊する論法すき
数学解説の問題とは思えないほどテンポが良くて驚き
これこそ東大の本来出すべき問題なきがする
@@KeioAccelerg難易度が低めそして厳密に行くならめんどい
誘導なしならむずくね
京大っぽさの方があるかも。どんな四面体も１つの外接する球を持つことを示す京大の問題とかはこれの三次元拡張バージョン
@@KeioAccelergこういうこと言うやつ大体東大数学知らないよね
よくわからないままに論破された
な。チルノもすぐ納得して、こうなんじゃないの？みたいのが解決されない。視聴者置いてけぼりかよ…
この話は「とんな有限な点の集合でも、必ず2点だけを通る直線が存在する」という定理を証明している。仮にそういう定理に反する集合があったと仮定すると、「最も〇〇なペアを見つけてそこに注目すると、それよりも更に〇〇なペアが理論上できてしまう。さらにそのペアに注目するとそれよりも更に〇〇なペアが出来てしまい、更にそのペアに注目すると･･･」と無限ループしてしまい、現実的にありえない事態になってしまうので、定理に反する集合は存在しないという背理法を使っている。
もっと評価されるべき動画
最小距離のペアとなる直線は２点しか通らないという定理が成り立って、そのペアは必ず存在するから、少なくとも１つ以上は存在すると言えるということ？！
はい。（「すべての点が同一直線上にあるわけではない」「点の個数は有限」の二つから、最小距離のペアが必ず存在することがいえます。）
あなたの質問の上手さに度肝を抜かれました...あなたみたいに上手な質問ができるようになりたいのですが、何か意識している事はありますか？
とんでもなく素晴らしいチャンネルを見つけてしまった………。
うおおすげえええ感動した
すげぇ簡潔な証明で感動した
すげええええええええええええ！！！！！！！！！！！マジで声出ました。初見ではどんな風に証明するのか皆目見当もつかなかった文系なのですが、こんなにコンパクトに証明できてしまうんだと感銘を受けております。
無限個配置して良ければ全ての直線が3点以上通るようにできるのかな...と思ったけど考えてみれば座標平面の格子点全てに置けば当然全て3点以上(というか無限点)を通りますね最短距離のペアが存在しない(無限に0に近づく組み合わせをとれる)からこの証明が使えないと
これ新潮文庫の『フェルマーの最終定理』の補遺に置いてあってあまりにも鮮やかで最初読んだ時全然わからなかったな
背理法で一瞬で察するの好き
こういうチャンネルを待っていた人は多いのでは！？
無数にあるだろ見つけてないだけで
@@柳麺湯麺炒飯そういう事を言いたいわけじゃないと思う
チルノの「最低でも」って言葉が分かりづらくて一瞬つまづいた。これは「必ず二点しか通らない」でいいんじゃない？でも論理が整然で纏まってて綺麗だし、その整然さや綺麗さをこの動画のコンパクトの良さと、短さがまさに体現してて見やすいし面白い。いい動画だね
一昔前によく広告で出てきた「試験管の色水を色ごとに分けるゲーム」はどんな順番で色水が入ってても必ず一色ずつに分けることができるのか気になるちょっと考えてみたけど自分の頭じゃ無理だった
ハノイの塔みたいなやつですかね？
空きがどう言う感じなのかが重要だと思うなぁ
xyyyyyyxxxxyyxxx空きの場合は分けることができない。
良い解説だった！
テンポ大好き
感動したチャンネル登録しました
いつの間にか背理法になってんのゾクゾクする
おお！チルノと同じタイミングで感動したw
んにゃぴ…よく分からなかったですね
わかりやすい。こうゆうのって文章だとわかりにくいけど、視覚的にするとわかりやすい
無駄が一切ない動画で好き
またシンプルで美しい証明ですね。別の証明も考えてみました。(証明に抜けがある状態でコメントしてしまったので、再投稿失礼します。証明できているはず…できていなかったらすみません……)------有限個の点それぞれを結んだ直線のうち、直線上の点を除く全ての点がその直線によって分画された片側に存在するような直線について、それぞれの直線上の最も離れた2点を結ぶ線分によって構成される多角形を描く(以下では「上記手順」と呼ぶ)。すると、全ての点はこの多角形の内側もしくは辺上に存在する。このとき、多角形の全ての角は180°未満である。辺上に頂点以外の点が存在しない場合、その辺を延長した直線は2点のみを含む。多角形の全ての辺上に頂点以外の点が存在する場合、任意の頂点Bのみ除いた全ての点で「上記手順」によって多角形を描く。すると、1番目の多角形(n角形)の辺ABおよび辺BC上には点が存在するために、点Bを除いて新たに描いた2番目の多角形の頂点の数は(n+1)個以上である。(k+1)番目の多角形の全ての辺上に頂点以外の点が存在するとき、①(k+1)番目で新たに3点以上の頂点ができた場合、(k+1)番目で新たにできた頂点のうち、k番目の多角形の辺上に無い任意の頂点を選び、その頂点を除く全ての点で「上記手順」によって(k+2)番目の多角形を描く。②(k+1)番目で新たにできた頂点が2点の場合、k番目の多角形の辺上にあるそれら２頂点のうち任意の1点を選び、その頂点を除く全ての点で「上記手順」によって(k+2)番目の多角形を描く。①もしくは②を繰り返し、新たにできた辺上に頂点以外の点が存在しなくなったとき、この操作を止める。多角形の頂点の数は(n+k-1)個以上となるが、存在する点の個数は有限なので、いずれ辺上に頂点以外の点が存在しない辺が生じる(そのような辺が無い場合は①②を続けられるため)。上記手順で生じる多角形は常に全ての内角が180°未満であるため、任意の辺は隣接した2辺の傾きを超えない。つまり、最終的に生じる「辺上に頂点以外の点が存在しない辺」を延長した直線によって分画される片側にのみ、①②で除かれた全ての点が存在し、この直線上には存在しない。したがって最終的に生じる辺を延長した直線上には２点のみが存在する。------イメージとしては、有限個のピンがボードに刺さっていて、それらの周りに輪ゴムがかけられており、頂点のピンを抜いていく感じですが、かなり冗長な説明になってしまいました。無限個の点ならばこの限りでは無さそうですね。
この証明をどこかで見た記憶があるのに、何で見たのか覚えてなくてムズムズするわね
たまってるわね シゴいてあげる
This is pretty cool! It reminds of Q2 from the 2011 IMO with the lines on pivot points
なんだこれめっちゃ気持ちいい
面白いですね。次元増やしたりしても簡単に示せるんですかね？
何次元空間であっても、紫の直線と緑の点は同一平面上に存在するから、同様に示せるよ。
2分に満たない動画でこの満足度はエグい
今回の問題について質問です。点と直線の距離が最小である点と直線について、点から引ける垂線の足に対して直線上の点が全て片側のみに存在することもあり得るのでは無いでしょうか。その場合、今回の解法は使えないと思うのですが、どうでしょうか。
1:042点以上なので、偏った場合も想定されている
なるほど。少し勘違いをしていたようです。ありがとうございます。
中3でも分かる説明ありがとうございました！
とても綺麗な証明ですね。ところで、この問題って数学的帰納法を用いて証明することが可能なのでしょうか
n=kの時存在するとしてn=k+1の時その直線上にあるような点を選ばない保証はないから無理
1:26～結論が俺の頭じゃさっぱり分からなかった…。近いのが分かると何が嬉しくて、どうして3点にならないのかが理解できなかったよ……
背理法です。点と直線のペアのなかで、点と直線の距離が最小になるものを考える。直線に3点以上点が含まれていると仮定すると、もっと距離が小さい点と直線のペアが存在することになるから、最初にした距離が最小になるという前提に矛盾する。よって、直線に3点以上点が含まれているという仮定が間違っていたことになり、そもそも直線には必ず2点以上点が含まれているから、点と直線の距離が最小となるペアの直線に含まれる点の数は2つである。どんなにランダムに点をおいても距離が最小のペアは必ず存在する(一直線に点がある場合を除く)から、直線で点が2つだけ含まれるものは必ず存在する。ということです。
私も全く理解できないです。何をしようとして最終的に何が証明されたのかもよくわかりません。
一対一対応 is 至高。
5回見てやっと理解したけどすげぇ！これ自力で思いつく自信ないわ…
ワイが理系ではない事が証明された
どんなもん食ってたら任意の点と直線の距離が最小になるケースを考えてみようなんて思いつくんだろうAと仮定すればBが求まるという因果関係があるとして、Aという条件を探し当てる方法は今回の場合は何か有意義な方法があるのかな
英語のサブタイの質も高くて良き
背理法強すぎる
理解できなくて4回くらい見直した最後に2つの直線が交差するけど、後から追加されたほうの直線からするといま出来上がってるこのペアは最短距離ではない、ということでいいのかな
おそろしくスマートな解法、オレでなきゃ見逃しちゃうね
直線が2本以上の証明はできますか？(思考力の停止)
結構長い間未解決だったけど証明がシンプルでびっくりされた問題だというのを最近どこかで読んだ記憶があるが、何だったのか思い出せない
こういうの図とかグラフだと分かりやすいし理解しやすいんだけど、いざ証明するってときにどうやって書けば良いのか分からないんだよな
天才だろ、こんなの絶対思いつかない
目から鱗だ…感動した👍👍👍👍
鮮やか
何かどこかでみたことあるはずの問題なのに、どこだったか思い出せない
なんかこういう中学入試の問題のっけてた広告あった気がする
こういうの好き
予備校で最後に講義受けた問題だ懐かしさ
これはすごお---!!!
めちゃくちゃおもしろい
えぐいチャンネルや…背理法か…
自分がアホすぎて逆にテンポいいのが理解できない
なんかもはや証明より問題の方が長い気がしますねwWikipediaみて改めて見ると問題に対して使うものが高等すぎる気もしますが1発でいけるに越したことはないですね！
すっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっごお
分かりやすく離してくれた線の影響か無意識のうちにミスリードされてた。注意しないとやばい俺
1:30こっちの方が近いとか言うけど、そこの証明がほしいな。
最初の点と直線のペアの点（明るい緑）を P、直線に P から下ろした垂線の足（暗い緑）を H、H で分割された半直線上の二点（青+黒）のうち H に近い方を Q、遠い方を R、直線 PR に Q から下ろした垂線の足を I とします。PH > QI (*) を示します。二つの直角三角形 PHR と QIR は相似であるため（∵∠PRH = ∠QRI）、PR > QR がいえれば (*) が示されます。任意の直角三角形について斜辺は他の辺より長い（∵三平方の定理）ため、PR > HR (1) です。Q の定義より HR ≧ QR (2) です。(1) と (2) より PR > QR がいえ、(*) が示されました。
こんな証明どうやって思いついたんだ
わかりやすくするために、点を●、隙間（点が存在しない空間）を◯とする。ここで、「平面上に点が有限個存在する」とは、●◯●◯●◯◯◯◯◯◯◯●◯◯●◯◯◯●というように、●同士が隣接しないように●と◯を配置するということである。（隣接してしまうと、点ではなく線や面を配置したことになってしまう。線や面は、無限の点の集まりであり、有限個の点を配置することに矛盾する。）ここで、「2点間の距離」とは、●◯●や、●◯◯●のように、●で挟まれた◯の個数であらわすことができる。（◯の個数は、当然、自然数である)…①また、「すべての点が一直線には並ばない」⇔「少なくとも1組は三角形を構成する3点が存在さる」ここで、「すべての点が1直線に並ばない」かつ「平面上の点が有限個」⇒「高さが最小の三角形を見つけることができる」が成り立つ。（「三角形の高さ」とは、「点と直線の距離」であり、「点と直線の距離」とは、「2点間の距離」だから、①より、その距離は自然数である、◯の数で表すことができる。1より小さい自然数は存在しないので、無限に高さの小さい三角形が見つかることはないので、高さが最小の三角形を見つけることがてきる。）
平面上の点の中から、高さが最小の三角形を見つけることができることがわかったので、その三角形を、底辺がBCになるように、△ABCと命名する。そして、BCの延長線上に点Dがあると仮定する。点A,B,C,Dは以下のような配置になる。 AB C Dこの図において、△ABCの高さより、△ACDの高さのほうが小さい。よって、点Dは、最初に配置した有限個の点には含まれない。したがって、直線BC上には、点B,C以外の点は存在しない。
点だらけにしてしまえば、何かしらかすめてしまう
無限降下法ってやつか
照明方法かしこ
すっげえスッキリするな
直感的には行けそう
すごお
このNが有限の場合にのみ成立する定理？
そうだよ。無限が許されるなら、平面上を埋め尽くすぐらい点を打てば良い。
@@user-dq3ht9st5h 何か直感的に理解しがたい。いくらNを大きくしても2点だけを通る直線は存在する。でもNを無限大にすると2点だけを通る直線は存在しない。このギャップがわからない。
switching up the touhou characters every episode will drastically improve how the videos will do in the algorithm, trust
Do you have evidence (ideally, your channel)?
uhh *sweats profusely*
衝撃的 エレガントな証明とはこのこと
どういうこと？
無限遠点さえあれば…
図の2点を通る直線と、その直線上に無い1点のペアを考える直線が必ず３つ以上の点を通ると仮定すると、動画で示されてる通り最初のペアより点と直線の距離が短いペアが必ず存在することになるこの操作は無限に繰り返すことでき、無限に異なるペアを作ることができるしかし、点の個数が有限個なら直線の数、およびペアの数も有限個のはずであり矛盾つまり最初に仮定した直線上に必ず3点以上存在すると言うのは誤りって方法もありますね 動画の方法をちょっと言い方変えただけですけど
まじで声出た笑
点との距離（緑）が最小の直線を選び出さなくても、3点を通る直線（青）を適当に選んで、点との距離がより小さい直線（水色）を作図すればいい作図した直線（水色）が3点を含んでいるなら、より点との距離が小さい直線（水色）を作図できる点の数が無限ならこれを無限に繰り返せるが、有限だと最後に2点しか含まない直線を作図して停止する
すげー
「一直線上に3点並ぶ場合を除いて」の時点で3点以上重なる直線がないことが確定してるから当たり前。と思ってたけどまずまず勘違いしてたわ。全ての点が一直線上に並ばない、か。面白かったです。
ウオオオオ！(まだ分かってない)
どうやってこういうのを思いつくのか😅
デデキント切断っぽいですね証明が示す内容もそうですが直線を2つに分割するあたりのくだりも
九大 2024 文理共通第四問で三点バージョンが出ました。
Nice
逆にちょうど2点を通る直線は全ての点と線のペアの中で一番距離が短い点を持つってこと？
逆は言えないんじゃないですか？長方形の4頂点とか反例になりそうです。
(0,0), (7, 5), (10, 7), (20, 0), (20, 5) などがあからさまな反例になると思います。
ずりぃ背理法だ好き！
分かりやすいけど、分かりづらいw
テンポが速くて無駄に長くないのがいい。よびのりとか無駄に長くって広告つけたいのか伸ばしまくりだったから。
よびのりは、理解しやすいように動画を作ってるのよ。この動画は、テンポ良く進むから頭いい人には分かりやすくてコスパの良い動画なんだろう。だけど、この形式だと何度も観てようやく理解する人、何度見ても理解できない人が多数出てきてしまう。頭悪い人にはめちゃくちゃコスパ悪い動画なんだよね。よびのりは、後者の人にも一発で理解してもらえるように心がけて動画を作ってると思うんだよね。そのためにあれだけ長くなってしまう。無駄に伸ばしてるんじゃなくて、理解しやすくするための工夫だよ。きっと。
京大後期のやつですね
鳩の巣原理
神
ちょうど2点を通る直線が存在しないなら点のみで円が作れなくない？知らんけど
0:50 ここの言い方絶妙にややこしいなw多分点と直線の距離を評価点のように捉えて、同じ値が出る場合のことをそう言ったんだろうけど同じ点に対して、というようなニュアンスも読み取れうるのでちょっと混乱した
最後に結論言わないと分かりずらい…
本編の冒頭 00:26 で述べられています
わかった上で言っています。最後に"も"言って欲しかったです。個人的にこの動画は単語や文章が所々おかしい箇所があり、理解しづらかったので。まぁ皆さんは違和感を感じて無さそうなので多分僕がおかしいだけだと思います。😢
@@user-op7ys8vp5s すみません、「最初」に空目していました。ところで「単語や文章が所々おかしい箇所」とは具体的にどこなのか少々興味があります。もしよろしければご教示くださいませんか？
背理法で証明するってところの説明もほとんどなく駆け足だし、証明した後も駆け足しだし、「短く簡潔にまとめる」ことに注力しすぎで、「わかりやすい動画を作る」ことを完全に放棄してると思う。さすが競プロ。
この説明で十分理解できる人向けに動画作成してるのでは
思いつかんなこれはw
何か面白い解説動画だったような気がするのだが、そもそも賢さが足りなかったので理解ができなかったワイ、もにょる
「2点以上通るようにひいた直線から距離が最も近い点」から垂線をおろすこれが前提条件ここで「この直線が3つ以上の点を含む」と仮定するそして、2つ以上の点のうち、垂線から遠い方と「直線から最も近い点」を直線で結ぶそうすると、今結んだ直線と、2つ以上ある点のうち垂線から近い方の点の距離は、初めに結んだ垂線よりも短くなる(直角三角形の対辺から垂直に線を引いたとき、1番長い線は直角の点への線。だけどこの線は直線三角形の3辺のどれよりも短い。つまりその1辺をなす初めの直線よりも短い)初めの垂線より短い垂線が出てきた。垂線の長さ＝直線との距離。つまり、「直線かは最も近い点」よりも近い点が出てきた。これでは前提条件と矛盾してしまう。つまり仮定した「この直線が3つ以上の点を含む」が間違っている。ということは、この直線は2つの点しか含んでいない。
1:31 直角三角形の対辺を底辺にしたときの高さは、他の2辺より短いってことか。確かに面積評価でいける
というか相似で行けるぞ空色青の交点で出来てる角は共有①定義から緑青交点部分は直角空色水交点部分は直角つまり等しい②1.2から2つの角がそれぞれ等しいから相似緑青の交点より明らかに水青の交点のほうが近いため緑線より水線のほうが短い
@@zouo-from-Taikonotatsujin「明らか」の部分で面積評価は使うけど、直接比較ができる点ではシンプルですね！ありがとうございます！
@@user-vx7ki9ul2oその明らかも途中の3点を分けるところで近いこと確定してたりしない？
今チャンネル登録しておいて古参名乗るか
この動画で何をしてるのかわかる人がこれだけいることに驚く。さっぱり意味わからん。
よくわからん
ゆっくり3b1b
1:30 近いと何が矛盾すんの？「直線と点のペアを選ぶこととの矛盾」て日本語がまず意味分からんあまりにも簡潔すぎてバカなワイには何も分からない参考書で解答見たら「自明なので省略」と書かれてた時みたいな気持ち
0:48距離が1番短かったペアを選んだことに矛盾します
「背理法で証明する」っていうところを丁寧に説明せずに、ブッ飛ばして駆け抜けてるからわかりにくい。
1:30緑の線分よりも青の線分のほうが短く、これは『緑の線分があらゆる点と直線の距離のなかで最小である』という仮定に矛盾します。もし紫の直線が2点しか含まなければ、青の線分を引くことはできないので、矛盾しません。
いみわからん
・これから背理法を使うよ・「２点のみ通る直線がある」のを背理法で証明するから、その否定で、「２点を通る全ての直線は２点だけでなく３点目も通ってしまう」と仮定するよ・この仮定は後に否定されるよあたりの説明があっさり過ぎて脳が追い付かない。
@@okim8807 ありがと
![Can You Measure 3000√2-4211 Minutes with a 1-Minute and √2-Minute Hourglass? [English Subtitles]](http://i.ytimg.com/vi/jNHJ3z6L5AQ/mqdefault.jpg)
![21 Weird Ways to Say Hello, World! 1,000,000 Times [English Subtitles]](http://i.ytimg.com/vi/OHOTGcQmndQ/mqdefault.jpg)
![Which is Bigger: Fukasetsu Fukasetsuten or Graham's Number? [English Subtitles]](/img/n.gif)
すごい簡潔な証明で感動すると共に背理法のイカれっぷりもよく分かる
背理法とかいうたった1つの反例の確認だけで全てを破壊する論法すき
数学解説の問題とは思えないほどテンポが良くて驚き
これこそ東大の本来出すべき問題なきがする
@@KeioAccelerg難易度が低め
そして厳密に行くならめんどい
誘導なしならむずくね
京大っぽさの方があるかも。どんな四面体も１つの外接する球を持つことを示す京大の問題とかはこれの三次元拡張バージョン
@@KeioAccelergこういうこと言うやつ大体東大数学知らないよね
よくわからないままに論破された
な。
チルノもすぐ納得して、こうなんじゃないの？みたいのが解決されない。
視聴者置いてけぼりかよ…
この話は「とんな有限な点の集合でも、必ず2点だけを通る直線が存在する」という定理を証明している。
仮にそういう定理に反する集合があったと仮定すると、「最も〇〇なペアを見つけてそこに注目すると、それよりも更に〇〇なペアが理論上できてしまう。さらにそのペアに注目するとそれよりも更に〇〇なペアが出来てしまい、更にそのペアに注目すると･･･」と無限ループしてしまい、現実的にありえない事態になってしまうので、定理に反する集合は存在しないという背理法を使っている。
もっと評価されるべき動画
最小距離のペアとなる直線は２点しか通らないという定理が成り立って、そのペアは必ず存在するから、少なくとも１つ以上は存在すると言えるということ？！
はい。（「すべての点が同一直線上にあるわけではない」「点の個数は有限」の二つから、最小距離のペアが必ず存在することがいえます。）
あなたの質問の上手さに度肝を抜かれました...
あなたみたいに上手な質問ができるようになりたいのですが、何か意識している事はありますか？
とんでもなく素晴らしいチャンネルを見つけてしまった………。
うおおすげえええ感動した
すげぇ簡潔な証明で感動した
すげええええええええええええ！！！！！！！！！！！
マジで声出ました。初見ではどんな風に証明するのか皆目見当もつかなかった文系なのですが、こんなにコンパクトに証明できてしまうんだと感銘を受けております。
無限個配置して良ければ全ての直線が3点以上通るようにできるのかな...と思ったけど考えてみれば座標平面の格子点全てに置けば当然全て3点以上(というか無限点)を通りますね
最短距離のペアが存在しない(無限に0に近づく組み合わせをとれる)からこの証明が使えないと
これ新潮文庫の『フェルマーの最終定理』の補遺に置いてあってあまりにも鮮やかで最初読んだ時全然わからなかったな
背理法で一瞬で察するの好き
こういうチャンネルを待っていた人は多いのでは！？
無数にあるだろ
見つけてないだけで
@@柳麺湯麺炒飯そういう事を言いたいわけじゃないと思う
チルノの「最低でも」って言葉が分かりづらくて一瞬つまづいた。これは「必ず二点しか通らない」でいいんじゃない？
でも論理が整然で纏まってて綺麗だし、その整然さや綺麗さをこの動画のコンパクトの良さと、短さがまさに体現してて見やすいし面白い。いい動画だね
一昔前によく広告で出てきた「試験管の色水を色ごとに分けるゲーム」はどんな順番で色水が入ってても必ず一色ずつに分けることができるのか気になる
ちょっと考えてみたけど自分の頭じゃ無理だった
ハノイの塔みたいなやつですかね？
空きがどう言う感じなのかが重要だと思うなぁ
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良い解説だった！
テンポ大好き
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おお！チルノと同じタイミングで感動したw
んにゃぴ…よく分からなかったですね
わかりやすい。こうゆうのって文章だとわかりにくいけど、視覚的にするとわかりやすい
無駄が一切ない動画で好き
またシンプルで美しい証明ですね。
別の証明も考えてみました。
(証明に抜けがある状態でコメントしてしまったので、再投稿失礼します。証明できているはず…できていなかったらすみません……)
------
有限個の点それぞれを結んだ直線のうち、直線上の点を除く全ての点がその直線によって分画された片側に存在するような直線について、それぞれの直線上の最も離れた2点を結ぶ線分によって構成される多角形を描く(以下では「上記手順」と呼ぶ)。
すると、全ての点はこの多角形の内側もしくは辺上に存在する。
このとき、多角形の全ての角は180°未満である。
辺上に頂点以外の点が存在しない場合、その辺を延長した直線は2点のみを含む。
多角形の全ての辺上に頂点以外の点が存在する場合、任意の頂点Bのみ除いた全ての点で「上記手順」によって多角形を描く。すると、1番目の多角形(n角形)の辺ABおよび辺BC上には点が存在するために、点Bを除いて新たに描いた2番目の多角形の頂点の数は(n+1)個以上である。
(k+1)番目の多角形の全ての辺上に頂点以外の点が存在するとき、
①(k+1)番目で新たに3点以上の頂点ができた場合、
(k+1)番目で新たにできた頂点のうち、k番目の多角形の辺上に無い任意の頂点を選び、その頂点を除く全ての点で「上記手順」によって(k+2)番目の多角形を描く。
②(k+1)番目で新たにできた頂点が2点の場合、k番目の多角形の辺上にあるそれら２頂点のうち任意の1点を選び、その頂点を除く全ての点で「上記手順」によって(k+2)番目の多角形を描く。
①もしくは②を繰り返し、新たにできた辺上に頂点以外の点が存在しなくなったとき、この操作を止める。
多角形の頂点の数は(n+k-1)個以上となるが、存在する点の個数は有限なので、いずれ辺上に頂点以外の点が存在しない辺が生じる(そのような辺が無い場合は①②を続けられるため)。
上記手順で生じる多角形は常に全ての内角が180°未満であるため、任意の辺は隣接した2辺の傾きを超えない。
つまり、最終的に生じる「辺上に頂点以外の点が存在しない辺」を延長した直線によって分画される片側にのみ、①②で除かれた全ての点が存在し、この直線上には存在しない。
したがって最終的に生じる辺を延長した直線上には２点のみが存在する。
------
イメージとしては、有限個のピンがボードに刺さっていて、それらの周りに輪ゴムがかけられており、頂点のピンを抜いていく感じですが、かなり冗長な説明になってしまいました。
無限個の点ならばこの限りでは無さそうですね。
この証明をどこかで見た記憶があるのに、何で見たのか覚えてなくてムズムズするわね
たまってるわね シゴいてあげる
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なんだこれめっちゃ気持ちいい
面白いですね。
次元増やしたりしても簡単に示せるんですかね？
何次元空間であっても、紫の直線と緑の点は同一平面上に存在するから、同様に示せるよ。
2分に満たない動画でこの満足度はエグい
今回の問題について質問です。
点と直線の距離が最小である点と直線について、点から引ける垂線の足に対して直線上の点が全て片側のみに存在することもあり得るのでは無いでしょうか。その場合、今回の解法は使えないと思うのですが、どうでしょうか。
1:04
2点以上なので、偏った場合も想定されている
なるほど。少し勘違いをしていたようです。ありがとうございます。
中3でも分かる説明ありがとうございました！
とても綺麗な証明ですね。
ところで、この問題って数学的帰納法を用いて証明することが可能なのでしょうか
n=kの時存在するとして
n=k+1の時その直線上にあるような点を選ばない保証はないから無理
1:26～結論が俺の頭じゃさっぱり分からなかった…。近いのが分かると何が嬉しくて、どうして3点にならないのかが理解できなかったよ……
背理法です。点と直線のペアのなかで、点と直線の距離が最小になるものを考える。直線に3点以上点が含まれていると仮定すると、もっと距離が小さい点と直線のペアが存在することになるから、最初にした距離が最小になるという前提に矛盾する。よって、直線に3点以上点が含まれているという仮定が間違っていたことになり、そもそも直線には必ず2点以上点が含まれているから、点と直線の距離が最小となるペアの直線に含まれる点の数は2つである。どんなにランダムに点をおいても距離が最小のペアは必ず存在する(一直線に点がある場合を除く)から、直線で点が2つだけ含まれるものは必ず存在する。ということです。
私も全く理解できないです。
何をしようとして最終的に何が証明されたのかもよくわかりません。
一対一対応 is 至高。
5回見てやっと理解したけどすげぇ！
これ自力で思いつく自信ないわ…
ワイが理系ではない事が証明された
どんなもん食ってたら任意の点と直線の距離が最小になるケースを考えてみようなんて思いつくんだろう
Aと仮定すればBが求まるという因果関係があるとして、Aという条件を探し当てる方法は今回の場合は何か有意義な方法があるのかな
英語のサブタイの質も高くて良き
背理法強すぎる
理解できなくて4回くらい見直した
最後に2つの直線が交差するけど、後から追加されたほうの直線からするといま出来上がってるこのペアは最短距離ではない、ということでいいのかな
おそろしくスマートな解法、オレでなきゃ見逃しちゃうね
直線が2本以上の証明はできますか？(思考力の停止)
結構長い間未解決だったけど証明がシンプルでびっくりされた問題だというのを最近どこかで読んだ記憶があるが、何だったのか思い出せない
こういうの図とかグラフだと分かりやすいし理解しやすいんだけど、いざ証明するってときにどうやって書けば良いのか分からないんだよな
天才だろ、こんなの絶対思いつかない
目から鱗だ…感動した👍👍👍👍
鮮やか
何かどこかでみたことあるはずの問題なのに、どこだったか思い出せない
なんかこういう中学入試の問題のっけてた広告あった気がする
こういうの好き
予備校で最後に講義受けた問題だ
懐かしさ
これはすごお---!!!
めちゃくちゃおもしろい
えぐいチャンネルや…背理法か…
自分がアホすぎて逆にテンポいいのが理解できない
なんかもはや証明より問題の方が長い気がしますねw
Wikipediaみて改めて見ると問題に対して使うものが高等すぎる気もしますが1発でいけるに越したことはないですね！
すっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっっごお
分かりやすく離してくれた線の影響か無意識のうちにミスリードされてた。注意しないとやばい俺
1:30こっちの方が近いとか言うけど、そこの証明がほしいな。
最初の点と直線のペアの点（明るい緑）を P、直線に P から下ろした垂線の足（暗い緑）を H、
H で分割された半直線上の二点（青+黒）のうち H に近い方を Q、遠い方を R、直線 PR に Q から下ろした垂線の足を I とします。
PH > QI (*) を示します。
二つの直角三角形 PHR と QIR は相似であるため（∵∠PRH = ∠QRI）、PR > QR がいえれば (*) が示されます。
任意の直角三角形について斜辺は他の辺より長い（∵三平方の定理）ため、PR > HR (1) です。
Q の定義より HR ≧ QR (2) です。
(1) と (2) より PR > QR がいえ、(*) が示されました。
こんな証明どうやって思いついたんだ
わかりやすくするために、点を●、隙間（点が存在しない空間）を◯とする。
ここで、
「平面上に点が有限個存在する」とは、
●◯●◯●
◯◯◯◯◯
◯◯●◯◯
●◯◯◯●
というように、●同士が隣接しないように●と◯を配置するということである。
（隣接してしまうと、点ではなく線や面を配置したことになってしまう。線や面は、無限の点の集まりであり、有限個の点を配置することに矛盾する。）
ここで、「2点間の距離」とは、●◯●や、●◯◯●のように、●で挟まれた◯の個数であらわすことができる。（◯の個数は、当然、自然数である)…①
また、
「すべての点が一直線には並ばない」
⇔
「少なくとも1組は三角形を構成する3点が存在さる」
ここで、
「すべての点が1直線に並ばない」かつ「平面上の点が有限個」
⇒
「高さが最小の三角形を見つけることができる」
が成り立つ。
（「三角形の高さ」とは、「点と直線の距離」であり、「点と直線の距離」とは、「2点間の距離」だから、
①より、その距離は自然数である、◯の数で表すことができる。1より小さい自然数は存在しないので、無限に高さの小さい三角形が見つかることはないので、高さが最小の三角形を見つけることがてきる。）
平面上の点の中から、高さが最小の三角形を見つけることができることがわかったので、その三角形を、底辺がBCになるように、△ABCと命名する。
そして、BCの延長線上に点Dがあると仮定する。
点A,B,C,Dは以下のような配置になる。
A
B C D
この図において、△ABCの高さより、△ACDの高さのほうが小さい。
よって、点Dは、最初に配置した有限個の点には含まれない。したがって、直線BC上には、点B,C以外の点は存在しない。
点だらけにしてしまえば、何かしらかすめてしまう
無限降下法ってやつか
照明方法かしこ
すっげえスッキリするな
直感的には行けそう
すごお
このNが有限の場合にのみ成立する定理？
そうだよ。
無限が許されるなら、平面上を埋め尽くすぐらい点を打てば良い。
@@user-dq3ht9st5h 何か直感的に理解しがたい。
いくらNを大きくしても2点だけを通る直線は存在する。
でもNを無限大にすると2点だけを通る直線は存在しない。
このギャップがわからない。
switching up the touhou characters every episode will drastically improve how the videos will do in the algorithm, trust
Do you have evidence (ideally, your channel)?
uhh *sweats profusely*
衝撃的 エレガントな証明とはこのこと
どういうこと？
無限遠点さえあれば…
図の2点を通る直線と、その直線上に無い1点のペアを考える
直線が必ず３つ以上の点を通ると仮定すると、動画で示されてる通り最初のペアより点と直線の距離が短いペアが必ず存在することになる
この操作は無限に繰り返すことでき、無限に異なるペアを作ることができる
しかし、点の個数が有限個なら直線の数、およびペアの数も有限個のはずであり矛盾
つまり最初に仮定した直線上に必ず3点以上存在すると言うのは誤り
って方法もありますね 動画の方法をちょっと言い方変えただけですけど
まじで声出た笑
点との距離（緑）が最小の直線を選び出さなくても、
3点を通る直線（青）を適当に選んで、点との距離がより小さい直線（水色）を作図すればいい
作図した直線（水色）が3点を含んでいるなら、より点との距離が小さい直線（水色）を作図できる
点の数が無限ならこれを無限に繰り返せるが、有限だと最後に2点しか含まない直線を作図して停止する
すげー
「一直線上に3点並ぶ場合を除いて」の時点で3点以上重なる直線がないことが確定してるから当たり前。
と思ってたけどまずまず勘違いしてたわ。全ての点が一直線上に並ばない、か。面白かったです。
ウオオオオ！(まだ分かってない)
どうやってこういうのを思いつくのか😅
デデキント切断っぽいですね
証明が示す内容もそうですが直線を2つに分割するあたりのくだりも
九大 2024 文理共通第四問で三点バージョンが出ました。
Nice
逆にちょうど2点を通る直線は全ての点と線のペアの中で一番距離が短い点を持つってこと？
逆は言えないんじゃないですか？
長方形の4頂点とか反例になりそうです。
(0,0), (7, 5), (10, 7), (20, 0), (20, 5) などがあからさまな反例になると思います。
ずりぃ背理法だ好き！
分かりやすいけど、分かりづらいw
テンポが速くて無駄に長くないのがいい。よびのりとか無駄に長くって広告つけたいのか伸ばしまくりだったから。
よびのりは、理解しやすいように動画を作ってるのよ。この動画は、テンポ良く進むから頭いい人には分かりやすくてコスパの良い動画なんだろう。だけど、この形式だと何度も観てようやく理解する人、何度見ても理解できない人が多数出てきてしまう。頭悪い人にはめちゃくちゃコスパ悪い動画なんだよね。
よびのりは、後者の人にも一発で理解してもらえるように心がけて動画を作ってると思うんだよね。そのためにあれだけ長くなってしまう。無駄に伸ばしてるんじゃなくて、理解しやすくするための工夫だよ。きっと。
京大後期のやつですね
鳩の巣原理
神
ちょうど2点を通る直線が存在しないなら点のみで円が作れなくない？知らんけど
0:50 ここの言い方絶妙にややこしいなw
多分点と直線の距離を評価点のように捉えて、同じ値が出る場合のことをそう言ったんだろうけど
同じ点に対して、というようなニュアンスも読み取れうるのでちょっと混乱した
最後に結論言わないと分かりずらい…
本編の冒頭 00:26 で述べられています
わかった上で言っています。最後に"も"言って欲しかったです。
個人的にこの動画は単語や文章が所々おかしい箇所があり、理解しづらかったので。
まぁ皆さんは違和感を感じて無さそうなので多分僕がおかしいだけだと思います。😢
@@user-op7ys8vp5s すみません、「最初」に空目していました。
ところで「単語や文章が所々おかしい箇所」とは具体的にどこなのか少々興味があります。
もしよろしければご教示くださいませんか？
背理法で証明するってところの説明もほとんどなく駆け足だし、
証明した後も駆け足しだし、
「短く簡潔にまとめる」ことに注力しすぎで、「わかりやすい動画を作る」ことを完全に放棄してると思う。さすが競プロ。
この説明で十分理解できる人向けに動画作成してるのでは
思いつかんな
これはw
何か面白い解説動画だったような気がするのだが、そもそも賢さが足りなかったので理解ができなかったワイ、もにょる
「2点以上通るようにひいた直線から距離が最も近い点」から垂線をおろす
これが前提条件
ここで
「この直線が3つ以上の点を含む」と仮定する
そして、2つ以上の点のうち、垂線から遠い方と「直線から最も近い点」を直線で結ぶ
そうすると、
今結んだ直線と、2つ以上ある点のうち垂線から近い方の点の距離は、初めに結んだ垂線よりも短くなる
(直角三角形の対辺から垂直に線を引いたとき、1番長い線は直角の点への線。だけどこの線は直線三角形の3辺のどれよりも短い。つまりその1辺をなす初めの直線よりも短い)
初めの垂線より短い垂線が出てきた。垂線の長さ＝直線との距離。つまり、「直線かは最も近い点」よりも近い点が出てきた。
これでは前提条件と矛盾してしまう。つまり仮定した「この直線が3つ以上の点を含む」が間違っている。
ということは、この直線は2つの点しか含んでいない。
1:31 直角三角形の対辺を底辺にしたときの高さは、他の2辺より短いってことか。確かに面積評価でいける
というか相似で行けるぞ
空色青の交点で出来てる角は共有①
定義から
緑青交点部分は直角
空色水交点部分は直角
つまり等しい②
1.2から
2つの角がそれぞれ等しいから
相似
緑青の交点より明らかに水青の交点のほうが近いため
緑線より水線のほうが短い
@@zouo-from-Taikonotatsujin「明らか」の部分で面積評価は使うけど、直接比較ができる点ではシンプルですね！ありがとうございます！
@@user-vx7ki9ul2oその明らかも
途中の3点を分けるところで近いこと確定してたりしない？
今チャンネル登録しておいて古参名乗るか
この動画で何をしてるのかわかる人がこれだけいることに驚く。
さっぱり意味わからん。
よくわからん
ゆっくり3b1b
1:30 近いと何が矛盾すんの？「直線と点のペアを選ぶこととの矛盾」て日本語がまず意味分からん
あまりにも簡潔すぎてバカなワイには何も分からない
参考書で解答見たら「自明なので省略」と書かれてた時みたいな気持ち
0:48
距離が1番短かったペアを選んだことに矛盾します
「背理法で証明する」っていうところを丁寧に説明せずに、ブッ飛ばして駆け抜けてるからわかりにくい。
1:30緑の線分よりも青の線分のほうが短く、これは『緑の線分があらゆる点と直線の距離のなかで最小である』という仮定に矛盾します。
もし紫の直線が2点しか含まなければ、青の線分を引くことはできないので、矛盾しません。
いみわからん
・これから背理法を使うよ
・「２点のみ通る直線がある」のを背理法で証明するから、その否定で、「２点を通る全ての直線は２点だけでなく３点目も通ってしまう」と仮定するよ
・この仮定は後に否定されるよ
あたりの説明があっさり過ぎて脳が追い付かない。
@@okim8807 ありがと